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%Corrigé Alain Détant
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
 
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\newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) }
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\newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }
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\newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
\newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
\newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}
\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\vspace{0.5cm}
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
\vspace{0.5cm}
}
\newcommand{\pg}{\geqslant}			%plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}			%plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}	% équivalent
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} 		%le d de différentiation
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}		%displaystyle
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\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
%\rhead{#3}
%\chead{\shadowbox{Corrigé baccalauréat ES  #1 du #2}}
%\lfoot{Baccalauréat 2017}%Corrigé de #1 du #2}
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\rfoot{\small 13 juin 2017}
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           % \rfoot{#3}
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                  }

\newcommand{\integ}[4]{$\displaystyle \int_{#1}^{#2}~#3~\text{d}#4~$}                  
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
%\entetecor{Liban}{5 juin 2017}{}{}
\titlespacing*{\subsubsection}
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{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite
\begin{center} { \Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Liban~\decofourright\\[4pt]5 juin 2017}}} 

\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\surj{\textbf{Les justifications n'étaient pas demandées, elles sont données ici à titre indicatif}}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{2}{x}$.

La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~e] est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2 &\textbf{b~~} $\dfrac{1}{\text{e} - 1}$&\textbf{c.~~}\surj{$\dfrac{2}{\text{e} - 1}$}&\textbf{d.~~}$\dfrac{- 2}{\text{e} - 1}$
\end{tabularx}

\begin{solution}
la valeur moyenne de $g(x)$ sur $[1~;~\text{e}]$ est donnée par $\dfrac{1}{\text{e}-1}$\integ{1}{\text{e}}{g(x)}{x}


$\dfrac{1}{\text{e}-1}$\integ{1}{\text{e}}{\dfrac{2}{x}}{x}= $\dfrac{1}{\text{e}-1}\left[2\ln(x) \right]_{_1}^{^{\text{e}}}=\dfrac{1}{\text{e}-1}\left[2\ln(\text{e})-2\ln(1) \right]=\dfrac{2}{\text{e} - 1}$
 
\end{solution}

\medskip

\item On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-dessous représente la fonction de densité $f$ associée à la variable X.

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=2cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3,algebraic=true,comma=true}
\def\xmin {-0.1}   \def\xmax {2}
%\def\ymin {-0.02} \def\ymax {500}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.25)(2,2.2)
%\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%\multido{\n=-4+1}{34}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.11)}
%\multido{\n=0.00+0.02}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](-4,\n)(30,\n)}
\psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=0.2,Dy=10]%
(0,0)(0,0)(2,0)
\def\m{1}% moyenne 
\def\s{0.2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{2}{\f}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0.6}{1.4}{\f}
\psline(1.4,0)(0.6,0)(0.6,0.28)}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,2)
\uput[u](0.4,0.12){\blue $\mathcal{C}_f$}
\rput(1,0.18){Aire $\approx 0,95$}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item L'espérance de $X$ est $0,4$.
		\item L'espérance de $X$ est $0,95$.
		\item L'écart-type de $X$ est environ $0,4$.
		\item  \surj{L'écart-type de $X$ est environ $0,2$}.
		
		\begin{solution}
		On sait que si $X \hookrightarrow \mathcal{N}\left( \mu~;~\sigma^2\right) $ alors $P(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,95$
		
		Le graphique donne $\mu=1$ et la partie grisée est symétrique par rapport à l'axe déquation $x=\mu$
		
		on a donc $\mu - 2\sigma=0,6 \iff \sigma = 0,2$
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item À l'occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de $10$~euros d'achats. L'hypermarché affirme que 15\,\% des tickets à gratter sont gagnants, c'est-à-dire donneront droit à un bon d'achat de 5~euros.
	
Amandine a reçu 50 tickets à gratter après un achat de $500$~euros dans cet hypermarché. Deux d'entre eux étaient gagnants.
	
On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu'un échantillon de 50 tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item \surj{L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence}
		
\surj{observée de tickets gagnants  dans un échantillon de $50$~tickets à gratter }
		             
\surj{est [0,051~;~0,249], les bornes étant arrondies au millième.}
		\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de $50$~tickets à gratter est [0,100~;~0,200], les bornes étant arrondies au millième.
		\item La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est $\dfrac{50}{500}$.
		\item Amandine peut annoncer avec un risque de 5\,\% que l'affirmation de l'hypermarché n'est pas mensongère.
		
		
		\begin{solution}
		La fréquence théorique de tickets gagnants est $p=0,15$ et l'échantillon est de taille $n=50$
		
		On a $n\geqslant 30$~,~$np=7,5\geqslant 5$~et ~$n(1-p)=42,5\geqslant 5$ on peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%
		
		$I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] $
		
		Or $p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx 0,051$ et $p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx 0,249$.
		
Finalement $I = [0,051~;~0,249]$.		
		\end{solution}
				
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A : L'accord de Kyoto (1997)}

\medskip

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO$_2$.

En 2011, la France a émis 486 mégatonnes de GES en équivalent CO$_2$ contre 559 mégatonnes en 1990.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans l'accord de Kyoto, la France s'est engagée à réduire ses GES de 8\,\% entre 1990 et 2012.

Peut-on dire qu'en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.

\begin{solution}
Le taux d'évolution entre les années 1990 et 2011 est de 

$\dfrac{486-559}{559}\times 100 \approx - 13$\%

En 2011 la France respectait donc ses engagements.
\end{solution}

\item  Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de 5,6\,\% par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à $0,1$.

\begin{solution}
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5,6\% est 

$c=1-0,056=0,944$.

En 2010, le France avait donc émis $\dfrac{486}{0,944}\approx 514,8$ mégatonnes d'équivalent CO$_2$.
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle}

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2\,\% d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO$_2$.

En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO$_2$ au total.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de CO$_2$ émis dans cette zone industrielle au cours de l'année $2005 + n$.
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_0$ et $u_1$.

\begin{solution}
$u_0$ est le nombre de milliers de tonnes de CO$_2$ émis en 2005 donc 

$u_0=41$

En 2006, une économie de 2\:\% a été faite par rapport à l'année précédente donc une multiplication par $1 - 0,02 = 0,98$, mais l'implantation des nouvelles entreprises génère 0,2 milliers de tonnes d'émission

on a donc $u_1 = 0,98u_0+0,2=40,38$
\end{solution}

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98 \times u_n + 0,2$.

\begin{solution}
Les émissions de l'année 2005$+n$ diminuent de 2\,\% en 1 an donc elles sont multipliées par 0,98 puis on ajoute les 200 tonnes supplémentaires soit 0,2 millier de tonnes

On a donc bien: $\forall n \in \N~,~u_{n+1} = 0,98u_n + 0,2$

\end{solution}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Préciser son premier terme.
		
\begin{solution}
$\forall n \in \N~,~v_{n+1}=u_{n+1}-10=0,98u_n+0,2-10=0,98u_n-9,8=0,98\left(u_n-10 \right) =0,8v_n$
		
$\left(v_n \right)$ est donc géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme 

$v_0=u_0-10=31$
		 
\end{solution}
		
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		
\begin{solution}
$\forall n \in \N~,~v_n=v_0\times q^n=31\times 0,98^n$
\end{solution}		
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 31 \times (0,98)^n + 10$.
		
\begin{solution}
$\forall n \in \N~,~u_n=v_n+10=31\times (0,98)^n+10$
\end{solution}		
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\begin{solution}
$-1<0,98<1$ donc \Lim{n}{+\infty}{(0,98)^n}=0 et par opération sur les limites on a 
\Lim{n}{+\infty}{u_n}=10
\end{solution}		
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.		
		\begin{solution}
Cette limite signifie qu'à long terme les émissions de GES vont se stabiliser aux environs de 10 milliers de tonnes.
\end{solution}		
	\end{enumerate}
\item  À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$, par rapport à l'année 2005.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de l'algorithme.

\begin{solution}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
1& Variables\\
2&\quad $U$ est du type nombre\\
3&\quad  $n$ est du type nombre entier\\
4& Début Algorithme\\
5&\quad  $U$ prend la valeur $41$\\
6&\quad  $n$ prend la valeur $0$\\
7&\quad  Tant que ({\red $U > 20,5$} ) faire\\
8&\quad \quad  Début Tant que\\
9&\quad \quad  $U$ prend la valeur {\red $0,98U+0,2$}\\
10&\quad \quad  $n$ prend la valeur $n + 1$\\
11&\quad \quad  Fin Tant que\\
12&\quad  Afficher $n$\\
13& Fin Algorithme\\ \hline
\end{tabularx}
\end{solution}
\item L'algorithme affiche 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\begin{solution}
Il faudra donc attendre 54 ans, donc l'année 2059, pour que les émissions de GES aient diminué de moitié dans la zone industrielle par rapport à 2015
\end{solution}	
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\emph{Notations :}

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.

Si $A$ et $B$ sont deux évènements, on note $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

\smallskip

\emph{Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième}

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
Une agence Pôle Emploi étudie l'ensemble des demandeurs d'emploi selon deux critères, le sexe et l'expérience professionnelle.

Cette étude montre que :
\end{minipage}

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 52\,\% des demandeurs d'emploi sont des femmes et 48\,\% sont des hommes ;
\item[$\bullet~~$] 18\,\% des demandeurs d'emploi sont sans expérience et les autres sont avec expérience;
\item[$\bullet~~$]parmi les hommes qui sont demandeurs d'emploi, on sait que 17,5\,\% sont sans expérience.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On prélève au hasard la fiche d'un demandeur d'emploi de cette agence. On note:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$S$ : l'évènement \og le demandeur d'emploi est sans expérience \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$F$ : l'évènement \og le demandeur d'emploi est une femme \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser $p(S)$ et $p_{\overline{F}}(S)$.
\begin{solution}
$p(S) = 0,18$ car 18\,\% des demandeurs d'emploi sont sans expérience.

$p_{\overline{F}}(S)=0,175$ car parmi les hommes demandeurs d'emploi, on sait que 17,5\,\% sont sans expérience.
\end{solution}

\item Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

\begin{solution}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$} \naput{\red 0,52}}
	{\TR{$S$}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{F}$} \nbput{\red 0,48}}
	{\TR{$S$}\naput{\red 0,175}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\blue 0,825}
	}
}
\end{center}
\end{solution}

\item Démontrer que $p\left(\overline{F} \cap S\right) = 0,084$. Interpréter le résultat.

\begin{solution}

$p\left(\overline{F} \cap S\right)=p\left( \overline{F}\right) \times p_{\overline{F}}(S)=0,48 \times 0,175 = 0,084$

Il s'agit de la probabilité que la fiche prélevée au hasard concerne un homme sans expérience
\end{solution}

\item La fiche prélevée est celle d'un demandeur d'emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.

\begin{solution}
On cherche $p_S\left(\overline{F} \right)$

$p_S\left(\overline{F} \right)=\dfrac{p\left(\overline{F} \cap S \right) }{p\left(p(S) \right) }=\dfrac{0,084}{0,18}\dfrac{7}{15}\approx 0,467$ 
\end{solution}
\item Sachant que la fiche prélevée est celle d'une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d'un demandeur d'emploi sans expérience.

\begin{solution}
On cherche $p_F\left(S \right)$

$F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers donc $P(S)=p\left(F \cap S \right)+p\left(\overline{F} \cap S \right)$ d'après les probabilités totales

d'où $p\left(F \cap S \right)=0,18-0,084=0,096$ soit $p_F\left(S \right)\times p(F)=0,096$

Finalement $p_F\left(S \right)=\dfrac{0,096}{0,52}\approx 0,185$
\end{solution}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La responsable de l'agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d'emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d'emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d'emploi sans expérience.

\begin{solution}
On répète $n = 5$ fois de manière indépendante une expérience n'ayant que deux issues dont la probabilité de succès est $p = p(S) = 0,18$

Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès parmi ces 5 expériences alors $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p = 0,18$

On cherche $p(X\geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0,82^5 ~\approx 0,629$
 
\end{solution}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays.

En 2015, l'opérateur Alpha possède 30\,\% du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l'opérateur Bravo.

On étudie l'évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l'un ou l'autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l'opérateur Alpha soit chez l'opérateur Bravo.

On estime que, chaque année :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 12\,\% des abonnés de l'opérateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l'opérateur Bravo.
\item[$\bullet~~$] 86\,\% des abonnés de l'opérateur Bravo lui restent fidèles, les autres le quittent pour l'opérateur Alpha.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On modélise cette situation par un graphe probabiliste à deux sommets Alpha et Bravo :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ est l'évènement: \og l'abonné est chez l'opérateur Alpha \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ est l'évènement: \og l'abonné est chez l'opérateur Bravo \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner ce graphe probabiliste.


\begin{solution}

\hspace*{3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2)
\Rnode{A}{$A$} \hskip 4cm \Rnode{B}{$B$}		%définition des sommets
\psset{nodesep=4pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}	%paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,12}					%arc
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,14}					%arc
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,88}	%boucle
\nccircle[angleA=-90]{<-}{B}{.4cm} \Bput{0,86}	%boucle 
\end{pspicture}

\end{solution}

\newpage
On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est : $M = \begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}$.

On note pour tout entier naturel $n$ :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Alpha l'année $2015 + n$ ;
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Bravo l'année $2015 + n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2015 + n$.
\item Donner $a_0$ et $b_0$.

\begin{solution}
$a_0 = 0,3$ et $b_0 = 0,7$ car en 2015, l'opérateur Alpha possède 30\,\% du marché et le reste appartient à l'opérateur Bravo
\end{solution}

\item Montrer qu'en 2018, il y aura environ 44,2\,\% des abonnés chez l'opérateur Alpha.

\begin{solution}
On cherche $a_3$ car $2018 = 2015 + 3$

$P_3 = P_0\times M^3$ soit $P_3\approx \begin{pmatrix}
\np{0,4418}&\np{0,5582}
\end{pmatrix}$

On a donc bien $a_3\approx 0,442$ 
\end{solution}

\item Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l'ensemble des abonnés sur le long terme. On note $P = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ l'état stable de la répartition des abonnés.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont solutions du système 
		
		$\left\{\begin{array}{l c l}
0,12x - 0,14y &= &0\\
		x + y &=& 1.
		\end{array}\right.$
		
		\begin{solution}
		L'état $P = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ est l'état stable si et seulement si $PM=P$ et $x+y=1$
		
		$PM=P \equi \begin{cases}
		0,88x+0,14y=x\\0,12x+0,86y=y
		\end{cases} \equi \begin{cases}
		-0,12x+0,14y=0\\0,12x-0,14y=0
		\end{cases} \equi $
		
		$0,12x-0,14y=0$
		
		Finalement $P= \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ est l'état stable si et seulement si $\begin{cases}
		0,12x-0,14y=0\\x+y=1
		\end{cases}$
		\end{solution}
		
		\item Résoudre le système précédent dans l'ensemble des réels.
		
		\begin{solution}
		
		$\begin{cases}
				0,12x-0,14y=0\\x+y=1
				\end{cases} \equi
				\begin{cases} 0,12x-0,14(1-x)=0\\y=1-x
				\end{cases} \equi \begin{cases}
				x=\dfrac{7}{13}\\ \\y=\dfrac{6}{13}
				\end{cases}$
		\end{solution}
		
		\item Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d'un grand nombre d'années. Arrondir les pourcentages à 0,1\,\%.
		
		\begin{solution}
		Au bout d'un grand nombre d'années la répartition des abonnés sera $\dfrac{7}{13} \approx 0,538$ soit 53,8\% pour l'opérateur Alpha et 46,2\% pour Bravo.
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un opérateur français doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I à l'approche de la saison touristique. À ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.

Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées.

L'opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.

Dans le graphe ci-dessous :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les sommets représentent les stations de ski;
\item[$\bullet~~$] les arêtes représentent les différents tronçons qu'il est possible de déployer;
\item[$\bullet~~$] le poids de chaque arête correspond au coût associé, en milliers d'euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.2,7.5)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0.5,5){A}{A} \cnodeput(0.5,7){B}{B} 
\cnodeput(4.5,6){C}{C} \cnodeput(6.8,4){D}{D}
\cnodeput(6,1.8){E}{E} \cnodeput(2,1){F}{F}
\cnodeput(0.5,0.5){G}{G}\cnodeput(1.3,2.5){H}{H}
\cnodeput(3,4){I}{I}
\ncarc{A}{B}\ncput*{5}\ncarc{A}{C}\ncput*{25}
\ncarc{B}{C}\ncput*{30}\ncarc{C}{D}\ncput*{20}
\ncarc{D}{E}\ncput*{20}\ncarc{D}{I}\ncput*{15}
\ncarc{E}{I}\ncput*{15}\ncarc{E}{F}\ncput*{20}
\ncarc{F}{G}\ncput*{5}\ncarc{F}{H}\ncput*{10}
\ncarc{G}{H}\ncput*{20}\ncarc{H}{I}\ncput*{20}
\ncarc{A}{I}\ncput*{15}\ncarc{A}{H}\ncput*{10}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G.

\begin{solution}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Départ-Sommet & C & A & B & D & E & F & H & I & G \\ \hline 
C & \surj{0} & 25,C & 30,C & 20,C & $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ \\ \hline 
D(C) &  & 25,C & 30,C & \surj{20,C} & 40,D & $+\infty$ & $+\infty$ & 35,D & $+\infty$ \\ \hline 
		A(C) &  & \surj{25,C} & 30,C &  & 40,D & $+\infty$ & \sout{$+\infty$} & 35,D & $+\infty$ \\ 
		  &  &  & 30,A  &  &  &  & 35,A  & \sout{40,A} & \\ 
		
		\hline B(A-C) &  &  & \surj{30,A-C} &  & 40,D & \sout{$+\infty$} & \surj{35,A} & 35,D & $+\infty$ \\ 
				
		\hline H(A) &  &  &  &  & 40,D & \sout{$+\infty$}  &35,A  & 35,D & \sout{$+\infty$} \\ 
		  &  &  &  &  &  & 45,H &  & \sout{55,H} &55,H \\ 
		
		\hline I(D) &  &  &  &  & 40,D & 45,H &  & \surj{35,D} & 55,H \\ 
		  &  &  &  &  & \sout{50,I} &  &  &  & \\ 
		
		\hline E(D) &  &  &  &  & \surj{40,D} & 45,H &  &  & 55,H  \\
		 & & & & & & \sout{60,E}& &  & \\
		 
		\hline F(H) &  &  &  &  &  & \surj{45,H} &  &  & \sout{55,H}  \\ 
		 & & & & & & & &  &\surj{50,F} \\
		 
		\hline
		\end{tabularx} 
		
		\vspace{0,3cm}
		
		Le tracé le moins cher entre les stations $C$ et $G$ est donc \surj{	$C \longrightarrow A \longrightarrow H \longrightarrow F \longrightarrow G$ } 		
		
\end{solution}

\item Déterminer, en milliers d'euros, le coût de ce tracé.

\begin{solution}
Ce tracé coûte \np{50000} \euro
\end{solution}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties sont liées}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par 

\[f(x) =  \dfrac{1}{0,5 + 100\text{e}^{-x}}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~10].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ dans l'intervalle [0~;~10], on a 

\[f'(x) =  \dfrac{100\text{e}^{-x}}{\left(0,5 + 100\text{e}^{-x} \right)^2}.\]


\begin{solution}
$f$ est l'inverse d'une fonction dérivable et non nulle sur $[0~;~10]$ donc $f$ est dérivable sur $[0~;~10]$

$f=\dfrac{1}{u} \Longrightarrow f'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x)=0,5+100\text{e}^{-x}$ et $u'(x)=-100\text{e}^{-x}$

Finalement $\forall x \in [0~;~10]~,~f'(x) =  \dfrac{100\text{e}^{-x}}{\left(0,5 + 100\text{e}^{-x} \right)^2}$

\end{solution}

On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur l'intervalle [0~;~10].

Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de $f''(x)$ :

\[f''(x) = \dfrac{100\text{e}^{-x}\left(100\text{e}^{-x} - 0,5\right)}{\left(0,5 + 100\text{e}^{-x} \right)^3}.\]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, dans l'intervalle [0~;~10], l'inéquation $100\text{e}^{-x} - 0,5 \geqslant 0$ est équivalente à l'inéquation 
		
$x \leqslant  - \ln(0,005)$.
		
		\begin{solution}
		
$100\text{e}^{-x} - 0,5 \geqslant 0 \equi 100\text{e}^{-x}  \geqslant 0,5 $
		
$\hphantom{100\text{e}^{-x} - 0,5 \geqslant 0}\equi \text{e}^{-x}  \geqslant 0,005 $
		
$\hphantom{100\text{e}^{-x} - 0,5 \geqslant 0}\equi \text{e}^{x}  \leqslant \dfrac{1}{0,005} $
		
$\hphantom{100\text{e}^{-x} - 0,5 \geqslant 0}\equi x  \leqslant \ln\left( \dfrac{1}{0,005}\right)  $
		
$\hphantom{100\text{e}^{-x} - 0,5 \geqslant 0}\equi x  \leqslant -\ln\left( 0,005\right)  $
		\end{solution}
		
		\item En déduire le tableau de signes de la fonction $f''$ sur l'intervalle [0~;~10].
		
		\begin{solution}
		$f''(x)$ est du signe de $100\text{e}^{-x} - 0,5$ sur $[0~;~10]$ car 
		
		$\dfrac{100\text{e}^{-x}}{\left(0,5 + 100\text{e}^{-x} \right)^3} > 0$ sur $[0~;~10]$ 
		
		$-\ln\left( 0,005\right)=\ln(200)\approx 5,3$
		
		On en déduit le signe de $f''(x)$ sur $[0~;~10]$:
		
\begin{center}
				\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,1)
				\psframe(9,1)\psline(0,0.5)(9,0.5)\psline(1,0)(1,1)
				\uput[u](0.5,0.4){$x$} \uput[u](1.4,0.4){$0$} \uput[u](5,0.4){$\ln(200)$} \uput[u](8.5,0.4){$10$} 
				\rput(0.5,0.25){$f''(x)$}\rput(2.5,0.25){+} \rput(5,0.25){0}\rput(7,0.25){-}	\end{pspicture}
\end{center}
	\end{solution}		
 	\end{enumerate}
 	
\newpage
\item  On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ tracée dans un repère.
	
Montrer, à l'aide de la question 2, que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l'abscisse.

\begin{solution}
La dérivée seconde de $f$ s'annule et change de signe en $x = \ln(200)$ donc $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion en I d'abscisse $x_I=\ln(200)$
\end{solution}

\item  En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.

\begin{solution}
Une fonction $f$ est dite concave sur un intervalle si sa dérivée est décroissante sur cet intervalle autrement dit si sa dérivée seconde est négative.

On en déduit que $f$ est concave sur $\left[\ln(200)~;~10\right]$
 
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés \degres C}

\medskip

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays.

Cet accord confirme l'objectif, d'ici l'année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2\degres C la température de l'année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction $f$ de la partie A, une évolution de température possible permettant d'atteindre l'objectif de l'accord de Paris.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction 
est tracée ci-dessous, et I est son point d'inflexion.

Sur l'axe des abscisses, l'année 1900 correspond à 0 et une unité représente $25$~ans, donc l'année 1925 correspond à 1.

Sur l'axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.2)(10,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=4](0,0)(10,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(10,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{1 0.5 100 2.71828 x exp div add div}
\uput[r](0,2.9){Nombre de \degres C au-dessus de la température de 1900}
\uput[u](9,0){Rangs des années}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(10)$, en arrondissant le résultat au centième.
		
\begin{solution}
		$f(10)=\dfrac{1}{0,5 + 100\text{e}^{-10}}\approx 1,98$.
\end{solution}
		
		\item En déduire qu'en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.
		
		\begin{solution}
		$2150 = 1900+250 = 1900 + 10\times 25$ donc l'année 2150 correspond à l'abscisse 10.
		
		On en déduit qu'en 2150 l'objectif sera respecté d'après ce modèle.
		\end{solution}		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la partie A, déterminer l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. Arrondir le résultat à l'unité.
		
		\begin{solution}
On a $x_I=\ln(200)\approx 5,30$
		
$5,30 \times 25 =132,5$
		
On peut donc estimer que le point d'inflexion se trouve environ en 2032.
		
		\end{solution}		
		\item Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.
		
		\begin{solution}
		$f\left(x_I \right) =f\left( \ln(200)\right) =\dfrac{1}{0,5+100\times 0,005}=1$
		
		Donc l'augmentation sera de 1° par rapport à 1900.
		\end{solution}
		
 	\end{enumerate}
\item On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d'augmentation du nom\-bre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction $f'$.
	\begin{enumerate}
		\item Est-il vrai de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.
		
		\begin{solution}
Après 2033 la température continue évidemment d'augmenter, il suffit de regarder la courbe! 
		\end{solution}
		
		\item Est-il vrai de dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.
		
		\begin{solution}
On sait que sur $\left[x_I~;~10 \right]$ la fonction est concave et donc sa dérivée est décroissante.
		
On peut donc conclure qu'à partir de 2033, la vitesse du réchauffement climatique diminuera. 
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5\degres C la température de l'année 1900.
	
Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.

\begin{solution}
$f'(x)$ admet un minimum en $x=\ln(200)$ et $f'\left(\ln(200) \right)=0,5$. On en déduit que $f'(x)>0$ sur $[0~;~10]$

$f$ est donc continue et strictement croissante sur $[0~;~10]$ à valeurs dans $[0~;~f(10)]$ or $1,5 \in [0~;~f(10)]$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=1,5 $ admet une solution unique $\alpha$ sur $[0~;~10]$

Par balayage on obtient $6,39 < \alpha < 6,40$ or $6,4 \times 25 = 160$ 

Donc le seuil sera atteint à la fin de 2059, elle l'aura passé en 2060.
\end{solution}
\end{enumerate}
\end{document}