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%%% Tapuscrit Jean-Paul Goalard
%%% Mille remerciements à Philippe Camus pour la surface  %%%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Liban juin 2008},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\begin{center}\section*{\textbf{Corrigé du baccalauréat ES Liban mai 2008}}\end{center}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[- 4~;~6]$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
%
%La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal est tracée ci-dessous ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. La courbe $\Gamma$ et la droite $\Delta$ se coupent au point E d'abscisse 2. On sait par ailleurs que :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  la courbe $\Gamma$ admet des tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points B$(-2~;~6,5)$ et C(1~;~1,75),
%\item la droite (EF) est la tangente à la courbe $\Gamma$ au point E ; F est le point de coordonnées (4~;~3) 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-1)(6,7)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,griddots=15,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-5,0)(6,7)%grille
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot{-1}{6}{x}
\psplot{-3}{6}{0.5*x+1}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4}{-2}{-1.625*x^2-6.5*x}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{1}{(19*x^3+28.5*x^2-114*x+161)/54}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{2}{0.25*x^2-0.5*x+2}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{2}{6}{0.075*x^2+0.2*x+1.3}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-2.5,6.5)(-1.5,6.5)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(0.5,1.75)(1.5,1.75)
\uput[u](-2,6.5){B}\uput[u](1,1.75){C}\uput[u](5,5){$\Delta$}\uput[d](6,5){$\Gamma$}\uput[d](4,3){F}\uput[d](2,2){E}
\uput[dr](4,0){G} \uput[dl](2,0){H}
%\pspolygon[linecolor=cyan](2,0)(2,2)(3,2)(3,2.5)(3.5,2.5)(3.5,3)(4,3)(4,0)
\psline[linecolor=red](2,0)(2,2)(2,2.5)(3,2.5)(3,3)(3,3.5)(4,3.5)(4,0)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,0)(6,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, déterminer par lecture graphique et sans justification :
	\begin{enumerate}
		\item %les valeurs de $f'(-2)$ et $f'(2)$ ;
En $- 2$ la tangente est horizontale : $f'(- 2) = 0$.

En $2$ le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente (EF) ; 

$f'(2) = \dfrac{3 - 2}{4 - 2} = \dfrac{1}{2}$.
		\item %les valeurs de $x$ dans l'intervalle [- 4~;~6] vérifiant $f'(x)\geqslant  0$ ;
La fonction est croissante sur $[- 4~;~- 2]$ puis sur [1~;~4].
		\item %les valeurs de $x$ dans l'intervalle [- 4~;~6] vérifiant $f(x)\leqslant x$.
La courbe $\Gamma$ est sous la droite $\Delta$ sur l'intervalle ]2~;~6] 
	\end{enumerate}
\item %Soit $g$ la fonction définie sur ]- 4~;~6] par $g(x) = \ln[f(x)]$. Déterminer par lecture graphique et avec justification :
	\begin{enumerate}
		\item %les variations de g ;
La fonction $\ln$ est croissante, donc la fonction $g$ a les mêmes variations que la fonction $f$. 
		\item %la limite de la fonction $g$ quand $x$ tend vers $- 4$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - 4} f(x) = 0$, donc par composition  $\displaystyle\lim_{x \to - 4} g(x) = - \infty$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Encadrement d'une intégrale}

%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche. même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\begin{enumerate}
		\item %Soit l'intégrale $I = \displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x$. Interpréter graphiquement $I$.
		Sur l'intervalle [2~;~4] la fonction $f$ est positive donc l'aire de la surface limitée par $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 4$ est égale (en unités d'aire à l'intégrale $\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x$
		\item %Proposer un encadrement de l'intégrale $I$ par deux nombres entiers consécutifs. Justifier.
L'aire du trapèze EFGH est égale à : $\dfrac{2 + 3}{2}\times 2 = 5$ : elle est inférieure à $I$

Dans le polygone rouge  il y a  24 petits carreaux soit 6 unités d'aire, don c:

$5 < I < 6$ en unités d'aire.		 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Un club de remise en forme propose, outre l'accès aux salles de musculation, des cours collectifs pour lesquels un supplément est demandé lors de l'inscription. Une fiche identifie chaque membre et son type d'abonnement : avec ou sans cours collectif.
%
%Une étude sur les profils des membres de ce club a montré que :
%
%40\,\% des membres sont des hommes.
%
%65\,\% des membres sont inscrits aux cours collectifs.
%
%Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5\,\% ne sont pas inscrites aux cours collectifs.
%
%On choisit une fiche au hasard et on considère les évènements suivants :
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item H : \og la fiche est celle d'un homme \fg, 
%
%\item F : \og la fiche est celle d'une femme \fg, 
%
%\item C : \og la fiche est celle d'un membre inscrit à des cours collectifs \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%Rappel de notation : Si A et B sont deux évènements donnés, $p$(A) désigne la probabilité de A et $p_{\text{B}}(\text{A})$ désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Donner les probabilités suivantes : $p(H)$, $p_{F} (\overline{\text{C}})$, $p_{\text{F}} (\text{C})$ et les reporter sur un arbre pondéré modélisant la situation qui sera complété au cours de la résolution de l'exercice.
$p(H) = 0,4$, \: $p_{F}\left(\overline{C}\right) = 1 - 0,95 = 0,05$ et  $p_{F} (C) = 0,95$.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$~}\taput{0,4}}
	{\TR{$C$}\taput{\red 0,2}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{\red 0,8}
	}
\pstree{\TR{$F$~}\tbput{0,6}}
	{\TR{$C$}\taput{0,95}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{0,05}
	}
}
\end{center}
\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $p(F \cap C)$.
$p(F \cap C) = p(F) \times p_F(C) = 0,6 \times 0,95 = 0,57$.
		\item %Montrer que $p(H\cap C) = 0,08$.
On sait que $p(C) = 0,65$, mais d'après la loi des probabilités totales :

$p(C) = p(C \cap H) + p(C \cap F) \iff 0,65 = p(C \cap H) + 0,57 \iff p(C \cap H) = 0,65 - 0,57 = 0,08$.
		\item %On tire la fiche d'un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours collectifs ?
		Il faut trouver $p_H(C) = \dfrac{p(H \cap C)}{p(H)} = \dfrac{0,08}{0,4} = \dfrac{1}{5} = 0,2$. 
		\item %Compléter l'arbre pondéré de la question 1.
Voir l'arbre. 
	\end{enumerate}
\item %On choisit au hasard une fiche d'un membre non inscrit aux cours collectifs. Quelle est la probabilité que ce soit celle d'un homme ? (donner la valeur décimale arrondie au centième).
On a $p\left(\overline{C} \right) = 1 - 0,65 = 0,35$.

Donc $p_{\overline{C}}(H) = \dfrac{p\left(\overline{C} \cap H\right)}{p\left(\overline{C} \right)}  = \dfrac{0,4 \times 0,8}{0,35} = \dfrac{0,32}{0,35} = \dfrac{32}{35}\approx 0,91$.
\item %Pour vérifier la bonne tenue de son fichier, la personne chargée de la gestion de ce club prélève une fiche au hasard et la remet après consultation. Elle procède ainsi trois fois de suite. Quelle est la probabilité qu'au moins une des fiches soit celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs ?
La variable aléatoire égale au nombre de personnes non inscrites aux cours collectifs suit une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et de probabilité $p = p\left(\overline{C} \right) = 0,35$.

La probabilité que toutes les fiches soient celles de membres inscrits aux cours collectifs est égale à : $(1 - 0,35)^3$.

Donc la probabilité qu'une personne au moins  soit celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs est égale à $1 - 0,65^3 = \np{0,725375} \approx 0,73$ au centième près. 
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\emph{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

%Une consommatrice apprécie deux types de fruits $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$. En un mois, elle achète $x$ kilos de fruits
%$\mathcal{A}$ et $y$ kilos de fruits $\mathcal{B}$ ; $x$ et $y$ appartiennent à l'intervalle [1 ; 10].
%
%Son niveau de satisfaction est modélisé par la relation $f(x ~;~ y) = \ln y + 2 \ln x$.
%
%La figure ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la surface d'équation $z = f(x ~;~ y)$ pour $1 \leqslant x	 \leqslant 10$ et $1 \leqslant y	 \leqslant 10$.
%
%\medskip

% Figure pour l'exo de sp\'e Liban ES 2008
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(15,11)
%\SpecialCoor
\psset{Beta=25,Alpha=170}
%\psset{Beta=90,Alpha=180}% pour tests
\pstThreeDCoor[xMin=1,yMin=1,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=7,drawing=false] 
\pstThreeDPut(5,0,-1){$y$} \pstThreeDPut(11,5,0){$x$}
\pstThreeDPut(0,0,3){$z$}
%boite
\pstThreeDLine(1,10,0)(1,10,7)
\multido{\n=1+1}{10}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.4){\n}}
%\multido{\n=0+2}{9}{\fpMul{\z}{\n}{50}\pstThreeDPut(-1,0,\n){\z}}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDPut(0.4,0.5,\n){\n}}
\multido{\n=1+2}{5}{\pstThreeDPut(10.4,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine(1,1,\n)(1,10,\n)(10,10,\n)}
\multido{\n=1+1}{10}{\pstThreeDLine(\n,1,0)(\n,10,0)(\n,10,7)}
\multido{\n=1+1}{10}{\pstThreeDLine(10,\n,0)(1,\n,0)(1,\n,7)}
%courbes de niveaux 
%z=0-1
\newgray{gris}{0.45}
\parametricplotThreeD(1,10){t 1 t ln}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1,10){t 1 t ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1,10){10 t t ln 2 mul 10 ln add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,1){t 10 t ln 10 ln 2 mul add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,1){1 t t ln 2 mul}}
%1<z<2
\newgray{gris}{0.15}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1,ENeperian){t ENeperian t div sqrt 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](ENeperian,10){t 1 t ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](1,10){10 t t ln 2 mul 10 ln add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,1){t 10 t ln 10 ln 2 mul add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,1.64872){1 t t ln 2 mul}}
%2<x<3
\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](ENeperian,1){ENeperian t div 2 exp t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](7.389056,10){t 1 t ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](1,10){10 t t ln 2 mul 10 ln add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,1){t 10 t ln 10 ln 2 mul add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,ENeperian){1 t t ln 2 mul}
}
%3<z<4
\newgray{gris}{0.65}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1,10){t ENeperian 3 exp t div sqrt 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](1.41723,10){10 t t ln 2 mul 10 ln add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,1){t 10 t ln 10 ln 2 mul add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,4.481689){1 t t ln 2 mul}
}
%4<z<5
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1,10){t ENeperian 2 exp t sqrt div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](2.3366,10){10 t t ln 2 mul 10 ln add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,1){t 10 t ln 10 ln 2 mul add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,7.389056){1 t t ln 2 mul}
}
%5<z<6
\newgray{gris}{0.3}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.4841,10){t ENeperian 5 exp t div sqrt 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](3.85244,10){10 t t ln 2 mul 10 ln add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,1.4841){t 10 t ln 10 ln 2 mul add}
}
%6<z<7
\newgray{gris}{0.15}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.034,10){t ENeperian 6 exp t div sqrt 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](6.3516,10){10 t t ln 2 mul 10 ln add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,4.034){t 10 t ln 10 ln 2 mul add}

}
%surface
\psplotThreeD[plotstyle=curve,drawStyle=xyLines,yPlotpoints=9,xPlotpoints=9,linewidth=0.5pt,plotpoints=1000,linecolor=blue](1,10)(1,10){y ln 2 mul x ln add}
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](13.5,1)(15.5,8)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.45}
\psframe[ fillcolor=gris](13.7,1.5)(14,1.8)  \rput[l](14.5,1.65){0-1}
\newgray{gris}{0.15}
\psframe[ fillcolor=gris](13.7,2.5)(14,2.8)  \rput[l](14.5,2.65){1-2}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](13.7,3.5)(14,3.8)  \rput[l](14.5,3.65){2-3}
\newgray{gris}{0.65}
\psframe[ fillcolor=gris](13.7,4.5)(14,4.8)  \rput[l](14.5,4.65){3-4}
\newgray{gris}{0.45}
\psframe[ fillcolor=gris](13.7,5.5)(14,5.8)  \rput[l](14.5,5.65){4-5}
\newgray{gris}{0.3}
\psframe[ fillcolor=gris](13.7,6.5)(14,6.8)  \rput[l](14.5,6.65){5-6}
\newgray{gris}{0.15}
\psframe[ fillcolor=gris](13.7,7.5)(14,7.8)  \rput[l](14.5,7.65){6-7}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item  %Le point N, d'ordonnée 5 et de cote $\ln 30$, appartient à la surface. Calculer la valeur exacte de son abscisse.
Les coordonnées de N vérifient l'équation :

$f(x ~;~ y) = \ln 30 =  \ln 5 + 2 \ln x \iff \ln 30 - \ln 5 = 2\ln x\iff \ln \frac{30}{5} = 2\ln x \iff \ln 6 = 2\ln x \iff \ln x = \dfrac{1}{2}\ln 6 \iff \ln x \ln \sqrt{6} \iff x = \sqrt{6}$.
\item  %On peut estimer que le kilo de fruits $\mathcal{A}$ coûte~3 euros et que celui de fruits $\mathcal{B}$ coûte 2~euros. La consommatrice décide de ne pas dépenser plus de $36$~euros par mois pour ces fruits.
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner la relation entre les quantités $x$ et $y$ de fruits $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ achetées pour un montant de $36$~euros.
$x$ et $y$ vérifient l'inéquation : $3x + 2y \leqslant 36$.
		\item  %Montrer qu'alors le niveau de satisfaction de la consommatrice est égal à $\ln (18 - 1,5x) + 2 \ln x$.
La relation précédente peut s'écrire :

$3x + 2y \leqslant 36 \iff 2y = 36 - 3x \iff y = 18 - \frac{3}{2}x$.

L'indice de satisfaction est donc une fonction de $x$ :

$f(x~;~x) = z = \ln \left(18 - \frac{3}{2}x\right) 2\ln x = \ln (18 - 1,5x) + 2 \ln x$.
		\item %Démontrer que, sur l'intervalle [1~;~10], la fonction $g$ définie par 
		
%		$g(x) = \ln (18 - 1,5x) + 2\ln x$ admet un maximum pour une valeur $x_{0}$ que l'on précisera.
La fonction $g$ est dérivable sur [1~;~10] et sur cet intervalle :

$g'(x) = \dfrac{- 1,5}{18 - 1,5x} + 2\dfrac{1}{x} = \dfrac{- 1,5x  + 36 - 3x}{x(18 - 1,5x)} = \dfrac{36 - 4,5x}{x(18 - 1,5x)}$.

Or $1 \leqslant x \leqslant 10 \iff 1,5 \leqslant 1,5x \leqslant 15 \iff - 15 \leqslant - 1,5x \leqslant - 1,5 \iff 3 \leqslant 18 - 1,5x \leqslant 16,5$, ce qui montre que le dénominateur de $g'(x)$ est positif. Son signe est donc lui de $36 - 4,5x$.

$\bullet~~$$36 - 4,5x > 0 \iff 36 > 4,5x \iff 8 > x$ : la fonction $g$ est donc croissante sur [1~;~8].

$\bullet~~$$36 - 4,5x < 0 \iff 36 < 4,5x \iff 8 < x$ : la fonction $g$ est donc décroissante sur [8~;~10].

$\bullet~~$$36 - 4,5x = 0 \iff 36 = 4,5x \iff 8 = x$ : la fonction $g$ a donc un maximum $g(8)$ en $x_0 = 8$.
		\item %Quelles quantités de fruits $\mathcal{A}$ et de fruits $\mathcal{B}$ la consommatrice doit-elle acheter dans le mois si elle veut optimiser son niveau de satisfaction tout en respectant sa contrainte de budget ?
Pour un budget de 38~\euro, on a vu que le niveau de satisfaction est maximal pour $x_0 = 8$ ce qui donne compte tenu de la relation $3x_0 + 2y_0 = 36$, \:$y_0 = 18 - 1,5 \times 8 = 18 - 12 = 6$.

Le niveau de satisfaction pour un budget de 36 euros sera maximal en achetant 8 kilos de fruits A et 6 kilos de fruits B.		
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 7 points }

\emph{Commun à tous les candidats }

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction }

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
% 
%\[f(x) = (x + 8)\mathrm{e}^{-0,5x}.\]
%
%On note $f'$ sa fonction dérivée et on admet que, pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, on a : $f'(x) = (- 0,5x - 3)\mathrm{e}^{-0,5x}$. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
On sait que pour tout réel $x$, \:$\text{e}^{-0,5x} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $- 0,5x - 3$.

$\bullet~~$$- 0,5x - 3 > 0 \iff - 3 > 0,5x \iff - 6 > x$ ; la fonction étant définie sur $[0~;~+\infty[$ la fonction n'est pas croissante ;

$\bullet~~$$- 0,5x - 3 < 0 \iff - 3 < 0,5x \iff - 6 < x$ : la fonction est donc décroissante sur $[0~;~+\infty[$ de $f(0) = 8$ à $0 = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$, car $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-0,5x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-0,5x} = 0$.
\item %Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x) = (- 2x - 20)\mathrm{e}^{-0,5x}$ est une primitive de $f$ sur ce même intervalle.
Sur $[0~;~+\infty[$,\:$F$ est dérivable et sur cet intervalle :

$F'(x) = - 2\text{e}^{-0,5x} + (- 2x - 20)\times (- 0,5)\text{e}^{-0,5x} = \text{e}^{-0,5x}(- 2   x + 10) = \text{e}^{-0,5x} =$

$ (x + 8)\text{e}^{-0,5x} = f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item %Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{2}^4 f(x)\text{d}x$ ; on donnera la valeur arrondie à $0,01$ près. 
$I = \displaystyle\int_{2}^4 f(x)\text{d}x = [F(x)]_2^4 = F(4) - F(2) =$

$ (- 2\times 4 - 20)\text{e}^{-0,5\times 4} - \left[(- 2\times 2 - 20)\text{e}^{-0,5\times 2}\right]	 = - 28\text{e}^{- 2}  + 24\text{e}^{- 1} = 24\text{e}^{- 1} - 28\text{e}^{- 1} \approx 5,039 \approx 5,04$ au centième près.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie B : Applications économiques }

\medskip

%La fonction de demande d'un produit informatique est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie A.
%
%Le nombre $f(x)$ représente la quantité demandée, exprimée en milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ centaines d'euros. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'objets demandés, à l'unité près, lorsque le prix unitaire est fixé à $200$~euros.
Le nombre est égal à $f(2) =  (2 + 8)\text{e}^{-0,5\times 2} = 10\text{e}^{-1} \approx \np{3,6788}$ soit \np{3679}objets demandés. 
\item %En utilisant les résultats de la partie A, déterminer la demande moyenne à $10$~objets près, lorsque le prix unitaire est compris entre $200$ et $400$~euros.
On a vu dans la partie A que la fonction $f$ pour primitive la fonction $F$.

La demande moyenne à $10$~objets près, lorsque le prix unitaire est compris entre $200$ et $400$~euros est donc égale à :

$\dfrac{1}{4 - 2}\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}I = \dfrac{1}{2}\left[24\text{e}^{- 1} - 28\text{e}^{- 1} \right] = 12\text{e}^{- 1} - 14\text{e}^{- 1} \approx \np{2520}$~objets.
\item %L'élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix $x$ est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1\,\% de $x$.

%On admet qu'une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par : 

%$E(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}\times  x$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $E(x) = \dfrac{- 0,5x^2 - 3x}{x + 8}$.
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}\times  x = \dfrac{(- 0,5x - 3)\text{e}^{-0,5x}}{(x + 8)\text{e}^{-0,5x}} \times  x = \dfrac{- x (0,5x + 3)}{x + 8} = \dfrac{- 0,5x^2 - 3x}{x + 8}$.
		\item %Déterminer le signe de $E(x)$ sur $[0~;~+\infty[$ et interpréter ce résultat.
		Comme $x > 0$ et $f(x) > 0$, le signe de $E(x)$ est celui de $f'(x)$ ; or on a vu dans la partie A que $f'(x) < 0$ sur $[0~;~+\infty[$, donc $E(x) < 0$ : cela signifie que la demande diminue lorsque le prix augmente.
		\item %Calculer le prix pour lequel l'élasticité est égale à $- 3,5$.
Il faut résoudre l'équation :

$E(x) = - 3,5 \iff \dfrac{- 0,5x^2 - 3x}{x + 8} = - 3,5 \iff - 0,5x^2 - 3x = - 3,5(x + 8) \iff$

$ 0,5x^2 + 3x - 3,5x - 28 = 0 \iff 0,5x^2 - 0,5x - 28 = 0 \iff x^2 - x - 56 = 0$.

Pour cette équation du second degré : $\Delta = 1  + 4 \times 56 = 225 = 15^2 > 0$.

Il y a deux solutions : $x_1 = \dfrac{1 + 15}{2} = 8$ et $x_2 = \dfrac{1 - 15}{2} = - 7$, donc une seule solution positive.

L'élasticité est égale à $- 3,5$ pour un prix unitaire de 800~\euro.

%Comment évolue la demande lorsque le prix passe de $800$ à $808$~euros ?
De 800 à 808 l'augmentation est de 1\,\% donc correspond à l'élasticité pour $x = 8$, donc d'après la question précédente la variation de la demande est égale à $- 3,5\,\%$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hfill 4 points}

\emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne la production d'électricité d'origine nucléaire en France, exprimée en milliards de kWh, entre 1979 et 2004. Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 1975.
% 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année					&1979& 1985&1990&1995&2000&2001&2002&2003&2004\\\hline 
%Rang de l'année $x_{i}$	&4&10&15&20&25&26&27&28&29\\\hline
%Production $y_{i}$&37,9	&213,1&297,9&358,8&395,2&401,3&416,5&420,7& 427,7 \\\hline
%\end{tabularx}\\
%\begin{flushright}\emph{Source: site Internet ministère de l'industrie }\end{flushright}
%\end{center}
%Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :
% 
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.3,yunit=0.01}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(35,600)
%\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=5,Dy=100,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(35,600)
%\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](4,37.9)(10,213.1)(15,297.9)(20,358.8)(25,395.2)(26,401.3)(27,416.5)(28,420.7)(29,427.7)
%\multido{\i=100+100}{5}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\i)(35,\i)}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\medskip

\textbf{{A - Recherche d'un ajustement affine }}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième).
La calculatrice donne après arrondi des coefficients au dixième : $y = 14,1x + 40,8$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %D'après cet ajustement, quelle serait la production d'électricité nucléaire en France en 2005 ?
		2005 correspond au rang $x = 30$, d'où d'après l'ajustement : 
		
		$y = 14,1 \times 30  + 40,8  = 423 + 40,8 = 463,8$.
		\item %En réalité, en 2005, la production d'électricité nucléaire a été de 430 milliards de kWh. Calculer le pourcentage de l'erreur commise par rapport à la valeur réelle, arrondi à $0,1$\,\% près, lorsqu'on utilise la valeur fournie par l'ajustement affine.
L'erreur en pourcentage est égale à :

$\dfrac{463,8 - 430}{430} \times 100 = \dfrac{33,8}{430}\times 100 = \dfrac{\np{3380}}{430} \approx 7,86$, soit au dixième près 7,9\,\%. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B - Un autre modèle}

\medskip

%Compte tenu de l'allure du nuage de points, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d'électricité nucléaire par la fonction $f$ définie pour tout $x$ de $[4~;~+\infty[$ par : 
%
%\[f(x) = 197 \ln x - 237.\] 

\begin{enumerate}
\item %Calculer la production d'électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l'année 2005. Quelle conclusion peut-on en tirer ?
2005 correspond au rang $x = 30$ d'où d'après l'ajustement logarithmique :

$f(30) = 197 \ln 30 - 237 \approx 433,036$ soit 433,0 au dixième près.

Cet ajustement semble meilleur. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans $[4~;~+ \infty[$ l'inéquation $f(x)\geqslant 460$.
$f(x)\geqslant 460 \iff 197 \ln x - 237 \geqslant 460 \iff 197 \ln x \geqslant 697 \iff \ln x \geqslant \dfrac{697}{197} \iff x \geqslant \text{e}^{\frac{697}{197}}$.

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\left[\text{e}^{\frac{697}{197}}~;~+ \infty \right[$.
		\item %Avec ce modèle, en quelle année peut-on prévoir que la production d'énergie nucléaire dépassera 460 milliards de kWh ?
		Le plus petit naturel $n$ tel que $f(n) \geqslant 460$ est donc le plus petit naturel de l'intervalle précédent soit $n = 35$ (car  $\text{e}^{\frac{697}{197}} \approx \np{34,4005}$) qui correspond à l'année 2010. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}