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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Liban mai 2006 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats} 

\medskip

%La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]-1~;~+ \infty[$. On sait que la fonction $f$ est croissante sur $]-1~;~ 1]$ et sur $[3~;~+ \infty[$ et que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
%
%\begin{center}
%
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture*}(-2,-2)(5,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(-2,-2)(5,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(5,3)
%\psline{<->}(-0.666,-1)(0.666,3)
%\psline(3.2,-2)(5.2,3)
%\psline{<->}(0.5,2)(1.5,2)
%\psline{<->}(2.5,-1)(3.5,-1)
%%\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.45,-2)(-0.38,-1)(-0.24,0)(0,1)(0.23,1.5)(1,2)(1.5,1.53)(2,0.47)(2.2,0)(2.5,-0.55)(3,-1)(3.5,-0.42)(3.7,0)(4,0.6)(4.5,1.7)(5,2.8)
%\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=red}
%\psbezier(-.46,-2)(-.4,-1)(-.25,.25)(0,1)
%\psbezier(0,1)(.2,1.6)(.6,2)(1,2)
%\psbezier(1,2)(1.9,2)(2.2,-1)(3,-1)
%\psbezier(3,-1)(3.4,-1)(3.6,-.5)(5.15,3)
%\uput[l](-0.5,-1.75){\red $\mathcal{C}$}
%\uput[r](3.4,-1.6){$\mathcal{D}$}
%\end{pspicture*}
%
%\end{center} 

\textbf{I. Étude graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

%\emph{Chaque question comporte trois affirmations, une seule des trois est exacte. Indiquer sur
%votre copie le numéro de la question et recopier l'affirmation exacte sans justifier votre
%choix. Une bonne réponse rapporte} 0,5 \emph{point ; une mauvaise réponse retire} 0,25 \emph{point ; l'absence de réponse donne} 0 \emph{point.}
\begin{enumerate}
\item  Une asymptote à $\mathcal{C}$ est la droite d'équation : $x = - 1$.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%$\bullet \quad  y = - 1$& $\bullet \quad x = 1$& $\bullet \quad x = - 1$\\
%\end{tabularx}
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour équation : $y = \dfrac{5}{2}x  - 10$.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%$\bullet \quad y = \dfrac{5}{2}x  - 10$ & $\bullet \quad y = \dfrac{5}{2}x - 9$  & $\bullet \quad y =3x -10$\\
%\end{tabularx}

\item Le nombre dérivé de $f$ en $0$ est : $f’(0) = 3$.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%$\bullet \quad 1 $& $\bullet \quad 3$ & $\bullet \quad - 3$\\
%\end{tabularx}

\item Le nombre de solutions de l'équation $f (x) =0$ sur $]-1~;~+ \infty[$ est : $3$.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%$\bullet \quad 2$ & $\bullet \quad 1 $& $\bullet \quad 3$\\
%\end{tabularx}

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{II. Étude d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

%On note $g$ la fonction définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par $g(x) = \text{exp}[f(x)]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to+ \infty} g(x)$, puis $\displaystyle\lim_{x \to - 1} g(x)$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to+ \infty} f(x) = + \infty, \: \displaystyle\lim_{x \to+ \infty} \text{exp}[f(x)] = + \infty$.
\item %Étudier les variations de $g$ sur $]-1~;~+ \infty[$ et en dresser le tableau de variations.
La fonction exponentielle étant croissante sur $]- 1~;~+ \infty[$, les variations de $g$ sont celles de $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)
\psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.2,1.9){$- 1$} \uput[u](3,1.9){$1$} \uput[u](5,1.9){$3$} \uput[u](6.5,1.9){$+ \infty$}\rput(0.5,1){$g(x)$}
\psline{->}(1.5,0.5)(2.5,1.5)
\psline{->}(3.5,1.5)(4.5,0.5)
\psline{->}(5.5,0.5)(6.5,1.5) 
\uput[u](1.5,0){$0$}\uput[d](3,2){$\text{e}^{2}$}
\uput[u](5,0){$\text{e}^{- 1}$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Déterminer $g'(1)$ et $g'(0)$.
Comme $g(x) = \text{e}^{f(x)}$, alors $g’(x) = f’(x)\text{e}^{f(x)}$. D’où :

$\bullet~~$$g’(1) = f’(1)g(1) = 0 \times \text{e}^2 =  0$. 

$\bullet~~$$g’(0) = f’(0)g(0) = 3 \times \text{e}^1 =  3  \text{e}$. 
\item %Déterminer, avec la précision permise par le graphique, l'ensemble des solutions sur $]-1~ ;~+ \infty[$ de l'inéquation $g(x) \leqslant \text{e}^2$..
On a par croissance de la fonction exponentielle :

$g(x) \leqslant \text{e}^2 \iff \text{e}^{f(x)} \leqslant \text{e}^2 \iff f(x) \leqslant 2 $. Sur la figure donnée on voit que les réels solutions sont ceux de l’intervalle $]- 1~;~4,7]$ approximativement
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\textbf{La question 6 peut être traitée indépendamment des 5 autres.}
%
%\emph{Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}
%
%Un pépiniériste conditionne un mélange de 400 bulbes de fleurs composé de trois variétés :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 100 bulbes d’anémones
%\item[$\bullet~$] 180 bulbes de bégonias
%\item[$\bullet~$] 120 bulbes de crocus.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On conviendra qu'un bulbe germe s'il donne naissance à une plante qui fleurit.
%
%Après avoir planté tous les bulbes et observé leur floraison, on constate que :
%
%83\,\% des bulbes germent.
%
%50\,\% des bulbes d’anémones germent.
%
%90\,\% des bulbes de bégonias germent.
%
%On note les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item $A$ : \og le bulbe planté est un bulbe d’anémone. \fg{}
%\item $B$ : \og le bulbe planté est un bulbe de bégonias. \fg{}
%\item $C$ : \og le bulbe planté est un bulbe de crocus. \fg{}
%\item $G$ : \og le bulbe planté germe. \fg{}
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
\begin{center}
Arbre de probabilités

\medskip

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,25}}
	{\TR{$G$}\taput{0,5}
	\TR{$\overline{G}$}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\taput{0,45}}
	{\TR{$G$}\taput{0,9}
	\TR{$\overline{G}$}
	}
\pstree{\TR{$C$~}\tbput{0,3}}
	{\TR{$G$}
	\TR{$\overline{G}$}
	}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  %Donner les probabilités conditionnelles  $P_{A}(G), \:P_{B}(G)$ et la probabilité $P(G)$.
D’après l’énoncé : $P_{A}(G) = 0,5, \:P_{B}(G) = 0,9$ et  $P(G) = 0,83$.
\item %Quelle est la probabilité qu'un bulbe planté soit un bulbe d’anémone qui germe ?
On a $P(A \cap G) = P(A) \times P_A(G) = 0,25 \times 0,5 = 0,125$.
\item %Quelle est la probabilité que le bulbe planté soit un bulbe qui germe ou soit un bulbe de bégonias ?
$P(G \cup B) = P(G) + P(B)  - P(G \cap B)$

Or $P(G \cap B) = P(B \cap G) = P(B) \times P_B(G) = 0,45 \times 0,9 = 0,405$.

Donc $P(G \cup B) = 0,83 + 0,45  - 0,405 = 0,875$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité conditionnelle $P_{C}(G)$.
D’après la loi des probabilités totales :

$P(G) = P(A \cap G) + P(B \cap G) + P(C \cap G) \iff 0,83 = $

$0,125 + 0,405 + P(C \cap G) \iff P(C \cap G) = 0,83 - 0,53 = 0,3$.

Or $P(C \cap G) = P(C) \times P_C(G)  \iff 0,3 = 0,3 \times P_C(G) \iff  = P_C(G) = 1.$ 
		\item  %Que peut-on en déduire ?
On peut dire que tous les crocus ont germé.
	\end{enumerate}
\item %On considère un bulbe ayant germé. Quelle est la probabilité que ce soit un bulbe de crocus ?
Il faut trouver $P_G(C) = \dfrac{P(G \cap C)}{P(G)}  = \dfrac{0,3}{0,83} \approx \np{0,3614}$ soit $0,361$ au millième près.
\item %On considère à présent que le pépiniériste dispose d'un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu'un bulbe germe est de $0,83$. Il prélève au hasard successivement trois bulbes de ce stock. Quelle est la probabilité qu'au moins un des trois bulbes choisis germe ?
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = 0,83$.

La probabilité qu’aucun bulbe ne germe est : $0,83^0 \times (1 - 0,83)^3 \approx \np{0,0049}$ soit 0,005 au millième près.

La probabilité qu'au moins un des trois bulbes choisis germe est donc égale à $1 - 0,005 = 0,995$.
\end{enumerate}

%\textbf{Remarques :}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.
%\item On rappelle la formule des probabilités totales :
%si $A_{1}$, \:$A_{2}$,\: \ldots A$_{n}$, forment une partition de l'univers, alors la probabilité d'un évènement quelconque $E$ est donnée par :  $p(E) = p(A_{1} \cap  E) +  p(A_{2} \cap  E) + \ldots + p(A_{n} \cap  E)$.
%\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi  l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  ~%Dans un parc, il y a cinq bancs reliés entre eux par des allées.

%On modélise les bancs par les sommets A, B, C, D, E et les allées par les arêtes du graphe G ci-dessous :

\begin{center} \begin{pspicture}(7,4)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20} \cnodeput(0.5,2.5){A}{A}
\cnodeput(3.5,3){B}{B} \cnodeput(5,1.5){C}{C} 
\cnodeput(3.5,0.4){D}{D} \cnodeput(2,0.6){E}{E} 
 \ncarc{B}{A}
 \ncarc{A}{E}
 \ncarc{B}{D} 
 \ncarc{C}{B} 
 \ncarc{D}{C}
 \ncarc{E}{D}
 \uput[u](3.5,3.75){Graphe G} 
 \end{pspicture} \end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %On désire peindre les bancs de façon que deux bancs reliés par une allée soient toujours de couleurs différentes.

%Donner un encadrement du nombre minimal de couleurs nécessaires et justifier.

%Déterminer ce nombre.
Soit $\gamma$ le nombre chromatique de ce graphe.

Comme il y a un sommet de plus haut degré 3, on a $\gamma \leqslant 4$.

Mais $\{\text{B}, \text{C}, \text{D}\}$ est un sous-graphe complet d'ordre 3, donc $\gamma \geqslant 3$.

Conclusion : $3 \leqslant \gamma \leqslant 4$.

Il suffit colorer A et D de la même couleur, ainsi que B et E, et enfin C d'une troisième couleur : donc $\gamma = 3$.
		\item %Est-il possible de parcourir toutes les allées de ce parc sans passer deux fois par la même allée ?
Le graphe contient-il une chaîne eulérienne ?  : il est évident que la chaîne A--B--C--D--E contient tous les sommets ; pour toute paire de sommets distincts il existe une chaîne les reliant : le graphe est connexe.

Il y a deux sommets de degré impair (3) : B et D, donc d'après le théorème d'Euler il existe une chaîne eulérienne.

Exemple de parcours : D--B--C--D--E--A--B
	\end{enumerate}
\item ~%Une exposition est organisée dans le parc. La fréquentation devenant trop importante, on décide d'instaurer un plan de circulation : certaines allées deviennent à sens unique, d'autres restent à double sens. Par exemple la circulation dans l'allée située entre les bancs B et C pourra se faire de B vers C et de C vers B, alors que la circulation dans l'allée située entre les bancs A et B ne pourra se faire que de A vers B. Le graphe G$'$ ci-dessous modélise cette nouvelle situation :

\begin{center} \begin{pspicture}(7,4)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20} \cnodeput(0.5,2.5){A}{A}
\cnodeput(3.5,3){B}{B} \cnodeput(5,1.5){C}{C} 
\cnodeput(3.5,0.4){D}{D} \cnodeput(2,0.6){E}{E} 
\ncarc{->}{A}{B}
\ncarc{->}{A}{E} 
\ncarc{->}{E}{A} 
\ncarc{->}{C}{B} 
\ncarc{->}{B}{C} 
\ncarc{->}{B}{D} 
\ncarc{->}{D}{C}
\ncarc{->}{C}{D} 
\ncarc{->}{E}{D}
\ncarc{->}{D}{E}
\uput[u](3.5,3.75){Graphe G$'$} 
\end{pspicture} \end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la matrice $M$ associée au graphe G$'$. (On ordonnera les sommets par ordre alphabétique).
		On a $M = \begin{pmatrix}0&1&0&0&1\\0&0&1&1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&0&1\\1&0&0&1&0\end{pmatrix}$.
		\item %On donne $M^5 = \begin{pmatrix}
%1& 6& 9& 6& 10\\
%4& 5& 7& 11& 5\\
%4& 6& 6& 11& 5\\
%1& 5& 10& 6& 10\\
%6& 5& 5& 14& 2\\
%\end{pmatrix}$
%
%Combien y a-t-il de chemins de longueur 5 permettant de se rendre du
%sommet D au sommet B ?

%Les donner tous.
Le nombre de chemins de longueur 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B est à la ligne 5 et à la colonne 2 : il y a donc 5 chemins :

D--C--B--D--C--B ; D--C--D--E--A--B ; D--E--D--E--A--B; D--E--A--E--A--B ; 

D--E--A--B--C--B. 
		\item %Montrer qu'il existe un seul cycle de longueur 5 passant par le sommet A.

%Quel est ce cycle ?

%En est-il de même pour le sommet B ?
Il faut trouver un cycle partant de A ; d'après $M^5$ il n'existe qu'un chemin fermé de longueur 5 partant de A et arrivant en A, le chemin : A--B--C--D--E--A : c'est bien un cycle et c'est le seul.

Le même raisonnement pour B donne 5 chemins passant par B et parmi ceux-ci B--C--D--E--A--B et B--D--E--D--C--B ont des arcs orientés distincts : il y a donc pour B deux cycles de longueur 5.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Sauf indication contraire, on arrondira les résultats à $10^{-2}$ près.}
%
%Le taux de pénétration du téléphone mobile dans la population française indique le pourcentage de personnes équipées d'un téléphone mobile par rapport à la population totale.
%
%Le tableau ci-dessous donne, entre 1998 et 2004, l'évolution de la population française et du taux de pénétration.
%
%\bigskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année								&1998	&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	&2004\\\hline
%Rang  $x_{i}$ de l'année			&1		& 2		& 3		&4		& 5		& 6		& 7\\ \hline 
%Population française en millions	&60,05	&60,32	&60,67	&61,04	&61,43	&61,80	&62,18\\ \hline
%Taux de pénétration $y_{i}$		&18,7	&34,2	&48,9	&60,6	&62,8	& 67,5	& 71,6\\ \hline
%\multicolumn{8}{l}{(\emph{Source : site de l'INSEE})}
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le nombre, en millions, de personnes équipées d'un téléphone mobile en 1999 et en 2004.
$\bullet~~$En 1999 $60,32 \times 0,342 \approx 20,629$ soit environ 20,63 millions de personnes étaient équipées d’un téléphone portable.

$\bullet~~$En 2004 $62,18 \times 0,716 \approx 44,521$ soit environ 44,52 millions de personnes étaient équipées d’un téléphone portable.
		\item %Entre ces deux années quel est le pourcentage d'augmentation du taux de pénétration ?
Le pourcentage d'augmentation du taux de pénétration entre 1999 et 2004 est : $\dfrac{71,6}{34,2} \approx \np{2,09357}$ soit environ 109,36\,\%.
	\end{enumerate}
\item ~%Placer dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ : les unités graphiques sont de 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 10\,\% sur l'axe des ordonnées.
Voir ci-dessous

\begin{center}
\begin{figure}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.1cm}

\begin{pspicture}(-1,-5)(8,100)
\multido{\n=1+1}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=10+10}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=cyan](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(0,0)(8,100)
\psdots(1,18.7)(2,34.2)(3,48.9)(4,60,6)(5,62.8)(6,67.5)(7,71.6)
\end{pspicture}
\end{figure}
\end{center}
\item %L’allure du nuage suggère de chercher un ajustement de $y$ en $x$ de la forme :
%$y = a \ln(x) + b$ où $a$ et $b$ sont des réels. On pose pour cela $z = \ln (x)$.
	\begin{enumerate}
		\item ~%Recopier et compléter le tableau :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	& 1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
$z_{i}$	& 0		&0,69	&1,10	&1,39	&1,61	&1,79	&1,95\\ \hline
Taux de pénétration $y_{i}$ &18,7	&34,2	&48,9	&60,6	&62,8	&67,5	&71,6\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

		\item %En déterminant avec la calculatrice une équation de la droite de régression de $y$ en $z$, obtenue par la méthode des moindres carrés, donner la valeur approchée décimale à $10^{-2}$ près par défaut des coefficients $a$ et $b$.
La calculatrice donne $y = 28,11z + 17,8$. 
	\end{enumerate}
\item %En admettant que cet ajustement reste fiable à moyen terme :
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le taux de pénétration en 2006 que l'on peut alors envisager.
L’année 2006 correspond au rang $9$.

On admet que $y = 28,11z + 17,8$ soit $y = 28,11\ln x + 17,8$, soit pour $x = 9$, \: $y = 28,11 \times \ln 9 + 17,8 = 252,99 + 17,8 = 79,564 \approx 79,56$%

Si l’ajustement est fiable, le taux de pénétration en 2006 sera environ de 79,56\:\%.
		\item %À partir de quelle année peut-on penser que le taux de pénétration dépassera 85\,\% ?
Il faut trouver le rang $n$ tel que :

$28,1 1\ln n + 17,8 \geqslant 85 \iff 28,11\ln n \geqslant 67,2 \iff \ln n \geqslant \dfrac{67,2}{28,11} \iff 
n \geqslant \text{e}^{\frac{67,2}{28,11}}$.

Or $\text{e}^{\frac{67,2}{28,11}} \approx 10,9$.
Il faut donc que $n$ soit au moins égal à 11.

Le taux de pénétration dépassera 85\,\%  à partir de 2008. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [4~;~20] par 

\[f(x) = (x - 4)\text{e}^{- 0,25x + 5}.\]

%La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente cette fonction dans un repère orthogonal.
%
%\begin{figure}
%\bigskip
%
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
%\begin{pspicture}(0,-5)(23,100)
%\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan](0,\n)(23,\n)}
%\multido{\n=0+1}{24}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan](\n,0)(\n,100)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(23 ,100)
%\uput[u](13,52){\blue $(\mathcal{C})$}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{20}{2.71828 5 0.25 x mul sub exp x 4 sub mul}
%\end{pspicture}
%
%\bigskip
%\end{figure}

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [4~;~20],~$f'(x) = (- 0,25x +2)\text{e}^{-0,25x+5}$.
On a sur l'intervalle [4~;~20],~$f'(x) = \text{e}^{- 0,25x + 5} - 0,25(x - 4)\text{e}^{- 0,25x + 5} = \text{e}^{- 0,25x + 5}(1 - 0,25(x - 4)) = \text{e}^{- 0,25x + 5}(1 - 0,25x + 1) = (2 - 0,25x)\text{e}^{- 0,25x + 5}$.
\item %En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [4 ; 20].
Comme quel que soit le réel $x$, \:$\text{e}^{- 0,25x + 5} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2 - 0,25x$.

$\bullet~~2 - 0,25x > 0 \iff 2 > 0,25x \iff 8 > x$ : sur $]8~;~20],\: f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante ;

$\bullet~~2 - 0,25x < 0 \iff 2 < 0,25x \iff 8 < x$ : sur $[4~;~8[,\: f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante ;

$\bullet~~f(8) = 4 \text{e}^3 \approx 80,34$ est donc le maximum de la fonction $f$ sur [4~;~20].

D'autre part $f(4) = 0$ et $f(20) = 16$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = - 4x \text{e}^{-0,25x+5}$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [4~;~20].
Sur l'intervalle [4~;~20] la fonction $F$ est dérivable et :

$F'(x) = - 4 \text{e}^{-0,25x+5} - 0,25 \times \left(- 4x\text{e}^{-0,25x+5} \right) = \text{e}^{-0,25x+5}(- 4 + x) =  (x - 4)\text{e}^{- 0,25x + 5}  = f(x)$.

La fonction est donc une primitive de $f$ sur [4~;~20].		
		\item %Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{4}^{20} f(x)\:\text{d}x$.
D'après la question précédente :

$\displaystyle\int_{4}^{20} f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_4^{20} = F(20) - F(4) = - 4\times 20 \text{e}^{-0,25\times 20+5} - \left(- 4\times 4 \text{e}^{-0,25\times 4+5} \right) = 16\text{e}^{4} - 80 \approx 793,57$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

%Une entreprise commercialise des centrales d'aspiration.
%
%Le prix de revient d'une centrale est de 400 \euro.
%
%On suppose que le nombre d'acheteurs d'une centrale est donné par $N = \text{e}^{-0,25x+5}$ , où $x$ est le prix de vente d'une centrale exprimé en centaines d'euros.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que la fonction $f$ de la partie A donne le bénéfice réalisé par l'entreprise, en centaines d'euros.
$N$ centrales reviennent  à $N \times 4 = 4\text{e}^{-0,25x + 5}$ sur lesquelles on récupère 

$Nx = x\text{e}^{-0,25x + 5}$.

Le bénéfice est donc égal à :
$x\text{e}^{-0,25x + 5} - 4\text{e}^{-0,25x + 5} = (x - 4)\text{e}^{-0,25x + 5} = f(x)$.
\item %À quel prix l'entreprise doit-elle vendre une centrale pour réaliser un bénéfice
%maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ? Donner un interprétation
%graphique de ces résultats.
On a vu à la partie A que le maximum de $f$ est sur [4~;~20], $f(8) = 4 \text{e}^3 \approx 80,342$, soit à l'euro près \np{8034}~\euro.
\item %Calculer le bénéfice moyen réalisé pour $x \in [4~;~20]$. On donnera le résultat à l'euro près.
Lé bénéfice moyen est égal à la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[4~;~20]$, soit :

$\dfrac{1}{20 - 4}\displaystyle\int_4^{20} f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{16}[F(x)]_4^{20} = \dfrac{F(20) - F(4)}{16} = \dfrac{16\text{e}^{4} - 80}{16} = \text{e}^{4} - 5 \approx \np{49,5982}$ centaines d'euros  soit à l'euro près \np{4960}~\euro.
\end{enumerate}
\end{document}