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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{30 mai 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Liban 30  mai 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%\emph{Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse exacte.\\ 
%Barème : Une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.}
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln \left(1 - x^2\right)$. On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. 
	\begin{enumerate}
		\item %L'ensemble de définition de la fonction $f$ est :
		
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}} 
%$]0~;~+\infty[$	& $[-1~;~1]$	& $]-1~;~1[$ 	&$]1~;~+ \infty[$\\
%\end{tabularx}
$f$ est définie si $1 - x^2 > 0 \iff x^2 - 1 < 0 \iff (x + 1)(x - 1) < 0$ ; le trinôme est positif sauf entre ses racines $- 1$ et 1.

$f$ est donc définie sur $]-1~;~1[$.
\medskip 
		\item %Le point de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ a pour ordonnée:
		
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}		
%$\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)$&$\ln 1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)$ &$\ln 3 - 2\ln 2$&$\np{- 0,2876820725}$\\
%\end{tabularx}
$f\left(\frac{1}{2}\right) =  \ln \left(1 - \left(\frac{1}{2} \right)^2\right) = \ln \frac{3}{4} = \ln 3 - \ln 4 = \ln 3 - \ln 2^2 = \ln 3 - 2\ln 2$.
\medskip  
 
	\end{enumerate}
\item %On considère à présent la fonction $g$ définie sur $]1~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln (\ln x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur $]1~;~+\infty[$, l'inéquation $g(x) > 0$ admet comme ensemble de solutions :
		
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}		 
%$]1~;~\text{e}[$& $]1~;~+\infty[$& $]\text{e}~;~+\infty[$ &$[\text{e}~;~+\infty[$
%\end{tabularx}
$\ln (\ln x) > 0 \iff \ln (\ln x) > \ln 1 \iff \ln x > 1$ (par croissance de la fonction exponentielle) $\iff \ln x > \ln \text{e} \iff x > \text{e}$.

L'ensemble des solutions est l'intervalle $]\text{e}~;~+\infty[$.
\medskip  
		\item %Sur $]1~;~+\infty[$, l'expression de la dérivée de la fonction $g$ est égale à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}			
%$\dfrac{1}{\ln x}$&$\dfrac{1}{x} \times \dfrac{1}{x}$ &$x$&$\dfrac{1}{x \ln x}$ 
%\end{tabularx}
Pour $x > 1$, on a $g'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}}{\ln x} = \dfrac{1}{x \ln x}$.
\medskip 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%On rappelle que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Le taux d'emploi d'une classe d'individus est calculé en rapportant le nombre d'individus de la classe ayant un emploi au nombre total d'individus dans la classe. 
%\item[$\bullet~~$] Un individu âgé de 55 ans à 64 ans est appelé un \og senior \fg. 
%\item[$\bullet~~$] UE désigne l'Union européenne.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Selon un rapport de l'INSEE :
% 
%\og Le taux d'emploi des personnes âgées de 55 à 64 ans est considéré comme un levier privilégié pour limiter l'exclusion de ces personnes du marché du travail et maîtriser les dépenses de retraites.
%
%En 2008, il est de 45,6\,\% dans l'UE, mais seulement de 38,3\,\% en France alors que l'objectif de l'UE comme de la France est d'atteindre 50\,\% en 2010. \fg
%
%\medskip
% 
%Le but de l'exercice est de vérifier si la France a atteint l'objectif visé par l'UE.
% 
%Dans tout l'exercice, le taux d'emploi sera exprimé en pourcentage. Les valeurs approchées seront arrondies au dixième.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A} 	Étude statistique et interpolation de données

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 1992 et 1998 : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année					&1992&1993&1994&1995&1996 &1997 &1998\\ \hline  
%Rang de l'année $x_{i}$	& 0		& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline  
%Taux d'emploi des seniors en \,\% $y_{i}$&29,8 &29,7 &29,6 &29,6 &29,4 &29 &28,3\\ \hline 
%\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : INSEE, Eurostat}}\\ 
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne, coefficients arrondis au dixième, $y = - 0,2x + 30$. 
\item %Selon cet ajustement, déterminer le taux d'emploi des seniors en 1999.
1999 correspond au rang 7 ; selon cet ajustement,  le taux d'emploi des seniors en 1999 sera 

\[-0,2 \times 7 + 30 = -1,4 + 30 = 28,6.\]
\item %Selon cet ajustement, déterminer si la France a atteint l'objectif fixé en 2010.
2010 correspond au rang 18 ; selon cet ajustement,  le taux d'emploi des seniors en 2010 sera 

\[- 0,2 \times 18 + 30 = -1,4 + 30 = 26,4.\]

Selon cet ajustement la France n'atteindra pas son objectif.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B} Interpolation de données à l'aide d'un second modèle

\medskip
 
%Le taux d'emploi des séniors en France est en réalité de 28,8\,\% en 1999 et on admet qu'à partir de l'année $2000 + n$, il est donné par l'expression $29,9 \times 1,037^n$ où $n$ désigne un entier naturel. Selon ce modèle, déterminer :
 
\begin{enumerate}
\item %Le taux d'emploi des seniors en 2010.
2010 correspond à $n = 10$ ;  le taux d'emploi des seniors sa alors :

$29,9 \times 1,037^{10} \approx 43$.
\item %À partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.
Il faut résoudre l'inéquation :

$29,9 \times 1,037^n \geqslant 50 \iff 1,037^n \geqslant \dfrac{50}{29,9} \iff$

$n \ln 1,037 > \ln \dfrac{50}{29,9} \iff n > \dfrac{\ln \frac{50}{29,9}}{\ln 1,037} \approx 14,15$.

Le plus naturel solution est donc $n = 15$, soit en 2015. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C} 	Extrapolation de données selon un troisième modèle

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 2001 et 2009 :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
%Rang de l'année $x_{i}$& 9 &10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 &17\\ \hline 
%Taux d'emploi des seniors en \,\%  $y_{i}$&31,9 &34,7 &37 &37,8 &38,5 &38,1 &38,2 &38,2 &38,9\\ \hline
%\multicolumn{10}{r}{\emph{Source : INSEE, Eurostat}}\\ 
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
% 
%Désormais, à partir de 2001, on choisit un modèle logarithmique et on admettra qu'à partir de 2001, le taux d'emploi des seniors est donné par la fonction $f$ définie sur $[9~;~+ \infty[$ par
% 
%\[f(x) = a \ln (x + 1) + b \,\,\text{où}\, a\,\, \text{et}\, b\, \text{désignent deux nombres réels}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %En considérant les années 2001 et 2006, écrire le système d'équations que doivent vérifier $a$ et $b$.
$a$ et $b$ doivent vérifier le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
a\ln 10 + b&=&31,9\\
a\ln 15 + b&=&38,1
\end{array}\right.$. 
\item %En déduire que $a = \dfrac{6,2}{\ln 1,5}$.
On résout le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a\ln 10 + b&=&31,9\\
a\ln 15 + b&=&38,1
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence) $a(\ln 15 - \ln 10) = 6,2 \iff a\ln 1,5 = 6,2 \iff$

$ a = \dfrac{6,2}{\ln 1,5}$.

La calculatrice donne $a = \dfrac{6,2}{\ln 1,5} \approx 15,29$. Ensuite $b = 31,9 - a\ln 10 = 31,9 - \ln 10 \times \dfrac{6,2}{\ln 1,5} $

$\approx - 3,309$.

Dans la suite, on admettra que $a = 15,3$ et $b = - 3,3$.
 
\item %Selon ce modèle, déterminer à partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.
On a donc $f(x) = 15,3\ln (x + 1) - 3,3$.

Il faut résoudre l'inéquation :

$15,3\ln (x + 1) - 3,3 \geqslant 50 \iff  15,3\ln (x + 1) \geqslant 53,3 \iff
\ln (x + 1) \geqslant \dfrac{53,3}{15,3} \iff   (x + 1) \geqslant \text{e}^{\frac{53,3}{15,3}}\iff $

$x \geqslant \text{e}^{\frac{53,3}{15,3}} - 1 \approx 31,5$.

Le plus petit naturel solution est $n = 32$ qui correspond à 2024. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%On considère les fonctions $f, g$ et $h$ définies sur $\R$ par
%
%\[f(x) = \text{e}^{- x},\quad  g(x) = - x + 1\quad  \text{et} \quad  h(x) = f(x) - g(x).\]
% 
%On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Delta$ la droite représentant la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.
%
%\bigskip 
 
\textbf{Partie A} 	Position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et de l'une de ses tangentes. 
\begin{enumerate}
\item %Vérifier, par le calcul, que la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est la droite $\Delta$.
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est :

$y - f(0) = f'(0)(x - 0)$

$\bullet~$ $f(0) =  \text{e}^{- 0} = 1$ ;

$\bullet~$ $f'(x) = - \text{e}^{- x}$, donc $f'(0) = - \text{e}^{- 0} = - 1$.

Donc l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est $y - 1 = - x \iff y = - x + 1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout $x \in  \R,\, h'(x) = 1 - \text{e}^{- x}$.
Pour tout $x$ réel, $h(x) = \text{e}^{- x} - ( - x + 1)  =  \text{e}^{- x}  + x - 1$, donc 

$h'(x) = -  \text{e}^{- x}  + 1 = 1 -  \text{e}^{- x}$.
		\item %Étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
$h'(x) > 0 \iff  1 -  \text{e}^{- x} > 0 \iff\text{e}^{- x} < 1 \iff - x < \ln 1 \iff 
0 < x$ ; de même :

$h'(x) < 0 \iff x < 0$ et $h'(x) = 0 \iff x = 0$.
		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $h$ sur $\R$.
Les résultats de la question précédente montrent que :
		
$\bullet~~$ la fonction $h$ est décroissante sur $]- \infty~;~0[$ et 

$\bullet~~$ croissante sur $]0~;~+ \infty[$.		
	\end{enumerate} 
\item %En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de sa tangente au point d'abscisse $0$.
Les deux questions précédentes ont montré que la fonction a pour minimum $h(0) = 1 - 1 = 0$, donc la fonction est positive pour tout réel ; or $h(x) \geqslant 0 \iff f(x) - g(x) \geqslant 0 \iff f(x) \geqslant g(x)$ ce qui signifie que la courbe est au dessus de sa tangente, sauf pour $x = 0$ où les deux courbes sont tangentes.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}  Calcul d'aire 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 h(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{\text{e}}$.
On a vu que la fonction $h$ est positive en particulier sur [0~;~1].

Un e primitive de la fonction $h$ sur  [0~;~1] est la fonction définie par :

$x \longmapsto H(x) = - \text{e}^{- x} + \dfrac{x^2}{2} - x$, donc :

$\displaystyle\int_{0}^1 h(x)\:\text{d}x = H(1) - H(0) = - \text{e}^{- 1} + \dfrac{1^2}{2} - 1 - \left(- \text{e}^{- 0} + \dfrac{0^2}{2} - 0 \right) = - \text{e}^{- 1} + \dfrac{1}{2} - 1 + 1 = \dfrac{1}{2} -  \dfrac{1}{\text{e}}$.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Soit $a$ un nombre réel vérifiant $a > 1$. On appelle D le domaine coloré sur le graphique en \textbf{annexe}.

%On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine D. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer en fonction de $a$ la valeur de $\mathcal{A}$.
On découpe l'intervalle en deux  : de 0 à 1 puis de 1 à $a$.

La fonction $f$ étant positive sur $[0~;~a]$, on sait que l'aire de la surface comprise entre la courbe représentative de $f$, la droite $\Delta$ et les droites verticales d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est égale à  $\displaystyle\int_0^1 h(x)\:\text{d}x$.

Ensuite l'aire de la surface limitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x = 1$ et $x = a$ est égale à $\displaystyle\int_1^a f(x)\:\text{d}x$.

Donc $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 h(x)\:\text{d}x + \displaystyle\int_1^a f(x)\:\text{d}x$ ;

$\mathcal{A} = H(1) - H(0) + \left[- \text{e}^{- x} \right]_1^{a} = \dfrac{1}{2} -  \dfrac{1}{\text{e}} - \text{e}^{- a} +  \text{e}^{- 1} = \dfrac{1}{2}  - \text{e}^{- a}$.
		\item %Déterminer la limite de $\mathcal{A}$ lorsque $a$ tend vers $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{a \to + \infty} \text{e}^{- a} = 0$, donc 
$\displaystyle\lim_{a \to + \infty} \mathcal{A} = \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
%On rappelle que pour tout évènement A et B d'un univers :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] l'évènement \og A et B \fg{} est noté A~$\cap$~B, 
%\item[$\bullet~~$] la probabilité de l'évènement A est notée P(A), 
%\item[$\bullet~~$] si $P(\text{A}) \neq 0$, alors la probabilité conditionnelle de B sachant A est notée $P_{\text{A}}(\text{B})$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Lors de l'année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l'année scolaire.
% 
%Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de $0,9$ d'obtenir son bac s'il a travaillé sérieusement et une probabilité de $0,2$ s'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
%
%Un candidat est dit surpris s'il est admis alors qu'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire ou bien s'il est refusé et qu'il a travaillé sérieusement pendant l'année scolaire. On note :
%
%\medskip
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] T l'évènement \og le candidat a travaillé sérieusement\fg 
%\item[$\bullet~~$] A l'évènement \og le candidat est admis au baccalauréat ES \fg 
%\item[$\bullet~~$] S l'évènement \og Le candidat est surpris \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On interroge au hasard un candidat au baccalauréat ES.
% 
%Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au millième.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~}\taput{0,75}}
	{
	\TR{$A$}\taput{0,9}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{0,1}	
	}
\pstree{\TR{$\overline{T}$~}\tbput{0,25}}
	{
	\TR{$A$}\taput{0,2}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{0,8}	
	}
}
\end{center}
\bigskip
 
\item Déterminer la probabilité des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item %T $~\cap~$ A
$p\left(T \cap A\right) = p(T) \times p_T(A) = 0,75 \times 0,9 = 0,675$.  
		\item %T $~\cap~\overline{A}}$
$p\left(T \cap \overline{A}\right) = p(T) \times p_{T}\left(\overline{A}\right) = 0,75 \times 0,1 = 0,075$.
		\item %$\overline{T}}~\cap~$ A 
$p\left(\overline{T} \cap A\right) = p(\overline{T}) \times p_{\overline{T}}(A) = 0,25 \times 0,2 = 0,05$.
		\item %$\overline{T}}~\cap~\overline{A}}$
$p\left(\overline{T} \cap \overline{A}\right) = p(\overline{T}) \times p_{\overline{T}}\left(\overline{A}\right) = 0,25 \times 0,8 = 0,2$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité que le candidat interrogé soit admis.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(A) =  p\left(T \cap A\right) + p\left(\overline{T} \cap A\right) = 0,675 + 0,05 = 0,725$.
		\item %Le candidat est admis. Déterminer la probabilité que ce candidat ait travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
		Il faut calculer $p_{A}(T) = \dfrac{p(A \cap T)}{p(A)} = \dfrac{0,675}{0,725} = \dfrac{675}{725} = \dfrac{27}{29} \approx 0,931$.
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que la probabilité de l'évènement S est $0,125$.
On a  $p(S) =  p\left(T \cap \overline{A}\right) + p\left(\overline{T} \cap A\right) = 0,075 + 0,05 = 0,125$.
\item %On interroge trois élèves au hasard. Calculer la probabilité qu'au moins un élève soit surpris ?
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = 0,125$.

Calculons la probabilité qu'aucun des trois ne soit surpris ; elle est égale à  $(1 - 0,125)^3$, donc la probabilité qu'au moins un élève soit surpris est égale à :

\[1 -  (1 - 0,125)^3 \approx 0,330. \]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%En 2010, les clients d'une banque nationale se répartissent en deux catégories distinctes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{enumerate}
%\item[$\bullet~~$] Catégorie A, composée des clients d'agence 
%\item[$\bullet~~$] Catégorie I, composée des clients internet 
%\end{enumerate}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%En 2010, 92\,\% des clients sont des clients d'agence et 8\,\% des clients sont des clients internet.
% 
%On admet que chaque année, 5\,\% des clients d'agence deviennent clients internet et inversement 1\,\% des clients internet deviennent clients d'agence.
% 
%On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu'un client ne peut faire partie des deux catégories.
%
%\medskip
% 
%On s'intéresse à l'évolution de la répartition des clients de cette banque dans les années à venir.
%
%\medskip
% 
%On note pour tout entier naturel $n$ : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ la probabilité qu'un client de la banque, pris au hasard, soit un client d'agence à l'année $2010 + n$, 
%\item[$\bullet~~$] $i_{n}$ la probabilité qu'un client de la banque, pris au hasard, soit un client internet à l'année $2010 + n$, 
%\item[$\bullet~~$] $P_{n} = \left(a_{n} \quad  i_{n}\right)$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année \mbox{$2010 + n$}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On note $M$ la matrice de transition, telle que pour tout entier naturel $n,$
%
%$P_{n+1} = P_{n} \times  M$.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}  État stable d'un graphe probabiliste

\medskip
 
%Dans cette partie, on donnera des valeurs approchées arrondies au centième.
 
\begin{enumerate}
\item ~%Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{I}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(-0.15,1){0,95} \rput(5.2,1){0,99}
\rput(2.5,2){0,05} \rput(2.5,0){0,01}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Donner $P_{0}$ la matrice traduisant l'état probabiliste initial.
Au départ 92\,\% des des clients sont des clients d'agence et 8\,\% des clients internet, donc $P_0 = \begin{pmatrix} 0,92&0,08\end{pmatrix}$. 
%On admettra que $M = \begin{pmatrix}
%0,95& 0,05\\
%0,01& 0,99\\
%\end{pmatrix}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la matrice $P_{1}$.
On a $P_1 = P_0 \times M =  \begin{pmatrix} 0,92&0,08\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
0,95& 0,05\\
0,01& 0,99\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \np{0,8748}&\np{0,1252}\end{pmatrix}$. Soit en arrondissant au centième $P_1 = \begin{pmatrix} \np{0,87}&\np{0,13}\end{pmatrix}$.
		\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la répartition des clients de la banque en 2015.
En 2015 l'état probabiliste sera :

$P_5 = P_0 \times M^5 = \begin{pmatrix} 0,92&0,08\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
0,95& 0,05\\
0,01& 0,99\\
\end{pmatrix}^5 \approx \begin{pmatrix} 0,72&0,28\end{pmatrix}$.

Il y aura environ 72\,\% clients d'agence et 28\,\% clients internet. 
	\end{enumerate}		 
\item %Déterminer, par le calcul, l'état stable de la répartition des clients.
 
%Interpréter le résultat.
Les termes de la matrice de transition sont non nuls, donc l'état $P_n$ converge vers un état stable $P$ tel que $P = P \times M$.

Avec $a$ clients d'agence et $i$ clients internet on aura $P = \begin{pmatrix}a&i\end{pmatrix}$.

On aura donc : $\begin{pmatrix}a&i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&i\end{pmatrix}\times  \begin{pmatrix}
0,95& 0,05\\
0,01& 0,99\\
\end{pmatrix}$ et $a + i = 1$, donc $a$ et $i$ vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&0,95a + 0,01i\\
i&=&0,05a + 0,99i\\
a + i&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,05a - 0,01i&=&0\\
- 0,05a + 0,01i&=&0\\
a + i&=&1
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
5a - i&=&0\\
a + i&=&1
\end{array}\right.\Rightarrow $

 (par somme) $6a = 1 \iff a = \dfrac{1}{6}$ et par suite $i = \dfrac{5}{6}$.

Conclusion $P = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{5}{6}\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}  Étude de la limite d'une suite récurrente

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la relation $P_{n+1} = P_{n} \times M$, exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $i_{n}$.
$P_{n+1} = P_{n} \times M \iff \begin{pmatrix}a_{n+1}&i_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{n}&i_{n}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
0,95& 0,05\\
0,01& 0,99\\
\end{pmatrix}\iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,95a_n + 0,01i_n\\
i_{n+1}&=&0,05a_n + 0,99i_n
\end{array}\right.$

En particulier : $a_{n+1} = 0,95a_n + 0,01i_n$.
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n,\, a_{n+1} = 0,94a_{n} + 0,01$.
On a donc $a_{n+1} = 0,95a_n + 0,01i_n$ et compte tenu de $a_n + i_n = 1 \iff$

$ i_n = 1 - a_n$, on obtient :

$a_{n+1} = 0,95a_n + 0,01\left(1 - a_n \right) = 0,95a_n + 0,01 - 0,01a_n = 0,94a_n + 0,01$.
	\end{enumerate}
\item %On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par $u_{n} = a_{n} - \dfrac{1}{6}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite, géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout entier naturel $n$, \: $u_{n+1} = a_{n+1} - \dfrac{1}{6} = 0,94a_n + 0,01 - \dfrac{1}{6} = 0,94a_n - \dfrac{0,94}{6} = 0,94\left(a_n - \dfrac{1}{6}\right) = 0,94u_n$.

Or $u_{n+1} = 0,94u_n$ pour tout entier naturel $n$ signifie que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite, géométrique de raison 0,94 et de premier terme $u_0 = a_0 - \dfrac{1}{6} = 0,92 -  \dfrac{1}{6} = \dfrac{6 \times 0,92 - 1}{6} = \dfrac{113}{150}$.
		\item %En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors pour tout naturel $n$, \:$u_n = \dfrac{113}{150}\times 0,92^n$.
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n,\, a_{n} = \dfrac{113}{150}\times 0,94^n + \dfrac{1}{6}$.
Or $u_{n} = a_{n} - \dfrac{1}{6} \iff a_n = u_n + \dfrac{1}{6} = \dfrac{113}{150}\times 0,94^n + \dfrac{1}{6}$.
		\item %Déterminer la limite de la suite $a_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Interpréter le résultat.
		Comme $0 < 0,94 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,94^n = 0$, donc 
		$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = \dfrac{1}{6}$.

Dans un certain temps il y aura un client d'agence pour cinq clients internet.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

 
\begin{flushleft}\textbf{Exercice  3}\end{flushleft} 

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2.7cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(3.8,1.6)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.5}{1.25}{1 x sub}
\multido{\n=-0.5+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-0.4)(\n,1.6)}
\multido{\n=-0.4+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-0.5,\n)(3.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,0)(-0.5,-0.39)(3.8,1.6)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.8}{2.71828  x neg exp}
\psline(2.8,0)(1,0)(0,1)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.5}{3.8}{2.71828  x neg exp}
\uput[ur](-0.4,1.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](-0.5,1.5){$\Delta$}
\uput[d](3.8,0){$x$}\uput[l](0,1.6){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](2.8,-0.05){$a$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red](1,0)(1,0.37)
\multido{\n=-0.5+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-0.4)(\n,1.6)}
\multido{\n=-0.4+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-0.5,\n)(3.8,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}