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%Tapuscrit de Denis Vergès
%Corrigé Philippe Logel 
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\def\Oij{$(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath})$}
\def\Oijk{$(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k})$}
\def\Ouv{$(\text{O},~\vect{u},~\vect{v})$}
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\usepackage[babel=true]{csquotes}%permet la gestion des guillements :exemple Je cite : \enquote{citation}.

\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{theoreme}{Théorème}
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\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{black}{{E\small{XERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
\hypersetup{
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers},
pdftitle = {24 juin 2015},
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}

\begin{document}
%\rhead{\textbf{Lycée International des Pontonniers}}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{24 juin 2015}}
\rfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat ES  Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[4pt]24 juin 2015} \end{center}


\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}
\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}
\medskip

\begin{enumerate}
	\item ~%1
		\begin{center}
                  \pstree[treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,arrows=->]{\Tr{}}
                   {\pstree[ref=c]
                    	{\Tr{$\ F \ $}\naput{$\Proba(F)=0,42$}}
                    	   	{
				{\pstree[ref=c]
                    		  {\Tr{$\ \overline{R} \ $}\naput{$\Proba_{F}(\overline{R})=0,35$}}
							{
								\Tr{$\ \Proba(F\cap \overline{R})=\Proba_{F}(\overline{R})\times \Proba(F) \ $}
							}
							}
                    		    	\Tr{$\ R \ $}\nbput{$\Proba_{F}(R)=0,65$}
                    		}
                    	\pstree[ref=c]   
                    	   {\Tr{$\overline{ F }$}\nbput{$\Proba(\overline{F})=0,58$}}
                    		   {
                    		   	\Tr{$\ \overline{R} \ $}\naput{$\Proba_{\overline{F}}(\overline{R})=0,55$}
                    	  		 \Tr{$\ R \ $}\nbput{$\Proba_{\overline{F}}(R)=0,45$}
                    		   }
                    	}
                    	\end{center}
	\item %2
		$\Proba(F\cap \overline{R})=\Proba_{F}(\overline{R})\times \Proba(F) = 0,65 \times 0,42 = 0,273$
	\item %3		
		En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :
		
		$\left.\begin{array}{ccl}
		\Proba(R)& = 	&  \Proba(R \cap F) + \Proba\left(R \cap \overline{F}\right)\\
			 	& =		& \Proba_{F}(R)\times \Proba(F) + \Proba_{\overline{F}}(R)\times \Proba \left(\overline{F}\right)\\
				& =		& 0,65\times 0,42 + 0,45 \times 0,58\\
				& = 	& 0,273 + 0,261\\
				& = 	& 0,534
		\end{array}\right.$
		
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip

Ici $X$ suit la loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, avec $\mu=48$ et $\sigma=10$.
\medskip 

\begin{enumerate}
	\item %1
Nous calculons ici  :
		
$\left.\begin{array}{ccll}
			\Proba(X  > 36)	& = 	&  \Proba(36  < X   \leqslant48)+\Proba(X>48)&\text{(C'est une loi continue, et les deux évènements sont incompatibles)}\\
				& = 	&  \Proba(36  \leqslant X   \leqslant48) + \Proba(X \geqslant 48)&\text{(C'est une loi continue)}\\
				& \approx	& \np{0,3849} + 0,5&\text{(le 1 est obtenu en utilisant la calculatrice, le 2 vaut 0,5}\\
				& \approx 	& 0,885&\text{C'est la moitié de l'aire totale sous la courbe)}
		\end{array}\right.$
		
		En effet : 		
\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm, yunit=60cm}
\begin{pspicture}(20,0.01)(80,0.04)
\psaxes[comma,Dx=4,Dy=0.01,Ox=20]{->}(20,0)(20,0)(80,0.04)
\def\mu{48}
\def\sigma{10}
\def\f{1/(\sigma*sqrt(2*3.14))*EXP(-((x-\mu)/\sigma)^2/2)}
\psplot[algebraic=true]{20}{80}{\f}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]
{
\psline(36,0)(36,0.02) % ligne verticale: (a,0)(a,f(a))
\psplot[algebraic=true]{36}{48}{\f} % courbe de f sur [a;b]
\psline(48,0.04)(48,0) % ligne verticale: (b,f(b))(b,0)
  }
\pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]
  {
\psline(48,0)(48,0.04) % ligne verticale: (a,0)(a,f(a))
\psplot[algebraic=true]{48}{80}{\f} % courbe de f sur [a;b]
\psline(80,0)(80,0) % ligne verticale: (b,f(b))(b,0)
  }
  
\uput[u](48,0.04){$x=\mu$}
\uput[u](36,0.023){$x=36$}                
\cput[doubleline=false,fillstyle=solid,fillcolor=white,](42,0.0125){$1$}
\cput[doubleline=false,fillstyle=solid,fillcolor=white,](55,0.0125){$2$}		
\psline{->}(28,0.062)(42,0.022)
\psline{->}(32,0.062)(52,0.022)		
\end{pspicture}
\end{center}
		
\vspace{1cm}

	\item %2	
Nous calculons ici :
		
$\left.\begin{array}{ccll}
\Proba_{X > 3\times 12}(X  < 5\times 12)	& = 	&  \Proba_{X  \geqslant  36}( X   \leqslant60)&\text{(C'est une loi continue)}\\
& =	& \dfrac{\Proba(36 \leqslant X \leqslant 60)}{\Proba(X  \geqslant 36)}&\\
& \approx 	& \dfrac{0,76986}{0,884930}&\\
& \approx & 0,870&
\end{array}\right.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{partie C}
\begin{enumerate}
	\item %1
		Nous savons que :
		\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] $p=0,3$ la proportion.
			\item[$\bullet~~$] $n = \np{1500}$ et $n  \geqslant 30$
			\item[$\bullet~~$] $n\times p = 450$  et  $450\geqslant 5$
			\item[$\bullet~~$] $n\times (1-p) = \np{1050}$ et $\np{1050} \geqslant 5$.
		\end{itemize}
		L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% de la fréquence vaut : $$I=\left[ p-1,96 \times \dfrac{\sqrt{ p~(1-p ) }}{\sqrt{ n }} ~;~p+1,96 \times \dfrac{\sqrt{ p~(1-p ) }}{\sqrt{ n }} \right]$$
		En effectuant les calculs, nous obtenons : 
		
\[I=[0,276~;~0,323].\]

	\item %2
		La fréquence observée pour l'échantillon vaut : $f = \dfrac{430}{\np{1500}} \approx 0,287$. Ici $f \in I$, $p = 0,3$ est donc acceptable.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
$u_3= \np{2000}\times 1,008^2\approx 2~032,13$. Le coût après 30 m de forage est de \np{2032,13} \euro.

Le coût total est donc à peu près égal à :

$\np{2000} + \np{2016} + \np{2032,13}$ soit au centime près \np{6048,13}~\euro.
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
Nous pouvons calculer :

$\left.\begin{array}{ccl}
u_{n+1}	& = &  \np{2000}\times 1,008^{n+1-1}\\
        & =	& \np{2000}\times 1,008^{n-1+1}\\
        & = & \np{2000}\times 1,008^{n-1}\times 1,008\\
        & = & u_n \times 1,008
       \end{array}\right.$
                    		
$(u_n)$ est géométrique de raison : $q=1,008$.
			\item %b
$u_{n+1}=1,008\times u_n  \Leftrightarrow  u_{n+1}=\left( 1+\dfrac{0,8}{100} \right)\times u_n$.
				
Pour passer de $n$ à $n+1$ le coefficient multiplicateur vaut : $\left( 1+\dfrac{0,8}{100} \right)$.
				
Le pourcentage d'augmentation permettant de passer de $n$ à $n+1$ vaut donc : $t=0,8$ \%.
		\end{enumerate}
	\item %3
		\begin{enumerate}
			\item ~%a
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
valeurs de $i$	&	\diagbox{~~~~~~~~~~~~}{~~~~~~~~~~~~}&	2	&	3	& 	4	&	5\\ \hline
Valeur de $u$	&\np{2000}&\np{2016}&\np{2032,128}&\np{2048,38}&\np{2064,77}\\ \hline
Valeur de $S$	&\np{2000}&\np{4016}&\np{6048,128}&$\approx $\np{8096,51}&$\approx $\np{10161,29}	\\ \hline
\end{tabularx}
			\item %b
La sortie donne : $\approx \np{10161,29}$. C'est le coût de forage à 50 mètres de profondeur.
		\end{enumerate}
	\item %4
		\begin{enumerate}
			\item %a
On recherche le plus grand entier  $n$ pour lequel :\\
$\left.\begin{array}{rcl}
S_n										& \leqslant 	& \np{125000}\\
- \np{250000}+\np{250000}\times 1,08^n	& \leqslant 	& \np{125000}\\
\np{250000}\times 1,008^n				& \leqslant  	& \np{375000}\\
1,008^n									& \leqslant  	& \dfrac{375}{250}\\
\ln \left(1,008^n\right) 				& \leqslant  	& \ln\left(\dfrac{375}{250}\right)\\
n \ln 1,008 							& \leqslant  	& \ln\left(\dfrac{375}{250}\right)\\
n  										& \leqslant  	& \ln\left(\dfrac{375}{250}\right) \div \ln (1,008)\\
n 										& \leqslant  & 50,885
\end{array}\right.$
                    		
Le coût est supérieur à \np{125000} pour $n$ plus grand que 50.

La profondeur maximale est donc égale à 500~mètres.
			\item %b
				Voici l'algorithme modifié :
\floatname{algorithm}{Algorithme}
 \renewcommand{\algorithmicrequire}{\textbf{Pré condtions :}} %The Precondition
 \renewcommand{\algorithmicensure}{\textbf{Post conditions:}} %The Postcondition
 \renewcommand{\algorithmicend}{\textbf{fin}}
 \renewcommand{\algorithmicif}{\textbf{si}}
 \renewcommand{\algorithmicthen}{\textbf{alors}}
 \renewcommand{\algorithmicelse}{\textbf{sinon}}
 \renewcommand{\algorithmicelsif}{\algorithmicelse\ \algorithmicif}
 \renewcommand{\algorithmicendif}{\algorithmicend\ \algorithmicif}
 \renewcommand{\algorithmicfor}{\textbf{pour}}
 \renewcommand{\algorithmicforall}{\textbf{pour tous}}
 \renewcommand{\algorithmicdo}{\textbf{faire}}
 \renewcommand{\algorithmicendfor}{\algorithmicend\ \algorithmicfor}
 \renewcommand{\algorithmicwhile}{\textbf{tant que}}
 \renewcommand{\algorithmicendwhile}{\algorithmicend\ \algorithmicwhile}
 \renewcommand{\algorithmicloop}{\textbf{boucle}}
 \renewcommand{\algorithmicendloop}{\algorithmicend\ \algorithmicloop}
 \renewcommand{\algorithmicrepeat}{\textbf{répeter}}
 \renewcommand{\algorithmicuntil}{\textbf{Jusqu'à ce que}}
 \renewcommand{\algorithmicprint}{\textbf{afficher}}
 \renewcommand{\algorithmicreturn}{\textbf{retourner}}
 \renewcommand{\algorithmictrue}{\textbf{vrai}}
 \renewcommand{\algorithmicfalse}{\textbf{faux}}

\begin{algorithmic}
\STATE \textit{Variables} :
\STATE $n$ : dans $\N$
\STATE $u,~S$ : dans $\R$
\STATE \textit{Initialisation} :
\STATE $u$ prend la valeur \np{2000}
\STATE $S$ prend la valeur \np{2000}
\STATE \textcolor{red}{$n$ prend la valeur 1}
\STATE \textit{Traitement} :
\WHILE {\textcolor{red}{$S \leqslant \np{125000}$}}
   \STATE  $u$ prend la valeur $u*1,008$  
   \STATE  $S$ prend la valeur $S+u$
   \STATE  \textcolor{red}{$n$ prend la valeur $n+1$}
\ENDWHILE
\STATE \textit{Sortie} :
\STATE \textcolor{red}{Afficher $(n - 1) \times 10$}
\end{algorithmic}
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialitée}

\medskip

\textbf{Partie A}


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH
\psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED
\uput[ul](2.5,4.5){A}
\uput[u](4.5,4.5){B}
\uput[l](2.7,2.5){C}
\uput[l](1,2.1){D}
\uput[d](3,0.7){E}
\uput[ur](4.3,2.7){F}
\uput[r](6.8,3){G}
\uput[dr](6.6,1){H}
\pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH
\pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a	
Ce graphe $\Gamma$ possède 8 sommets et c'est un graphe connexe, la chaîne A-B-G-H-F-C-E-D passe par tous les sommets, deux sommets quelconques seront toujours reliés par une chaîne.				
			\item %b
Tableau des sommets degrés

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
Sommets	&A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H\\ \hline
Degrés	&2	&4	&2	&2	&4	&4	&2	&4\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
                    
Le graphe a tous ses sommets de degré pair, étant connexe, il admet un cycle Eulérien d'après le théorème d'Euler, donc à fortiori une chaîne eulérienne.
                    		
             \end{enumerate}
	\item %2	
		Le nombre de chemin de longueur 3 reliant E à B est donné par $M_{25}^{(3)}=5$, il y 5 chemins de longueur 3 reliant E à B.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH
\pnode(2.5,4.5){A}\uput[ul](2.5,4.5){A}
\pnode(4.5,4.5){B}\uput[u](4.5,4.5){B}
\pnode(2.7,2.5){C}\uput[l](2.7,2.5){C}
\pnode(1,2.1){D}  \uput[l](1,2.1){D}
\pnode(3,0.7){E}  \uput[d](3,0.7){E}
\pnode(4.3,2.7){F}\uput[ur](4.3,2.7){F}
\pnode(6.8,3){G}  \uput[r](6.8,3){G}
\pnode(6.6,1){H}  \uput[dr](6.6,1){H}
\ncarc{A}{B}\ncput*{12}
\ncarc{A}{D}\ncput*{14}
\ncarc{B}{G}\ncput*{16}
\ncarc{G}{H}\ncput*{11}
\ncarc{B}{H}\ncput*{21}
\ncarc{B}{F}\ncput*{9}
\ncarc{F}{H}\ncput*{11}
\ncarc{F}{E}\ncput*{16}
\ncarc{E}{H}\ncput*{10}
\ncarc{F}{C}\ncput*{10}
\ncarc{C}{E}\ncput*{13}
\ncarc{D}{E}\ncput*{10}
%\psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED
%\pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH
%\pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE
%\ncline{A}{D}\naput{14}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
Nous avons déjà répondu à la question dans la partie A 1. b.
				
Voici un exemple de cycle : A-B-F-C-E-F-H-B-G-H-E-D-A .(nous avons utilisé ici l'algorithme d'Euler).
			\item %b
Nous cherchons ici tous les chemins de longueurs 3 reliant le refuge E au refuge B. Il y en a 5 (d'après la question 2. b. de la partie A).

Voici les chemins possibles :
				E-C-F-B $~~~$ E-H-F-B $~~~$ E-D-A-B ~~~ E-H-G-B $~~~$ E-F-H-B.
		\end{enumerate}
	\item %2
		Pour déterminer la distance la plus courte entre A et H, nous utiliserons l'algorithme de Dijkstra :
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H&	select\\ \hline
 0	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&	A(0)\\ \hline
                       | 	&12 (A)	& $\infty$ 	&14 (A)	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&B(12)\\ \hline
                       | 	& | 	& $\infty$ 	&14 (A)	& $\infty$ 	&21 (B)	&28 (B)	&33 (B)	&D(14)\\ \hline
                       | 	& | 	& $\infty$ 	& | 	&24 (D)	&21 (B)	&28 (B)	&33 (B)	&F(21)\\ \hline
                       | 	& | 	&31 (F)	& | 	&24 (D)	& | 	&28 (B)	&32 (F)	&E(24)\\ \hline
                       | 	& | 	&31 (F)	& | 	& | 	& | 	&28 (B)	&32 (F)	&G(28)\\ \hline
                       | 	& | 	&31 (F)	& | 	& | 	& | 	& | 	&32 (F)	&C(31)\\ \hline
                       | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	&32 (F)	&H(32)\\ \hline
                        \end{tabular}
                        \end{center}
                                                
La distance la plus courte vaut : 32
                        
La chaîne qui la réalise vaut : A-B-F-H.
                        
L'itinéraire le plus court reliant A à H fait donc 32 km et passe par les sommets suivants : A-B-F-H.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
$f'(-3) = 0$, en effet au point d'abscisse -3 la tangente à la courbe est horizontale.
			\item %b
$f(0)=2$~~~et $f'(0)=-3$.
		\end{enumerate}
	\item %2
Nous savons que : $f(x)=a+(x+b)\e^{-x}$.
		\begin{enumerate}
			\item %a
$f$ est dérivable sur $\R$ et : $f'(x)=0+1\times \e^{-x}-\e^{-x}\times (x+b)$.
			\item %b
Comme :
\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] $f'(-3) = 0 \Rightarrow 1 \times \e^{-x}- \e^{-0} \times (0 + b)  = -3 \Rightarrow 1 - b  = - 3$.
			\item[$\bullet~~$] $f(0) = 2 \Rightarrow a +(0+b)\times \e^{-0}  = 2 \Rightarrow a+b  = 2$.
\end{itemize}				
			\item %c
De la question précédente, nous déduisons le système suivant et sa résolution :
				%openbrace((a+b=2) crl (1-b=-3))<=>openbrace((a=2-b) crl (b=4))<=>openbrace((a=-2) crl (b=4))
				
\[\left\{ {\Large\substack{a+b = 2 \\1-b  = -3}} \right. \iff \left\{ {\Large\substack{a = 2-b  \\b = 4}} \right. \iff \left\{ {\Large\substack{a = -2 \\b = 4}} \right.\]

Conclusion : $f(x) = -2+ (x + 4)\e^{- x}$.			
		\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables.\\
		$\left.\begin{array}{ccl}
f'(x)	& = 	&  \e^{-x}-\e^{-x}\times (x+4)\\
& =	& \e^{-x}\left(1-(x+4)\right)\\
& =	& \e^{-x}(-x-3)
		\end{array}\right.$
		
Comme : $\e^{-x}>0$ pour tout $x\in \R$, le signe de $f'(x)$ ne dépendra que de : $-x-3$.
		
Nous en déduisons le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$ :

		%[lgt=3,espcl=3,deltacl=1.5]
                % lgt : largeur première colonne espcl : largeur entre valeurs deltacl : espace au début et à la fin.
 \begin{center} 
 \begin{tikzpicture}[x=10mm,y=8mm]
 \tkzTabInit[lgt=3,espcl=2,deltacl=1]{$x$/1,$-x-3$/1,$\e^{-x}$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$-4$,$-3$,$3$} 
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabLine{,+,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/$-2$,+/$-2+\e^3$,-/$-2+7\e^{-3}$}
\end{tikzpicture}
                \end{center}
                
Avec les valeurs suivantes :
       \begin{itemize}
            \item[$\bullet~~$] $f(-4) = - 2+(- 4+4)\e^{4}=-2$
            \item[$\bullet~~$] $f(-3) = - 2+(- 3+4)\e^{3}=- 2 + \e^3\approx 18,09$
            \item[$\bullet~~$] $f(3) = - 2+(3+4)\e^{-3}\approx - 1,651$
       \end{itemize}
        \item %2
        \begin{itemize}
        	\item[$\bullet~~$] sur [-3~;~3], $f$ est strictement décroissante.
        	\item[$\bullet~~$] $f$ est dérivable sur $\R$, elle est donc continue sur $\R$ et donc sur [-3~;~3].
        	\item[$\bullet~~$] 0 est compris entre $f(-3)$ et $f(3)$. Nous les avons calculé ci-dessus.
        \end{itemize}
        	D'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie de la fonction $f$ sur [-3~;~3], $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans cet intervalle.\\
        	Avec la calculatrice, nous trouvons : $\alpha \approx 0,895\approx 0,90$.
	\item %3
		\begin{enumerate}
			\item %a
Sur l'intervalle [-3~;~0], la fonction admet un minimum atteint pour $x=0$ et qui vaut : $f(0)=2$.
				
On en déduit que $f(x)>0$ pour tout $x\in\left[ -3 ; 0 \right]$.

Ainsi l'aire comprise entre les axes d'équations $x=-3$, $x=0$, l'axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ vaut : 

\[\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-3}^{0}f(x)\text{d}x.\]

			\item %b
Une primitive de $f$ vaut $F$, d'après la copie d'écran donnée dans le sujet. En effet :
				
\[F'(x) = x\times \e^{-x}+4\times \e^{-x}-2= (x+4)\times\e^{-x}-2=-2+(x+4)\e^{-x}.\]
				
Calculons ensuite :
				\begin{itemize}
					\item[$\bullet~~$] $F(-3)=-2\times (-3) +(+3-5)\e^{+3}=-2\e^{3}+6$
					\item[$\bullet~~$] $F(0)=-2\times 0+(-0-5)\e^{-0}=-5$
				\end{itemize}		
				
Ainsi :
				
$\left.\begin{array}{ccl}
\mathcal{A}& = &  \displaystyle\int_{-3}^{0}f(x)\text{d}x\\
& =	& \left[F(x)\right]_{-3}^0\\
& =	& F(0)-F(-3)\\
& =	& -5-\left(-2\e^{3}+6\right)\\
& = & 2\e^3-11\\
& \approx& 29,17~\text{U.A.}
       \end{array}\right.$
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Cette fonction est deux fois dérivables sur $\R_+^\star$
\begin{itemize}
	\item[$\bullet~~$] $f'(x)=3-3\ln x -3x\times \dfrac{1}{x}=-3\ln x$.
	\item[$\bullet~~$] $f''(x) = -\dfrac{3}{x}$.
\end{itemize}

Sur  $\R_+^\star$, $f''(x)<0$, $f'$ est donc strictement décroissante sur  $\R_+^\star$. Nous en déduisons que $f$ est concave sur  $\R_+^\star$.

Toutes ses tangentes sont donc au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur  $\R_+^\star$, plus particulièrement la tangente $T$ au point d'abscisse 1.
\end{document}