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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé   ! François Hache
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%%%%   Commandes perso FH
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small  11 septembre 2015}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[4pt]11 septembre 2015}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 7 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

Lors d'une opération promotionnelle, un magasin d'électroménager propose deux
modèles de téléviseurs: un modèle A et un modèle B.

On s'intéresse aux acheteurs qui profitent de cette promotion.

70\,\% des acheteurs choisissent un téléviseur de modèle A.

Pour ces deux téléviseurs, le magasin propose une extension de garantie de 5 ans.

40\,\% des acheteurs du téléviseur de modèle A choisissent l'extension de garantie et
50\,\% des acheteurs du téléviseur de modèle B choisissent cette extension.

On interroge au hasard un acheteur à la sortie du magasin.

Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.
Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

On note :

A l'évènement \og Un acheteur choisit le téléviseur de modèle A \fg{} ;

B l'évènement \og Un acheteur choisit le téléviseur de modèle B \fg{} ;

E l'évènement \og Un acheteur choisit l'extension de garantie \fg,

\medskip

On note $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
On construit un arbre pondéré traduisant la situation:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1cm]
{\Tr{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,7$}}
	  { 
		  \TR{$E$}\naput{$0,4$}
		  \TR{$\overline E$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}
	  }
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$}}
	  {
		  \TR{$E$}\naput{$0,5$}
		  \TR{$\overline{E}$}\nbput{\red $1-0,5=0,5$}
	  }
}
\end{center}

\bigskip



\item% Calculer la probabilité qu'un acheteur choisisse le modèle A avec l'extension de garantie.
L'événement \og choix du modèle A avec extension de garantie\fg{} est l'événement $A \cap E$.

D'après l'arbre:
$p(A \cap E) = p(A)\times p_A(E)=0,7 \times 0,4 = 0,28$

\item% Montrer que $p(E) = 0,43$.
On calcule $p(E)$ en utilisant la formule des probabilités totales:

$p(E)= p(A \cap E) + p(B \cap E) = 0,28 + 0,3\times 0,5 = 0,28+0,15 = 0,43$

\item Un acheteur n'a pas pris l'extension de garantie; on cherche la probabilité qu'il ait acheté le modèle A, c'est-à-dire $p_{\overline{E}}(A)$.

$p_{\overline{E}}(A) = \dfrac{p(A \cap \overline{E})}{p(\overline{E})} = \dfrac{0,7 \times 0,6}{1-0,43} = \dfrac{0,42}{0,57} \approx 0,737$

\end{enumerate}
 
%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

%Le directeur du magasin souhaite estimer, parmi tous ses clients, le pourcentage de personnes qui trouvent l'opération promotionnelle intéressante.

Le directeur du magasin interroge au hasard $210$~clients et note que $123$ trouvent l'opération promotionnelle qu'il propose intéressante.

La fréquence de clients trouvant l'opération promotionnelle intéresante est $f=\dfrac{123}{210}$.\\[5pt]
On regarde si les conditions pour déterminer un intervalle avec un niveau de confiance de plus de 95\,\% sont réunies:
$n=210 \pg 30$; $nf=123 \pg 5$ et $n(1-f)=87 \pg 5$. Les conditions sont donc réunies.

L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% pour la proportion de clients qui trouvent l'opération promotionnelle intéressante est donc:

\[\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\,;\,f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ] = \left [ \dfrac{123}{210} - \dfrac{1}{\ds\sqrt{210}}\,;\,\dfrac{123}{210} + \dfrac{1}{\ds\sqrt{210}} \right ] \approx \cd 0,516\,;\,0,655 \cg\]

%Donner un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% pour la proportion de clients qui trouvent l'opération promotionnelle intéressante.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie C}

%\medskip

Pour sa prochaine promotion, le directeur s'intéresse à l'âge de ses clients. On modélise l'âge des clients en années par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 40$ et d'écart-type $\sigma = 8$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Calculer la probabilité qu'un client ait plus de $60$~ans.
\`A la calculatrice, on trouve: $p(X>60) \approx 0,006$

La probabilité qu'un client ait plus de $60$~ans est d'environ $0,006$.

\item% Calculer la probabilité qu'un client ait un âge compris entre $30$ et $50$~ans.
\`A la calculatrice, on trouve: $p(30<X<50) \approx 0,789$

La probabilité qu'un client ait un âge compris entre $30$ et $50$~ans est d'environ 0,789.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle \cd 0~;~5\cg.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A - À l'aide d'un graphique}

%\medskip

On a représenté ci-dessous la courbe $\left(C_{f'}\right)$ de la fonction dérivée $f'$ ainsi que la courbe $\left(C_{f''}\right)$ de la fonction dérivée seconde $f''$ sur l'intervalle \cd 0~;~5\cg.
Le point A de coordonnées (1~;~0) appartient à $\left(C_{f'}\right)$ et le point B de coordonnées (2~;~0) appartient à la courbe $\left(C_{f''}\right)$.

\begin{figure}[t]
\centering
\psset{xunit=2.3cm,yunit=1.15cm,comma=true}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture*}(-0.2,-6)(5,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.15,-5.9)(5,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{5 5 x mul sub 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{0}{5}{5 x mul 10 sub
 2.71828 x exp div}
\uput[u](0.8,0.8){\blue $\left(C_{f'}\right)$}
\uput[d](0.8,-3.9){\red $\left(C_{f''}\right)$}
\psdots(1,0)(2,0)
\uput[ur](1,0){A}\uput[ur](2,0){B}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{figure}

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Justifier.
La fonction dérivée $f'$ est strictement positive sur $\cd 0\,;\,1\cd$, et elle est strictement négative sur $\cg 1\,;\, 5\cg$; donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\cd 0\,;\,1\cg$, et elle est strictement décroissante sur $\cd 1\,;\, 5\cg$ 

\item% Déterminer sur quel(s) intervalle(s), la fonction $f$ est convexe. Justifier.
La fonction $f$ est convexe sur les intervalles sur lesquels la fonction dérivée seconde $f''$ est positive, donc sur l'intervalle $\cd 2\,;\,5\cg$.

\item% La courbe de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s).
La courbe de $f$ admet des points d'inflexion quand la dérivée seconde de la fonction $f$ s'annule et change de signe; donc la courbe de $f$ admet sur $\cd 0\,;\, 5\cg$ un point d'inflexion d'abscisse 2.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B - Étude de la fonction}

%\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\cd 0~;~5\cg$ par 
$f(x) = 5x\text{e}^{-x}$

\begin{enumerate}

\item% Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [0~;~5].
Pour tout $x$ réel, $\e^{-x}>0$ donc $f(x)=5x\e^{-x}$ est positive sur  l'intervalle $\cd 0~;~5\cg$.

\item Soit $F$ la fonction définie sur \cd 0~;~5\cg{} par $F(x) = (-5x - 5)\text{e}^{-x}$.

La fonction $F$ est dérivable sur \cd 0~;~5\cg{} et

$F'(x) = -5\e^{-x}+ (-5x-5)(-1)\e^{-x} = (-5+5x+5)\e^{-x} = 5x\e^{-x}=f(x)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\cd 0\,;\,5\cg$.

\item% Déterminer alors la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$,  l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
La fonction $f$ est positive sur $\cd 0\,;\, 1\cg$ donc l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$,  l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est:
$A = \ds\int_{0}^1 f(x) \d x$.

$A = \ds\int_{0}^1 f(x) \d x = F(1)-F(0) = -10\e^{-1} -(-5) = 5 - \dfrac{10}{\e}$

La valeur exacte de l'aire cherchée est $5-\dfrac{10}{\e}$ unité d'aire.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill {\normalsize Candidats n'ayant pas suivi la spécialité, candidats de L} \hfill 5 points}

%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité, candidats de L}

\medskip

Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2014 un abonnement annuel pour ses spectacles.

L'évolution du nombre d'abonnés d'une année à la suivante est modélisée par le directeur de l'opéra qui prévoit que 75\,\% des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et qu'il y aura chaque année $300$ nouveaux abonnés.

Ainsi, pour tout entier naturel $n,\:u_n$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année
$(2014 + n)$.

Pour l'année 2014, il y a $500$ abonnés, autrement dit $u_0 = 500$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'entier.
Pour calculer $u_1$, on prend 75\,\% de $u_0=500$, ce qui donne 375 et on ajoute 300; donc $u_1=675$.

Pour calculer $u_2$, on prend 75\,\% de $u_1=675$, ce qui donne 506,25 et on ajoute 300, ce qui fait $806,25$; on arrondit à l'entier: $u_2=806$.
 
\item% Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,75u_n + 300$.
Prendre 75\,\% d'une somme, c'est multiplier par 0,75; de plus, chaque année il y a 300 abonnés de plus. Donc on passe du nombre d'abonnés d'une année au nombre d'abonnés de l'année suivante en multipliant par 0,75 et en ajoutant 300 : pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1}=0,75\,u_{n} + 300$.

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par :  pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - \np{1200}$; donc $u_n=v_n+\np{1200}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et préciser $v_0$.
$v_{n+1}=u_{n+1}-\np{1200} = 0,75\,u_n +300 - \np{1200} = 0,75(v_n+\np{1200}) -900 = 0,75\,u_n +900 - 900\\
\phantom{v_{n+1}} = 0,75\,v_n$

$v_0=u_0-\np{1200} = 500-\np{1200} = -700$

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $v_0=-700$ et de raison $q=0,75$.

		\item% En déduire alors que pour tout entier naturel $n,\:u_n = - 700 \times 0,75^n + \np{1200}$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=-700$ et de raison $q=0,75$ donc, pour tout entier naturel $n$,  $v_n = v_0\times q^n = -700\times 0,75^n$.

Or $u_n=v_n+\np{1200}$ donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=-700\times 0,75^n+\np{1200}$

		\item% Calculer $u_{10}$ (arrondir à l'entier). Donner une interprétation concrète de la valeur trouvée.
$u_{10}= -700\times 0,75^{10}+\np{1200} \approx \np{1161}$

$n=10$ correspond à $2014+10=2024$; on peut donc estimer qu'il y aura \np{1161} abonnés en 2024.

	\end{enumerate}
	
\item On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnements sera supérieur à \np{1190}.
	
On propose trois algorithmes :
	
\medskip

{\small
\fbox{
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\hspace*{0,5cm}\textbf{Algorithme 1}\\
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 500\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$\\
\hspace*{0.3cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à U la valeur\\
\hspace*{0,6cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$\\
Fin Tant que\\
Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$\\
Afficher $n$
\end{minipage}
}
\hfill
\fbox{
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\hspace*{0,5cm}\textbf{Algorithme 2}\\
Affecter à n la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 500\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $U$ la valeur\\
\hspace*{0,6cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
Fin Tant que\\
Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$\\
Afficher $n$
\end{minipage}
}
\hfill
\fbox{
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\hspace*{0,5cm}\textbf{Algorithme 3}\\
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur $500$\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $U$ la valeur\\
\hspace*{0,6cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$\\
Fin Tant que\\
Afficher $n$
\end{minipage}
}
}% fin du \small
%
%
%Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item C'est l'algorithme 1 qui permet de répondre au problème.

\item Dans l'algorithme 2, il y aura un décalage de l'indice $n$ par rapport à la valeur de $U$ puisqu'on affecte $n+1$ à $n$ après le calcul de $U$.

\item Dans l'algorithme 3, on ajoute 2014 à $n$ à l'intérieur de la boucle et on va donc avoir successivement $n=0$ (initialisation), $n=1$ (entrée la 1\iere{} fois dans la boucle), $n=\np{2015}$ (sortie de la 1\iere{} boucle), puis $n=\np{2016}$, $n=\np{4030}$ et on sort de la boucle avec affichage de $n=\np{4030}$ qui n'est pas la bonne réponse.  
\end{list}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill {\normalsize Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points}

%\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\medskip

Dans une société d'assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque
mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que 30\,\% de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l'année suivante, alors que 85\,\% de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l'année suivante.

En 2014, 60\,\% des clients paient en une fois et 40\,\% paient mensuellement.

\medskip

Dans toute la suite de l'exercice, $n$ désigne un nombre entier naturel.

\newpage

On note :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie en une fois pour l'année
$2014 + n$ ;
\item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie mensuellement pour l'année $2014 + n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Comme il n'y a que deux possibilités, on peut dire que, pour tout entier naturel $n$, $a_n+b_n=1$.

On a $a_0 = 0,6$ et $b_0 = 0,4$ et on note $P_n$ l'état probabiliste pour l'année $2014 + n$. Ainsi
$P_0 = \begin{pmatrix}0,6& 0,4\end{pmatrix}$.

On note :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'état \og le client paie en une fois \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] B l'état \og le client paie mensuellement \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B.
On représente la situation au moyen d'un graphe probabiliste de sommets A et B:

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{A}{A} \hskip 4cm \Rnode{B}{B}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,3}%                 arc pondéré partant de U
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,15}%                 arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,7}%   boucle autour de U
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,85}%  boucle autour de V
\end{pspicture}

\item% Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
D'après le texte, on a, pour tout entier naturel $n$:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,7\,a_n + 0,15\,b_n\\
b_{n+1} & 0,3\,a_n + 0,85\,b_n
\end{array}
\right .$
autrement dit:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,7 & 0,3\\
 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}$

Donc la matrice de transition associée à ce graphe est:
$M=
\begin{pmatrix}
0,7 & 0,3\\
 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}$

\item% Déterminer la probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 (arrondir les résultats au millième).
L'année 2018 correspond à $n=4$; on cherche $a_4$ que l'on va obtenir en calculant $P_4$.

D'après le cours, on peut dire que, pour tout $n$: 
$P_n = P_0\times M^n$.

Donc $P_4= P_0\times M^4$ et on trouve à la calculatrice
$P_4=
\begin{pmatrix}
\np{0,357735} & \np{0,642265}
\end{pmatrix}$

La probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 est donc $0,358$ (valeur arrondie au millième).

\item% Déterminer l'état stable et en donner une interprétation.
L'état stable
$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$
est solution du système
$S\,:\,
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}
& 
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M\\
a + b & 1
\end{array}
\right.$

$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a & 0,7\,a + 0,15\,b\\
b & 0,3\,a + 0,85\,b
\end{array}
\right .
\iff 0,3\,a - 0,15\,b=0 \iff 2\,a = b$

$S \iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}
& 
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M\\
a + b & 1
\end{array}
\right.
\iff 
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
2\,a & b\\
a + b & 1
\end{array}
\right.
\iff 
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a & \dfrac{1}{3}\\[7pt]
b & \dfrac{2}{3}
\end{array}
\right.$

Donc l'état stable est 
$P=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} 
\end{pmatrix}$.

Cela veut dire que, sur le long terme, il y aura $\dfrac{1}{3}$ des clients qui paieront en une fois et $\dfrac{2}{3}$ qui paieront mensuellement.

\item% Pour tout entier naturel $n$, justifier que $a_{n+1} = 0,55a_n + O,15$.
D'après les questions précédentes:
 
$\left.
\begin{array}{l}
a_{n+1} = 0,7\,a_n + 0,15\,b_n\\
a_n + b_n=1
\end{array}
\right\rbrace
\dc
a_{n+1} = 0,7\,a_n + 0,15\,(1-a_n)
\dc
a_{n+1} = 0,7\,a_n + 0,15-0,15\,a_n\\
\phantom{\left.
\begin{array}{l}
a_{n+1} = 0,7\,a_n + 0,15\,b_n\\
a_n + b_n=1
\end{array}
\right\rbrace}
\dc
a_{n+1} = 0,55\,a_n + 0,15$

Donc, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,55\,a_n + 0,15$.

\item On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.

	\begin{enumerate}

 		\item On écrit un algorithme permettant de déterminer cet entier $n$:
 		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|l @{\hspace*{1cm}} l|}
\hline
Variables & $A$ est un réel\\
 & $n$ est un entier\\
 \hline
Initialisation & $A$ prend la valeur 0,6\\
  & $n$ prend la valeur 0\\
  \hline
Traitement & Tant que $A \pg 0,3334$\\
  & \hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
  & \hspace*{1cm} $A$ prend la valeur $0,55\times A + 0,15$\\
  & Fin de Tant que\\
  \hline
Sortie & Afficher $n$\\
  \hline
\end{tabular}
}
\end{center} 		
 		
		\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
$a_n  = \dfrac{4}{15} \times 0,55^n + \dfrac{1}{3}$
		
%Déterminer par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.
On cherche par le calcul la valeur de $n$:

\medskip

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l l}
a_n < 0,3334 & \dfrac{4}{15} \times 0,55^n + \dfrac{1}{3} < 0,3334 & \\[8pt]
 & \dfrac{4}{15} \times 0,55^n  < 0,3334 - \dfrac{1}{3} & \\[8pt]
 & 0,55^n < \dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right ) & \\[8pt]
  & \ln\left (0,55^n\right ) < \ln\left (\dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right )\right ) & \text{croissance de la fonction }\ln \\[8pt]
 & n \ln\left (0,55\right ) < \ln\left (\dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right )\right ) & \text{propriété de la fonction }\ln \\[8pt]
 & n > \dfrac{\ln\left (\dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right )\right )}{\ln(0,55)} & \text{car } \ln(0,55)<0
\end{array}$

\medskip

Or $\dfrac{\ln\left (\dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right )\right )}{\ln(0,55)} \approx 13,9$ donc le plus petit entier $n$ tel que $a_n<0,3334$ est 14.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,3cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip
On considère la fonction $f$ définie par 
$f(x) = 2x^2\ln (x)$
sur \cd{}0,2~;~10\cg{} et on note $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

%Le but de cet exercice est de prouver que la courbe $\left(C_f\right)$ admet sur [0,2~;~10] une seule tangente passant par l'origine du repère.

%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que pour $x \in [0,2~;~10],\: f'(x) = 2x(2\ln (x) + 1)$.
La fonction $f$ est dérivable sur \cd{}0,2~;~10\cg{} comme produit de fonctions dérivables et:

$f'(x)= 4x\times \ln(x) + 2x^2 \times \dfrac{1}{x}=4x \ln(x) + 2x = 2x\left (2\ln(x)+1\right )$

\item Soit $a$ un réel de \cd{}0,2~;~10\cg{}.%, montrer que la tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = 2a(2\ln (a) + 1)x - 2a^2(\ln (a) + 1)$.

Une équation de la tangente $T$ à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $a$ est:
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

$f(a)=2a^2\ln(a)$ et
$f'(a)=2a(2\ln(a)+1)$;
donc $T$ a pour équation:

$y=2a(2\ln(a)+1)(x-a)+2a^2\ln(a)
\iff y= 2a(2\ln(a)+1)x -2a(2\ln(a)+1)\times a +2a^2\ln(a)
\iff y= 2a(2\ln(a)+1)x -4a^2\ln(a) -2a^2 +2a^2\ln(a) 
\iff y= 2a(2\ln(a)+1)x -2a^2(\ln(a)+1)$

\item% Répondre alors au problème posé.
La droite $T$ passe par l'origine si et seulement si le réel $a$ est tel que $-2a^2(\ln(a)+1)=0$.

Or $a \in \cd{}0,2~;~10\cg{}$ donc $a\neq 0$; il faut donc que $\ln(a)+1=0 \iff \ln(a)=-1 \iff a=\e^{-1}$

L'unique valeur $a$ de \cd{}0,2~;~10\cg{} pour laquelle la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $a$ passe par l'origine est $a=\dfrac{1}{\e}$.

L'équation réduite de la tangente est alors:
$y=2\dfrac{1}{\e}(-2+1)x$ soit $y=-\dfrac{2}{\e}x$

\end{enumerate}

\end{document}