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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Métropole--La Réunion septembre 2008},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small septembre 2008}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[4pt]septembre 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.
%
%\medskip
%
%\parbox{0.38\linewidth}{On a tracé ci-contre sa courbe représentative $(\mathcal{C})$ dans un repère orthonormal.
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
%
%Les points A$(- 1~;~0)$ et B(0~;~2) appartiennent à la courbe $(\mathcal{C})$.
%
%La courbe $(\mathcal{C})$ admet en B une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
%
%La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$.
%
%La fonction $f$ est décroissante et strictement positive sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.} \hfill
%\parbox{0.59\linewidth}{\psset{unit=0.77cm}\begin{pspicture}(-3,-6)(6,5)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-3,-6)(6,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-6)(6,5)
%\uput[ul](-1,0){A} \uput[ur](0,2){B}\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.605}{6}{2 x mul 2 add 2.71828 x exp div}
%
%\end{pspicture}}
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chaque question, une et une seule des trois propositions est exacte.\\
%Le candidat indique sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,5$~point ; l'absence de réponse donne $0$ point. Si le total est négatif la note est ramenée à $0$.}

\textbf{Question 1 :}
 
%Une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement la fonction $f'$. Déterminer laquelle.
%   
%\medskip
%   
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(4,5)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(4,5)
%\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](3,-0.2){$(\mathcal{C}_{1})$}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{4}{2 2 x mul sub 2.71828 x exp div}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-2)(4,4)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(4,4)
%\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](3,-0.3){$(\mathcal{C}_{2})$}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.8}{4}{x neg 2 mul 2.71828 x exp div}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-3)(3,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-3)(3,3)
%\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,1){$(\mathcal{C}_{3})$}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.429}{1.429}{x 3 exp}
%\end{pspicture}\\
%\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
%\end{tabularx}
La fonction est croissante uniquement sur $]- \infty~;~0]$, sa dérivée est donc positive sur cet intervalle ; ceci élimine la réponse A et la réponse C. Il ne reste que la réponse B 
\medskip

\textbf{Question 2 :}

%Une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
%
%Déterminer laquelle.
%
%\medskip
%   
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-5)(3,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-5)(3,4)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-5)(3,4)
%\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,1){$(\mathcal{C}_{4})$}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{x 2 exp}
%\end{pspicture}&
%\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-5)(2,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-5)(2,4)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-3,-5)(2,4)
%\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,1){$(\mathcal{C}_{5})$}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.71}{0.596}{x 1 add 3  exp}
%\end{pspicture}&
%\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-6)(2,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-6)(2,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-3,-6)(2,3)
%\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,1){$(\mathcal{C}_{6})$}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.169}{2}{x 2 mul 4 add 2.71828 x exp div neg}
%\end{pspicture}\\
%\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
%\end{tabularx}
Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F'(x) = f(x)$, donc si $f(x) > 0$, la fonction $F$  est croissante. Or $f(x) > 0$ sur $]- 1~;~+ \infty[$, donc la réponse A est à éliminer.

$f(x) < $ sur $]- \infty~;~- 1[$, donc $F$ est décroissante sur cet intervalle ce qui élimine la réponse C. Reste la réponse B.
\medskip

\textbf{Question 3 :}

%On désigne par ln la fonction logarithme népérien. Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = \ln[f(x)]$.
% 
%Un des trois intervalles ci-dessous est l'ensemble de définition de la fonction $g$.
%
%Déterminer lequel.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%$]0~;~+ \infty[$&$]-1~;~+ \infty[$&$[-1~;~+ \infty[$ \\
%\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
%\end{tabularx}
La fonction $g$ est définie si $f(x) > 0$ soit comme on vient de le voir sur $]1~;~+ \infty[$. Réponse B.
\medskip

\textbf{Question 4 :}
 
%$g'$ est la fonction dérivée de la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln[f(x)]$.
%
%Déterminer laquelle de ces affirmations est vraie.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%$g'(1) \times g'(2) > 0$&$g'(1) \times g'(2) =  0$&$g'(1) \times g'(2) <0$ \\
%\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
%\end{tabularx}
Si $g(x) = \ln[f(x)]$, alors $g'(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$.

Donc $g'(1) \times g'(2) = \dfrac{f'(1)}{f(1)} \times \dfrac{f'(2)}{f(2)} = \dfrac{f'(1)f'(2)}{f(1)f(2)}$.

Or $f(1) > 0,\:f(2) > 0, f'(1) < 0$ et $f'(2) < 0$, donc $g'(1) \times g'(2) > 0$. Réponse A.
\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le jeu d'échecs est un jeu à deux joueurs. L'un joue avec des pièces et pions clairs appelés \og blancs \fg, l'autre avec des pièces et pions foncés appelés les \og noirs \fg. Une partie d'échecs se termine soit par la victoire des \og blancs \fg, soit par la victoire des \og~noirs \fg, soit par un nul sans vainqueur.
%
%\medskip
%
%Le président d'un club d'échecs a établi une enquête statistique sur les parties jouées par ses adhérents lors de tournois avec d'autres clubs, depuis la création de ce club.
%
%Pour les adhérents de ce club, l'analyse des résultats a conduit aux constatations suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 45\,\% des parties ont été jouées avec les blancs,
%\item[$\bullet~$] 70\,\% des parties jouées avec les blancs ont été gagnantes,
%\item[$\bullet~$] 25\,\% des parties jouées avec les blancs ont été perdantes,
%\item[$\bullet~$] 4\,\% des parties jouées avec les noirs ont fini par un nul,
%\item[$\bullet~$] pour les parties jouées avec les noirs, il y a eu autant de parties gagnées que perdues.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Le président de ce club choisit au hasard une partie jouée par un de ses adhérents pour l'étudier.
%
%\medskip
%
% On appellera
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] B l'évènement : \og La partie choisie est jouée avec les blancs \fg, 
%\item[] N l'évènement : \og La partie choisie est jouée avec les noirs \fg,
%\item[] V l'évènement : \og La partie choisie se termine par une victoire \fg, 
%\item[] E l'évènement : \og La partie choisie se termine par un nul \fg,
%\item[] D l'évènement : \og La partie choisie se termine par une défaite \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité de l'évènement N.
$p(N) = 1 - p(B) = 1 - 0,45 = 0,55$.
\item ~%Représenter la situation par un arbre pondéré.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$~}\taput{0,45}}
	{\TR{$V$}\taput{0,7}
	\TR{$E$}\taput{0,05}
	\TR{$D$}\tbput{0,25}
	}
\pstree{\TR{$N$~}\tbput{0,55}}
	{\TR{$V$}\taput{0,48}
	\TR{$E$}\taput{0,04}
	\TR{$D$}\tbput{0,48}
	}
}
\end{center}
\medskip

\item %Justifier que la probabilité de l'évènement \og La partie choisie est jouée avec les noirs et est gagnée \fg est égale à $0,264$.
On a $p(N \cap V) = p(N) \times p_N(V) = 0,55 \times 0,48 = 0,264$.
\item %Calculer la probabilité que la partie choisie se termine par une victoire.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(V) = p(B \cap V) +  p(N \cap V)$.

Or $p(B \cap V) = p(B) \times p_B(V) = 0,45 \times 0,7 = 0,315$. Donc 

$p(V) = p(B \cap V) +  p(N \cap V) = 0,315 + 0,264 = 0,579$.
\item %Sachant que la partie choisie se termine par une victoire, calculer la probabilité qu'elle ait été jouée avec les noirs et donner sa valeur décimale arrondie au millième.
$p_V(N) = \dfrac{p(V \cap N)}{p(V)} = \dfrac{0,264}{0,579} \approx \np{0,47323} \approx 0,473$ au millième près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Dans le cadre de la restructuration de son entreprise, afin de garantir la stabilité du nombre d'emplois, le directeur souhaite qu'à long terme plus de 82\,\% de ses employés ne travaillent que le matin.
%
%Pour cela, il décide que désormais :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 20\,\%  des employés travaillant le matin une semaine donnée travaillent l'après-midi la semaine suivante.
%\item[$\bullet~$] 5\,\% des employés travaillant l'après-midi une semaine donnée travaillent aussi l'après-midi la semaine suivante.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note : 
%
%A : \og L'employé travaille le matin \fg
%
%B : \og L'employé travaille l'après-midi \fg
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(7,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.2cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu,arrowsize=3pt 2}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}
\cnodeput(6.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.8}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.8}}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B} 
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}
\rput(3.5,1.75){$0,2$}\rput(0.,1){$0,8$}\rput(7.2,1){$0,05$}
\rput(3.5,0.25){$0,95$} 
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  %Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
En respectant l'ordre alphabétique des sommets, la matrice de transition $M$ de ce graphe est $M = \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,95&0,05\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item %La semaine notée $0$, semaine de la décision, 60\,\% des employés travaillent le matin et les autres l'après-midi.
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner la matrice ligne notée P$_{0}$ décrivant l'état initial des employés dans cette entreprise.
On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,6\\0,4\end{pmatrix}$.
		\item  %Calculer la probabilité qu'un employé travaille le matin lors de la semaine 2, deuxième semaine après la prise de décision.
La deuxième semaine l'état probabiliste est :

$P_2 = P_0 \times M^2 = \begin{pmatrix}0,6\\0,4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,95&0,05\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0,821&0,179\end{pmatrix}$.

La probabilité qu'un employé travaille le matin la deuxième semaine est égale à 0,821.
	\end{enumerate}
\item %Soit P $= (x \quad  y)$ l'état probabiliste stable.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que $x$ et $y$ vérifient l'égalité $x = 0,8x+ 0, 95y$.
La matrice de transition ne contenant pas  de terme nul l'état stable P est la limite de $P_n$ et vérifie l'équation :

$\text{P} = \text{P}M \iff \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\times  \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,95&0,05\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8x + 0,95y&0,2x + 0,05y\end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0,8x + 0,95y\\y&=&0,2x + 0,05y\end{array}\right.$.

Ainsi $x$ et $y$ vérifient l'équation : $x = 0,8x + 0,9y$.
		\item  %Déterminer $x$ et $y$.
En reprenant le système précédent :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0,8x + 0,95y\\y&=&0,2x + 0,05y\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
0,2x&=&0,95y\\y&=&0,2x + 0,05y\end{array}\right.$

Or on sait que $x + y = 1$, donc $y = 1 - x$, d'où $0,2x = 0,95(1  - x) \iff 0,2x = 0,95 - 0,95x \iff 1,15x = 0,95 \iff 115x = 95 \iff 23x = 19 \iff x = \dfrac{19}{23}$ et par conséquent $y = 1 - \dfrac{19}{23} = \dfrac{4}{23}$.

Donc P $ = \begin{pmatrix}\dfrac{19}{23}&\dfrac{4}{23}\end{pmatrix}$.
		\item  %Le souhait du directeur de cette entreprise est-il réalisable ? Justifier la réponse.
		Le résultat précédent signifie qu'à terme $\dfrac{19}{23} \approx 0,826$ soit à peu près 82,6\,\% des employés travailleront le matin : le souhait du directeur est réalisable.
 	\end{enumerate}
\item %On admet qu'un an après cette décision la probabilité qu'un employé travaille le matin est égale
%à $\dfrac{19}{23}$. On choisit alors quatre employés au hasard. Le grand nombre d'employés de l'entreprise permet d'assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.

%Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre employés travaille l'après-midi et donner sa valeur décimale arrondie au millième.
La loi de probabilité associée à la variable égale au nombre d'employés travaillant le matin est une loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = \dfrac{19}{23}$.

La probabilité qu'aucun des employés ne travaille l'après-midi est égale à la probabilité que les quatre travaillent le matin qui est égale à $\left(\dfrac{19}{23} \right)^4$.

La probabilité demandée est donc égale à :

$ 1 - \left(\dfrac{19}{23} \right)^4 = \dfrac{23^4 - 19^4}{23^4} \approx \np{0,5343} \approx 0,534$.

La probabilité qu'au moins un des quatre employés travaille l'après-midi est d'environ 0,534.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le tableau suivant donne l'évolution du montant des exportations de biens et services de la Chine exprimé en milliards de dollars constants, sur la période 2000-2005.
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année 									&2000	&2001	&2002	&2003	&2004	&2005\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$					&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
%Montant des exportations en 
%milliards de dollars constants $y_{i}$	&280	&299	&365	&485	&656	&837 \\ \hline
%\multicolumn{7}{r}{\emph{Source : La banque Mondiale.}}
%\end{tabularx}
%
%\medskip
	
\begin{enumerate}
\item  %Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal.

\medskip

%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
%\begin{pspicture}(-1,-100)(7,900)
%\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,900)}
%\multido{\n=0+100}{10}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt,linecolor=orange](0,\n,)(7,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.5,-50)(7,900)
%\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,280)(2,299)(3,365)(4,485)(5,656)(6,837)
%\uput[d](7,0){$x$} \uput[l](0,900){$y$}\uput[dl](0,0){$0$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Un ajustement affine semble-t-il adapté ? Justifier.
Le nuage de points n'a pas une forme allongée  ; un ajustement affine ne semble pas  adapté. 
\item  %On pose, pour $i$ variant de 1 à 6, $z_{i} =  \ln y_{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Recopier et compléter le tableau suivant avec les valeurs de $z_{i}$  arrondies au centième :
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.25}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$				&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&5,63	&5,70	&5,90 	&6,18	&6,49	&6,73\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  %On décide d'envisager un ajustement affine de la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$, pour $i$ variant de 1 à 6.
		
%Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z = \ln y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.
Après arrondi au millième des coefficients donnés par la calculatrice on obtient 

$z = 0,233x + 5,29$.
		\item  %En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = A\text{e}^{Bx}$, $A$ étant arrondi l'unité et $B$ au millième.
On a $z = \ln y = 0,233x + 5,29 \iff y = \text{e}^{0,233x + 5,29} \iff y =  \text{e}^{5,29}\times \text{e}^{0,233x}$.

Or $ \text{e}^{5,29} \approx 198,3 \approx 198$ à l'unité près. Donc :

$ \approx 198\text{e}^{0,233x}$.
	\end{enumerate}

\medskip

%\emph{Dans la question suivante, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
\item %On admet que cet ajustement reste fiable à moyen terme, avec $A = 198$ et $B = 0,233$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Estimer, par le calcul, le montant des exportations de biens et services de la Chine pour l'année 2008 arrondi au milliard de dollars constants.
2008 correspond au rang $x = 9$ d'où une estimation du montant des exportations égal à environ :

$y =  198\text{e}^{0,233 \times 9} =  198\text{e}^{2,097} \approx \np{1612,06} \approx \np{1612}$~milliards de dollars.  
		\item %Selon ce modèle, peut-on affirmer que le pourcentage d'augmentation des exportations de biens et services de la Chine entre les années 2000 et 2008 sera supérieur à 450\,\% ? Justifier votre réponse.
De 2000 à 2008 les exportations sont passées de 280 à \np{1612} soit un pourcentage d'augmentation de $\left(\dfrac{\np{1612}}{280}  - 1\right) \times 100 \approx 475$\,\%.

Ce pourcentage est bien supérieur à 450\,\%. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$  par :
%
%\[f(x) = \dfrac{5x - 5}{\text{e}^x}.\]
%
%On nomme $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans le plan (P) muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$.
$f(0) = \dfrac{5 \times 0 - 5}{\text{e}^0} = - 5$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
		
%$f(x) = \dfrac{5 - \dfrac{5}{x}}{\dfrac{\text{e}^x}{x}}$.
Pour $x > 0$, \: f(x) = \dfrac{\frac{5x - 5}{x}}{\frac{\text{e}^x}{x}} = \dfrac{5 - \frac{5}{x}}{\frac{\text{e}^x}{x}}$
		\item  %En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{5}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 5 - \dfrac{5}{x} = 5$.
		
D'autre part on sait que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, d'où finalement par quotient de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
Graphiquement ce résultat signifie que l'axe des abscisses est asymptote à  $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que pour tout nombre réel $x$ positif : $f'(x) = \dfrac{-5x+10}{\text{e}^x}$.
Le dénominateur de $f$ étant supérieur à zéro, la fonction est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{5\text{e}^x - \text{e}^x(5x - 5)}{\left(\text{e}^x \right)^2} = \dfrac{\text{e}^x(5  - 5x + 5)}{\left(\text{e}^x \right)^2} = \dfrac{\text{e}^x(10  - 5x)}{\left(\text{e}^x \right)^2}$.		 
		\item  %Étudier le signe de la fonction $f'$.
Le dénominateur et $\text{e}^x$ sont supérieurs à zéro, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $10 - 5x$; d'où :

$\bullet~~$$10 - 5x > 0 \iff 10 > 5x \iff x < 2$ : sur [0~;~2] $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante de $f(0) = - 5$ à $f(2) = \dfrac{5}{\text{e}^2} = 5\text{e}^{- 2} \approx 0,68$ ;

$\bullet~~$$10 - 5x < 0 \iff 10 < 5x \iff x > 2$ : sur $[2~;~+ \infty[$ $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante de $f(2) = 5\text{e}^{- 2}$ à $0$. (limite en plus l'infini)
		\item  %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Voir la question précédente.
	\end{enumerate}
\item ~%Représenter graphiquement la courbe $(\mathcal{C})$ dans le plan (P).
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-6.1)(8,1.1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-6)(8,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=blue,subgridwidth=0.2pt](0,-6)(8,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{8}{5 x mul 5 sub 2.71828 x exp div}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1}{4}{5 x mul 5 sub 2.71828 x exp div}
\psline(4,0)(1,0)}
\uput[u](5,0.2){\cyan $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : $F(x) =  - 5x\text{e}^{-x}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
$F$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = - 5\text{e}^{-x} - 5x \times (- 1)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(- 5  + 5x) = (5x - 5)\text{e}^{-x} = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item  %On considère l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$, du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x~=~1$ et $x = 4$.
On a $f(1) = 0$ et sur [1~;~2] la fonction $f$ est croissante donc sur cet intervalle  $f(x) \geqslant 0$.

D'autre part on a vu que sur $[2~;~+ \infty[$, \: $f$ est décroissante mais est supérieure à zéro.

Conclusion : sur [1~;~4], $f(x) \geqslant 0$.

Par conséquent l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$, du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x~=~1$ et $x = 4$ est égale à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^4 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^4 = F(4) - F(1) = - 5\times 4\text{e}^{-4} - \left[- 5\times 1\text{e}^{-1}  \right] = 5\text{e}^{-1} - 20\text{e}^{-4}$

$ \approx 1,473 \approx 1,47$~unité d'aire au centième près.		
%Hachurer ce domaine sur le graphique précédent.
 
%Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}