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% Tapuscrit Denis Vergès
% Corrigé François Hache
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {TES Métropole--La Réunion},
pdftitle = {13 septembre 2018},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L - Corrigé}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 13 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Metropoleseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES/L~\decofourright\\[5pt]
 Métropole--La Réunion 13 septembre 2018}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
% Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou
%l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
% 
\medskip

\parbox{0.53\linewidth}{\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-contre :

On affecte 3 à la variable $N$.

Que contient la variable $S$, arrondie au dixième, à la fin de l'exécution de
l'algorithme ?
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.43\linewidth}
{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$v \gets 9$\\
$S \gets 9$\\
Pour $i$ allant de 1 à $N$\\
\hspace{0.5cm}$v \gets 0,75 \times v$\\
\hspace{0.5cm}$S \gets S + v$\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabularx}
}

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{\hspace{1.3cm}}*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \fbox{$24,6$} &\textbf{b.~~} $-25$ &\textbf{c.~~} 27 &\textbf{d.~~} 20,8
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{1.5cm}} | p{0.95\linewidth}}
On suit les variables en faisant tourner l'algorithme:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
N & v & S\\
\hline
 & 9 & 9\\
\hline
1 & 0,75\times 9 & 9+0,75\times 9\\
\hline
2 & 0,75^2\times 9 & 9+0,75\times 9 + 0,75^2\times 9\\
\hline
3 & 0,75^3\times 9 & 9+0,75\times 9 + 0,75^2\times 9 + 0,75^3\times 9\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

$9+0,75\times 9 + 0,75^2\times 9 + 0,75^3\times 9\approx 24,6$.\\
\textbf{Réponse a.}
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Soit $a$ un réel, l'expression $\dfrac{2\e^{a - 1}}{\left(\e^a\right)^2}$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1 &\textbf{b.~~} $2\e^{3a-1}$ &\textbf{c.~~}$\e^{-2}$&
\textbf{d.~~}\fbox{$\dfrac{2}{\e^{a + 1}}$} 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}} | p{0.95\linewidth}}
$\dfrac{2\e^{a - 1}}{\left(\e^a\right)^2} = \dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}
= 2\e^{a-1-2a} = 2\e^{-a-1} = \dfrac{2}{\e^{a+1}}$\\
\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\medskip

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.

\smallskip

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée de $f'$.

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-7,-0.65)(7,0.65)
\multido{\n=-7+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.65)(\n,0.65)}
\multido{\n=-0.6+0.2}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](-7,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(-7,-0.65)(7,0.65)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2](0,0)(0,0)(7,0.65)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{7}{x x dup mul 1 add div}
\uput[d](-4.5,-0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-1,-0.3)(6,-0.3)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-0.333,-0.3)(-0.333,0)
\end{pspicture}
}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le nombre de solutions dans $[-7~;~7]$ de l'équation $f'(x) = 0$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0 &\textbf{b.~~}1 &\textbf{c.~~}\fbox{2} &\textbf{d.~~}3
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}} | p{0.95\linewidth}}
Il semble qu'il existe deux tangentes horizontales à la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $[-7\,; 7]$.\\
\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\medskip
 
\item Une valeur approchée de la solution de l'équation $f(x) = - 0,3$ sur l'intervalle $[-1~;~6]$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-3$ &\textbf{b.~~} \fbox{$-0,3$} &\textbf{c.~~} 0,3 &\textbf{d.~~} 3
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}} | p{0.95\linewidth}}
Voir les tracés en tirets sur le graphique.\\
\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item Le nombre de points d'inflexion dans $[- 7~;~7]$ de $\mathcal{C}_f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$0$ &\textbf{b.~~}1 &\textbf{c.~~}2 &\textbf{d.~~} \fbox{3}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}} | p{0.95\linewidth}}
Il semble que les tangentes traversent la courbe 3 fois sur l'intervalle $[-7\,; 7]$.\\
\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes.}
%
%\medskip
%
%\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, au millième.}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude réalisée dans des écoles en France indique que 12,9\,\% des élèves sont gauchers. Parmi ces gauchers, on trouve 40\,\% de filles.

On choisit au hasard un élève et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
$\bullet~~$ $G$ : \og l'élève est gaucher \fg{} ;\hfill
$\bullet~~$ $F$ : \og l'élève est une fille \fg.\hfill
\setlength\parindent{0mm}

%\emph{Pour tout évènement $A$, on note $p(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire. De plus, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, on note $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'arbre pondéré ci-dessous  traduit les données de l'exercice:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1cm,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$G$} \naput{$0,129$}}
	{\TR{$F$} \naput{$0,40$}
	\TR{$\overline{F}$}\nbput{\blue $1-0,40=0,60$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{G}$} \nbput{\blue $1-0,129= 0,871$}}
	{\TR{$F$} \naput{\ldots}
	\TR{$\overline{F}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item La probabilité que l'élève choisi soit une fille gauchère est:

$P(G \cap F) = P(G)\times P_{G}(F)=0,129\times 0,40 = \np{0,0516}$.

\item Dans ces écoles, il y a 51\,\% de filles donc $P(F)=0,51$.

D'après la formule des probabilités totales $P(F)= P(G\cap F) + P(\overline{G}\cap F)$, ce qui équivaut à \\
$0,51= \np{0,0516} + P(\overline{G}\cap F)$ ce qui donne $P(\overline{G}\cap F) = \np{0,4584}$.

%Montrer que $p\left(\overline{G} \cap  F\right) = \np{0,4584}$.

\item Sachant que l'on est en présence d'une élève fille, la probabilité qu'elle soit droitière est:

$P_{F}(\overline{G}) = \dfrac{P(\overline{G}\cap F)}{P(F)} = \dfrac{\np{0,4584}}{0,51}\approx 0,899$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En France, la proportion de gauchers est de 13\,\% donc on prendra $p=0,13$.

Un club d'escrime compte $230$ adhérents dont $110$ gauchers.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fréquence de gauchers observée dans le club d'escrime est
$f=\dfrac{110}{230} \approx 0,478$.

\item À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%, on va déterminer si le club d'escrime est représentatif de la population française.

Autrement dit on va tester l'hypothèse $p=0,13$ dans l'échantillon du club d'escrime composé de $n=230$ membres.

$n=230 \geqslant 30$, $np= 230\times 0,13 = 29,9 \geqslant 5$ et $n(1-p) = 230 (1-0,13) = 200,1 \geqslant 5$ donc il est légitime de déterminer un intervalle de fluctuation de la proportion $p$ de gauchers au seuil de $95\,\%$:

\smallskip

$I=\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]\\[5pt]
\phantom{I}
=\left[ 0,13- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,13\left(1-0,13\right)}}{\ds \sqrt{230}}\:;\: 0,13 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,13\left(1-0,13\right)}}{\ds\sqrt{230}} \right]
\approx \left [ 0,086\,; 0,174\strut\right ]$

\smallskip

La fréquence $f$ de gauchers dans l'échantillon est de $0,478$; elle n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation, donc le club d'escrime n'est pas représentatif de la population, au risque de 5\,\%.

 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs gauchers est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_1 = 268$ et d'écart type $\sigma_1 = 20$.

Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs droitiers est modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_2 = 280$ et d'écart type $\sigma_2 = 22$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À la calculatrice, on trouve  $P(X \leqslant 300)\approx 0,945$ et $P(Y \leqslant 300)\approx 0,818$.
		\item% Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.
On peut donc dire qu'un gaucher a une probabilité plus grande de réagir en moins de 300 millisecondes qu'un droitier.		
		
	\end{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ représentent les fonctions de densité des variables aléatoires $X$ et $Y$.
	
%Indiquer, pour chaque variable aléatoire $X$ et $Y$, la courbe correspondante. Justifier.

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm,yunit=150cm,algebraic=true,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.005)(160,0.0275)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=200,Dx=10,Dy=0.005,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(160,0.0275)
%\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=84,sigma=20]{0}{160}
\def\f{1/(20*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-68)/20)^2)/2)}
\def\g{1/(22*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-80)/22)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{160}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{160}{\g}
\multido{\n=0+10}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.0275)}
\multido{\n=0.000+0.005}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(160,\n)}
\uput[ul](40,0.0065){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linecolor=blue](68,0)(68,0.025)
\uput[ur](100,0.011){$\mathcal{C}'$}
\psline[linestyle=dashed](80,0)(80,0.025)
\end{pspicture}
\end{center}

La courbe représentant une loi normale de moyenne $\mu$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$. La courbe $\mathcal{C}'$ semble symétrique par rapport à la droite d'équation $x=280$, donc elle correspond à la variable aléatoire $Y$. Et donc la courbe $\mathcal{C}$ correspond à la variable aléatoire $X$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Une école de danse a ouvert ses portes en 2016. Cette année là, elle comptait $800$ inscrits.

Chaque année, elle prévoit une augmentation de 15\,\% des inscriptions ainsi que $90$
désinscriptions.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'inscrits l'année $2016+n$.

\smallskip

Chaque inscrit paye une cotisation annuelle de $150$ euros, sur laquelle l'école conserve un bénéfice de $20$~euros après avoir payé tous ses frais fixes. L'école économise ce bénéfice afin de construire une nouvelle salle de danse. Pour cela, elle a besoin d'un budget de \np{125000}~euros.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée en annexe.

Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne C soient arrondis à
l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La formule que l'on saisit  en C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre
d'inscrits l'année de rang $n$ est
\fbox{\texttt{= C2 * 1,15 - 90}}.

\item La formule que l'on saisit en E3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l'année de rang $n$ est 
\fbox{\texttt{= E2 + D3}}

\item On complète sur le tableau donné, les six cellules des lignes qui correspondent aux années 2021 et 2022.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  & A 		&B 				&C 					&D 				&E\\ \hline
1 &année 	&rang de l'année &nombre d'inscrits &bénéfice annuel &bénéfices cumulés\\ \hline
2 &2016 	&0 				&800 				&\np{16000} 		&\np{16000}\\ \hline
3 &2017 	&1 				&830 				&\np{16600} 		&\np{32600}\\ \hline
4 &2018 	&2 				&865 				&\np{17300} 		&\np{49900}\\ \hline
5 &2019 	&3 				&904 				&\np{18080} 		&\np{67980}\\ \hline
6 &2020 	&4 				&950 				&\np{19000} 		&\np{86980}\\ \hline
7 &2021 	&5				&\textcolor{blue}{\np{1003}}&\textcolor{blue}{\np{20060}}	& \textcolor{blue}{\np{107040}}\\ \hline
8 &2022 	&6				&\textcolor{blue}{\np{1063}}					&	\textcolor{blue}{\np{21260}}				& \textcolor{blue}{\np{128300}}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item %En quelle année l'école pourra-t-elle construire sa nouvelle salle de danse ?
L'école dépassera \np{125000} euros comme bénéfices cumulés en 2022, c'est donc en 2022 qu'elle pourra construire sa nouvelle salle de danse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n$, \:$u_{n+1} = 1,15u_n - 90$ et préciser $u_0$.
On passe du nombre d'inscrits l'année $n$ au nombre d'inscrits l'année $n+1$ en ajoutant 15\,\%, donc en multipliant par $1+\dfrac{15}{100}=1,15$ puis en retranchant 90; donc, pour tout$n$, on a\\
 $u_{n+1}=1,15 u_n -90$.

Le nombre d'inscrits en 2016 est 800 donc  $u_0=800$.

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout $n$, par $v_n = u_n - 600$, donc $u_n=v_n+600$.
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
$v_{n+1} = u_{n+1}-600=1,15u_n - 90 - 600 = 1,15\left ( v_n+600\right )-690 = 1,15 v_n +690 -690 = 1,15 v_n$

$v_0=u_0-600 = 800-600=200$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1,15$ et de premier terme $v_0=200$.
%Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
	
		\item On en déduit que, pour tout entier naturel $n$,  $v_n=v_0\times q^n = 200 \times 1,15^n$.
		
		\item De $v_n = 200 \times 1,15^n$ et $u_n=v_n+600$, on déduit que $u_n = 200 \times  1,15^n + 600$.
	\end{enumerate}
\item Cette école accueillera plus de \np{2000} adhérents pour la première valeur de $n$ telle que $u_n>\np{2000}$; on résout cette inéquation:

$\begin{array}{@{} l @{\iff}  l @{\iff} l}
u_n>\np{2000} & 200\times 1,15^n +600 > \np{2000} & 200 \times 1,15^n > \np{1400}\\
	                        & 1,15^n > 7                                              & \ln\left ( 1,15^n\right ) > \ln(7)\\
	                        & n \ln(1,15) > \ln(7)                               & n> \dfrac{\ln(7)}{\ln(1,15}
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln(7)}{\ln(1,15} \approx 13,9$ donc c'est à partir de $n=14$ donc de $2016+14=2030$ que le nombre d'élèves de cette école dépassera \np{2000}.

\end{enumerate}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\textbf{Partie A}

\medskip

Un investisseur immobilier doit visiter plusieurs biens à vendre dans une ville. 

Le graphe ci-contre représente le plan de la ville. Les biens à visiter sont identifiés par les lettres A, B, C, D, E, F et G. 

Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minute, entre deux biens.} 
\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(12,6.7)
\cnodeput(0.4,7){A}{A} \cnodeput(4,6.5){B}{B} \cnodeput(3,3.3){C}{C}
\cnodeput(10,4){D}{D} \cnodeput(6.4,2){E}{E} \cnodeput(0.8,0.2){F}{F}
\cnodeput(8.7,0.2){G}{G}
%\begin{footnotesize}
\ncline{A}{B}\ncput*{8} \ncline{A}{C}\ncput*{12} \ncline{F}{A}\ncput*{14}
\ncline{C}{B}\ncput*{11} \ncline{B}{D}\ncput*{16} \ncline{B}{E}\ncput*{15}
\ncline{C}{E}\ncput*{10} \ncline{F}{C}\ncput*{19} \ncline{F}{E}\ncput*{9}
\ncline{E}{D}\ncput*{6} \ncline{G}{D}\ncput*{6} \ncline{F}{G}\ncput*{19}
%\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Afin de découvrir la ville, l'investisseur souhaite emprunter, une fois et une seule, chacune des rues reliant les biens.% Quelles caractéristiques du graphe permettent d'affirmer qu'il existe un tel trajet ?

Ce graphe est connexe car deux sommets quelconques peuvent être reliés entre eux par une chaîne; par exemple la chaîne A - B - C - F - E - D - G permet de relier deux sommets quelconques du graphe.

On détermine les degrés des sommets:

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
Sommet & A & B & C & D & E & F & G \\
\hline
Degré & 3 & 4 & 4 & 3 & 4 & 4 & 2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
		
Le graphe est connexe et il a exactement 2 sommets de degrés impairs, A et D, donc, d'après le théorème d'Euler, il existe des trajets empruntant une et une seule fois chacune des rues reliant les biens. Ces trajets peuvent partir de A pour arriver à D, ou partir de D pour arriver à A. 
		
		\item %Donner un exemple d'un tel trajet et préciser sa durée en minute.
Par exemple le trajet d'une durée totale de 145 minutes:

A $\stackrel{8}{\longrightarrow}$ B $\stackrel{11}{\longrightarrow}$ C $\stackrel{12}{\longrightarrow}$ A $\stackrel{14}{\longrightarrow}$ F $\stackrel{19}{\longrightarrow}$ C $\stackrel{10}{\longrightarrow}$ E $\stackrel{9}{\longrightarrow}$ F $\stackrel{19}{\longrightarrow}$ G $\stackrel{6}{\longrightarrow}$ D $\stackrel{6}{\longrightarrow}$ E $\stackrel{15}{\longrightarrow}$ B $\stackrel{16}{\longrightarrow}$ D

	\end{enumerate}
\item Lorsque l'investisseur immobilier termine ses visites par le bien A, il souhaite revenir au bien G le plus rapidement possible; on va déterminer ce plus court chemin à l'aide de l'algorithme de Dijkstra.% Quelle est sa durée en minute ?

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%                               cellule grisée
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
A &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   &   G   &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A \\
\hline
\cgr & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \sur{8 A} & 12 A &  &  &14 A  &  &  B \\
\hline
\cgr & \cgr & \sur{12 A} & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & 14 A & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \sout{19 B}& 24 B  & 23 B &  &  &  C \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & 24 B & \sout{23 B} & \sur{14 A} & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &         & 22 C              & \sout{31 C} &  &  F \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & 24 B & \sur{22 C} & \cgr & \sout{ $\infty$ } &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &         & \sout{23 F}    & \cgr & 33 F  &  E \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & \sur{24 B} & \cgr & \cgr & 33 F &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &  \sout{28 E}       & \cgr    & \cgr &   &  D \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr  & \cgr & \cgr & \sout{33 F} &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &  \cgr & \cgr    & \cgr & \sur{30 D}  &  G \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le trajet le plus rapide est:
A $\stackrel{8}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{16}{\longrightarrow}$
D $\stackrel{6}{\longrightarrow}$ G;
il dure 30 minutes..

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'investisseur commande une étude sur la population de sa ville qui lui révèle qu'en 2018,
80\,\% des locataires occupent un studio et 20\,\% des locataires occupent un T2 (appartement de deux pièces).

Le nombre total de locataires ne varie pas mais chaque année :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la moitié des locataires en studio le conserve tandis que l'autre moitié change pour un T2 ;
\item[$\bullet~~$] un quart des locataires en T2 change pour un studio tandis que les autres conservent leur T2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère les événements suivants:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $S$ : \og le locataire occupe un studio \fg{};
\item[$\bullet~~$] $T$ : \og le locataire occupe un T2 \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets S et T.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{S}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{T}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$0,5$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$0,25$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$0,5$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$0,75$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG,ArrowInside=->]{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc[ArrowInside=->]{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

\item Pour tout entier naturel $n$, on note $s_n$ la proportion de locataires en studio et $t_n$ la proportion de locataires en T2 l'année $2018 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item% Donner la matrice de transition associée à ce graphe.
D'après le texte, on a:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
s_{n+1} & 0,5\,s_n + 0,25\,t_n\\
t_{n+1} & 0,5\,s_n + 0,75\,t_n
\end{array}
\right .$

Ce qui s'écrit sous forme matricielle:

$\begin{pmatrix}
s_{n+1} & t_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s_{n} & t_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,5 & 0,5 \\ 0,25 & 0,75
\end{pmatrix}$ 
{\blue
ou
$\begin{pmatrix}
s_{n+1} \\ t_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,5 & 0,25 \\ 0,5 & 0,75
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s_{n} \\ t_{n}
\end{pmatrix}$
}

La matrice de transition est donc

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $M=\begin{pmatrix}
0,5 & 0,5 \\ 0,25 & 0,75
\end{pmatrix}$
si l'état à l'instant $n$ est représenté par une matrice ligne.

On a alors, en posant 
$P_n=
\begin{pmatrix}
s_{n} & t_{n}
\end{pmatrix}$,
pour tout $n$, $P_{n+1}=P_nM$.
\item {\blue
$M=\begin{pmatrix}
0,5 & 0,25 \\ 0,5 & 0,75
\end{pmatrix}$
si l'état à l'instant $n$ est représenté par une matrice colonne.

On a alors, en posant 
$P_n=
\begin{pmatrix}
s_{n} \\ t_{n}
\end{pmatrix}$,
pour tout $n$, $P_{n+1}=MP_n$.
}
\end{list}

		\item% Donner l'état initial du graphe.
D'après le texte, l'état initial est donné par \\
la matrice ligne
$P_0 = \begin{pmatrix}
0,8 & 0,2
\end{pmatrix}$
{\blue
ou la matrice colonne
$P_0=\begin{pmatrix}
0,8 \\ 0,2
\end{pmatrix}$		
}

		\item %Quel sera le pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, de locataires en studio en 2023 ?
$2023 = 2018+5$ donc le pourcentage de locataires en studio en 2023 est $s_5$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Version ligne}

On sait que, pour tout $n$, $P_{n+1}=P_nM$, d'où on déduit que $P_5=P_0M^5$.

À la calculatrice, on trouve 
$P_5\approx \begin{pmatrix}
0,334 & 0,666
\end{pmatrix}$.

\item {\blue
 \textbf{Version colonne}

On sait que, pour tout $n$, $P_{n+1}=MP_n$, d'où on déduit que $P_5=M^5P_0$.

À la calculatrice, on trouve 
$P_5\approx \begin{pmatrix}
0,334 \\ 0,666
\end{pmatrix}$.
}
\end{list}		
	
Il y aura donc environ $33,3\,\%$ de locataires en studio en 2013.

\medskip

\emph{Remarque du correcteur}

En terminale ES, les matrices lignes ne sont pas au programme officiel mais on les utilise souvent dans ce genre d'exercice dans le supérieur; la matrice de transition est alors \og stochastique \fg{}.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Une entreprise vend des voitures télécommandées. La vente mensuelle varie entre \np{1000} et \np{5000}~voitures.
Une étude montre que la recette mensuelle totale de l'entreprise est de \np{70000} euros
lorsqu'elle vend \np{1000} voitures.
On note $r(x)$ la recette mensuelle réalisée par l'entreprise, exprimée en dizaine de milliers d'euros, pour la vente de $x$ milliers de voitures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $r(1)$ est la recette correspondant à la vente de $\np{1000}$ voitures, donc $\np{70000}$ euros. Donc $r(1)=7$.

\item On admet que, pour tout $x \in [1~;~5]$, la recette mensuelle est modélisée par :
$r(x) = 6 + x + 2\ln (x)$.

	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que, pour tout $x \in [1~;~5]$, $r'(x) = \dfrac{x+2}{x}$.
Pour tout $x \in [1~;~5]$, $r'(x)=0+1+2\times \dfrac{1}{x} = 1+\dfrac{2}{x} = \dfrac{x+2}{x}$.
		
		\item Sur l'intervalle $[1~;~5]$, $x>0$ et $x+2>0$ donc $r'(x)=\dfrac{x+2}{x}>0$ donc la fonction $r$ est strictement croissante.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que l'équation $r(x) = 10$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1~;~5]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ au millième.
$r(1)= 7<10$ et $r(5) = 6+5+ 2\ln(5) = 11+ 2\ln(5) \approx 14,2 >10$

La fonction $r$ est strictement croissante sur $[1\,; 5]$.

Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $r(x)=10$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[1\,; 5]$.

En utilisant la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \np{2,318}$.

		\item 
Pour $x=\alpha$ donc pour une vente de \np{2318} voitures, la recette est de 	$\np{100000}$ euros; on sait que la fonction $r$ est strictement croissante, donc pour avoir une recette d'au moins $\np{100000}$ euros, il faut vendre plus de $\np{2318}$ voitures soit au moins $\np{2319}$..	
%		Déterminer le nombre minimal de voitures télécommandées vendues à partir duquel l'entreprise réalise une recette supérieure à \np{100000}~euros.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in [1~;~5]$ par $g(x) = 2\ln (x)$.
		
Soit		 la fonction $G$ définie pour tout $x \in [1~;~5]$ par $G(x) = 2x\left [ \ln (x) - 1\strut\right ]$.

$G'(x)=2\times \left [ \ln (x) - 1\strut\right ] + 2x \times \left [ \dfrac{1}{x} - 0\strut\right ]
= 2\ln(x) -2+2=2\ln(x) = g(x)$

Donc $G$ est une primitive de $g$ sur $[1\,; 5]$.

		\item% En déduire une primitive $R$ de la fonction $r$ sur l'intervalle $[1~;~5]$.
La fonction $r$ est définie par $r(x) = 6+x+2\ln(x)$ autrement dit $r(x)=6+x+g(x)$; elle a pour primitive la fonction $R$ définie par $R(x)=6x + \dfrac{x^2}{2} + G(x)$ soit $R(x)=6x+\dfrac{x^2}{2} + 2x\left [ \ln (x) - 1\strut\right ]$, ou encore $R(x)=4x+\dfrac{x^2}{2} +2x\ln(x)$.
		
		\item La valeur moyenne de la recette totale lorsque l'entreprise vend entre \np{2000} et \np{4000} voitures télécommandées est dix mille fois la valeur moyenne de la fonction $r$ entre 2 et 4.
		
$\dfrac{1}{4-2} \ds\int_{2}^{4} r(x) \d x = \dfrac{1}{2} \left [ R(4) - R(2) \strut \right ]
= \dfrac{1}{2} \left [ \left (16 + \dfrac{16}{2} +8\ln(4)\right ) - \left ( 8 + \dfrac{4}{2} + 4\ln(2) \right )\right ]\\
\phantom{\dfrac{1}{4-2} \ds\int_{2}^{4} r(x) \d x}
= \dfrac{1}{2} \left [ 24 +8\ln(4) -8 - 2 -4\ln(2) \strut \right ]
= \dfrac{1}{2} \left [ 14 +16\ln(2)-4\ln(2) \strut\right ]\\
\phantom{\dfrac{1}{4-2} \ds\int_{2}^{4} r(x) \d x}
= \dfrac{1}{2}\left [14+12\ln(2)\strut \right ]
= 7+6\ln(2)
\approx \np{11,159}$ 

 La valeur moyenne de la recette totale lorsque l'entreprise vend entre \np{2000} et \np{4000} voitures télécommandées est donc d'environ $\np{111590}$~euros.

	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
\end{document} 
 
 \newpage
 
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  & A 		&B 				&C 					&D 				&E\\ \hline
1 &année 	&rang de l'année &nombre d'inscrits &bénéfice annuel &bénéfices cumulés\\ \hline
2 &2016 	&0 				&800 				&\np{16000} 		&\np{16000}\\ \hline
3 &2017 	&1 				&830 				&\np{16600} 		&\np{32600}\\ \hline
4 &2018 	&2 				&865 				&\np{17300} 		&\np{49900}\\ \hline
5 &2019 	&3 				&904 				&\np{18080} 		&\np{67980}\\ \hline
6 &2020 	&4 				&950 				&\np{19000} 		&\np{86980}\\ \hline
7 &2021 	&5				&					&					&\\ \hline
8 &2022 	&6				&					&					&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}