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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : Arié Yallouz
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion}}
\rfoot{\small 13 septembre 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 3 heures }
%
%\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L~\decofourright\\[5pt] Métropole - La Réunion -- 13 septembre 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

En 2018, la France comptait environ \np{225000}~médecins actifs. On prévoit que chaque année, 4\,\% des médecins cessent leur activité tandis que \np{8000} nouveaux médecins s'installent.

Pour étudier l'évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ représente le nombre de médecins en $2018 + n$, exprimé en millier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_0 = 225$ et $u_1 = 225 - 255\times \dfrac{4}{100} + 8 = 224$.

\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.
Baisser de 4\,\% c'est multiplier par $1-\dfrac{4}{100} = 0,96$.

On passe donc du nombre de médecins l'année $n$ au nombre de médecins l'année $n+1$ en multipliant par $0,96$ puis en rajoutant 8; donc, pour tout $n$,  $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.

\item On complète l'algorithme suivant afin qu'il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031; $2031 = 2018+13$ donc on cherche $u_{13}$.

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{X}%\hline
$U \gets 225$\\
Pour $N$ allant de  {\blue 1} à {\blue 13}\\
\hspace{1.5cm}$U \gets \blue 0,96\times U + 8$\\
Fin Pour\\ %\hline
\end{tabularx}
}
\end{center}

\item  On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ :
$v_n = u_n - 200$.

On a donc pour tout entier naturel $n$, $u_n=v_n+200$.

	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$. Préciser son terme initial.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1} - 200 = 0,96 u_n + 8 - 200 = 0,96\left (v_n+200\right ) -192
= 0,96 v_n +192 - 192 = 0,96 v_n$
\item $v_0 = u_0 - 200 = 225 - 200 = 25$
\end{list}		
		
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,96$ et de premier terme $v_0=25$.		
		
		\item On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times q^n = 25\times 0,96^n$.
		
		\item Comme $u_n=v_n+200$, on en déduit que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que pour tout entier naturel $n$: $u_{n+1} - u_n = - 0,96^n$.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout entier naturel $n$: $u_{n+1} - u_n = - 0,96^n$ donc $u_{n+1}-u_n<0$ donc la suite $(u_n)$ est décroissante.	
		
		\item% Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Comme  la suite $(u_n)$ est décroissante, le nombre de médecins diminue chaque année.		
		
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On résout dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $25 \times  0,96^n + 200 < 210$:
		
$25 \times  0,96^n + 200 < 210
\iff 25 \times  0,96^n < 10
\iff 0,96^n < 0,4
\iff \ln\left (0,96^n\right ) < \ln\left (0,4\right )\\
\phantom{25 \times  0,96^n + 200 < 210}
\iff n\times \ln\left (0,96\right ) < \ln\left (0,4\right )
\iff n > \dfrac{\ln\left (0,4\right )}{< \ln\left (0,96\right )}
$		

Or $\dfrac{ \ln\left (0,4\right )}{< \ln\left (0,96\right )}\approx 22,4$ et $n$ est entier donc $n\geqslant 23$.

		\item % Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
C'est donc à partir de l'année $2018+23$ soit $2041$ que le nombre de médecins passera en dessous de $\np{210000}$.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un laboratoire reçoit un lot de prélèvements sanguins et réalise des analyses sur ce lot. On choisit un prélèvement au hasard et on note $X$ la variable aléatoire égale au taux d'hémoglobine dans ce prélèvement. On admet que $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 12$.

%\emph{Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité.}

\smallskip

\textbf{Affirmation A} : $P(X > 14) = P(X < 11)$

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
Si $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$, pour des raisons de symétrie, on a\\
$P(X>\mu + a) = P(X< \mu-a)$ où $a$ désigne un réel inférieur à $\mu$.

$P(X>14) = P(X>12+2) = P(X<12-2) = P(X<10) < P(X<11)$

\smallskip

\textbf{Affirmation A fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 5\e^{-0,3x} + 1$.

\smallskip

\textbf{Affirmation B} : La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0~;~5]$ est égale à $3,6$,
arrondie au dixième.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $[0~;~5]$ est définie par
$F(x)= 5 \dfrac{\e^{-0,3x}}{-0,3} + x$.

$F(5) = 5- \dfrac{5}{0,3} \e^{-1,5}$ et $F(0)= 0 - \dfrac{5}{0,3} \e^{0} = -\dfrac{5}{0,3}$

La valeur moyenne de $f$ sur $[0~;~5]$  est 

$m= \dfrac{1}{5-0} \ds\int_{0}^{5} f(x) \d x 
= \dfrac{1}{5} \left [ F(5) - F(0) \strut\right ]
= \dfrac{1}{5}\left [ \left ( 5- \dfrac{5}{0,3} \e^{-1,5}\right ) - \left ( -\dfrac{5}{0,3}\right ) \strut\right ]
\approx 3,6$

\smallskip

\textbf{Affirmation B vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item  Un comité d'entreprise souhaite mettre à disposition des salariés une salle de sport. Son directeur affirme qu'un tiers des employés serait intéressé par une telle salle. On réalise un sondage dans lequel on interroge $180$ employés au hasard, parmi lesquels $72$ se déclarent intéressés.

\smallskip

\textbf{Affirmation C} : Ce sondage remet en question l'affirmation du directeur.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
On va tester l'hypothèse $p=\dfrac{1}{3}$ sur un échantillon de taille $n=180$.

$n=180 \geqslant 30$, $np=60\geqslant 5$ et $n\left (1-p\right )=120\geqslant 5$ donc on peut utikiser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$:

\smallskip

$I=
 \left [ p- 1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}} \right ]
= \left [ \dfrac{1}{3}- 1,96 \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}}{\sqrt{180}}~;~\dfrac{1}{3} + 1,96 \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}}{\sqrt{180}}\right ]$

$\phantom{I} \approx \left [ 0,264~;~0,402 \strut\right ]$

\smallskip

La proportion dans l'échantillon est $f=\dfrac{72}{180}=0,4$; or $f \in I$ donc il n'y a pas de raison de remettre en question l'affirmation du directeur.

\smallskip

\textbf{Affirmation C fausse}
\end{tabular}

\newpage


\item ~

\begin{minipage}[b][6.5cm][t]{0.48\linewidth}
\vspace{0pt}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$, dont la courbe représentative est donnée ci-contre.\\

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.\\

\bigskip

\textbf{Affirmation D} : La fonction $F$ est convexe sur $[1~;~3]$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t][6.5cm][t]{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-5.5)(8,7.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-5.5)(8,7.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{8}{x 3 exp 3 div x dup mul 2.85 mul sub 
2.6 x mul add 0.7 mul  7 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{8}{x dup mul 5.7 x mul sub 2.6 add}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
La convexité d'une fonction dépend du sens de variation de sa dérivée, donc la convexité de la fonction $F$ dépend du sens de variation de sa dérivée $F'=f$.

Sur l'intervalle $[1~;~3]$, la fonction $f$ est décroissante donc la fonction $F$ est concave sur cet intervalle.

\smallskip

\textbf{Affirmation D fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~1]$ par $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$.

\textbf{Affirmation E :} $f$ est une fonction de densité sur $[0~;~1]$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
On se place sur l'intervalle $[0~;~1]$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On cherche le signe du trinôme $3x^2 - 4x + 2$: $\Delta = (-4)^2 - 4\times 3\times 2 = -8<0$ donc \newline
$3x^2 - 4x + 2>0$. La fonction $f$ est donc positive sur $[0~;~1]$.
\item On cherche l'aire sous la courbe entre 0 et 1.\newline 
La fonction $F$ définie par $F(x) = x^3 -2x^2 +2x$ est une primitive de $f$.  

$\ds\int_{0}^{1} f(x) \d x = F(1) - F(0) = \left ( 1-2+2\right ) - \left (0 \right )=1$
\end{list}
Donc la fonction $f$ est une fonction de densité sur $[0~;~1]$.

\smallskip

\textbf{Affirmation E vraie}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[1,1~;~8]$.

\begin{figure}[t!]
\centering
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-0.5)(9,13)
%%% question 3
\pspolygon[linecolor=red,fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](2,0)(4,0)(4,5)(2,4)
\pspolygon[linecolor=red,hatchcolor=red,fillstyle=vlines](2,0)(4,0)(4,5)(2,5)
%%%
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,0)(9,13)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(9,13)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.1}{8}{2 x  mul 1 sub x ln div}
%%% question 1
\psline[linecolor=blue,linestyle= dashed](0,4.31)(8,4.31)
\uput[l](0,4.31){\blue 4,3}
\end{pspicture}
\end{figure}

%\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A : étude graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1,1~;~8]$ est $4,3$ (voir graphique).

\item% Quel est le signe de $f'(5)$ ? Justifier.
Sur l'intervalle $[4~;~6]$, la fonction $f$ est croissante donc $f'(5)>0$.

\item $\ds\int_2^4 f(x) \d x$ est l'aire de la région délimitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, les deux droites verticales d'équations $x=2$ et $x=4$. D'après le graphique $9 \leqslant \ds\int_2^4 f(x) \d x \leqslant 10$.

\item%  La fonction $f$ est-elle convexe sur $[1,1~;~3]$ ? Justifier.
Sur l'intervalle $[1,1~;~3]$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes donc la fonction $f$ est convexe sur $[1,1~;~3]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude analytique}

\medskip

On admet que $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[1,1~;~8]$ par
$f(x) = \dfrac{2x - 1}{\ln (x)}$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,1~;~8], on a : $f'(x) = \dfrac{2\ln (x) - 2  + \frac{1}{x}}{(\ln (x))^2}$.
La fonction $f$ est quotient de deux fonctions dérivables sur $[1,1~;~8]$ donc est dérivable sur $[1,1~;~8]$:

$f'(x)= \dfrac{2\times \ln (x) - (2x-1) \times \dfrac{1}{x}}{(\ln (x))^2}
= \dfrac{2\ln(x) -2 + \dfrac{1}{x}}{(\ln (x))^2}$

\item  Soit $h$ la fonction définie sur [1,1~;~8] par : $h(x) = 2\ln (x) - 2 + \dfrac{1}{x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle $[1,1; 8]$.

La fonction $h$ est la somme de fonctions dérivables sur $[1,1~;~8]$ donc est dérivable sur $[1,1~;~8]$:

$h'(x)= \dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}= \dfrac{2x-1}{x^2}$
		
%Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,1~;~8],
%\[h'(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}.\]

		\item% En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $[1,1~;~8]$.
Sur $[1,1~;~8]$ on a $x^2>0$ et $2x-1>0$, donc $h'(x)>0$.

La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $[1,1~;~8]$.
		
		\item %Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1,1~;~8]. Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $h(2)\approx -0,114<0$ donc, comme $h$ est strictement croissante sur $[1,1~;~8]$, si $x<2$ alors $h(x)<0$.
\item $h(3)\approx 0,53 >0$ donc si $x>3$, alors $h(x)>0$.
\item Entre 2 et 3, la fonction $h$ est continue car dérivable, et passe d'une valeur négative à une valeur positive; d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution  $\alpha$ sur $[1,1~;~8]$.
\end{list}		

L'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1,1~;~8]$ et $2<\alpha < 3$.
		
 	\end{enumerate}
 	
\item% Déduire des résultats précédents le signe de $h(x)$ sur l'intervalle [1,1~;~8].
On en déduit que $h(x)<0$ sur $[1,1~;~\alpha[$, que $h(\alpha)=0$ et que $h(x)>0$ sur $]\alpha~;~8]$. 

\item% À l'aide des questions précédentes, donner les variations de $f$ sur [1,1~;~8].
$f'(x)= \dfrac{2\ln(x) -2 + \dfrac{1}{x}}{(\ln (x))^2}
= \dfrac{h(x)}{(\ln(x))^{2}}$ donc $f'(x)$ est du signe de $h(x)$.

\begin{list}{\textbullet}{On en déduit que:}
\item $f'(x)<0$ sur $[1,1~;~\alpha[$ donc la fonction  $f$ est strictement décroissante sur $[1,1~;~\alpha]$;
\item $f'(x)>0$ sur $]\alpha~;~8]$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[\alpha~;~8]$;
\item la fonction $f$ admet un minimum en $x=\alpha$.
\end{list}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L}

%\medskip
%
%\emph{Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $P(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.
%\\On arrondira les résultats au millième si besoin.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet
d'établir que:

\begin{itemize}
\item 53\,\% de ses clients ont plus de 50 ans ;
\item 32\,\% de ses clients sont intéressés par des placements dits \emph{risqués} ;
\item 25\,\% de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits
\emph{risqués}.
\end{itemize}

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements
suivants:

\begin{itemize}
\item $A$ : \og Le client a plus de 50 ans \fg{} ;
\item $R$ : \og Le client est intéressé par des placements dits risqués \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le texte, $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
\item On représente la situation par un arbre pondéré:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,53$}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}\naput{$0,25$}
 		  \TR{$\overline{R}$}\nbput{\blue $1-0,25=0,75$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,53=0,47$}}
 	  {
 		  \TR{$R$}\naput{}
          \TR{$\overline{R}$}\nbput{} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item L'évènement \og le client ait plus de $50$ ans et est intéressé par des placements dits risqués\fg{} est $A\cap R$.
$P(A\cap R) = P(A)\times P_{A}(R) = 0,53\times 0,25 = \np{0,1325}$.

\item Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, la probabilité qu'il ait plus de $50$~ans est
$P_{R}(A)=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} = \dfrac{\np{0,1325}}{0,32} \approx 0,414$.

\item %Calculer $P\left(\overline{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}(R)$. 
D'après la formule des probabilités totales, $P(R) = P\left (A\cap R \right ) + P\left(\overline{A} \cap R\right)$ donc

$P\left(\overline{A} \cap R\right) = P(R) - P(A\cap R) = 0,32 - \np{0,1325} = \np{0,1875}$.

On en déduit que $P_{\overline{A}}(R) = \dfrac{P\left(\overline{A} \cap R\right)}{P\left (\overline{A}\right )} = 
\dfrac{\np{0,1875}}{0,47} \approx 0,399$.

\begin{list}{\textbullet}{Cela signifie:}
\item qu'il y a $18,75\,\%$ de clients qui ont moins de 50 ans et qui sont intéressés par des placements dits risqués;
\item que parmi les clients de moins de 50 ans, il y en a environ $39,9\,\%$ qui sont intéressés par des placements dits risqués.
\end{list}

%Interpréter les deux résultats obtenus.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit \emph{risqué}, $R_1$ à tous ses clients.

Elle promet à ses conseillers une prime de $150$~\euro{} s'ils convainquent au moins $10$~clients d'effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$~\euro{} s'ils convainquent au moins $15$ clients d'effectuer ce placement en un mois.

L'une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l'un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d'un client est indépendante de celles des autres clients.

La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients convaincus par Camille suit la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.

	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci est

$P(X=10) = \ds\binom{45}{10} \times 0,23^{10} \times \left (1-0,23\right )^{45-10} \approx 0,141$.		
		
		\item  Camille a $300$~\euro{} de prime si elle vend au moins 15 produits aux 45 clients; la probabilité de cet évènement est
$P(X\geqslant 15) = 1- P(X\leqslant 14) \approx 0,075$.
		
		\item% Montrer que la probabilité que Camille ait $150$\euro{} exactement de prime est environ de $0,532$.
Camille a exactement 150~\euro{} de prime si elle place plus de 10 produits et moins de 15; la probabilité de cet évènement est
$P(10 \leqslant X < 15) = P(10 \leqslant X \leqslant 14) \approx 0,532$.
		
		
	\end{enumerate}
\item Le placement $R_1$ a rapporté $30$\,\% d'intérêt sur les $5$ dernières années.
Le taux d'intérêt annuel moyen $t$ du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années vérifie l'égalité $\left (1+\dfrac{t}{100}\right )^{5} = 1+\dfrac{30}{100}$.

On a donc $1+\dfrac{t}{100} = \left (1+\dfrac{30}{100}\right )^{\frac{1}{5}}$ et donc
$\dfrac{t}{100} = \left (1+\dfrac{30}{100}\right )^{\frac{1}{5}}-1$ ou encore
$t = 100\times \left [\left (1+\dfrac{30}{100}\right )^{\frac{1}{5}}-1\right ]$.

Le taux d'intérêt annuel moyen est d'environ $5,39\,\%$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

Deux amis, Louisa et Antoine, passent la journée dans un parc d'attraction.

\medskip

Le plan du parc est donné par le graphe $\Gamma$ ci-dessous. Les arêtes de ce graphe représentent les allées du parc et les sommets correspondent aux intersections de ces allées. On a pondéré les arêtes de ce graphe par les temps de parcours en minutes.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}%%% ,nrot=:U
\begin{pspicture}(12,7)
\cnodeput(0.5,5){F}{F} \cnodeput(0.5,0.5){E}{E}
\ncline{E}{F}\ncput*{5} \cnodeput(1.75,3){G}{G} 
\cnodeput(5.5,5.5){J}{J} \cnodeput(4.5,0.3){H}{H} \cnodeput(8,3.5){M}{M} 
\cnodeput(6,1.7){L}{L} \cnodeput(11,6.5){N}{N} \cnodeput(11.5,3){K}{K} 
\cnodeput(8.5,0.2){I}{I}
\ncline{F}{J}\ncput*{7} \ncline{F}{G}\ncput*{4}
\ncline{E}{G}\ncput*{3}\ncline{G}{J}\ncput*{6}\ncline{G}{H}\ncput*{2}
\ncline{G}{M}\ncput*{8}\ncline{J}{M}\ncput*{3}\ncline{N}{J}\ncput*{8}
\ncline{E}{H}\ncput*{6}\ncline{H}{L}\ncput*{4}\ncline{H}{I}\ncput*{7}
\ncline{J}{M}\ncput*{3}\ncline{L}{M}\ncput*{1}\ncline{M}{N}\ncput*{5}
\ncline{J}{N}\ncput*{8}\ncline{K}{N}\ncput*{4}
\ncline{L}{K}\ncput*{6}\ncline{I}{K}\ncput*{5}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le graphe est-il connexe ? Justifier.
Le chemin F -- E -- G -- J -- N -- M -- L -- H -- I -- K passe par tous les sommets  du graphe $\Gamma$ donc deux sommets quelconques peuvent être reliés par une chaine; le graphe $\Gamma$ est donc connexe.

\item  Antoine prétend avoir trouvé un itinéraire permettant d'emprunter chaque allée une et une seule fois mais Louisa lui répond que c'est impossible.

Pour trouver un itinéraire permettant d'emprunter chaque allée une et une seule fois, il faudrait, d'après le théorème d'Euler, qu'il y ait 0 ou 2 sommets de degrés impairs. Or il y a 6 sommets de degrés impairs, F, E, G, L, N, K, donc un tel itinéraire n'est pas possible; Louisa a raison.

%Lequel des deux a raison ? Justifier la réponse.

\item  On considère la matrice $M$ ci-dessous ($a$, $b$ et $c$ sont des entiers).

\[M = \begin{pmatrix} 
0 &1 &1 &1 & \blue a &0 &0 &0 &0 	&0\\
1 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &0 	&0 	&0\\
1 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &0 	&1 	&0\\
1 &0 &1& 0 &1 &0 &0 &1 	&0 	&0\\
\blue 0 &0 &0 &1 &0 &0 & \blue c &0 	&0	&0\\
0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 	&1 	&1\\
0 &0 &0 &0 & \blue b &0 &0 &1 	&0 	&1\\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 	&1 	&0\\
0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &1 	&0 	&1\\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 	&1 	&0\\
\end{pmatrix}.\]

	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer les entiers $a$, $b$ et $c$ pour que la matrice $M$ représente la matrice d'adjacence associée au graphe $\Gamma$, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.
Les sommets dans l'ordre alphabétique sont E - F - G - H - I - J - K - L - M - N; le nombre $a$ se trouve  sur la 1\iere{} ligne, correspondant au commet E, et sur la 5\ieme{} colonne, correspondant au sommet I, donc ce nombre donne le nombre d'arêtes reliant E et I: d'après le graphe, $a=0$.

Le nombre $b$ se trouve  sur la 7\ieme{} ligne, correspondant au commet K, et sur la 5\ieme{} colonne, correspondant au sommet I, donc ce nombre donne le nombre d'arêtes reliant K et I: d'après le graphe, $b=1$.

Le nombre $c$ se trouve  sur la 5\ieme{} ligne, correspondant au commet I, et sur la 7\ieme{} colonne, correspondant au sommet K, donc ce nombre donne le nombre d'arêtes reliant I et K: d'après le graphe, $c=1$.

On aurait également pu dire que, comme le graphe n'est pas orienté, sa matrice d'adjacence est symétrique par rapport à la 1\iere{} diagonale, donc $a=0$ et $c=b$.

\end{enumerate}

\newpage

Soit $S$ la matrice définie par : $S = M + M^2 + M^3$.
On admet que :

\hfill$\small M^3 = \begin{pmatrix}
4	&7	&8	&7	&1	&4&2	&2	&5	&3\\
7	&4	&9	&3	&2	&8	&1	&\blue 4	&4	&3\\
8 	&9 	&8 	&10 &1 	&10	& 5 &2 	&11 &3\\
7 	&3 	&10 &2 	&6 	&5 	&0 	&8 	&2 	&5\\
1 & 2 &1	&6	&0	&2	&5	&0	&4	&0\\
4 	&8 	&10 &5 	&2 	&6 	&2 	&4 	&8 	&7\\
2	&1	&5	&0	&5	&2	&0	&7	&1	&6\\
2	&4	&2	&8	&0	&4	&7	&0	&8	&1\\
5 	&4 	&11 &2 	&4 	&8 	&1 	&8 	&4 	&8\\
3	&3	&3	&5	&0	&7	&6	&1	&8	&2\\
\end{pmatrix}
\text{ et }
S = \begin{pmatrix} 
7	&9	&11	&9	&2	&6	&2	&3	&6	&3\\
9 	&7 	&12 &5 	&2	&10 &1 	&4 	&6	&4\\
11 	&12 &13 &12 &2	&13 &5 	&4 	&13	&5\\
9	&5	&12	&6	&7	&6	&2	&9	&4	&5\\
2	&2	&2	&7	&2	&2	&6	&2	&4	&1\\
6 	&10 &13	&6	&2	&10	&3	&5	&11	&9\\
2 	&1 	&5	&2	&6	&3	&3	&8	&3	&7\\
3	&4	&4	&9 	&2 	&5 	&8 	&3 	&9	&3\\
6 	&6 	&13	&4 	&4 	&11 &3 	&9 	&8	&10\\
3	&4	&5	&5 	&1 	&9 	&7 	&3 	&10	&5\\
\end{pmatrix}$\hfill{}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumii}{1}
		\item Le nombre de chemins de longueur 3 reliant un sommet à un autre est donné par la matrice $M^3$. Le sommet F est le 2\ieme{}, le sommet L est le 8\ieme{} donc le nombre de chemins reliant F et L est le coefficient de la matrice $M^3$ situé sur la 2\ieme{} ligne et la 8\ieme{} colonne: c'est 4.
		
Les chemins sont:
F - E - H - L ; F - J - M - L ; F - E - M - L et F - G - H - L.
				
%Préciser ces chemins.
		\item Les nombres de chemins de longueur 3 partant de E sont situés sur la ligne 1 de la matrice $M^3$; il y en a en tout: $4+7+8+7+1+4+2+2+5+3 =43$.
		
		\item $S = M + M^2 + M^3$ donc les coefficients de la matrice $S$ donnent le nombre de chemins de longueur 1, 2 ou 3, reliant deux sommets du graphe.
		
Le coefficient à l'intersection de la première ligne (sommet E) et de la troisième colonne (sommet G) de $S$ est 11; donc il y a 11 chemins de longueurs 1, 2 ou 3, reliant E et G.
	\end{enumerate}
\item  Un défilé part tous les jours à $14$~h du sommet N. Louisa et Antoine choisissent de déjeuner dans un restaurant situé au sommet E avant d'aller admirer le défilé.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de l'algorithme de Dijsktra, on va déterminer le chemin que doivent emprunter Louisa et Antoine pour se rendre du restaurant au départ du défilé le plus rapidement:
		
		\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%  cellule grisée avec package colortbl
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
E & F & G & H & I & J & K & L & M & N   &{\scriptsize On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$  &  E \\
\hline
\cgr & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$  &   \\[-3pt]
\cgr & 5 E                       & \sur{3 E}              & 6 E                         &                &                &                 &                &                 &                 &  G (3) \\
\hline
\cgr & \sur{5 E}          & \cgr & \sout{6 E}  & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & $\infty$  &   \\[-3pt]
\cgr & \sout{7 G}      & \cgr  & 5 G             &                &     9 G                    &                 &                &  11 G                    &                 &  F (5) \\
\hline
\cgr & \cgr         & \cgr & \sur{5 G}  & $\infty$ & 9 G                 & $\infty$ & $\infty$ & 11 G & $\infty$  &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr        & \cgr  &                   &                &  \sout{12 F}  &                 &                &          &                 &  H (5) \\
\hline
\cgr & \cgr         & \cgr & \cgr & \sout{ $\infty$ } & \sur{9 G}       & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & 11 G & $\infty$  &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr        & \cgr  & \cgr &      12 H                &                       &                &      9 H                  &             &                &  J (9) \\
\hline
\cgr & \cgr         & \cgr & \cgr & 12 H & \cgr       & $\infty$ & \sur{9 H} & 11 G              & \sout{ $\infty$ }  &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr        & \cgr  & \cgr &          & \cgr       &                &                  &  \sout{12 J}  &           17 J              &  L (9) \\
\hline
\cgr & \cgr         & \cgr & \cgr & 12 H & \cgr       & \sout{$\infty$} & \cgr  & \sout{11 G}   &           17 J  &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr        & \cgr  & \cgr &          & \cgr       &     15 L                &  \cgr &  \sur{10 L}     &                   &  M (10) \\
\hline
\cgr & \cgr         & \cgr & \cgr & \sur{12 H} & \cgr       & 15 L             & \cgr  & \cgr  & \sout{17 J}  &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr        & \cgr  & \cgr &                    & \cgr       &                     &  \cgr &  \cgr &           15 M    &  I (12) \\
\hline
\cgr & \cgr         & \cgr & \cgr & \cgr       & \cgr       & \sur{15 L}    & \cgr  & \cgr  &        15 M   &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr        & \cgr  & \cgr & \cgr      & \cgr       & \sout{17 I}   &  \cgr &  \cgr &                     &  K (15) \\
\hline
\cgr & \cgr         & \cgr & \cgr & \cgr       & \cgr       & \cgr  & \cgr  & \cgr  &   \sur{15 M}   &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr        & \cgr  & \cgr & \cgr      & \cgr       & \cgr   &  \cgr &  \cgr &  \sout{19 K}  &  N (15) \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le trajet le plus rapide est:
E $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ 
G $\stackrel{2}{\longrightarrow}$
H $\stackrel{4}{\longrightarrow}$
L $\stackrel{1}{\longrightarrow}$
M $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ N;
sa durée est de 15 minutes.

		\item %À quelle heure au plus tard doivent-ils quitter le restaurant pour assister au début du défilé ?
Le trajet le plus court dure 15 minutes, donc Louisa et Antoine doivent partir au plus tard à 13~h~45 de E pour être à 14~h au défilé.		
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}