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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
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%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%       plus grand ou égal
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\begin{document}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{14 septembre 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Métropole -- La Réunion~\decofourright\\[5pt]14 septembre 2016}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun  à tous les candidats \hfill 5 points}
 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\bigskip
%
%Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième. 
 
À partir d'une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par: 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 60\,\% des clients sont des hommes;
\item 80\,\% des hommes mangent un dessert alors que seulement 45\,\% des femmes en mangent un.
\end{list}
 
On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note: 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $H$ l'évènement \og le client interrogé est un homme \fg{}; 
\item $D$ l'évènement \og le client interrogé a mangé un dessert \fg.
\end{list} 
 
On note également:
\begin{list}{\textbullet}{} 
\item $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$ ; 
\item $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$. 
 \end{list} 
 
%\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie a}}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente la situation par un arbre pondéré: 

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$H$}\naput{$0,60$}}
 	  { 
 		  \TR{$D$}\naput{$0,80$}
 		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,80=0,20$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline H$}\nbput{\red $1-0,60=0,40$}}
 	  {
 		  \TR{$D$}\naput{$0,45$}
          \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,45=0,55$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}


\item% Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert.
L'événement \og être un homme et avoir mangé un dessert\fg{} est $H\cap D$.

$p(H \cap D)= p(H)\times p_H(D)=0,60 \times 0,80=0,48$
 
\item% Montrer que $p(D)=0,66$. 
D'après la formule des probabilités totales:

$p(D)= p(H\cap D) + p(\overline H \cap D) = 0,48 + 0,40 \times 0,45 = 0,48 + 0,18 = 0,66$

\item Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. La probabilité que ce soit une femme est $p_D(\overline{H})$:

$p_D(\overline{H}) = \dfrac{p(\overline{H}\cap D)}{p(D)}
= \dfrac{0,18}{0,66} = \dfrac{3}{11} \approx 0,273$

\end{enumerate}

%\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie b}}

%\medskip 

Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits des menus proposés dans ses restaurants. 
Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 se déclarent satisfaits des menus proposés.

%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item Un intervalle de confiance au niveau de 95\,\% de la proportion de clients satisfaits est donné par
 
\hfill $\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ]$ \hfill{} 

dans lequel $f$ représente la fréquence des clients satisfaits dans l'échantillon dont la taille est $n$.

$n=300$ et $f=\dfrac{204}{300} = 0,68$

L'intervalle de confiance est donc 
$\left [ 0,68 -\dfrac{1}{\ds\sqrt{300}}~;~0,68 +\dfrac{1}{\ds\sqrt{300}} \right ]
\approx \cd 0,622~;~0,738\cg$.  

\item Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et donc veut un intervalle de confiance au niveau de 95\,\% d'amplitude 0,06. 

% Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel intervalle. 

L'amplitude de l'intervalle 
$\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ]$
est $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}}$; on cherche donc $n$ tel que

$\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}} = 0,06$:

$\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}} = 0,06
\iff
\dfrac{2}{0,06} = \ds\sqrt{n}
\iff
\dfrac{4}{0,0036} = n$; or
$\dfrac{4}{0,0036} \approx \np{1111,11}$ 

donc on prendra $n=1112$ pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit inférieure à 0,06.

\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun  à tous les candidats \hfill 4 points}
 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\bigskip

%Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. 
%
%Une bonne réponse rapporte un point. 
%
%Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. 
%
%Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. 
% 
%Les parties de cet exercice sont indépendantes. 
% 
%\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie a}}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 90 et d'écart-type 6. Une valeur arrondie au millième de $p\left( X\geqslant 100\right)$ est :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item \fcolorbox{white}{white}{0,500} 	
    & \item \fcolorbox{white}{white}{0,452} 
    & \item \fcolorbox{red}{white}{0,048} 	
    & \item \fcolorbox{white}{white}{0,952}
\end{tabularx}
\end{enumerate}

On obtient le résultat à la calculatrice.

\item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type 10. Une valeur arrondie au millième de $p\left( \mu-20 \leqslant Y\leqslant \mu +20 \right)$ est :

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item \fcolorbox{white}{white}{0,68}	
      & \item \fcolorbox{white}{white}{0,5} 
      & \item \fcolorbox{white}{white}{0,8} 	
      & \item \fcolorbox{red}{white}{0,95}
\end{tabularx}
	\end{enumerate}

On sait que si $Y$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, alors $p( \mu - 2 \sigma \pp Y \pp \mu + 2\sigma) \approx 0,95$.
Et comme $\sigma=10$, $2\sigma=20$.

\end{enumerate} 
  
%\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie b}}

\medskip

Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur $[-5 ;3]$. On donne ci-dessous le tableau de variation de $f'$. 


\begin{center}
\psset{unit=.85cm} 
\begin{pspicture}(14,3.5)
\psset{linewidth=.75pt}
\psframe(14,3.5) \psline(0,2.5)(14,2.5) \psline(3,0)(3,3.5)
\rput(1.5,3){$x$} \rput(3.5,3){$- 5$} \rput(8.5,3){$-1$} \rput(11,3){$1$} \rput(13.5,3){$3$} 
\rput(1.5,1.25){Variation de $f'$} \rput(3.5,2){\rnode{A}{$-0,5$}} \rput(8.5,.5){\rnode{B}{$-3$}} \rput(13.5,2){\rnode{C}{$4$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncput*{0}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	\item La fonction $f$ est :
	\begin{enumerate}
	\item \fcolorbox{white}{white}{croissante sur $[- 5~;~3]$}  
	\item \fcolorbox{red}{white}{décroissante sur $[- 5~;~1]$} {\red car $f'<0$ sur $[- 5~;~1]$} 
	\item \fcolorbox{white}{white}{décroissante sur $[- 5~;~3]$}
	\item \fcolorbox{white}{white}{croissante sur $[-1~;~3]$}
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est :
	\begin{enumerate}
	\item \fcolorbox{white}{white}{convexe sur $[- 5~;~-1]$}     
	\item \fcolorbox{red}{white}{concave sur $[- 5~;~-1]$} {\red car $f'$ décroissante sur $[- 5~;~-1]$}   
	\item \fcolorbox{white}{white}{concave sur $[- 5~;~1]$}   
	\item \fcolorbox{white}{white}{convexe sur $[- 5~;~3]$} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill {\small Candidats de ES n'ayant pas  suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Candidats de ES n'ayant pas  suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}
%
%\bigskip

Le 31 décembre 2015 une forêt comportait \np{1500} arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que chaque année, 5\,\% des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés. 

On modélise le nombre d'arbres de cette forêt par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le nombre d'arbres au 31 décembre de l'année $(2015+n)$. 
Ainsi $u_0 = \np{1500}$. 
  
\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie a}}

%\medskip 

\begin{enumerate}

\item Comme 5\,\% des arbres sont coupés, il en reste 
$\np{1500} - 0,05\times \np{1500} = \np{1425}$.

On en replante chaque année 50 donc $u_1 = \np{1425} + 50 = \np{1475}$.

\smallskip

Comme 5\,\% des arbres sont coupés, il en reste 
$\np{1475} - 0,05\times \np{1475} \approx \np{1401}$.

On en replante chaque année 50 donc $u_2 = \np{1401} + 50 = \np{1451}$.

\item% Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,95\times u_n +50$.
Retirer 5\,\%, c'est multiplier par $1-0,05=0,95$.

Pour avoir le nombre d'arbres l'année $n+1$ en fonction du nombre d'arbres l'année $n$, on multipliera par 0,95 et on ajoutera 50 puisqu'on replante chaque année 50 arbres. 

Donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,95 u_n + 50$.

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n - \np{1000}$, donc $u_n=v_n+\np{1000}$. 

	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. En préciser la raison et le premier terme. 
\begin{list}{\textbullet}{}
		\item $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{1000} = 0,95 u_n +50 - \np{1000} = 0,95 (v_n+\np{1000}) -950 = 0,95 v_n +950-950 = 0,95 v_n$
		\item $v_0=u_0-\np{1000} =\np{1500} - \np{1000} = 500$
\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=500$.
		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n= \np{1000} + 500\times 0,95^n$. 
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = 500\times 0,95^n$ et donc que, pour tout $n$, $u_n=\np{1000} + 500\times 0,95^n$.
		\item% En déduire le nombre d'arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030. 
$2030 = 2015 + 15$ donc le nombre d'arbres prévisibles en 2030 est $u_{15}$.

À la calculatrice, on trouve $u_{15} \approx 1232$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
  
\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie b}}

%\medskip 

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d'un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3\,\%. 

%Au bout de combien d'années le prix d'un stère de bois aura-t-il doublé ? 

Augmenter de 3\,\%, c'est multiplier par 1,03; on cherche donc la première valeur de $n$ telle que $1,03^n \pg 2$. 

On résout cette inéquation:

$\begin{array}{l !{\iff} l l}
1,03^n \pg 2 & \ln\left (1,03^n\right ) \pg \ln(2) 
             & \text{car la fonction ln est strictement croissante sur } \cd 0~;~+\infty\cd \\
             & n\times \ln(1,03) \pg \ln(2) & \text{propriété de la fonction ln}\\[5pt]
             & n \pg \dfrac{\ln(2)}{\ln(1,03)} & \text{car } \ln 1,03 >0
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1,03)} \approx 23,4$ donc le prix d'un stère de bois aura doublé au bout de 24 années.

\vspace{0.5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%\textbf{Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}
%

\bigskip

Un parc de loisirs décide d'ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient. 
\begin{center}
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(14,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
%\small
\rput(2,5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}
\rput(6,6){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}
\rput(10,5){\cnode*{2pt}{C}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu C}}}} 
\rput(5,3){\cnode*{2pt}{D}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu D}}}} 
\rput(0,1){\cnode*{2pt}{E}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu E}}}} 
\rput(11,8){\cnode*{2pt}{F}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu F}}}} 
\rput(14,4){\cnode*{2pt}{G}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu G}}}}  
\rput(12,0){\cnode*{2pt}{H}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu H}}}}
\ncline{A}{E}       \ncline{E}{D}        \ncline{D}{A}
\ncline{A}{B}       \ncline{B}{D}        \ncline{D}{C} 
\ncline{C}{B}       \ncline{B}{F}        \ncline{F}{C} 
\ncline{C}{H}       \ncline{H}{G}        \ncline{G}{F}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie a}}

%\medskip 
  
\begin{enumerate}
\item Un enfant peut parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule si le graphe possède 0 ou 2 sommets de degré impair (théorème d'Euler).% Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.

On cherche les degrés des sommets:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*8{c|}}
\hline
Sommet & A & B & C & D & E & F & G & H \\
\hline
Degré  & 3 & 4 & 4 & 4 & 2 & 3 & 2 & 2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Il y a deux sommets de degrés impairs, donc il existe un trajet empruntant chaque chemin pédestre une fois et une seule (un chemin eulérien du graphe) partant d'un de ces sommets et arrivant à l'autre; par exemple:

\hfill{}AE -- ED -- DA -- AB -- BD -- DC -- CB -- BF -- FC -- CH -- HG -- GF\hfill{} 

\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).
 
On donne la matrice $M^4=
\begin{pmatrix}
20 	& 18 & 20 	& 21 	& 11 	& 13 	& 5 	& 5\\
18 	& 32 & 25 	& 25 	& 17 	& 16 	& 10 	& 10\\
20 	& 25 & 31 	& 19 	& 13 	& 13 	& 14 	& 5\\
21 	& 25 & 19 	& 31 	& 13 	& 21 	& 4 	& 12\\
11 	& 17 & 13 	& 13 	& 11 	& 6 	& 4 	& 3 \\
13 	& 16 & 13 	& 21 	& 6 	& 20 	& 3 	& 13\\
5 	& 10 & 14 	& 4 	& 4 	& 3 	& 9 	& 1\\
5 	& 10 & 5 	& 12 	& 3 	& 13 	& 1 	& 10
\end{pmatrix}$.
 
Le nombre de parcours allant de E (sommet \no{}5) à H (sommet \no{}8) en 4 chemins pédestres est le nombre de la matrice $M^4$ situé à la ligne 5 et la colonne 8: il y a donc trois chemins de longueur 4 reliant E à H:

\hfill{}
EA -- AD -- DC -- CH; 
ED -- DB -- BC -- CH;
EA -- AB -- BC -- CH\hfill{}

\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie b}}

%\medskip 
 
Afin d'améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d'attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l'heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant: 

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(19,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(19,12)
\psset{xunit=.6cm,yunit=.3cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(19,24)
\uput[dl](19,0){$x$} \uput[dl](0,24){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psdots[linewidth=1pt,linecolor=bleu](9,9)(10,14)(11,20)(12,22)(13,21)(14,20)(15,12)(16,2)
\end{pspicture}
\end{center}

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d'attente à la billetterie.
 
On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui à l'heure associe la durée d'attente en minutes. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente. 

On choisit de modéliser cette situation à l'aide de la fonction $f$ définie par 
$f(x)=ax^2 + bx + c$,
avec $a$, $b$, $c$ des réels et $a$ non nul telle que les trois points $(9~;~9)$, $(11~;~20)$ et $(16~;~2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Calculer les trois réels $a$, $b$ et  $c$.
On appelle $\mathscr C_f$ la représentation graphique de $f$.

\begin{tabular}{@{} l !{$\iff$} l !{$\iff$} l}
Le point de coordonnées $(9~;~9)$ appartient à $\mathscr C_f$ &
$f(9)=9$ & $81a+9b+c=9$\\
Le point de coordonnées $(11~;~20)$ appartient à $\mathscr C_f$ &
$f(11)=20$ & $121a+11b+c=20$\\
Le point de coordonnées $(16~;~2)$ appartient à $\mathscr C_f$ &
$f(16)=2$ & $256a+16b+c=2$
\end{tabular}

Il faut donc résoudre le système de 3 équations à 3 inconnues:
$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{+} r !{+} r !{=} r}
81a  & 9b  & c & 9\\
121a & 11b & c & 20\\
256a & 16b & c & 2
\end{array}
\right. $

Le système est équivalent à l'équation matricielle:
$\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}$

On trouve à la calculatrice que
$\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}^{-1}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{14}   & -\dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{35}\\[8pt]
-\dfrac{27}{14} & \dfrac{5}{2}   & -\dfrac{4}{7}\\[8pt]
\dfrac{88}{7}   & -\dfrac{72}{5} & \dfrac{99}{35}
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}^{-1}
\times
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}\\
\phantom{
\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}
}
\iff
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{14}   & -\dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{35}\\[8pt]
-\dfrac{27}{14} & \dfrac{5}{2}   & -\dfrac{4}{7}\\[8pt]
\dfrac{88}{7}   & -\dfrac{72}{5} & \dfrac{99}{35}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{13}{10}\\[8pt]
\dfrac{63}{2}\\[8pt]
-\dfrac{846}{5}
\end{pmatrix}$

\smallskip

Donc $a=-\dfrac{13}{10}=-1,3$, $b=\dfrac{63}{2}=31,5$ et $c=-\dfrac{846}{5}=-169,2$ et on peut dire que

\hfill $f(x)= -1,3 x^2 +31,5 x - 169,2$.\hfill{}

\item En utilisant ce modèle, on détermine sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l'attente peut être inférieure à dix minutes. 

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(19,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(19,12)
\psset{xunit=.6cm,yunit=.3cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(19,24)
\uput[dl](19,0){$x$} \uput[dl](0,24){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psdots[linewidth=1pt,linecolor=bleu](9,9)(10,14)(11,20)(12,22)(13,21)(14,20)(15,12)(16,2)
\def\f{x -1.3 x mul 31.5 add mul 169.2 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=bleu]{9}{16}{\f}
\psline[linecolor=red](0,10)(17,10)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](9.13,0)(9.13,10)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](15.1,0)(15.1,10)
\end{pspicture}
\end{center}

Il faut donc résoudre l'inéquation $f(x) < 10$:

$f(x)<10 \iff -1,3 x^2 +31,5 x - 169,2 < 10 
		 \iff -1,3 x^2 +31,5 x - 179,2 < 0$

$\Delta = 31,5^2 - 4 \times (-1,3) \times (-179,2) = 60,41 >0$

Les solutions de l'équation $f(x) = 10$ sont
$\dfrac{-31,5 - \ds\sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 15,1$ et
$\dfrac{-31,5 + \ds\sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 9,1$

$f(x)$ est du signe de $- 1,3$ donc négatif à l'extérieur des racines donc pour $x < 9,1$ et $x > 15,1$.

$9,1 = 9 + \dfrac{1}{10} = 9 + \dfrac{6}{60} = 9~\text{h }6~\text{min}$;
de même $15,1 = 15~\text{h }6~\text{min}$.

L'attente peut être inférieure à dix minutes entre 9 heures et 9 heures 6 minutes puis entre 15 heures~6~minutes et 16 heures. 

\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Commun  à tous les candidats \hfill 6 points}
 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\bigskip

On définit une fonction $g$ sur l'intervalle $\cd 0,5~;~5\cg$ par 
$g(x) = 5x - 3x\ln x$. 

\begin{enumerate}

\item% Montrer que pour $x$ appartenant à $\cd 0,5~;~5\cg$, $g'(x) = 2 - 3\ln x$. 
La fonction $g$ est dérivable sur $\cd 0,5~;~5\cg$ et 
$g'(x)=5 - \left ( 3\ln x + 3x\times \dfrac{1}{x}\right )
= 5 - 3\ln x - 3 = 2 - 3\ln x$.

\item% Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire le sens de variation de $g$ sur $[0,5 ; 5]$. 
$g'(x)>0 \iff 2 - 3\ln x >0 \iff 2 > 3 \ln x \iff \dfrac{2}{3} > \ln x
\iff \e^{\frac{2}{3}} > x$

Donc la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left [ 0,5~;~\e^{\frac{2}{3}} \right ]$, et strictement décroissante sur l'intervalle $\left [ \e^{\frac{2}{3}} ~;~ 5\right ]$.

\item% En déduire pour quelle valeur $x_0$, arrondie au centième, la fonction $g$ atteint un maximum. 
La fonction $g$ admet un maximum pour $x_0=\e^{\frac{2}{3}}\approx 1,95$.

\item% Montrer que l'équation $g(x)=4$ admet deux solutions sur $[0,5 ; 5]$ que l'on note $\alpha_1$ et $\alpha_2$. En donner un encadrement d'amplitude 0,01. 
$g(0.5) = 2,5 -1,5 \ln 0,5 \approx 3,54<4$; $g\left ( \e^{\frac{2}{3}}\right ) = 3\e^{\frac{2}{3}} \approx 5,84>4$ 
et $g(5) = 25 - 15 \ln 5 \approx 0,86<4$ 

On établit le tableau de variations de la fonction $g$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{1.65cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0,5  & \hspace*{\esp} & x_0 & \hspace*{\esp} & 5 \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{3\e^{\frac{2}{3}} \approx 5,84}  &  &   \\  
g(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{2,5 -1,5 \ln 0,5 \approx 3,54} &   &  &  &   \Rnode{min2}{25 - 15 \ln 5 \approx 0,86} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](-8.5,1)(-8.5,2) 
 \rput*(-8.5,1){\red 4} \uput[u](-8.5,2.05){\red \alpha_1}
 \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](-3.8,1)(-3.8,2) 
 \rput*(-3.8,1){\red 4} \uput[u](-3.8,2.05){\red \alpha_2}
  \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

D'après ce tableau de variations, on peut dire que l'équation $g(x)=4$ admet deux solutions $\alpha_1$ et $\alpha_2$ sur l'intervalle $\cd 0,5~;~5\cg$.

{\small
$\left.
\begin{array}{@{} l}
g(0,5) \approx 3,5 < 4\\
g(1) =5 > 4
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow
\alpha_1 \in \cd 0,5 ~;~ 1 \cg
\hfill
\left.
\begin{array}{@{} l}
g(0,6) \approx 3,9 < 4\\
g(0,7) \approx 4,2 > 4
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow
\alpha_1 \in \cd 0,6 ~;~ 0,7\cg
\hfill
\left.
\begin{array}{@{} l}
g(0,62) \approx 3,99 < 4\\
g(0,63) \approx 4,02 > 4
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow$

$\alpha_1 \in \cd 0,62~;~0,63\cg
$

$\left.
\begin{array}{@{} l}
g(3) \approx 5.1 > 4\\
g(4) \approx 3,4 < 4
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow \alpha_2 \in \cd 3~;~4 \cg
\hfill
\left.
\begin{array}{@{} l}
g(3,6) \approx 4,17 > 4\\
g(3,7) \approx 3,98 < 4
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow
\alpha_2 \in \cd 3,6~;~3,7 \cg
\hfill
\left.
\begin{array}{@{} l}
g(3,68) \approx 4,02 > 4\\
g(3,69) \approx 3,997 < 4
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow$

$\alpha_2 \in \cd 3,68~;~3,69 \cg
$
}

\item D'après le tableau de variations, 
$g(x)\geqslant 4 \iff x \in \cd \alpha_1~;~\alpha_2 \cg$. 

\item La fonction $G$ définie sur $\cd 0,5~;~5\cg$ par 
$G(x) = -\dfrac{3}{2}x^2\ln x + \dfrac{13}{4}x^2$
 est une primitive de $g$ si $G'=g$:
 
$G'(x)= -\dfrac{3}{2} \times 2x \times \ln x - \dfrac{3}{2}\,x^2\times \dfrac{1}{x} + \dfrac{13}{4}\times 2x
= -3x \ln x - \dfrac{3}{2}\,x + \dfrac{13}{2}\,x
= 5x-3x \ln x = g(x)$

Donc la fonction $G$ est une primitive de la fonction g sur $\cd 0,5~;~5\cg$.

\item% Calculer alors la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~5]$. On donnera la valeur arrondie au millième. 
La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $\cd 0,5~;~5\cg$ est:

$\dfrac{1}{5-0,5} \ds\int_{0,5}^{5} g(x) \d x
= \dfrac{1}{4,5} \left [ G(x) \rule{0pt}{10pt}\right ]_{0,5}^{5}
= \dfrac{1}{4,5} \left [ G(5) - G(0,5) \rule{0pt}{10pt}\right ]\\
\phantom{\dfrac{1}{5-0,5} \ds\int_{0,5}^{5} g(x) \d x}
= \dfrac{1}{4,5} \left [ \left ( -\dfrac{75}{2}\ln 5 + \dfrac{14}{4}\times 25 \right ) - \left ( -\dfrac{3}{2}\times 0,25 \ln 0,5 + \dfrac{13}{4}\times 0,25 \right ) \right ]\\
\phantom{\dfrac{1}{5-0,5} \ds\int_{0,5}^{5} g(x) \d x}
= \dfrac{1}{4,5} \left (-\dfrac{75}{2}\ln 5 + \dfrac{3}{8}\ln 0,5 +\dfrac{1287}{16} \right )\\
\phantom{\dfrac{1}{5-0,5} \ds\int_{0,5}^{5} g(x) \d x}
\approx 4,405
$

\end{enumerate}
\end{document}