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% Tapuscrit François Hache
% Corrigé : René Roux
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 22 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES/L  Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[5pt]21 juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\smallskip 

\textbf{Partie A}

\smallskip
	La variable $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=45$ et $\sigma=12$.
\begin{enumerate}

	\item 
		\begin{enumerate}
		\item $P(X=10)=0$ car $X$ suite une loi à densité, donc la probabilité (calculée avec une intégrale) que la variable $X$ soit égale à une n'importe quelle valeur choisie, est toujours égale à zéro.
		\item L'espérance de la loi normale est $\mu=45$. La fonction de densité d'une telle loi est symétrique par rapport à un axe vertical d'équation $x=45$. Donc $P(X\leqslant 45)=p(X\geqslant 45)=0,5$.
		\item $\mu=45$ et $\sigma=12$ donc $\mu-2\sigma=21$ et $\mu+2\sigma=69$.\\
		Donc $P(21\leqslant X\leqslant 69)=P(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,955$
		\item En utilisant toujours la symétrie de la fonction de densité, on a donc :\\
		$P(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma)=2\times P(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu)=\dfrac{0,955}{2}=0,475$.

\end{enumerate}
	\item \'A l'aide de la calculatrice, $P(30\leqslant X\leqslant 60)\approx 0,789$.
	\item \'A l'aide de la calculatrice (inversion de la loi normale), $P(X\leqslant a)=0,30 \iff a\approx 38,71$ soit environ 39 minutes. Donc la probabilité qu'un client passe moins de 39 minutes est égale à $0,30$.
\end{enumerate}

\smallskip 

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item On prend un échantillon de taille 300 donc $n=300$. Une étude a montré que $89\,\%$ des clients sont satisfaits donc la probabilité est $p=0,89$.
	
	$n=300 \geqslant 30$, $np=267 \geqslant 5$ et $n(1-p) = 33 \geqslant 5$ donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% : \\
	$\hspace*{1cm} I_{300}= \left [ p-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\, p+1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right ]\\[7pt]
	\phantom{\hspace*{1cm} I_{300}}
	= \left [0,89 - 1,96 \sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}} \,;\, 0,89 + 1,96 \sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}} \right ]
	\approx [0,855\,;\,0,925]$
	\item La fréquence de clients satisfaits est : $f=\dfrac{286}{300}\approx 0,953$
	\item Si on suppose que le taux de satisfaction reste stable à  que $89\,\%$, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 \% reste identique. Or $f \notin I_{300}$ donc au risque d'erreur de 5 \%, donc on ne peut pas dire que le taux de satisfaction est resté stable.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\smallskip 

\textbf{Partie A}

\smallskip
\begin{enumerate}
	\item La probabilité $p_{\overline{F}}(S)$ est la probabilité que l'on interroge un élève faisant du sport sachant que cet élève n'est pas une fille (et donc est un garçon). \hfill{\textbf{Réponse a)}}
	\item Formule de Bayes : $P_F(S)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(F)}=\dfrac{P_S(F)\times P(S)}{P(F)}=\dfrac{0,3\times 0,4}{0,47}\approx 0,255$.\hfill{\textbf{Réponse b)}}
\end{enumerate}

\smallskip 

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item L'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $a=1$ est : $y=g'(a)(x-a)+g(a)$.\\
	La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[-1\,;\,4]$ : $g'(x)=-3x^2+6x$.\\
	Donc $g'(1)=3$ et $g(1)=1$. L'équation de la tangente est : $y=3(x-1)+1=3x-2$.\hfill{\textbf{Réponse b)}}
	\item Avec la calculatrice, on calcule la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle \\
	 $[-1\,;\,a]$ ($a\geqslant-1$) : $\dfrac{1}{a-(-1)}\displaystyle\int_{-1}^{a} g(x)\:\text{d}x$.\\
	 Pour $a=0$ : $\dfrac{1}{0-(-1)}\displaystyle\int_{-1}^{0} g(x)\:\text{d}x=\displaystyle\int_{-1}^{0} g(x)\:\text{d}x=\dfrac{1}{4}$.\\
	 Pour $a=1$ : $\dfrac{1}{1-(-1)}\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x)\:\text{d}x=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{2} g(x)\:\text{d}x=0$.\hfill{\textbf{Réponse b)}}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\smallskip
\begin{enumerate}
	\item Le niveau augmente en hauteur de 6 \% puis baisse de 15 cm d'un jour à l'autre. Augmenter de 6 \% revient à multiplier par $1,06$.
	\begin{enumerate}
		\item Le 2 janvier 2018, $u_1=1,06\times u_0-15=1,06\times 605-15=626,3$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on note respectivement par $u_n$ et $u_{n+1}$ les niveaux du barrage pour les jours $n$ et $n+1$.Le niveau augment de 6 \% puis baisse de 15, donc $\forall n\in \N$, $u_{n+1}=1,06\times u_n-15$.
	\end{enumerate}
\item $\forall n\in \N$, $v_n=u_n-250$
\begin{enumerate}
	\item $\forall n\in \N$, $v_{n+1}=u_{n+1}-250=1,06u_n-15-250=1,06u_n-265=1,06\times \left(u_n-\dfrac{265}{1,06}\right)\\ =1,06\times (u_n-250)=1,06\times v_n$.\\
	Donc la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 1,06 et de premier terme\\
	 $v_0=u_0-250=355$.
	\item $\forall n\in \N$, $v_n=v_0\times q^n=355\times 1,06^n$. De plus $u_n=v_n+250$\\
	donc $\forall n\in \N$ $u_n=355\times 1,06^n+250$.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Cherchons la limite de la suite $(u_n)$ quand $n$ tend vers l'infini.\\
		La raison de la suite géométrique $(v_n)$ est supérieure à 1 et $v_0>0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=+\infty$\\
		De plus $\forall n\in \N$, $u_n=v_n+250$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$.
		\item L'équipe d'entretien devra impérativement intervenir car à un moment donné (jour $N$) $u_N\geqslant 1000$.
	\end{enumerate} 
\item 
\begin{enumerate}
	\item Ci-dessous l'algorithme complété :\\
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
			\hline
			$N \gets 0$\\
			$U \gets 605$\\
			Tant que $\red{U < 1000}$ faire\\
			\hspace*{1cm} $\red{U \gets 1,06 \times U -15}$\\
			\hspace*{1cm} $\red{N \gets N+1}$\\
			Fin Tant que\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\item À l'aide de la calculatrice, $a_{12}\approx 964,33$ et $a_{13}\approx 1007,19$. A la fin de l'exécution, la variable $N$ contient la valeur 13.\\
	\textit{Par le calcul :}\\
	$u_n\geqslant 1000\iff 355\times 1,06^n+250\geqslant 1000 \iff 355\times 1,06^n\geqslant 750 \iff 1,06^n \geqslant \dfrac{750}{355} \\ \iff \ln(1,06^n)\geqslant \ln\left(\dfrac{150}{71} \right) \iff n\times \ln(1,06)\geqslant \ln\left(\dfrac{150}{71} \right) \iff n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{150}{71} \right)}{\ln(1,06)} $\\
	Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{150}{71} \right)}{\ln(1,06)} \approx 12,84$ donc $n\geqslant 13$. On retrouve le résultat précédent.
	\item L'intervention devra donc intervenir 13 jours après le 1\up{er} janvier 2018, soit donc le 14 janvier 2018. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\smallskip 

\textbf{Partie A}

\smallskip
\begin{enumerate}
	\item L'ordre de ce graphe est 5 car il possède 5 sommets.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item La matrice d'adjacence de ce graphe est : $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &1 &0 \\  0&0 &0 &1 &0 \\  1&1 &0 &0 &1 \\  0&0 &0 &0 &0 \\  1&1 &0 &1 &0  	\end{pmatrix}$
		\item Pour trouver le nombre de chemin de longueur 3 allant de D à F, il faut lire le coefficient $a_{3,4}$ de la matrice $M^3=(a_{i,j})$ : ici c'est 3. Il existe donc trois parcours.\\
		Ce sont : $D \rightarrow H \rightarrow A \rightarrow  F $ ; $D \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow  F $ et $D \rightarrow H \rightarrow B \rightarrow  F $.
	\end{enumerate}
\item  En utilisant l'algorithme de Dijkstra :\\
\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
		\hline 
		A		& B  		&  D  		&  F  		&  H  		&Sommet Choisi  \\ 
		\hline 
		28 (D)	& 40 (D) 	&0  		&$+\infty$  &19 (D)  	& H (19) \\ 
		\hline 
		\sout{45 (H)}		& 35 (H)	&			&51 (H)		&    		& A (28)  \\ 
		28 (D)	& \sout{40 (D)}	&   		&    		&    		&  \\ 
		\hline
				& 68 (D)	&    		&  51 (H)	&    		& B (35)  \\ 
				& 35 (H)	&   		&    		&    		&  \\ 	
		\hline
				&			&    		&  49 (B)	&    		& F (49)  \\ 
				& 			&   		&  \sout{51 (H)}	&    		&  \\ 	
		\hline
	\end{tabular} 
\end{center} 

Le chemin le plus court sera : $D \xrightarrow{19} H \xrightarrow{16} B \xrightarrow{14} F$ et aura pour longueur 49.
\smallskip 

\textbf{Partie B}

\smallskip
Le graphe complété des 3 nouveaux chemins :
\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
	\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
	\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {4.5}
	\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
	%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
	\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
	%%% définitions des points 
	\psnode*(3;108){D}{}    \psnode*(3;36){H}{}   \psnode*(3;-36){A}{}
	\psnode*(3;-108){F}{}   \psnode*(3;-180){B}{} \psnode*(0,0){T}{}
	%%% tracés des arêtes et des étiquettes
	\ncline{D}{H} % \naput{19} %%% DH
	\ncline{D}{A} % \naput{28} %%% DA
	\ncline{D}{B} % \nbput{40} %%% DB
	\ncline{H}{B} % \nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
	\ncline{H}{F} % \nbput{32} %%% HF
	\ncline{H}{A} % \naput{26} %%% HA
	\ncline{A}{B} % \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
	\ncline{A}{F} % \naput{25} %%% AF
	\ncline{B}{F} % \nbput{14} %%% BF
	%%% Ajout des longueur
	\ncline[linecolor=blue]{A}{T} % \nbput{14} %%% BF
	\ncline[linecolor=blue]{H}{T} % \nbput{14} %%% BF
	\ncline[linecolor=blue]{T}{F} % \nbput{14} %%% BF

	%%% noms des points
	\uput[-36](3;-36){A} \uput[-180](3;-180){B} \uput[108](3;108){D}
	\uput[-108](3;-108){F} \uput[36](3;36){H}
	\psdots[dotscale=1.5,linecolor=blue](0,0) \uput[ur](0,0){\blue T}
	\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\smallskip 
\begin{enumerate}
	\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[-2\,;\,4]$.\\
	Pour tout $x\in [0\,;\,5]$, $f(x)$ est de la forme $u(x)\times v(x)+3$ avec $u(x)=2x +1$ et $v(x)=\text{e}^{-2x}$. \\
	En écrivant  $u'(x)=2$ et $v'(x)=-2\text{e}^{-0,2x}$,\\
	 		$f'(x)=2\times \text{e}^{-2x}+(2x+1)\times -2\text{e}^{-x}=\text{e}^{-2x} \left(2+(2x+1)\times-2\right) =\text{e}^{-2x}\left(2-4x-2\right)=\text{e}^{-2x}\left(-4x\right)$
	\item $\forall x \in [-2\,;\,4]$, $\text{e}^{-2x}>0$ donc $f'(x)$  a le même signe que $-4x$.\\
	Le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle  $[-2\,;\,4]$ est :
		 	\begin{center}
		 		{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
		 			\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
		 			\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
		 			\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
		 			$\begin{array}{|c|*5{c}|}
		 			\hline
		 			x & -2  & \esp & 0 & \esp & 4 \\ 
		 			\hline
		 			f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
		 			\hline
		 			& &  &   \Rnode{max}{4}  &  &   \\  
		 			f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
		 			& \Rnode{min1}{-3\text{e}^{4}+3} &   &  &  &   \Rnode{min2}{9\text{e}^{-8}+3} \rule{0pt}{\hauteur}    
		 			\ncline{->}{min1}{max} 
		 			\ncline{->}{max}{min2} 
		 			\\ 
		 			\hline
		 			\end{array} $
		 		}
		 	\end{center}
		 	$f(-2)=(2\times -2+1)\text{e}^{-2\times -2}+3=-3\text{e}^{4}+3\approx -160,8$ \hfill{$f(0)=(2\times 0,6+1)\text{e}^{0}+3=4$} \hfill{$f(4)=(2\times 4)\text{e}^{-2\times 4}+3=9\text{e}^{-8}+3\approx 3$}
		\item Sur l'intervalle $[-2\,;\, 0]$,  la fonction $f$ est continue et strictement croissante.\\
		 De plus $0\in [-3\text{e}^{4}+3\,;\, 4]$. D'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution  notée $\alpha$ sur l'intervalle $[-2\,;\,0]$. \`A l'aide de la calculatrice,  $\alpha \approx -0,8$.\\
		 	Sur l'intervalle $[0\,;\, 4]$, la fonction $f$ est strictement décroissante donc $f(x)\geqslant f(4)$. Or $f(4)>0$ donc l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution sur cet intervalle.\\
			 Pour conclure, l'équation $f(x)=0$ admet donc une solution unique $\alpha \approx -0,8$ sur l'intervalle $[-2\,;\, 4]$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item $\forall x \in [-2\,;\,4]$, $\text{e}^{-2x}>0$ donc $f''(x)$  a le même signe que $8x-4$.\\
		$8x-4  \geqslant 0 \iff x\geqslant \dfrac{1}{2}$. Le tableau suivant donne le signe de $f''(x)$ sur l'intervalle $[-2\,;\, 4]$ :
				 	\begin{center}
			{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
				\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
				\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
				\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
				$\begin{array}{|c|*5{c}|}
				\hline
				x & -2  & \esp & \dfrac{1}{2} & \esp & 4 \\ 
				\hline
				f''(x) &  &   \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ 
				\hline
				\end{array} $
			}
		\end{center}
	\item D'après le tableau de signe précédent, $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}\,;\,4\right]$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item On admet que la fonction $G$ est dérivable sur l'intervalle $[-2\,;\,4]$.\\
	$\forall x \in [-2\,;\,4]$, $G(x)$ est de la forme $u(x)\times v(x)$ avec $u(x)=-x-1$ et $v(x)=\text{e}^{-2x}$. 
	
En écrivant  $u'(x)=-1$ et $v'(x)=-2\text{e}^{-0,2x}$,\\
	$G'(x)=-1\times \text{e}^{-2x}+(-x-1)\times -2\text{e}^{-x}=\text{e}^{-2x} \left(-1+(-x-1)\times-2\right) =\text{e}^{-2x}\left(-1+2x+2\right)$
	
$G'(x) = \text{e}^{-2x}\left(2x+1\right)$.
	
Donc la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-2\,;\,4]$.
	\item Une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-2\,;\,4]$ est : $F(x)=G(x)+3x=(-x-1)\text{e}^{-2x}+3x$.
	\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Sur le dessin ci-dessous est hachuré $\mathcal{A}$ l'aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.


	\begin{center}
		\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm}
		\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {4.6}
		\def\ymin {-7}   \def\ymax {5.5}
		\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
		\psgrid[unit=1.2cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(\xmin,-4)(\xmax,5) 
		\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
		\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
		%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
		%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
		\def\f{2 x mul 1 add 2.7183 -2 x mul exp mul 3 add}                           % définition de la fonction
		\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{4}{\f}
		\uput[u](2.5,3){\blue $\mathcal{C}_f$}

%-------------- aire sous la courbe
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]  % aire coloriée
		\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]      % aire hachurée
		{
		\psline(0,0)(0,4) %ligne verticale (a,0)(a,f(a))
		\psplot{0}{1}{\f} % {a}{b} la fonction
		\psline(1,3.41)(1,0) %ligne verticale (b,f(b)),(b,0)
		}

		\end{pspicture*}
	\end{center}
\item Par lecture graphique, dans la limite de sa précision : $3\leqslant \mathcal{A} \leqslant 4$
\item $\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^{1} f(x)\:\text{d}x=\left[F(x)\right]_0^1=F(1)-F(0)$.\\
$F(1)=(-1-1)\text{e}^{-2}+3=-2\text{e}^{-2}+3$ et $F(0)=-\text{e}^{0}=-1$\\
donc $\mathcal{A}=-2\text{e}^{-2}+3+1=4-2\text{e}^{-2}\approx 3,73$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
