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%Tapuscrit François Hache
%Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}	%displaystyle
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréataccalauréat ES/L - Corrigé},
pdftitle = {Métropole La Réunion - 12 septembre 2017},
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%%% redéfinitions à mettre après hypersetup
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\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{12 septembre 2017}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Métropole - La Réunion ~\decofourright\\[4pt]12 septembre 2017}}

\vspace{0,25cm}
 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

%\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\hfill{}\emph{Commun à tous les candidats}\hfill{}

\bigskip

\def\interA{\cd -2~;~3\cg}

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\interA$. On note $f'$ la fonction dérivée de cette fonction sur l'intervalle $\interA$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {4}
\def\ymin {-2}   \def\ymax {4}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-120][$y$,210] 
\uput[dl](0,0){$0$}
\psset{linecolor=blue}
\def\f{x x x 4 mul 6 sub mul 24 sub mul 20 add 15 div}%          définition de la fonction f
\psplot[plotpoints=2000]{-2}{3}{\f} \uput[ul](-1.8,1.36){\blue $\mathcal C$}%  tracé de la courbe
\psplot[plotpoints=2000]{-2}{3}{x neg 1.5 add} \uput[ur](-1.5,3){\blue $T$}% tangente T
\psplot[plotpoints=2000]{-2.5}{2.2}{x neg 13 30 div add} \uput[dl](-2.1,2.53){\blue $T'$}% tangente T'
\psdots(-0.5,2)(1.5,-1.067)(-1,2.267)(2,-1.33)(1,0.5)(-2,.8)(3,0.133)
{\small
\uput[dl](-0.5,2){\blue A} \uput[u](1.5,-1.067){\blue B} \uput[ul](-1,2.267){\blue D} 
\uput[u](2,-1.33){\blue E} \uput[ur](1,0.5){\blue F}  
}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{On dispose des renseignements suivants:}
\item $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point A\,$(-0,5~;~2)$, elle passe par le point F\,$(1~;~0,5)$.
\item $T'$ est la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point B d'abscisse $\dfrac{3}{2}$.
\item Les droites $T$ et $T'$ sont parallèles.
\item Les tangentes à $\mathcal C$ aux points D d'abscisse $-1$ et E d'abscisse $2$ sont parallèles à l'axe des abscisses.
\end{list}

%\medskip

%Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
%
%\medskip

\textbf{Affirmation 1.}

Les nombres $f'\left (-\dfrac{1}{2}\right )$ et $f'\left (\dfrac{3}{2}\right )$ sont tous deux égaux à $-1$.

\medskip

\textbf{Explications}

La tangente $T$ passe par A et par F donc elle a pour coefficient directeur 
$ \dfrac{y_{\text F}-y_{\text A}}{x_{\text F} - x_{\text A}} 
= \dfrac{0,5-2}{1-(-0,5)} = -1$.

$f'\left (-\dfrac{1}{2}\right )$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d'abscisse $-\dfrac{1}{2}$, donc au point A; c'est donc le coefficient directeur de la tangente $T$.
Donc $f'\left(\dfrac{1}{2}\right )=-1$.

$f'\left (\dfrac{3}{2}\right )$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}$, donc au point B; c'est donc le coefficient directeur de la tangente $T'$. Les droites $T$ et $T'$ sont parallèles donc elles ont même coefficient directeur; on en déduit que  $f'\left (\dfrac{3}{2}\right ) = -1$.

\textbf{Affirmation 1. vraie}

\bigskip


\begin{minipage}{0.73\linewidth}
\textbf{Affirmation 2.}\\
La courbe ci-contre représente la fonction $f'$ sur $\interA$.

\medskip

\textbf{Explications}

La courbe ci-contre représente une fonction qui est négative sur l'intervalle $\cd -2~;~-1\cg$ ce qui voudrait dire que la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle; d'après le tracé de $\mathcal C$, c'est faux. \\
La courbe n'est donc pas la représentation graphique de $f'$.

\textbf{Affirmation 2. fausse}

\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=0.6cm}
\def\xmin {-2.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {2.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=0.3cm,subgriddiv=1, griddots=5, gridlabels=0, gridcolor=gray](0,0)(-5,-7)(7,5) 
\psaxes[arrowsize=2pt 2, ticksize=0pt 0pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 
\uput[dl](0,0){$0$}
\psset{linecolor=blue}
\def\f{4 neg x x 1 sub mul 2 sub mul 5 div}%          définition de la fonction f
\psplot[plotpoints=2000]{-2}{3}{\f} %  tracé de la courbe
\psdots(-2,-3.2)(3,-3.2)
\end{pspicture}

\end{flushright}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Affirmation 3.}\\
La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $\interA$.

\medskip

\textbf{Explications}

Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe représentative est située en dessous des tangentes en tous les points de cet intervalle. La courbe $\mathcal C$ est au dessus de la tangente $T'$ au point B donc la fonction $f$ n'est pas concave sur $\interA$.

\textbf{Affirmation 3. fausse}

\bigskip

\textbf{Affirmation 4.}\\
Sur $\cd -2~;~0\cg$, toute primitive de $f$ est croissante.

\medskip

\textbf{Explications}

Toute primitive de la fonction $f$ a pour dérivée $f$ donc son sens de variation est donné par le signe de la fonction $f$. Sur $\cd -2~;~0\cg$, la fonction $f$ est positive, donc toute primitive est croissante sur cet intervalle.

\textbf{Affirmation 4. vraie}

%\newpage

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\hfill{}\emph{Commun à tous les candidats}\hfill{}

\bigskip
%
%\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\smallskip
%
En janvier 2015, le directeur d'un musée d'art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

\subsubsection*{\centering Partie A}

Le musée dispose d'un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut se rendre au guichet d'entrée du musée ou commander un billet en ligne.

\begin{list}{\textbullet}{Trois types de visites sont proposés:}
\item La visite individuelle sans location d'audioguide.
\item La visite individuelle avec location d'audioguide.
\item La visite en groupe d'au moins 10 personnes. Dans ce cas, un seul billet est émis pour le groupe.
\end{list}

\medskip

Le site internet permet uniquement d'acheter les billets individuels avec ou sans audioguide.\\
Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d'entrée du musée.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{Sur l'année 2015 l'enquête a révélé que:}
\item 55\,\% des billets d'entrée ont été achetés au guichet du musée;
\item parmi les billets achetés au guichet du musée, 51\,\% des billets correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide, et 37\,\% à des visites avec location d'audioguide;
\item 70\,\% des billets achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide.
\end{list}

\medskip

On choisit au hasard un billet d'entrée au musée acheté en 2015.

\begin{list}{\textbullet}{On considère les événements suivants:}
\item $E$: \og le billet a été acheté en ligne\fg;
\item $A$: \og le billet correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide\fg;
\item $L$: \og le billet correspond à une visite individuelle sans  location d'audioguide\fg;
\item $G$: \og le billet correspond à une visite de groupe\fg.
\end{list}

\medskip

%On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, $p(E)$ désigne la probabilité de l'événement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l'événement $E$ sachant que l'événement $F$ est réalisé. On note $\overline{E}$ l'événement contraire de $E$.

\begin{enumerate}

\item On complète l'arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l'énoncé:

\begin{center}
\bigskip
{\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=12mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt,treesep=7mm]{\TR{$E$}\naput{$1-0,55=0,45$}}
	                        {
	                        \TR{$A$}\naput{$1-0,70=0,30$}
			                \phantom{\TR{ES}\naput{}}
		                    \TR{$L$} \nbput{$0,70$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt,treesep=7mm]{\TR{$\overline E$}\nbput{$0,55$}}
                            {
	                        \TR{$A$}\naput{$0,37$}
	                        \TR{$L$}\naput{$0,51$}
	                        \TR{$G$} \nbput{$1-0,37-0,51=0,12$}
	                        }
      }
}%%% fin du \small
\bigskip
\end{center}

\item La probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est égale à $p(E\cap A) = 0,45\times 0,30 = 0,135$.

\item D'après la formule des probabilités totales:
 $p(A) = p(E\cap A) + p(\overline{E}\cap A) = 0,135 + 0,55 \times 0,37 =\np{0,3385}$.

\item Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide. 
La probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée est:

$p_{A}(\overline{E}) = \dfrac{p(A\cap \overline{E})}{p(A)} = \dfrac{0,55\times 0,37}{\np{0,3385}} \approx 0,601$.

%On arrondira le résultat au millième.

\end{enumerate}

\subsubsection*{\centering Partie B}

Pour gérer les flux des visiteurs, une partie de l'enquête a porté sur la durée d'une visite de ce musée. Il a été établi que la durée $D$ d'une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne $\mu=90$ et d'écart-type $\sigma=15$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À la calculatrice, on trouve: $p(90 \pp D \pp 120) \approx 0,477$.

On peut donc considérer qu'il y a environ $47,7$\,\% de personnes qui mettent entre 90 et 120 minutes, c'est-à-dire entre 1h30 et 2h, pour leur visite.

\item Le directeur précise qu'il augmentera la capacité d'accueil de l'espace restauration du musée si plus de 2\,\% des visiteurs restent plus de 2 heures et 30 minutes (soit 150 minutes) par visite.% Quelle sera alors sa décision?

$p(D \pg 150) \approx 3,169\times 10^{-5}$ donc il y a moins de 2\,\% des visiteurs qui restent plus de 2h30 par visite. Le directeur ne changera donc rien à la capacité d'accueil de l'espace restauration.

\end{enumerate}

\subsubsection*{\centering Partie C}

Sur l'ensemble des musées d'art contemporain, 22\,\% des visiteurs sont de nationalité étrangère. Sur un échantillon aléatoire de $\np{2000}$ visiteurs du musée considéré précédemment, 490 visiteurs sont de nationalité étrangère.\\
%Que peut en conclure le directeur de ce musée? Argumenter.

La proportion d'étrangers est $p=0,22$ et on prend un échantillon de taille $n=\np{2000}$. Or $n\pg 30$, $np=440 \pg 5$ et $n(1-p)=\np{1560}\pg 5$ donc les conditions sont vérifiées pour que l'on établisse un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion d'étrangers parmi les visiteurs:

$I=\left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} ~;~p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]
= \left [ 0,22-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,22\times 0,78}}{\ds\sqrt{\np{2000}}} ~;~0,22+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,22\times 0,78}}{\ds\sqrt{\np{2000}}} \right ]\\[7pt]
\phantom{I} \approx \cd 0,202~;~0,238\cg$.

\smallskip

Dans le musée étudié, il y a eu 490 visiteurs étrangers donc la fréquence est $f=\dfrac{490}{\np{2000}}=0,245$. 

Ce nombre n'appartient pas à l'intervalle $I$ donc on peut penser, au risque de 5\,\%, que le nombre de visiteurs étrangers est anormalement élevé dans ce musée.

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\hfill{}\emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}\hfill{}

\bigskip

Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d'information générale et politique, c'est-à-dire le nombre moyen d'exemplaires imprimés par jour.

Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Année 				&2007 		&2008 		&2009 		&2010 		&2011 		&2012 		&2013 		&2014\\\hline
Tirage moyen journalier
 en milliers 
 d'exemplaires		&\np{10982} &\np{10596} &\np{10274} &\np{10197} &\np{10182} &\np{9793}  &\np{9321}  &\np{8854} \\\hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : D.G.M.I.C (Direction générale des médias et des industries culturelles)}}
\end{tabularx}
\end{center}

%Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008 est 
$\dfrac{\np{10596}-\np{10982}}{\np{10982}}\times 100 \approx -3,51\,\%$.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année $(2007+n)$.

Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_0=\np{10982}$ et, pour tout entier naturel $n$,
$V_{n+1} = 0,96 V_n +100$.

\item $V_1= 0,96 V_0 + 100 = 0,96\times \np{10982}+100 = \np{10642,72}$ et \\
$V_2 = 0,96 V_1 + 100 = 0,96\times \np{10642,72}+100 \approx \np{10317,01}$

\item Soit $(W_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $W_n = V_n-\np{2500}$ donc

 $V_n=W_n+\np{2500}$.

\begin{enumerate}
\item% Montrer que $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $0,96$ puis déterminer son premier terme.
$W_{n+1} = V_{n+1} -\np{2500} = 0,96 V_n + 100 - \np{2500}
= 0,96\left ( W_n +\np{2500}\right ) -\np{2400}$

$= 0,96 W_n +\np{2400} - \np{2400}
= 0,96 W_n$.

$W_0 = V_0-\np{2500} = \np{10982} - \np{2500} = \np{8482}$

Donc la suite $(W_n)$ est géométrique de raison $q=0,96$ et de premier terme $W_0=\np{8482}$.

\item% Déterminer l'expression de $W_n$ en fonction de $n$.
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $W_n=W_0\times q^n = \np{8482} \times 0,96^n$.

\item% En déduire que pour tout entier naturel $n$, $V_n= \np{8482}\times 0,96^n + \np{2500}$.
Pour tout $n$, $V_n=W_n+\np{2500}$ donc $V_n=\np{8482}\times 0,96^n + \np{2500}$.

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item L'année 2007 correspond à $n=0$ donc l'année 2017 correspond à $n=10$.

Le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017 est\\
$V_{10}= \np{8482}\times 0,96^{10} + \np{2500} \approx \np{8139,11}$ milliers d'exemplaires.

\item %Déterminer la limite de la suite $(W_n)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
La suite $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,96$; or $-1<q<1$ donc la suite $(W_n)$ admet le nombre 0 pour limite.

On en déduit que la suite $(V_n)$ a pour limite $\np{2500}$ ce qui veut dire que le nombre d'exemplaires vendus va tendre vers $\np{2500}$ milliers.

\item L'algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année $(2007+n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur:

\begin{center}
\begin{tabular}{|@{\hspace*{0.7cm}} l @{\hspace*{0.7cm}} |}
\hline
\\
\textbf{Variables}\\
\hspace*{1cm} $V$ est un réel\\
\hspace*{1cm} $n$ et $k$ sont des entiers\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{1cm} Saisir la valeur de $n$\\
\hspace*{1cm} $V$ prend la valeur $\np{10982}$\\
\textbf{Traitement et affichage}\\
\hspace*{1cm} Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
\hspace*{2cm} $V$ prend la valeur $0,96 \times V + 100$\\
\hspace*{2cm} Afficher $V$\\
\hspace*{1cm} Fin Pour\\
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\hfill{}\emph{Candidats de la série ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}\hfill{}

\bigskip

Dans une commune, l'école de musique propose des cours d'éveil musical.

En 2013, 20\,\% des enfants de la commune suivaient les cours d'éveil musical de cette
école. Chaque année, 70\,\% des enfants inscrits restent dans l'école l'année suivante, et
par ailleurs, 20\,\% des enfants de la commune qui n'y étaient pas inscrits viennent s'y
ajouter.

Pour tout entier naturel $n$, on note:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $c_n$ la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical en $(2013 + n)$,
\item[$\bullet~~$] $d_n$  la proportion des enfants de la commune qui ne sont pas inscrits à cet éveil musical en 

$(2013 + n)$,
\item[$\bullet~~$]  $E_n = \begin{pmatrix}c_n& d_n\end{pmatrix}$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $(2013 + n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Ainsi, on a $E_0 = \begin{pmatrix}0,2 &0,8\end{pmatrix}$.

\smallskip

On choisit au hasard un enfant de la commune.

\bigskip

\subsubsection*{\centering Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ l'état \og l'enfant est inscrit aux cours d'éveil musical \fg
\item[$\bullet~~$] $D$ l'état \og l'enfant n'est pas inscrit aux cours d'éveil musical \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On traduit la situation par un graphe probabiliste:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{$C$}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{$D$}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$0,30$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$0,20$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$0,70$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$0,80$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}


\item%  Déterminer la matrice $A$ de transition, c'est-à-dire la matrice vérifiant, pour tout entier naturel $n$,\: $E_{n+1} = E_n \times  A$.
\def\matA{\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}}

D'après le texte, on a:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
c_{n+1} & 0,7\,c_n + 0,2\,d_n\\
d_{n+1} & 0,3\,c_n + 0,8\,d_n
\end{array}
\right .$

Ce qui s'écrit:
$\begin{pmatrix}
c_{n+1} & d_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c_{n} & d_{n}
\end{pmatrix}
\matA$ 
ou encore 
$E_{n+1} = E_n \times 
\begin{pmatrix}
0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8
\end{pmatrix}$

La matrice de transition est donc $A=\matA$.

\item % Déterminer $E_1$ et $E_2$.
$E_1=E_0\times A
= \begin{pmatrix}
0,2 & 0,8
\end{pmatrix}
\matA
= \begin{pmatrix}
0,2\times 0,7 + 0,8\times 0,2 & 0,2\times 0,3 + 0,8\times 0,8
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0,3 & 0,7
\end{pmatrix}$

$E_2=E_0\times A
= \begin{pmatrix}
0,3 & 0,7
\end{pmatrix}
\matA
= \begin{pmatrix}
0,3\times 0,7 + 0,7\times 0,2 & 0,3\times 0,3 + 0,7\times 0,8
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0,35 & 0,65
\end{pmatrix}$

\item  L'état probabiliste stable est l'état $\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix}$ tel que $c+d=1$ et 
$\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix}\times A$.

$\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix}\times A
\iff
\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} \matA
\iff
\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,7c+0,2d & 0,3c+0,8d \end{pmatrix}\\
\phantom{\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix}\times A}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
c & 0,7\,c + 0,2\,d\\
d & 0,3\,c + 0,8\,d
\end{array}
\right .
\iff 0=-0,3c+0,2d
\iff -3c+2d=0 
$

On résout le système:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
-3c+2d & 0\\
c+d & 1
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
-3c+2d & 0\\
3c+3d & 3
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
5d & 3\\
c& 1-d
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
c & 0,4\\
d & 0,6
\end{array}
\right .$

L'état stable est l'état limite du système donc si le processus se poursuit, le pourcentage d'enfants inscrits aux cours d'éveil musical va tendre vers 40\,\% et le pourcentage de ceux qui n'assistent pas à ce cours va tendre vers 60 \,\%.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{\centering Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On rappelle que pour tout entier naturel $n$, on a $c_n + d_n = 1$.

%Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,5c_n + 0,2$.

On a vu que, pour tout $n$, $c_{n+1}= 0,7c_n + 0,2d_n$ ; or $c_n + d_n = 1$ donc $d_n = 1 - c_n$ ce qui entraîne $c_{n+1} = 0,7 c_n + 0,2\left(1-c_n\right)$ ou encore $c_{n+1} = 0,7c_n + 0,2 - 0,2c_n$ ou enfin $c_{n+1} = 0,5c_n+ 0,2$.

On admet pour la suite de l'exercice que tout entier naturel $n$,\: $c_n = - 0,2 \times 0,5^n + 0,4$.
\item %Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.
Pour tout $n$:
 
$c_{n+1} - c_n
= \left (- 0,2 \times 0,5^{n+1} + 0,4\right) - \left (- 0,2 \times 0,5^n + 0,4\right)
=  - 0,2 \times 0,5^{n+1} + 0,4 + 0,2 \times 0,5^n - 0,4\\
\phantom{c_{n+1} - c_n}
= 0,2\times 0,5^{n} \left (-0,5 +1 \right)
= 0,2\times 0,5^{n+1}>0$.

Donc la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Voici un algorithme affichant la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical à partir de 2013 jusqu'à l'année $(2013 + n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur:
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|@{\hspace*{0.7cm}} l @{\hspace*{0.7cm}} |}
\hline
\\
\textbf{Variables}\\
\hspace*{1cm} $C$ est un réel\\
\hspace*{1cm} $n$ et $k$ sont des entiers\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{1cm} Saisir la valeur de $n$\\
\hspace*{1cm} $C$ prend la valeur $0,2$\\
\textbf{Traitement et affichage}\\
\hspace*{1cm} Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
\hspace*{2cm} $C$ prend la valeur $0,5 \times C + 0,2$\\
\hspace*{2cm} Afficher $C$\\
\hspace*{1cm} Fin Pour\\
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
		
		\item La proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical franchira le seuil de 39\,\%  si on peut trouver $n$ tel que $c_n>0,39$.
		
On a vu que la limite du pourcentage d'enfants suivant les cours d'éveil musical était $0,40$ donc le nombre $n$ tel que $c_n>0,39$ va exister. De plus, comme la suite $(c_n)$ est croissante, si on trouve $n_0$ tel que $c_{n_0}>0,39$, on aura $c_n>0,39$ pour tout $n>n_0$.

On résout l'inéquation $c_n>0,39$:

$c_n>0,39
\iff -0,2\times 0,5^n + 0,4 > 0,39
\iff 0,5^n < \dfrac{0,39-0,4}{-0,2}
\iff 0,5^n < 0,05\\
\phantom{c_n>0,39}
\iff \ln\left (0,5^n\right ) < \ln(0,05)
\iff n\times \ln(0,5) < \ln(0,05)
\iff n > \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,5)}$

Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,5)} \approx 4,32$ donc $c_n > 0,39$ à partir de $n=5$.
		
	\end{enumerate}

\item  Le directeur de cette école affirme que si ce modèle d'évolution reste valable, la proportion d'enfants de la commune inscrits à cet éveil musical dépassera le seuil de 50\,\%. 
	
%Peut-on valider cette affirmation ? Argumenter la réponse.

La suite $\left(c_n\right)$ est croissante et a pour limite $0,4$ donc, pour tout $n$, $c_n\pp 0,4$. La proportion d'enfants de la commune inscrits à cet éveil musical ne peut dépasser 40\,\% donc le directeur a tort.
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\hfill{}\emph{Commun à tous les candidats}\hfill{}

\bigskip

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d'une enceinte est de $300$ euros.\\
On note $x$ le prix de vente en centaines d'euros d'une enceinte.

Une étude de marché permet de modéliser la situation: pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cd 3~;~10 \cg$, si le prix de vente d'une enceinte est $x$ centaines d'euros, alors le nombre d'acheteurs est modélisé par

\[f(x)=\e^{-0,25x+5}.\]

Ainsi, $f(x)$ est une approximation du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de $x$ centaines d'euros. Par exemple, si le prix de vente d'une enceinte est fixé à $400$ euros, le nombre d'acheteurs est approché par $f(4)$.

\begin{enumerate}
\item  Une valeur approximative du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros est $f(4) \approx 55$.

%On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.

\item Le coût de production est de $300$ euros donc  la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de $400$ euros par enceinte est  $55\times (400 - 300) = \np{5500}$.

\smallskip

On note $g(x)$ la marge brute, en centaines d'euros, réalisée par l'entreprise pour un prix de vente de $x$ centaines d'euros par enceinte.

\item %Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\cd 3~;~10\cg$,
%\[g(x)=(x-3) \e^{-0,25x+5}.\]

On appelle $g(x)$ la marge brute pour un prix de vente de $x$ centaines d'euros par enceinte; le coût de production est de $300$ euros, soit $3$ centaines d'euros. La vente d'une enceinte rapporte donc $(x-3)$ centaines d'euros.

Pour un prix de vente de $x$ centaines d'euros, le nombre d'acheteurs est estimé à $f(x)$.

La marge brute est donc: $g(x) = (x - 3)\times f(x) = (x - 3)\e^{-0,25x + 5}$.

\item %Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:
%
%\begin{center}
%{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%\begin{tabular}{|m{10cm}|}
%\hline
%$\text{factoriser}\left ( \text{dériver}\left [(x-3) * \text{exp}(-0,25x+5)\right ]\right )$\\
%\hline
%\hfill{}$-\dfrac{x-7}{4}\e^{-\frac{1}{4}x+5}$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\hfill{~}\\
%\hline
%\end{tabular}
%}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item D'après le logiciel de calcul formel, $g'(x)= -\dfrac{x-7}{4}\e^{-0,25x+5}$.

Pour tout $x$, $\e^{-0,25x+5}>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $-\dfrac{x-7}{4}$. 

Le tableau suivant donne le signe de $g'(x)$ en fonction de $x$ sur l'intervalle $\cd 3~;~10\cg$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 3 & \esp & 7 & \esp  & 10 \\
\hline
x-7 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
-\dfrac{x-7}{4} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\
\hline
\e^{-0,25x+5} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
g'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

\begin{tabular}{@{} l !{\textbullet~} l}
Donc la fonction $g$  & est strictement croissante sur l'intervalle $\cd 3~;~7\cg$; \\
& est strictement décroissante sur l'intervalle $\cd 7~;~10\cg$;\\
& admet un maximum pour $x=7$.
\end{tabular}

% En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\cd 3~;~10\cg$.

\item% Pour quel prix de vente unitaire l'entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l'euro près.
D'après la question précédente, l'entreprise réalisera la marge brute maximale pour $x=7$; cette marge maximale sera alors de 
$g(7)\approx 103,16$ centaines d'euros soit $\np{10316}$ euros.

\end{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction telle que $G(x)=(-4x-4)\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ de $\cd 3~;~10\cg$.
	\begin{enumerate}
		\item  $G'(x)=(-4)\times \e^{-0,25x+5} + (-4x-4)\times (-0,25)\e^{-0,25x+5}
= (-4 +x+1)\e^{-0,25x+5} = (x-3)\e^{-0,25x+5} = g(x)$ donc $G$ est une primitive de $g$ sur $\cd 3~;~10\cg$.
		\item $I=\ds\int_{3}^{10} g(x) \d x = G(10)-G(3) = \left (  -44 \e^{2,5}\right ) - \left ( -16\e^{4,25}\right )
= 16\e^{4,25}- 44\e^{2,5} $
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}