\documentclass[10pt]{article}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%		Tracesuite : 4 paramètres :
%	#1 : la fonction en polonais inverse
%	#2 : abscisse de u_0
%	#3 : nombre de termes à construire
%	#4 : nom des points construits (en général M_0, M_1 ...)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\Tracesuite}[4]{%
\code{/x 3 def}
\multido{\i=0+1}{4}{%
  \code{/y 0.75 x mul 1.2 add def}
  \moveto(!x 0)
  \psline[linestyle=dashed]{->}(!x 0)(!x y)(!0 y)
  \moveto(!x y)
  \psline[linestyle=dashed]{->}(!x x)(!x y)(!y y)
\uput{1ex}[270](!x 0){$A_{\i}$}				% (on place les nom des points)
  \code{/x y def}%
}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%		rendu : 7 paramètres :
%
%	#1 : la fonction en polonais inverse
%	#2 : la valeur du point fixe
%	#3 : le minimum de l'axe des abscisses
%	#4 : le maximum de l'axe des abscisses
%	#5 : abscisse de u_0
%	#6 : nombre de termes à construire
%	#7 : nom des points construits (en général M_0, M_1 ...)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rendu}[7]{%
\psset{unit=1.5cm,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt}
\begin{pspicture}(0,0)(7,8)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,0)(7,7)
%
\SpecialCoor
\psplot{0}{6.75}{0.75 x mul 1.2 add}    %on trace la courbe de la fonction f
\psplot{0}{6.75}{x}						%on trace la première bissectrice
%
%\qdisk(4.8,4.8){3pt}											%le pt fixe
%\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](4.8,0)(4.8,4.8)     	%le pt  fixe
%\uput[d](4.8,0){\red $\ell$}							%le pt  fixe
\pscustom[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=blue]{%le tracé des pts 
\Tracesuite{0.75 x mul 1.2 add}{3}{5}{$a$}}
%
\end{pspicture}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Métropole La Réunion septembre 2006},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Métropole septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
%
%Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
%
%Cocher cette réponse sur la feuille fournie en \textbf{ANNEXE 1, à rendre avec la copie}.
%  
%\medskip
% 
%\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point.\\L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.\\
%Si le total est négatif la note est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Augmenter une quantité de 8\,\%, puis la diminuer de 8\,\% c'est : multiplier par 1,08 puis par 0,92, soit par $1,08 \times 0,92 = \np{0,9936}$ ce qui correspond à une baisse de 0,64\,\%.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\Box~$] 	revenir à la quantité initiale
%\item[$\Box~$]	augmenter la quantité initiale de 0,64\,\%
%\item[$\Box~$] 	diminuer la quantité initiale de 0,64\,\%
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\item  %Le relevé des ventes de chaussures d'homme dans un magasin, en fonction des pointures, est le suivant :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Pointure				&	40&	41&	42&43&44&45 &46\\ \hline
%Nombre de paires vendues&	10&	12&	15&13&5	&5	&1\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%La médiane de cette série est égale à :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\Box~$] 	13
%\item[$\Box~$] 	42
%\item[$\Box~$]  43
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Il y a 61 paires vendues : la 30\up{e} et la 31\up{e} paire sont des 42 : c'est la médiane.
\item %Pour tout nombre réel $a$ strictement positif, le nombre $\ln \left(a^2 + 3a\right)$ est égal à :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\Box~$] $\ln \left(a^2\right) + 3\ln (a)$
%\item[$\Box~$] $\ln (a) + \ln (a + 3)$
%\item[$\Box~$] $2\ln (a) + \ln (3a)$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{5mm}
Pour $a> 0$,\: $\ln \left(a^2 + 3a\right) = \ln a(a + 3) = \ln a  + \ln (a + 3)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%On étudie l'évolution de la population d'une ville au cours du temps. Le tableau suivant donne le nombre d'habitants au 1\up{er} janvier de chaque année (exprimé en milliers).
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année 				&2000&2001&2002&2003 	&2004 	&2005\\ \hline
%Nombre d'habitants	&10,5&11,5&12,9&14,5	&15,4	&16,9\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	%Calculer l'accroissement relatif de la population du 1\up{er} janvier 2000 au 1\up{er} janvier 2005 (donner la valeur décimale arrondie au centième).
L'accroissement relatif de la population du 1\up{er} janvier 2000 au 1\up{er} janvier 2005 est égal à :

$\dfrac{11,5 - 10,5}{10,5} = \dfrac{1}{10,5} \approx 0,095$ soit 0,10 au centième près.
\item 	%Si le taux d'augmentation de cette population d'une année à l'autre du 1\up{er} janvier 2000 au 1\up{er} janvier 2005 avait été fixe et égal à 10\,\%, quel résultat aurait-on obtenu pour la population le 1\up{er} janvier 2005 à partir du nombre d'habitants au 1\up{er} janvier 2000 ? (donner	la valeur décimale arrondie au dixième) 
Cinq augmentations de 10\,\% reviennent à multiplier la population initiale par $1,10^5$.

On aurait eu en 2005 : $10,5 \times 1,1^5 \approx 16,91$ soit au dixième 16,9 (résultat du tableau).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On modélise de façon continue l'évolution de cette population (exprimée en milliers d'habitants pour une période de 8 années en utilisant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~8] par

\[f(x) = 10,5 \times  (1,1)^x.\]

%Le nombre réel $x$, exprimé en années, représente le temps écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000 ; ainsi le nombre $f(0) = 10,5$ représente le nombre d'habitants (en milliers) au 1\up{er} janvier 2000 (c'est-à-dire la population initiale).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le nombre $f(6,5)$, c'est-à-dire le nombre d'habitants (en milliers), que l'on peut prévoir en utilisant ce modèle pour le 1\up{er} juillet 2006 (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
		On a $f(6,5) = 10,5 \times 1,1^{6,5} \approx 19,509$ soit 19,5 au dixième près.
		\item %En utilisant ce modèle quel nombre d'habitants (en milliers) peut-on prévoir au 1\up{er} janvier 2007 (donner la valeur décimale arrondie au dixième) ?
Le 1\up{er} janvier 2007 correspond à $x = 7$, d'où $f(7) = 10,5 \times 1,1^7 \approx 20,46$, soit 20,5 au dixième près.
	\end{enumerate}
\item %Sur l'ANNEXE 2, à rendre avec la copie, on a tracé la représentation graphique $(\Gamma)$ de la fonction $f$, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

%Utiliser le graphique (laisser apparents les traits de construction) pour donner le nombre d'habitants (en milliers) au 1\up{er} octobre 2003.
Voir l'annexe : on lit à peu près \np{14000}.
\item %On cherche à évaluer le temps minimum $t$ écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000, nécessaire pour que la population initiale double.
	\begin{enumerate}
		\item  %À l'aide du graphique et en laissant apparents les traits de construction, donner une valeur approchée de $t$ exprimée en années et en trimestres.
		Voir l'annexe : on lit  7,25 ce qui correspond à 7 ans et un trimestre, soit au 1\up{er} avril 2007.
		\item  %Déterminer $t$ par le calcul (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
		On résout l'équation :
		
		$10,5 \times 1,1^t = 21 \iff 1,1^t = 2 \iff t \ln 1,1 = \ln 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1,1} \approx \np{7,27254}$.
		
On a donc au dixième près $t \approx 7,3$ soit 7 ans et 3,6 mois.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\begin{center} \textbf{Rappel de définitions} \end{center}
%
%On désigne par $y_{1}$ et $y_{2}$ des nombres réels strictement positifs $y_{2} > y_{1}$.
%
%L'accroissement absolu de $y_{1}$ à $y_{2}$ est égal à $y_{2} - y_{1}$.
%
%L'accroissement relatif de $y_{1}$ à $y_{2}$ est égal à $\dfrac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}}.$

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Lors de sa création au 1\up{er} janvier 2000, un club de sport a $300$ adhérents. À la fin de la première année, trois quarts des adhérents se réinscrivent et 120 nouveaux membres adhèrent.
%
%Pour tout nombre entier naturel $n$, on appelle $a_{n}$ le nombre d'adhérents du club, exprimé en centaines, $n$ années après la création du club.
%
%On a donc $a_{0} = 3$. On suppose que le nombre d'adhérents au club évolue de la même façon les années suivantes. Ainsi, pour tout nombre entier naturel $n$,
%
%$a_{n+1} = 0,75a_{n} + 1,2$.
% 
% \medskip

\textbf{PARTIE A :}  Étude graphique de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$

\medskip

%Dans le repère donné en ANNEXE 2, à rendre avec la copie, on a représenté la droite D d'équation $y = 0,75x + 1,2$ et la droite $\Delta$ d'équation $y =  x$  pour les abscisses comprises entre 0 et 6.
\begin{enumerate}
\item %Placer $a_{0}$ sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites D et $\Delta$, placer sur l'axe des abscisses les valeurs $a_{1},\: a_{2},\: a_{3},\: a_{4}$ (laisser apparents les traits de construction).
Voir la figure à la fin.
\item  %Quelle semble être la limite de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ ?
Il semble que la limite de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ soit inférieure à 5.
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{PARTIE B :} Étude numérique de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$

\medskip

%On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par $u_{n} = a_{n} - 4,8$ pour tout nombre entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $u_{0}$.
$u_{0} = a_0 - 4,8 = 3 - 4,8 = - 1,8$.
		\item  %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison 0,75.
On a pour tout naturel $n$, \:$u_{n+1} = a_{n+1} - 4,8 = 0,75a_n +1,2 - 4,8 = 0,75a_n - 3,6 = 0,75\left(a_n - \dfrac{3,6}{0,75}\right) = 0,75\left(a_n - 4,8 \right) = 0,75u_n$.

$u_{n+1} = 0,75u_n$ montre que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $0,75$ de premier terme $u_0 = - 1,8$.
		\item  %En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n,\:a_{n} =  4,8 -1,8 \times (0, 75)^n$.
D'après le résultat précédent, on sait que quel que soit le naturel $n$,

 $u_n = - 1,8 \times 0,75^n$.
		
Or $u_{n} = a_{n} - 4,8 \iff a_n = u_n + 4,8 \iff a_n = 4,8 - 1,8 \times 0,75^n$.

\[a_n = 4,8 - 1,8 \times 0,75^n.\]
		\item  %Déterminer $\displaystyle\lim_{n to + \infty} a_{n}$.
Comme $0 < 0,75 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,75^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}a_n = 4,8$.
	\end{enumerate}
\item %Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, le club peut-il avoir $500$ adhérents durant une année ? Pourquoi?
$a_n$ est majorée par 4,8, donc le nombre d'adhérents ne peut atteindre 480 et \emph{a fortiori} 500 adhérents.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On s'intéresse à une population de \np{135000} personnes abonnées à un fournisseur d'accès à Internet. Il existe deux fournisseurs A et B. Toute personne est abonnée à un seul de ces fournisseurs. On sait qu'un tiers des personnes de cette population est abonné au fournisseur A. Par ailleurs, 60\,\% des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à Internet par le haut débit, et 51\,\% des personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit.
%
%On choisit une personne au hasard dans cette population, et on admet que la probabilité d'un évènement est assimilée à la fréquence correspondante.
%
%On note :
%
%$A$, l'évènement : \og la personne choisie est abonnée au fournisseur A \fg 
% 
%$B$, l'évènement : \og la personne choisie est abonnée au fournisseur B \fg 
% 
%$H$, l'évènement : \og la personne choisie accède à Internet par le haut débit \fg
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  ~%Décrire cette situation aléatoire par un arbre pondéré.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{$\frac{1}{3}$}}
	{\TR{$H$}\taput{0,60}
	\TR{$\overline{H}$}\tbput{\blue 0,40}
	}
\pstree{\TR{$B$}\tbput{\blue $\frac{2}{3}$}}
	{\TR{$H$}\taput{0,51}
	\TR{$\overline{H}$}\tbput{\blue 0,49}
	}
}
\end{center}

\medskip

\item  %Montrer que la probabilité de l'évènement \og la personne est abonnée au fournisseur A et accède à Internet par le haut débit \fg{} est égale à $0,20$.
La probabilité est égale à :

$p(A \cap H) = p(A) \times p_A(H) = \dfrac{1}{3} \times 0,6 = \dfrac{0,6}{3}=  \dfrac{6}{30} =  \dfrac{1}{5} = 0,2$.
\item  %Montrer que la probabilité de l'évènement $H$ : \og la personne accède à Internet par le haut débit \fg{} est égale à $0,54$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(H) = p(A \cap H)  + p(B \cap H)$.

Or $p(B \cap H) = p(B) \times p_B(H) = \dfrac{2}{3} \times 0,51 =  \dfrac{1,02}{3} = 0,34$.

Donc $p(H) = p(A \cap H)  + p(B \cap H) = 0,20 + 0,34 = 0,54$.
\item  %Calculer $p_{H}(A)$, probabilité de $A$ sachant $H$, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.
On a par définition $p_{H}(A) = \dfrac{p(H \cap A)}{p(H)} = \dfrac{p( A \cap H)}{p(H)} = \dfrac{0,2}{0,54} \approx 0,370$ soit 0,37 au centième près.
\item %On choisit au hasard trois personnes dans cette population. On admet que le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants avec remise. Calculer la probabilité de l'évènement \og exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit \fg. On en donnera la valeur décimale arrondie au centième.
On est dans les conditions d'une épreuve de Bernoulli avec les paramètres $n = 3$ et $p = 0,54$.

Il y a trois tirages favorables : $HH\overline{H},\:H\overline{H}H,\:\overline{H}HH$ chacun de probabilité : $0,54^2 \times (1 - 0,54) = 0,54^2 \times 0,46$.

La probabilité de l'évènement \og exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit \fg est donc égale à :

$3 \times 0,54^2 \times 0,46 = \np{0,402488}$ soit 0,40 au centième près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 8  points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%La courbe $(\mathcal{C})$ donnée ci-dessous représente dans un repère orthononnal \Oij{} une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ à valeurs strictement positives sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
%
%On sait que :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 	La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 2] et strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.
%\item[$\bullet~$]	La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points O, A et B.
%\item[$\bullet~$]	Le point A a pour coordonnées (1~;~1) ; la droite (OA) est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A.
%\item[$\bullet~$]	Le point B a pour coordonnées $\left(2~;~\dfrac{4}{\text{e}}\right)$. Au point B, la courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
%\item[$\bullet~$]	L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(9,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5](0,0)(9,2)
\uput[ul](1,1){A} \uput[u](2,1.4){B} \uput[u](5,0.5){$(\mathcal{C})$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{0}{9}{x 2 exp 2.71828 1 x sub exp mul}
\end{pspicture}

\medskip

\textbf{Partie  A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$, puis $f'(1)$ et $f'(2)$ (justifier les résultats).
		
$\bullet~~$L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
		
$\bullet~~$La droite (OA) est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A, donc son coefficient directeur est égal à $\dfrac{1 - 0}{1 - 0} = 1$ ; $f'(1) = 1$.

$\bullet~~$Au point B, la courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses, donc $f'(2) = 0$.		
		\item %Montrer que, dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, l'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre $1$ ; l'autre solution est notée $\alpha$.
$\bullet~~$La fonction est croissante sur ]0~;~2] de 0 à $\dfrac{4}{\text{e}} > 1$ : la fonction étant continue sur cet intervalle  il existe donc $x \in ]0~;~2]$ tel que $f(x) = 1$ ; or A a pour coordonnées (1~;~1), donc $f(1) = 1$ : 1 est une solution de l'équation.

$\bullet~~$La fonction est décroissante sur $]2~;~+ \infty[$ de $\dfrac{4}{\text{e}}$ à 0 : la fonction étant continue il existe donc $\alpha \in ]2~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 1$.

L'équation admet donc deux solutions. 		
	\end{enumerate}
\item  %On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln[f(x)]$.

%Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
La fonction logarithme népérien étant croissante sur son intervalle de définition les variations de $g$ sont les mêmes que celles de $f$ soit croissante sur $]0~;~2]$ et décroissante sur $]2~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie  B}

\medskip

%Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[ f(x) = x^2 \times \text{e}^{- x + 1}.\]

\begin{enumerate}
\item %On rappelle que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$  	par 

%$g(x) = \ln [f(x)]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,
Sur $[0~;~+ \infty[$, on a $g(x) = \ln [f(x)] = \ln \left(x^2 \times \text{e}^{- x + 1} \right) = \ln x^2 + \ln \left(\text{e}^{- x + 1} \right) = 2\ln x  + (- x + 1) = - x + 1 + 2 \ln x$
%$g(x) = - x + 1 + 2 \ln x$.
\item %La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on note $g'$ sa fonction dérivée.

%Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
On sait que si la fonction $u$ est dérivable $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, donc ici :

$g'(x) = \dfrac{f'(x) }{f(x)} = \dfrac{2x\text{e}^{- x + 1} - x^2\text{e}^{- x + 1}}{x^2 \times \text{e}^{- x + 1}} = \dfrac{x\text{e}^{- x + 1}(2 - x) }{x^2 \times \text{e}^{- x + 1}} = \dfrac{2 - x}{x}$.
%Retrouver, par le calcul, le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

Comme $x> 0$, le signe de $g'(x)$ est donc celui du numérateur $2 - x$. On retrouve que :

$\bullet~~$$2 - x > 0 \iff 2 > x \iff 0 < x < 2$ : sur l'intervalle $]0~;~2]$, $g'(x) > 0$, la fonction $g$ est strictement croissante.

$\bullet~~$$2 - x < 0 \iff 2 < x \iff  x > 2$ : sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$, $g'(x) < 0$, la fonction $g$ est strictement décroissante.
\end{enumerate}
\item %Soit la fonction dérivable $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = \left(x^2 + 2x + 2\right) \times \text{e}^{-x + 1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %On note $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Calculer $h'(x) $pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
La fonction $h$ est dérivable  sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$h'(x) = (2x + 2)\text{e}^{-x + 1} - 1\times \left(x^2 + 2x + 2\right) \times \text{e}^{-x + 1} = \text{e}^{-x + 1}\left(2x + 2 - x^2 - 2x - 2 \right) = -x^2\text{e}^{- x + 1}$.
		\item %Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,
On a $h'(x) = - x^2\text{e}^{- x + 1} \iff h'(x) = - \left[x^2\text{e}^{- x + 1}  \right] = - f(x) \iff f(x) = - h'(x)$.
%$f(x) = - h'(x)$.

%En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
Donc une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ est la fonction 

$- h(x) = - \left(x^2 + 2x + 2\right) \times \text{e}^{-x + 1}.$
		\item %Calculer, en unités d'aire, l'aire de la surface comprise entre la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x =2$. Donner, la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au dixième.
		La fonction $f$ étant positive en particulier sur l'intervalle [0~;~2], l'aire; en unité d'aire,  de la surface comprise entre la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 2$ est égale à l'intégrale :
		
		$\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x = [- h(x)]_0^2 = \left[- \left(x^2 + 2x + 2\right) \times \text{e}^{-x + 1}\right]_0^2 = - \left(2^2 + 2\times 2 + 2\right) \times \text{e}^{-2 + 1} +  \left(0^2 + 2\times 0 + 2\right) \times \text{e}^{-0 + 1} = - 10\text{e}^{-1} + 2\text{e} = 2\text{e} - 10\text{e}^{-1} \approx 1,757$ soit 1,8 au dixième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1\\ \medskip
EXERCICE 1\\ \medskip
Commun à tous les candidats}\\

\bigskip

Ne cocher qu'une seule réponse par question

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{1.}  Augmenter une quantité de 8\,\%, puis la diminuer de 8\,\% c'est :&
\begin{itemize}
\item[$\Box~$] 	revenir à la quantité initiale
\item[$\Box~$]	augmenter la quantité initiale de 0,64\,\%
\item[$\Box~$] 	diminuer la quantité initiale de 0,64\,\%
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{2.} La médiane de cette série est égale à :&\begin{itemize}
\item[$\Box~$] 	13
\item[$\Box~$] 	42
\item[$\Box~$]  43
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{3.} Pour tout nombre réel $a$ strictement positif,
$\ln \left(a^2 + 3a\right) =$  &\begin{itemize}
\item[$\Box~$]  $\ln \left(a^2\right) + 3\ln (a)$
\item[$\Box~$]  $\ln (a) + \ln (a + 3)$
\item[$\Box~$]  $2\ln (a) + \ln (3a)$
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2\\ \medskip EXERCICE 2\\ \medskip
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\\

\bigskip

\noindent
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(8,13)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(8,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=10]{->}(0,0)(8,13)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{0}{8}{1.1 x exp 10.5 mul 10 sub}
\multido{\n=0.25+0.50}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,13)}
\rput(5.5,-1.2){Temps écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000 (en années)}
\rput{90}(-0.75,10){Nombre d'habitants (en milliers)}
\psline[linecolor=cyan,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->](3,0)(3,4)(0,4)
\psline[linecolor=cyan,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->](0,11)(7.25,11)(7.25,0)
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\vspace{1cm}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\psset{unit=1.5cm}
%\psgrid
\uput[d](3,0.07){$a_0$}\uput[d](3.42,0.07){$a_1$}\uput[d](3.79,0.07){$a_2$}\uput[d](4.02,0.07){$a_3$}
\uput[u](6.125,6.2){$\Delta$} \uput[d](6.125,5.75){\blue D}
\rendu{0.75 x  mul 1.2 add}{4.8}{0}{7}{3}{4}{{A}}

\end{figure}
%\begin{pspicture}(6.75,7.5)
%\uput[d](6.8,0){$x$} \uput[l](0,7.8){$y$}
%\psgrid[subgriddiv=4,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=cyan](0,0)(7,8)
%\psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(7,8)
%\psline(6.75,6.75) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,1.2)(6.75,6.2625)

%\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

\newcommand{\Tracesuitedeux}[4]{%
\code{/x 5 def}
\moveto(!x 0)
\psline[linestyle=dashed]{-}(!x 0)(!x x)
%
\multido{\i=0+1}{3}{%
\code{/y 0.75 x mul 1.2 add def}
\moveto(!x x)
\psline[linestyle=dashed]{-}(!x x)(!x y)(!y y)
\uput[u](!x 0){\red $a_{\i}$}
\code{/x y def}%
}}
\newcommand{\renduversiondeux}[7]{%
\psset{unit=1cm,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt}
\begin{pspicture}(0,0)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.25ptpt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(0,0)(7,8)
%
\SpecialCoor
\psplot{0}{7}{0.75 x mul 1.2 add} 						%on trace la courbe de la fonction f
\psplot{0}{7}{x}										%on trace la première bissectrice
%
\qdisk(5,5){3pt}										%le pt  fixe
%\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](4.8,0)(4.8,4.8)%le pt  fixe
%\uput{1ex}[270](4.8,0){\red $\ell$}					%le pt  fixe
\pscustom[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue]{%le tracé des pts 
%
\Tracesuitedeux{0.75 x mul 1.2 add}{3}{4}{$a$}}
%
\end{pspicture}}