\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{tabularx}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Métropole--La Réunion 17 septembre 2010},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small 17 septembre 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Métropole--La Réunion~\decofourright\\17 septembre 2010}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
%On s'intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d'un certain pays en 2006.
% 
%Dans cette population : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 58\,\% sont des femmes; 
%\item 5\,\% des personnes sont atteintes d'une maladie incurable appelée maladie $\mathcal{A}$ et parmi celles-ci les deux tiers sont des femmes.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On choisit au hasard une personne dans cette population.
% 
%On note :
%
%\begin{description}
%\item[ ] $F$ l'évènement : \og la personne choisie est une femme\fg{} ;
%\item[ ] $H$ l'évènement : \og la personne choisie est un homme \fg{} ; 
%\item[ ] $A$ l'évènement : \og la personne choisie est atteinte de la maladie $\mathcal{A}$ \fg{} ; 
%\item[ ] $\overline{A}$ l'évènement : \og la personne choisie n'est pas atteinte de la maladie $\mathcal{A}$ \fg.
%\end{description}
%
%\medskip
%
%\emph{Les résultats seront arrondis au millième.}
%
%\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la probabilité de l'évènement $F$ et celle de l'évènement $A$.
On a $p(F) = 0,58, \: p(A) = 0,05$.
		 
%Donner la probabilité de l'évènement $F$ sachant que l'évènement A est réalisé, notée $p_{A}(F)$.
Il faut trouver $p_A(F) = \dfrac{2}{3} = \dfrac{p(A \cap F)}{p(A)}$.

$p_A(F) \approx 0,667$. 
		\item %Définir par une phrase l'évènement $A \cap F$ puis calculer sa probabilité.
$A \cap F$ désigne l'évènement : \og la personne choisie est atteinte de la maladie $\mathcal{A}$ \textbf{et} est une femme.

On a vu que  $p_A(F) = \dfrac{2}{3} = \dfrac{p(A \cap F)}{p(A)} \iff p(A \cap F) = \dfrac{2}{3} \times p(A) = \dfrac{2}{3} \times 0,05 = \dfrac{0,1}{3} = \dfrac{1}{30} \approx 0,033$.
		\item %Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $F$ est réalisé est égale à $0,057$ à $10^{-3}$ près.
$p_F(A) = \dfrac{p(F \cap A)}{p(F)} = \dfrac{\frac{1}{30}}{0,58} = \dfrac{1}{17,4} \approx 0,0574$ soit 0,057 à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate} 
\item %La personne choisie est un homme. Démontrer que la probabilité que cet homme soit atteint de la maladie $\mathcal{A}$ est égale à $0,040$ à $10^{-3}$ près.
$p_H(A) = \dfrac{p(H \cap A)}{p(H)}$.

Si $\dfrac{2}{3}$ des personnes atteintes de la maladie  $\mathcal{A}$ sont des femmes, $\dfrac{1}{3}$ sont des hommes, donc :

$p_H(A) = \dfrac{p(H \cap A)}{p(H)} = \dfrac{\frac{1}{30}}{0,42} = \dfrac{1}{12,6} \approx 0,079$au millième près.
\item %Peut-on affirmer que, dans ce pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risquait davantage de développer la maladie $\mathcal{A}$ qu'un homme ? Justifier.
On a vu que  $p_F(A) > p_H(A)$, donc une femme a priori a plus de chances d'avoir la maladie $\mathcal{A}$ qu'un homme.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%Cet exercice est composé de deux parties :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] la partie I est un \og vrai-faux \fg{} sans justification,
%\item[$\bullet~$] la partie II est un questionnaire à choix multiples avec justification.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%\textbf{PARTIE 1 :} Pour chacune des affirmations, \textbf{recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer sans justifier} si elle est vraie ou fausse.
%
%\medskip
% 
%\emph{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.}
%
%\medskip 

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\textbf{1.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x^2 +3}{x - 4} = + \infty$\\ \hline 
%\textbf{2.}  Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty~;~3[$ par 
%
%$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$. 
% 
%On note $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
% 
%La tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = -6x + 9$.\\ \hline 
%\textbf{3.}  Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 5\right)$.
% 
%Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 1 est $\dfrac{1}{3}$.\\ \hline
%\textbf{4.}  Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par 
%
%$f(x) = 2x + 1$.
% 
%On définit la fonction $g$ par $g(x) = \ln \left[f(x)\right]$.
% 
%On affirme que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$.\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x^2 +3}{x - 4} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x^2}{x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2x = + \infty$.
\item On a $f(2) = \dfrac{5}{-1} = - 5$.

D'autre part $f'(x) = \dfrac{2(x - 3) - 1(2x + 1)}{(x - 3)^2} = \dfrac{2x - 6 - 2x - 1)}{(x - 3)^2} = \dfrac{- 7}{(x - 3)^2}$ ; d'où $f'(2) = \dfrac{- 7}{(2 - 3)^2)} = - 7$.

L'équation de la tangente au point d'abscisse 2 est :

$y - f(2) = f'(2)(x - 2)$ soit $y - (- 5) = - 7(x - 2) \iff y = - 7x + 14 - 5 \iff y = - 7x + 9$.
\item En posant $u(x) = x^2 + 5$, on a $f'(u) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{2x}{x^2+5}$, d'où $f'(1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
\item Si $- \dfrac{1}{2} < x$, alors $- 1 < 2x \iff 0 < 2x + 1 \iff f(x) > 0$ : la fonction $g$ est bien définie.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE II :} %Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte.
 
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro} de la question \textbf{et la réponse choisie correspondante} puis \textbf{justifier cette réponse}.
% 
%\emph{Chaque réponse exacte et justifiée rapportera $1$ point.\\ 
%Toute trace de recherche. même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
%\textbf{1.} Si pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$,  
%$\text{e}^{-x} \leqslant  f(x) \leqslant \dfrac{1}{x + 1}$, alors la limite en $+\infty$ de $f(x)$ est :& $-\infty$& 
%$0$& $+\infty$\\ \hline
%\textbf{2.} $\dfrac{\ln \left(\text{e}^2\right)}{\ln 16}$ est égal à : \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &$2\ln \left(\dfrac{\text{e}}{4} \right)$&$\dfrac{1}{2 \ln 2}$& $2\ln\text{e}-\ln~16$\\ \hline
%\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\textbf{3.} $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} \mathrm{d} x$ est égale à : &$- \dfrac{1}{12}$&$\ln \left(\dfrac{4}{3}\right)$&$\dfrac{1}{12}$\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x + 1} = 0$, d'où par encadrement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ (gendarmes).
\item $\dfrac{\ln \left(\text{e}^2\right)}{\ln 16} = \dfrac{2\ln \text{e}^2}{\ln 2^4} = \dfrac{2\ln \text{e}}{4\ln 2} = \dfrac{2}{4\ln 2} = \dfrac{1}{2\ln 2}$.
\item Une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$ est la fonction $ x \longmapsto - \ln \left(\text{e}^x + 1  \right)$.

Donc  $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} \mathrm{d}\:x = \left[- \ln \left(\text{e}^x + 1  \right) \right]_{\ln 2}^{\ln 3} = - \ln \left(\text{e}^{\ln 3} + 1  \right) - \left[- \ln \left(\text{e}^{\ln 2} + 1  \right) \right] = $

$\ln \left(\text{e}^{\ln 2} + 1  \right) - \ln \left(\text{e}^{\ln 3} + 1  \right) =\ln (2 + 1) - \ln (3 + 1) = \ln 3 - \ln 4 = \ln \left(\dfrac{3}{4} \right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses parmi les trois proposées est exacte.}
% 
%Le candidat indiquera sur sa copie, le numéro de la question et la lettre correspondant à la question choisie.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie 1 : Aucune justification n'est demandée}

\medskip
 
%\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip
%
%{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{Énoncé}& \textbf{Réponse A} &\textbf{Réponse B} &\textbf{Réponse C}\\ \hline 
%\multirow{6}{3.5cm}{\textbf{1.} {\footnotesize Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk,  on désigne par $(S)$ l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ tels que  $z = 2x- y^2 + 1$ et par $(P)$ le plan d'équation $2x + 3y - 5 = 0.$}}& 
%\multicolumn{3}{l|}{\textbf{1. a.} La surface $(S)$ passe par le point de coordonnées :}\\ \cline{2-4} 
%&$(1~;~-1~;~4)$& $(-1~;~-1~;~0)$& $(1~;~-1~;~2)$\\ \cline{2-4}
% &\multicolumn{3}{l|}{\textbf{1. b.} La courbe de niveau de cote 3 de la surface $(S)$ est :}\\ \cline{2-4}
%&une droite &une parabole &une hyperbole \\ \cline{2-4}
%&\multicolumn{3}{l|}{\textbf{1. c.} Le plan (P) :}\\  \cline{2-4} 
%&contient le point de coordonnées $(0~;~0~;~-5)$& 
%est parallèle au plan $\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath} \right)$& 
%est parallèle à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{k}\right)$\\ \hline
%\multicolumn{4}{|p{11.6cm}|}{\textbf{2.} Soient $G$ le graphe probabiliste ci-dessous et $M$ la matrice de transition associée à ce graphe, les 
%sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.} \\ \cline{2-4}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2.5pt 3}\begin{pspicture}(4,1.5)
%\pnode(0.5,0.75){A}\pnode(3,0.75){B}\uput[ur](0.5,0.85){A}\uput[ul](3,0.85){B}
%\pnode(1.75,1){C}\pnode(1.75,0.58){D}
%\ncarc{->}{A}{C}
%\ncarc{C}{B}
%\ncarc{->}{B}{D}
%\ncarc{D}{A}
%\rput{90}(0.5,0.75){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{A}{0.3cm}}
%\rput{-90}(3,0.75){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{0.3cm}}
%\rput(0.25,0.1){0,3}\rput(3.4,0.1){0,8}
%\rput(1.75,1.2){0,7} \rput(1.75,0.3){0,2} 
%\end{pspicture}&{\footnotesize $M^2 = \begin{pmatrix}
%0,23& 0,77\\
%0,22 &0,78\\
%\end{pmatrix}$}& $M  = \begin{pmatrix}
%0,7 &0,3\\ 
%0,8&0,2\\
%\end{pmatrix}$&$M  = \begin{pmatrix} 
%0,3 &0,8\\ 
%0,2 &0,7\\
%\end{pmatrix}$ \\ \hline
%\end{tabularx}}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $2 - 1 + 1 \ne 4$ ; $-2 - 1 + 1 \ne 0$ et $2 - 1  + 1 = 2$? \textbf{Réponse C}.
		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
		z&=&2x - y^2 + 1\\
		z &=& 3
		\end{array}\right. \Rightarrow 3 = 2x - y^2 + 1 \iff 2x = y^2 + 1$ : c'est l'équation d'une parabole dans le plan $z = 3$.
		\item Le plan (P) contient le point $(0~;~0~;~- 5)$.
	\end{enumerate}
\item Les matrices $M$ sont fausses.  La matrice $M^2$ est exacte.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Recopier pour chaque question la réponse exacte et justifier celle-ci.}

\medskip

%\emph{Chaque réponse exacte et bien justifiée rapportera $1$ point.\\ 
%Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\multirow{2}{3.5cm}{\textbf{1.} On considère le graphe $H$ :
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(4,2.5)
%\psdots[dotstyle=*](0.5,1)(1.7,2.2)(3,1.9)(3,1)(1,0.3)
%\uput[l](0.5,1){A} \uput[u](1.7,2.2){B} \uput[ur](3,1.9){C} \uput[r](3,1){D} \uput[d](1,0.3){E}
%\pspolygon(0.5,1)(1.7,2.2)(3,1.9)(3,1)(1,0.3)(0.5,1)(3,1)(1.7,2.2)(1,0.3)(1.7,2.2)(1,0.3) 
%\end{pspicture}
%On peut affirmer que :} &\textbf{a.}& Le graphe $H$ admet une chaîne eulérienne. & Le graphe $H$ admet un cycle eulérien. & 
%Le graphe $H$ est complet. \\ \cline{2-5}
%&\textbf{b.} & Le nombre chromatique du graphe est 3. &
%Le graphe admet un sous-graphe complet d'ordre 4. &
%Le graphe n'est pas connexe.\\ \hline
%{\small \textbf{2.} On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par $u_{0} = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, par  
%
%$u_{n+1} = - 0,4u_{n} + \np{1750}$.
%On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$ par
%
%$v_{n} = u_{n} - \np{1250}$.
%Alors:}  & &  La suite $\left(v_{n}\right)$ est arithmétique. &La suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.&La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique.\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les sommets A et C ne sont pas adjacents : le graphe n'est pas complet.
		
		Les degrés des sommets sont respectivement 3 ; 4 ; 2 ; 4 ; 3. Le graphe est connexe et contient exactement deux sommets de degré impair A et E  : il existe donc une chaîne eulérienne partant de A ou E et arrivant à l'autre E ou A.
		\item \{A~;~B~;~D~;~E\} est un sous-graphe complet d'ordre 4 : le nombre chromatique est supérieur ou égal à 4. Donc Le graphe admet un sous-graphe complet d'ordre 4.
	\end{enumerate}
\item On a $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{1250} = - 0,4u_n + \np{1750} - \np{1250} = - 0,4u_n + 500 =$

$ - 0,4\left(u_n - \np{1250} \right) = - 0,4v_n$.

Pour tout naturel l'égalité $v_{n+1} = - 0,4v_n$ montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- 0,4$.
\end{enumerate}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
%On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies et dérivables pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [4~;~6] par :
% 
%\[f(x) = 100\left(\text{e}^x - 45\right),~g(x) = 10^6\text{e}^{-x}~ \text{et}~ 	h(x) = g(x) - f(x).\]
% 
%On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle [4~;~6].
%
%\medskip
% 
%\textbf{Résolution de l'équation} \boldmath $h(x) = 0$. \unboldmath
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $h$ est strictement décroissante sur l'intervalle [4~;~6].
$h(x) = g(x) - f(x)$, donc $h'(x) = g'(x) - f'(x) = - 10^6\text{e}^{-x} - 100\text{e}^x = - \left(10^6\text{e}^{-x} + 100\text{e}^x\right)$ : les deux termes de la parenthèse sont supérieurs à zéro, donc $h'(x)  < 0$ et la fonction $h$ est décroissante en particulier sur [4~;~6].  
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $h$.
La fonction $h$ décroit de $h(4) = 10^6\text{e}^{- 4} - 100\left(\text{e}^4 - 45\right) = 10^6\text{e}^{- 4} - 100\text{e}^4 + \np{4500} \approx \np{17355,8}$ à $h(6) = 10^6\text{e}^{- 6} - 100\left(\text{e}^6 - 45\right) =  10^6\text{e}^{- 6} - 100\text{e}^6 + \np{4500} \approx \np{- 33364,1}$. 
		\item %Justifier que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [4~;~6].
La fonction $h$ est strictement décroissante d'une valeur positive à une valeur néative ; elle est continue car dérivable : d'après le théorème de la valeur intermédiaire elle s'annule en un point unique d'abscisse $\alpha$ de [4~;~6].
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Compléter le tableau de valeurs donné en annexe (les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche). 
		\item %Sur la figure fournie en annexe, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
		Voir à la fin. 
		\item  %Placer $\alpha$ sur ce graphique et en donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.
On voit que $4,8 < \alpha 4,9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

%\emph{Dans la suite de l'exercice, on admet que la valeur exacte du nombre réel $\alpha$ est égale à $3\ln 5$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.}

%\bigskip
 
\textbf{Partie B : Application économique}

\medskip
 
%Les fonctions $f$ et $g$ définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit de prix unitaire $x$, compris entre 4 et 6 euros :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $f(x)$ est la quantité, exprimée en kilogrammes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire $x$ ; 
%\item[$\bullet~$] $g(x)$ la quantité, exprimée en kilogrammes, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire $x$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de $x$ pour laquelle l'offre est égale à la demande.
 
\begin{enumerate}
\item %Quel est, exprimé au centime d'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ? Justifier.
Le prix d'équilibre vérifie $f(x) = g(x) \iff g(x) - f(x) = 0 \iff h(x) = 0$ sur l'intervalle [4~;~6] : c'est donc le nombre $\alpha = 3\ln 5 \approx 4,828$ soit 4,83~\euro au centime près. 
\item  %Quelle quantité de produit, exprimée en kilogrammes, correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?
La quantité correspondant à ce prix d'équilibre est $f(\alpha)  = g(\alpha) \approx  10^6\text{e}^{- 4,83}$ soit environ \np{7956,52}~kg ou \np{7957}~kg au kilo près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%L'évolution de la population de bouquetins des Alpes, dans le Parc National de la Vanoise depuis sa création, est donnée par le tableau suivant :
% 
%On note $X_{i}$ l'année, l'indice $i$ étant un nombre entier variant de 1 à 8.
% 
%On note $x_{i}$ le rang de l'année par rapport à 1960 : $x_{i} = X_{i} - 1960$.
% 
%On désigne par $y_{i}$ le nombre de bouquetins l'année $X_{i}$.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année $X_{i}$& 1963 &1976 &1986 &1993 &1997 &1998 &2003 &2005\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$& 3 &16 &26 &33 &37 &38 &43 &45\\ \hline
%Nombre de bouquetins $y_{i}$& 65 &500 &700 &\np{1250} &\np{1453} &\np{1800} &\np{2066} &\np{2568}\\ \hline
%\multicolumn{9}{r}{\emph{(Source : http://www.bouquetin-des-alpes.org/populations/vanoiselvanoise.htm)}}\\
%\end{tabularx} 
%
%\medskip
% 
%On se place dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 5~cm pour $10$ années sur l'axe des abscisses, 
%\item[$\bullet~$] 1~cm pour $200$ bouquetins sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On note $M_{i}$ le point de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
% 
%Ainsi $M_{1}$ a pour coordonnées (3~;~65) et $M_{3}$ a pour coordonnées (26~; ~700).
 
\begin{enumerate}
\item %En disposant la feuille de papier millimétrée dans le sens de la longueur pour les abscisses, représenter le nuage des huit points $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}, M_{7}$ et $M_{8}$.
Voir à la fin. 
\item %Dans cette question, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage formé par les six points $M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}, M_{7}$ et $M_{8}$.
 
%On admet qu'un ajustement affine de ce sous-nuage est justifié et que la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés pour ce sous-nuage a pour équation $y = 92,6x - \np{1787}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer cette droite $D$ sur le graphique précédent.
Voir à la fin. 
		\item %Estimer, avec cet ajustement affine, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise en 2010.
Avec $x = 50$, on obtient $y = 92,6 \times 50 - \np{1787} = \np{4630} - \np{1787} = \np{2843}$.
	\end{enumerate} 
\item %Dans cette question, on s'intéresse au nuage constitué des huit points

%$M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}, M_{7}$ et $M_{8}$.
 
%L'allure de ce nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel de la série. 
	\begin{enumerate}
		\item %On pose $z_{i} = \ln y_{i}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année $X_{i}$& 1963 &1976 &1986 &1993 &1997 &1998 &2003 &2005\\ \hline
Rang  $x_{i}$& 3 &16 &26 &33 &37 &38 &43 &45\\ \hline
$z_i = \ln \left( y_{i}\right)$& 4,174 &6,215 &6,551 &7,131 &7,281 &7,496 &7,633 &7,851\\ \hline
\end{tabularx}


\medskip
 		 
%Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
La calculatrice donne $z = 0,08x + 4,38$. 
		\item %En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = A\text{e}^{Bx}$, $A$ étant arrondi à l'unité et $B$ au centième.
On a  $z = \ln y =  0,08x + 4,38 \iff y = \text{e}^{0,08x + 4,38} = \text{e}^{4,38} \times \text{e}^{0,08x}$.

Or $\text{e}^{4,38} \approx 80$, donc $y \approx 80\text{e}^{0,08x}$.
		\item %En utilisant cette modélisation, calculer le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir en 2010 dans le Parc.
Avec cette modélisation exponentielle, on obtient pour $x = 50$,\: $y =  80\text{e}^{0,08 \times 50} = 80\text{e}^{4} \approx \np{4368}$.
		\item  %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
%En utilisant cette modélisation, à partir de quelle année la population de bouquetins dépassera-t-elle \np{5000}~unités ?
Il faut trouver le plus entier $n$ tel que :

$80\text{e}^{0,08n} > \np{5000} \iff \text{e}^{0,08n} > \dfrac{\np{5000}}{80} \iff \text{e}^{0,08n} > 62,5 \iff 0,08n > \ln 62,5 \iff n > \dfrac{\ln 62,5}{0,08}$.

Or $\dfrac{\ln 62,5}{0,08} \approx 51,7$. Le plus entier est donc $n = 52$ ce qui correspond à 2112
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 3 à rendre avec la copie}

\bigskip
 
\textbf{Tableau à compléter}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline 
$x$		&4 &4,2 &4,4 &4,6 &4,8 &5 &5,2 &5,4 &5,6 &5,8 &6\\ \hline 
$h(x)$	& \np{17400}&\np{12800}&\np{8600}&\np{4600}&600&$- \np{3600}$&$-\np{8100}$&\np{- 13100}&\np{-18800}& $-\np{25500}$& $-\np{33400}$ \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Graphique à compléter}

\vspace{1cm}
 
\psset{xunit=4.5cm,yunit=0.00025cm}
\begin{pspicture}(3.8,-36000)(6.4,24000)
\uput[d](6.4,0){$x$} \uput[l](4,24000){$y$}\uput[dl](4,-850){4}
\multido{\n=4.0+0.2}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-36000)(\n,24000)}
\multido{\n=-36000+4000}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](4,\n)(6.4,\n)}
\multido{\n=-36000+4000}{15}{\uput[l](4,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Ox=4,Dy=40000,comma=true]{->}(4,0)(3.79,-36000)(6.4,24000)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{6}{4500 1000000 2.71828 x exp div add 100 2.71828 x exp mul sub}
\uput[ur](4.82,0){$\alpha$}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.0045cm}
\begin{pspicture}(45,2600)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1960,Dx=10,Dy=500]{->}(0,0)(45,2600)
\psdots(3,65)(16,500)(26,700)(33,1250)(37,1453)(38,1800)(43,2066)(45,2568)
\psline(3,0)(3,2600)\psline(16,0)(16,2600)\psline(26,0)(26,2600)
\psline(33,0)(33,2600)\psline(33,0)(33,2600)\psline(37,0)(37,2600)
\psline(38,0)(38,2600)\psline(43,0)(43,2600)\psline(45,0)(45,2600)
\multido{\n=0+500}{6}{\psline(0,\n)(45,\n)}
\uput[d](3,0){1963}\uput[d](16,0){1976}\uput[d](26,0){1986}
\uput[d](33,0){1993}\uput[d](37,0){1997}\uput[d](38,0){1998}
\uput[d](43,0){2003}\uput[d](45,0){2005}
\uput[r](3,65){M$_1$} \uput[r](16,500){M$_2$} \uput[r](26,700){M$_3$} 
\uput[r](33,1250){M$_4$} \uput[r](37,1453){M$_5$} \uput[r](38,1800){M$_6$} 
\uput[r](43,2066){M$_7$} \uput[r](45,2568){M$_8$} 
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{45}{92.6 x mul 1787 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{43}{80 2.71828 x 0.08 mul exp mul} 
\uput[u](20,70){\blue $D$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}