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%Tapuscrit : Arié Yallouz
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  16 septembre 2011}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Métropole septembre 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%Pierre, le président d'un club de judo. veut acheter 60 médailles ayant la même référence. Elles sont gravées à l'effigie d'une ou d'un champion Doullet, Rinar ou Vécosse. Il passe commande chez un grossiste qui travaille avec deux fournisseurs A et B. Le tableau suivant indique les caractéristiques du colis contenant les 60 médailles envoyées par le grossiste :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-5}
%\multicolumn{1}{c|}{} & Doullet	& Rinar	& Vécosse	& Total \\ \hline
%Fournisseur A &	10 &	10 &	10 &	30 \\ \hline
%Fournisseur B &	5	& 10 & 15 &	30 \\  \hline
%Total &	15 &	20 &	25 &	60 \\  \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Pierre reçoit le colis, et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l'exercice, on suppose que chaque médaille a la même probabilité d'être tirée.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse est égale à $\dfrac{5}{12}$.
Sur 60 médailles, 25 sont gravées à l'effigie de Vécosse  ; la probabilité d'en tirer une est donc égale à $\dfrac{25}{60} = \dfrac{5}{12}$.
		\item %Quelle est la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B ?
La probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B est égale à $\dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}$.
		\item %Pierre constate que la médaille tirée est à l'effigie de Vécosse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B ?
On a $p_{\text{Vécosse}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{Vécosse} \cap \text{B})}{p(\text{Vécosse})} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{4} \times \frac{12}{5} =  \dfrac{3}{5} = 0,6$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
%Pierre remet la médaille dans le colis.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item %Pierre répète maintenant trois fois de suite les mêmes gestes :
	
%\begin{itemize}
%	\item il tire au hasard une médaille ;
%	\item il note l'effigie du champion et remet la médaille dans le colis.
%\end{itemize}
%Quelle est la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse ?
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = \dfrac{5}{12}$.

La probabilité de ne tirer aucune médaille à l'effigie de Vécosse est :

$\left(1 -  \frac{5}{12}\right)^3 = \left(\frac{7}{12} \right)^3 = \dfrac{343}{\np{1728}}$.

Donc la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse est égale à 

$1 - \dfrac{343}{\np{1728}}  = \dfrac{\np{1385}}{\np{1728}} \approx 0,802$. 
\end {enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%On s'intéresse au nombre de personnes atteintes d'une maladie A ou d'une maladie B en France entre 1970 et 2005.
%
%Les données ont été représentées graphiquement sur l'annexe (à rendre avec la copie). On précise que sur l'axe des abscisses, le rang zéro correspond à l'année 1970, le rang cinq à l'année 1975. 
%
%\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i.}  Maladie A}}}
%
%\medskip
% 
%On envisage un ajustement affine du nuage de points correspondant à la maladie A. Voici une partie des données : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Année 				&1970	&1975	&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2005 \\ \hline
%Rang de l'année : $x_i$	&0		&5		&10		&15		&20		&25		&30		&35 \\ \hline
%Nombre de personnes atteintes de la maladie A : $y_i$ 	&\np{4884}&	\np{4303}&	\np{3713}&	\np{3175}&	\np{2836}&	\np{2352}&	\np{2011}&	\np{1789} \\ \hline
%\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %À l'aide de la calculatrice et en arrondissant les coefficients à l'unité, donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne $y = - 89x + \np{4697}$ (avec des coefficients arrondis à l'unité).
	\item %Tracer cette droite dans le repère situé sur l'annexe.
Voir l'annexe.
	\item %En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2011, quelle prévision peut-on faire du nombre de personnes qui seront atteintes de cette maladie A en France en 2011 ?
	2011 correspond au rang $x = 41$, d'où $y = \np{4697} - 89 \times 41 = \np{1048}$~atteints de la maladie A.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii.}  Maladie B}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %À partir des données du graphique concernant la maladie B (fournies en annexe), un ajustement affine parait-il approprié ? Justifier votre réponse.
Le nuage ne suit pas sensiblement l'allure d'une droite : un ajustement affine ne semble pas pertinent.
\item %On admet que la courbe $\Gamma$  tracée sur l'annexe représente un ajustement du nuage, valable jusqu'en 2011. 

%Lire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011.
On lit qu'en 2011 à peu près \np{7200} personnes seront atteints de la maladie B.
\item %La courbe $\Gamma$ est une parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$ , $a$ étant un nombre réel non nul, $b$ et $c$ étant des nombres réels. La courbe $\Gamma$ passe par les points $P(0~;~\np{1700})$, $Q(10~;~\np{1950})$ et $R(20~;~\np{2900})$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $c = \np{1700}$.
En utilisant les coordonnées de P qui vérifient l'équation de $\Gamma$ : $ \np{1700} = c$.
		\item %Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.
En utilisant les coordonnées de Q et R :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
100a + 10b + \np{1700}&=&\np{1950}\\
400a + 20b + \np{1700}&=&\np{2900}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
10a + b &=&25\\
20a + b &=&60
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
20a + 2b &=&50\\
20a + b &=&60
\end{array}\right. \Rightarrow b = - 10$, puis $20a = 60 - b = 70 \iff a = \dfrac{7}{2}$.		
		\item %En déduire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011. 
On a donc $y = \dfrac{7}{2}x^2 - 10x + \np{1700}$.

Donc pour $x = 41$ qui correspond à 2011, on obtient :

\[\dfrac{7}{2} \times 41^2 - 10 \times 41 + \np{1700} = \np{7173,5}.\]

Il y aura suivant cet ajustement environ \np{7174} personnes atteintes par la maladie B en 2011.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%La société \og Vélibre \fg{}, spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs.
%
%Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :
%
%\begin{itemize}
%	\item de racheter 40 vélos neufs en janvier de chaque année ;
%	\item de revendre 20\,\% des vélos en janvier 2011 et en janvier 2012 ;
%	\item de revendre 20\,,\% au moins des vélos les plus usagés en janvier de chaque année suivante.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item %Pour tout nombre entier naturel $n$, on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l'année $2010 + n$ par les termes de la suite $(U_n)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par

	 \[U_{n+1}= 0,8U_n + 40 \text{ et } U_0 = 150 \]
	 	
%Vérifier que $U_1$ et $U_2$ correspondent bien au nombre prévu de vélos du parc pour janvier 2011 et janvier 2012.
Vendre 20\,\% des vélos c'est en conserver 80\,\% soit multiplier le nombre initial par 0,8 et ensuite on en achète 40 :

$U_1 = 0,8U_0 + 40 = 0,8 \times 150 + 40 = 120 + 40 = 160$ ;

$U_2 = 0,8U_1 + 40 = 0,8 \times 160 + 40 = 128 + 40 = 168$.
\item %Pour connaître l'évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{0.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%	&\textsf{A} &	\textsf{B} &	\textsf{C} &	\textsf{D} &	\textsf{E} \\ \hline
%\textsf{\small{1}} & 	Valeur de $n$& 	Valeur de $U_n$ & &		Valeur de $n$ &	Valeur de $U_n$ \\ \hline 
%\textsf{\small{2}} & 	0 &	150 & & 18 &	199,10 \\ \hline
%\textsf{\small{3}} & 	1 &	160 & & 19 &	199,28 \\ \hline
%\textsf{\small{4}} & 	2 &	168 & & 20 &	199,42 \\ \hline
%\textsf{\small{5}} & 	3 &	174,4 & & 21 &	199,54 \\ \hline
%\textsf{\small{6}} &	4 &	179,52 & & 22 &	199,63 \\ \hline
%\textsf{\small{7}} & 	5 &	183,62 & & 23 &	199,70 \\ \hline
%\textsf{\small{8}} & 	6 &	186,89 & & 24 &	199,76 \\ \hline
%\textsf{\small{9}} &	7 &	189,51 & & 25 &	199,81 \\ \hline
%\textsf{\small{10}}&	8 &	191,61 & & 26 &	199,85 \\ \hline
%\textsf{\small{11}}&	9 &	193,29 & & 27 &	199,88 \\ \hline
%\textsf{\small{12}}& 	10&	194,63 & & 28 &	199,90 \\ \hline
%\textsf{\small{13}}& 	11&	195,71 & & 29	& 199,92 \\ \hline
%\textsf{\small{14}}& 	12& 196,56 &	& 30 & 199,94 \\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
	\item %Conjecturer le sens de variation de la suite $(U_n)$.
D'après l'extrait de la feuille de calcul la suite semble être croissante. 
	\item %Quelle semble être la limite de la suite $(U_n)$ ?
La limite semble être 200.
\end{enumerate}
\item %Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose  $V_n = U_n-200$.
\begin{enumerate}
	\item %Prouver que la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $0,8$. Déterminer son premier terme.
Pour tout naturel $n$, \: $V_{n+1} = U_{n+1} - 200 = 0,8U_n + 40 - 200 = 0,8U_n - 160 = 0,8\left(U_n - 200 \right) = 0,8V_n$.
	
$V_{n+1} = 0,8V_n$ vraie pour tout naturel $n$ signifie que la suite $\left(V_n \right)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $V_0 = U_0 - 200 = 150 - 200 = - 50$.
	\item %En déduire, pour tout nombre entier naturel $n$, l'expression de $V_n$ puis celle de $U_n$ en fonction du nombre entier $n$.
On sait que tout naturel $n$, \: $V_n = V_0 \times 0,8^n = - 50 \times 0,8^n$.

Or $V_n = U_n - 200 \iff U_n = V_n + 200 = 200 -  50 \times 0,8^n$.
	\item %Déterminer la limite de la suite $(U_n)$.
Comme $0 < 0,8 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^n = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} U_n = 200$ (ce que l'on avait pressenti.)
	\item %Démontrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a :

%	\[U_{n+1}-U_n = 10 \times 0,8^n \]
$U_{n+1} - U_n = 200 -  50 \times 0,8^{n+1} - \left(200 -  50 \times 0,8^n \right)  = 50 \times 0,8^n - 50 \times 0,8^{n+1} = 50 \times 0,8^n(1 - 0,8) = 50 \times 0,2 \times  0,8^n = 10 0,8^n$.	
	\item %En déduire le sens de variation de la suite $(U_n)$.
Puisque $0,8^n > 0$, le résultat précédent montre que la suite $\left(U_n \right)$ est croissante.
\end{enumerate}
 \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%La municipalité prévoit d'implanter de nouvelles bornes dans la ville afin d'offrir aux usagers 250 emplacements. La société \og Vélibre \fg{} pourra-t-elle satisfaire cette demande ? Argumenter la réponse.
On a montré que la suite $\left(U_n \right)$ croît et a pour limite 200, donc pour tout naturel $n$, \:$U_n < 200$.

Si la municipalité implante 250 postes il y en aura 50 en trop puisque la société Vélibre louera au maximum 199 vélos mais ceci n'est pas idiot car il y a des endroits où les gens rendent leurs vélos plus qu'à d'autres et il faut en général plus d'emplacements que de vélos. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une entreprise fabrique chaque mois $x$ tonnes d'un certain produit, avec $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~6]$. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production mensuelle de $x$ tonnes est donné par $C(x)$, où $C$ est la fonction définie par :
%
% \[C(x)=\dfrac{0,01 \mathrm {e}^x +2}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice :	
	\begin{enumerate}
		\item %conjecturer en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle $]0~;~6]$;
La fonction semble être décroissante sur ]0~;~4,2] puis croissante sur $]4,2~;~6]$.  
		\item %estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante ;
On a $C(4,2) \approx 0,635$ soit 635~\euro{} pour une production de 4,2~tonnes.
		\item %dire s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.
\np{4000}~\euro{} correspondent à $y = 4$. Avec la fonction TRACE on a le curseur sur la courbe et on regarde s'il existe une abscisse pour laquelle on a $y \approx 4$. On trouve effectivement $x \approx 0,5$. On vérifie avec la calculatrice que 

$C(0,5) \approx 4,03$.
	\end{enumerate}
\item %On désigne par $C'$  la fonction dérivée de la fonction $C$. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~6]$ :
%\[C'(x) = \dfrac{0,01 x \mathrm {e}^x - 0,01 \mathrm {e}^x - 2}{x^2}.\]
En dérivant le quotient :

$C'(x) = \dfrac{0,01\text{e}^x \times x - 1\left(0,01 \mathrm {e}^x + 2 \right)}{x^2} =  \dfrac{0,01 x \mathrm {e}^x - 0,01 \mathrm {e}^x - 2}{x^2}$.
\item %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~6]$ par :

\[f(x) = 0,01 x \mathrm {e}^x - 0,01 \mathrm {e}^x - 2.\]
  
%On désigne par $f'$  la fonction dérivée de la fonction $f$.  
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~6]$.   
On a $f'(x) = 0,01\mathrm {e}^x + 0,01 x \mathrm {e}^x - 0,01 \mathrm {e}^x = 	0,01 x \mathrm {e}^x$.	
%\[f'(x) = 0,01 x \mathrm{e}^x .\]

		\item %Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~6]$.
Comme $x > 0$ et que pour tout $x$,\: $\mathrm{e}^x > 0$, on a $f'(x) > 0$ et la fonction $f$ est croissante sur $]0~;~6]$.
		\item %Justifier que l'équation $f(x) = 0$  admet une seule solution $\alpha$  appartenant à l'intervalle $[4~;~5]$.
On vient de voir que sur $[4~;~5]$ la fonction $f$ est croissante de $f(4) \approx - 0,36$ à $f(5) \approx 3,9$ et que $f$ est continue car dérivable sur cet intervalle ;  il existe donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire un réel unique $\alpha$ tel que $4 < \alpha < 5$ et $f(\alpha) = 0$. 	
%Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel $\alpha$.
La calculatrice donne :

$f(4,1) \approx - 0,13$ et $f(4,2) \approx 0,1$ donc $4,1 < \alpha < 4,2$ ; puis

$f(4,15) \approx - 0,002$ et  $f(4,16) \approx 0,02$ donc $4,15 < \alpha < 4,16$.

Donc au dixième près $\alpha \approx 4,2$.
		\item %Déduire des résultats précédents le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~6]$.
D'après la question précédente :

$f(x) < 0$ sur $]0~;~\alpha[$ et $f(x) > 0$ sur $]\alpha~;~6]$.
	\end{enumerate}
\item %À l'aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de $\alpha$ tonnes du produit.
On a $C'(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}$ ; le signe de $C'(x)$ est donc celui de $f(x)$ trouvé à la question précédente, donc :

sur $]0~;~\alpha]$\: $C$ est décroissante et sur $]\alpha~;~6]$, $C$ est croissante.

$C(\alpha)$ est donc le minimum de la fonction $C$ sur l'intervalle $]0~;~6]$ et $C(\alpha) \approx 0,635$ soit 635~\euro. Ce minimum est obtenu pour une production de 4,2~tonnes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.
%
%Recopier le numéro de chaque question et préciser la réponse choisie.
%
%Aucune justification n'est demandée.
%
%\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte \emph{1} point; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %En septembre 2009, la T.V.A. dans la restauration est passée de 19,6\,\% à 5,5\,\%. En août 2009, une brasserie proposait un menu à 12,70~ \euro{} (T.V.A incluse). Le responsable a appliqué ce changement de T.V.A. Quel était en septembre 2009 le prix de ce menu après le changement de T.V.A. (arrondi au centime) ?
%	\begin{enumerate}
%		\item 10,91 \euro
%		\item 11,20 \euro
%		\item 12,70 \euro
%	\end{enumerate}
Le menu hors taxes était avant à $\dfrac{12,7}{1,196}$ ; donc le prix avec la T.V.A. à 5,5\,\% est maintenant à : $\dfrac{12,7}{1,196} \times 1,055 \approx 11,20$. Réponse \textbf{b.}
\item %La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x)= \ln \left( 100 + x \right)$. Comment varie la fonction $f$ ?
%	\begin{enumerate}
%		\item la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
%		\item la fonction $f$ est constante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
%		\item la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
%	\end{enumerate}
On a $f'(x) = \dfrac{1}{x + 100} > 0$ car tous les termes sont supérieurs à zéro ; la fonction est donc croissante sur $[0~;~+\infty[$. Réponse \textbf{c.}
\item %Quelle est la valeur de l'intégrale  	$\displaystyle\int_{0}^1 \left(3x - x^2 \right) \,\mathrm{d} x $ ?
%	\begin{enumerate}
%		\item $0$
%		\item $\dfrac{7}{6}$
%		\item $2$
%	\end{enumerate}
Une primitive de $x \longmapsto 3x - x^2$ sur [0~;~1] est la fonction $x \longmapsto 3\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}$.

On a donc $\displaystyle\int_{0}^1 \left(3x - x^2 \right) \,\mathrm{d} x  = \left[3\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} \right]_0^1 = 3\dfrac{1^2}{2} - \dfrac{1^3}{3} - \left(3\dfrac{0^2}{2} - \dfrac{0^3}{3} \right) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{9 - 2}{6} = \dfrac{7}{6}$. Réponse \textbf{b.}
\item %La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]0~;~4]$ par $g(x) = \ln x$. Parmi les trois courbes suivantes, laquelle représente une primitive de la fonction $g$ ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%a. & b. & c. \\ \hline
%\psset{unit=.7cm}
%\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
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%\def\f{1/x}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.33}{4}{\f}
%\end{pspicture}
%&
%\psset{unit=.7cm}
%\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{x*ln(x)-x}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{4}{\f}
%\end{pspicture}
%&
%\psset{unit=.7cm}
%\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{x-x*ln(x)+1}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{4}{\f}
%\end{pspicture} \\ \hline
%\end{tabularx}
Ce n'est pas la \textbf{a.} : en effet la dérivée en 1 de la fonction est $\ln 1 = 0$ ; la tangente en 1 doit être horizontale ce qui n'est pas le cas.

Par contre ceci est vrai pour les deux autres courbes.

Mais la fonction logarithme népérien est négative sur $]0~;~1[$ autrement dit les tangentes à la courbe entre 0 et 1 ont une pente négative ce qui n'est pas le cas de la courbe \textbf{c.} Réponse \textbf{b.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{Annexe à rendre avec la copie}}}

Nombre de personnes atteintes de la maladie A ou de la maladie B

en France entre 1970 et 2005
\end{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}
\rput[bl]{90}(12,-5.5){
\psset{xunit=3.mm,yunit=0.015mm}
\begin{pspicture}(-2,-100)(45,7500)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,15)
%\psset{xunit=3.5mm, yunit=0.02mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5,Dy=10000]{->}(0,0)(45,7500)
\multido{\n=0+5}{10}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,7500)}
\multido{\n=0+250}{31}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=gray](0,\n)(45,\n)}
\multido{\n=0+1000}{8}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\n}}}
\uput[ul](45,0){\footnotesize{Rang de l'année}}
\uput[dr](0,7300){\footnotesize{Nombre de personnes atteintes}}
\psdots[dotstyle=triangle*,linecolor=bleu,plotstyle=dots,dotscale=.8](0,4884)(1,4618)	(2,4706)(3,4529)(4,4396)(5,4303)(6,4151)(7,4085)(8,3952)(9,3774)(10,3713)(11,3596)(12,3552)(13,3441)(14,3419)(15,3175)(16,3019)(17,2953)(18,3019)(19,2864)(20,2836)(21,2642)(22,2620)(23,2620)(24,2398)(25,2352)(26,2264)(27,2176)(28,2131)(29,2087)(30,2011)(31,1954)(32,1976)(33,1776)(34,1820)(35,1789)
\psdots[dotstyle=square*,linecolor=prune,plotstyle=dots,dotscale=.8](0,1554)(1,1634)	(2,1665)(3,1732)(4,1754)(5,1776)(6,1785)(7,1829)(8,1931)(9,1865)	(10,1954)	(11,2065)	(12,2122)(13,2242)(14,2220)(15,2353)(16,2442)(17,2664)(18,2753)(19,2864)(20,2900)(21,3064)	(22,3041)(23,3286)(24,3352)(25,3600)(26,3792)(27,3774)(28,4218)(29,4316)	(30,4240)	(31,4440)(32,4928)(33,5217)(34,5460)(35,5945)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=760,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{41}{3.5*x^2-10*x+1700}
\uput[ur](38,6570){\prune{$\Gamma$}}
\psdot[dotstyle=triangle*,linecolor=bleu](26,6850)\uput[r](26,6850){\small{\bleu{Maladie A}}}
\psdot[dotstyle=square*,linecolor=prune](26,6650)\uput[r](26,6650){\small{\prune{Maladie B}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{0}{40}{4697-89*x}
\psline[linestyle=dashed](41,0)(41,7173.5)(0,7173.5)
\end{pspicture}}
\end{pspicture}
\end{document}


