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%Tapuscrit : Denis Vergès
%corrigé : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion},
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\renewcommand{\d}{\,\text d}%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%le i des complexes
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L - corrigé}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion}}
\rfoot{\small 11 septembre 2020}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 3 heures }
%
%\vspace{0,5cm}
%
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L~\decofourright\\[5pt]Métropole - La Réunion -- 11 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\medskip
%
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.}
%
%\emph{\textbf{Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}}
%
%\emph{Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \e^{-x^2+1}$.

La fonction $f$ admet pour dérivée la fonction $f'$ définie sur ~ par:

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.}~~ $f'(x) = \e^{-x^2+1}$ &\textbf{b.}~~$f'(x) = \left(-x^2 +1\right)\e^{-x^2+1}$ \\
\fbox{\textbf{c.}~~  $f'(x) =  - 2x\e^{-x^2+1}$} &\textbf{d.}~~  $f'(x) = \e^{-2x}$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
La dérivée de la fonction $x \longmapsto \e^{u(x)}$ est la fonction $x \longmapsto u'(x) \e^{u(x)}$.
\end{tabular}

\item  Soit $a$ un réel quelconque. On pose : $B = \dfrac{\e^{a}\times \e^{3-a}}{\e}$.

Alors :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\textbf{a.}~~$B = \e^2$} &\textbf{b.}~~$B = 7,39$&\textbf{c.}~~$B = \e^{3a-a^2-1}$ &\textbf{d.}~~$B = a \times \e^{3-a}$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
$B = \dfrac{\e^{a}\times \e^{3-a}}{\e}
= \dfrac{\e^{a+3-a}}{\e} = \dfrac{\e^{3}}{\e} = \e^{2}$
\end{tabular}

\item Un institut réalise un sondage sur \og les Français et la musique \fg{} auprès d'un échantillon représentatif de \np{1408} personnes.

28\,\% des personnes interrogées déclarent qu'elles chantent régulièrement sous la douche (\emph{données: Institut BVA-Presse Régionale-Foncia, mars $2017$}).

Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95 et dont les bornes sont arrondies au millième, de la proportion de Français qui chantent régulièrement sous la douche est :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\textbf{a.}~~[0,253~;~0,307]} &\textbf{b.}~~[\np{1013}~;~\np{1803}] &\textbf{c.}~~ [0,201~;~0,359] &\textbf{d.}~~ [0,279~;~0,281]
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
L'intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est
$\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$.

$f= 0,28$ et $n=\np{1408}$ donc l'intervalle est
$\left [ 0,28-\dfrac{1}{\sqrt{\np{1408}}}~;~0,28+\dfrac{1}{\sqrt{\np{1408}}} \right ]
\approx \left [0,253~;~0.307\strut\right )$.
\end{tabular}

\end{enumerate}

 Pour les deux questions suivantes, on utilisera le repère ci-dessous, dans lequel on a tracé la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $[-10~;~9]$. La tangente au point A de coordonnées (4~;~5) passe par le point B de coordonnées (-8~;~3).


\begin{figure}[t!]
\hfill
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-12,-2)(10,9)
\pscustom[fillstyle=hlines,linewidth=0pt, linecolor=white,hatchcolor=lightgray]
{
\psplot{-2}{4}{4 x 4 exp 4 div x 3 exp add x dup mul 14 mul sub 100 div sub 0.1 sub}
\psplot{4}{-2}{0}
\closepath
}
\multido{\n=-12+2}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-2)(\n,9)}
\multido{\n=-2+1}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](-12,\n)(10,\n)}

\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(-12,-2)(10,9)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-10}{9}{4 x 4 exp 4 div x 3 exp add x dup mul 14 mul sub 100 div sub}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-10,0)(-8,7)(-6,7.3)(-4,6)(-2,4.5)(0,4)(2,4.4)(4,5)(6,4.5)(8,2.1)(9,-2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-12}{10}{x 6 div 13 3 div add}
\uput[u](4,5){A}\uput[dr](-8,3){B}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-8,3)(4,5)
\end{pspicture}
\hfill{}
\end{figure}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le nombre dérivé $g'(4)$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~5&\textbf{b.}~~$0$&\textbf{c.}~~$6$&\fbox{\textbf{d.}~~$\dfrac{1}{6}$}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
$g'(4)$ est le coefficient directeur de la droite (AB).

$g'(4) = \dfrac{y_{\text{A}}-y_{\text{B}}}{x_{\text{A}} - y_{\text{B}}}
=\dfrac{5-3}{4-(-8)} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$
\end{tabular}

%\newpage

\item  On pose $I =\displaystyle\int_{-2}^4 g(x)\:\text{d}x$.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.}~~$12 \leqslant I \leqslant 15$&\fbox{\textbf{b.}~~$24\leqslant I \leqslant 30$}\\
\textbf{c.}~~$I = 6$&\textbf{d.}~~$I = g(4) - g(- 2)$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
L'intégrale $I$ est égale à l'aire de la partie hachurée de la figure, donc est comprise entre 12 et 15 carreaux, donc entre 24 et 30 unités d'aire.
\end{tabular}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En France, la pratique de l'escalade est en plein essor ces dernières années, notamment grâce aux nombreuses ouvertures de salles dans les villes. La Fédération Française de la Montagne et de l'Escalade (FFME) comptait \np{90000}~adhérents au début de l'année 2017.

On estime qu'au début de chaque année :

$\bullet~~$21\,\% des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion ;

$\bullet~~$ \np{29400} nouveaux pratiquants s'inscrivent.

À partir de ces données, on modélise le nombre d'adhérents $n$ années après le début de
l'année 2017 par une suite $\left(u_n\right)$. Ainsi $u_0 = \np{90000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre d'adhérents au début de l'année 2018 puis au début de l'année 2019.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item En 2017, le nombre d'adhérents est  \np{90000}.

On retire 21\,\%: $\np{90000} - \np{90000}\times \dfrac{21}{100} = \np{71100}$.

On ajoute \np{29400} nouveaux adhérents: $\np{71100}+\np{29400}=\np{100500}$.

En 2018, le nombre d'adhérents est donc  \np{100500}.

\item On retire 21\,\%: $\np{100500} - \np{100500}\times \dfrac{21}{100} = \np{79395}$.

On ajoute \np{29400} nouveaux adhérents: $\np{79395}+\np{29400}=\np{108795}$.

En 2019, le nombre d'adhérents est donc  \np{108795}.
\end{list}

\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,79u_n + \np{29400}$.
On passe du nombre $u_n$ d'adhérents l'année $n$, au nombre d'adhérents $u_{n+1}$ en retirant 21\,\%, puis en ajoutant \np{29400}

Retirer 21\,\%, c'est multiplier par $\left (1-\dfrac{21}{100}\right )= \dfrac{79}{100}$ soit $0,79$.

Donc pour tout $n$, $u_{n+1} =0,79 u_n + \np{29400}$.

\item On souhaite déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n > \np{135000}$. 

On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}
$N \gets 0$\\
$U \gets \np{90000}$ \\
Tant que \ldots\\
\qquad $N \gets N+1$\\
\qquad $U \gets \ldots$\\
Fin Tant que\\ 
\end{tabular}
}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'algorithme:
\hfill
\fbox{
\begin{tabular}[t]{l}
$N \gets 0$\\
$U \gets \np{90000}$ \\
Tant que  $\blue U \leqslant \np{135000}$\\
\qquad $N \gets N+1$\\
\qquad $U \gets \blue U \times 0,79 + \np{29400}$\\
Fin Tant que\\ 
\end{tabular}
}
\hfill{}\hfill{}
		
		\item% Quelle est la valeur de $N$ après l'exécution de l'algorithme ? 
À la calculatrice on trouve $u_{9}\approx \np{134007}$ et $u_{10} \approx \np{135266}$; donc la variable $N$ vaut 10 en sortie d'algorithme.	

Donc à partir de $2017+10$ soit 2027, le nombre d'adhérents sera supérieur à \np{135000}.	
		
%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item On pose pour tout $n \in \N$ : $v_n = u_n - \np{140000}$; donc $u_n = v_n + \np{140000}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{140000} = 0,79 u_n + \np{29400} - \np{140000}
= 0,79 \left ( v_n + \np{140000}\right ) - \np{110600}\\
\phantom{v_{n+1}}
= 0,79 v_n + \np{110600} - \np{110600}
= 0,79 v_n$
\item $v_0=u_0 - \np{140000} = \np{190000} - \np{140000} = -\np{50000}$
\end{list}		

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,79$ et de premier terme $v_0=-\np{50000}$.

		\item% Exprimer, pour tout $n \in \N$,\: $v_n$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout $n \in \N$ : $u_n = - \np{50000} \times  0,79^n + \np{140000}$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,79$ et de premier terme $v_0=-\np{50000}$ donc pour tout $n$, $v_n= v_0\times q^n = -\np{50000}\times 0,79^n$.

Or $u_n = v_n + \np{140000}$, donc pour tout $n$, $u_n = - \np{50000} \times  0,79^n + \np{140000}$.

		\item% La FFME peut-elle espérer dépasser les \np{140000}~adhérents ?
%		
%Justifier la réponse.
$ - \np{50000} \times  0,79^n <0$ donc $ - \np{50000} \times  0,79^n + \np{140000} <  \np{140000}$ donc pour tout $n$, $u_n<\np{140000}$.

La FFME ne peut donc pas  espérer dépasser les \np{140000}~adhérents.

	\end{enumerate}
\item Pour automatiser l'estimation du nombre d'adhérents et du nombre de personnes ne renouvelant pas leur adhésion chaque année, on prépare la feuille de calcul suivante, dans laquelle les colonnes B et C sont au format nombre, arrondi à l'unité.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|m{2.5cm}|}\hline
&A&B&C\\ \hline
1&$n$&$u_n$&nombre de non renouvellements\\ \hline
2&0& \np{90000}&\cellcolor{lightgray} \\ \hline
3&1&& \\ \hline
4&2&& \\ \hline
5&3&& \\ \hline
6&4&& \\ \hline
7&5&& \\ \hline
8&6&& \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$, on va saisir dans la cellule \texttt{B3} la formule\\
		 \fbox{\texttt{= B2 * 0,79 + 29400}}.
		
		\item Pour estimer le nombre de personnes ne renouvelant pas leur adhésion en début d'année, on va saisir dans la cellule \texttt{C3} la formule\\
		\fbox{\texttt{= B2 * 0,21}}.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L}

%\medskip
%
%\emph{Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$,\: $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.}
%
%\medskip
%
%\emph{Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une scierie produit des planches en chêne, en sapin ou en bois de hêtre pour fabriquer des parquets massifs. Il existe deux qualités de planche : les planches déclassées (de moins bonne qualité) et les planches de premier choix (de qualité supérieure).

\begin{tabular}{@{} l !{~~\textbullet~} l }
On sait que: & 20\,\% des planches produites sont en chêne,\\
& 66\,\% des planches sont en sapin,\\
& les autres sont en bois de hêtre.
\end{tabular}

De plus, 46\,\% des planches en chêne sont déclassées et 25\,\% des planches en sapin sont déclassées.

%\smallskip

On choisit une planche au hasard dans la production de la scierie, et on définit les évènements:

%\setlength\parindent{10mm}
\begin{tabular}{@{\hspace*{10mm}}ll}
$\bullet~~$ $C$: \og la planche est en chêne \fg;&
$\bullet~~$ $S$: \og la planche est en sapin\fg ;\\
$\bullet~~$ $T$: \og la planche est en hêtre\fg;&
$\bullet~~$ $D$: \og la planche est déclassée \fg.\\
\end{tabular}
%\setlength\parindent{0mm}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $p(C)$,\: $p_C(D)$ et $p_S(D)$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 20\,\% des planches produites sont en chêne, donc $p(C)=0,20$.
\item 46\,\% des planches en chêne sont déclassées, donc $p_{C}(D)=0,46$.
\item 25\,\% des planches en sapin sont déclassées, donc $p_{S}(D)=0,25$.
\end{list}		
		
		\item On représente la situation par l'arbre suivant:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\taput{\blue $0,20$}}
	{\TR{$D$} \taput{\blue $0,46$}
	\TR{$\overline{D}$} \tbput{\blue $0,54$}
	}
\pstree{\TR{$S$~~}\taput{\blue $0,66$}}
	{\TR{$D$} \taput{\blue $0,25$}
	\TR{$\overline{D}$} \tbput{\blue $0,75$}
	}
\pstree{\TR{$T$~~}\tbput{\blue $0,14$}}
	{\TR{$D$} 
	\TR{$\overline{D}$} 
	}
}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item La probabilité que la planche soit en chêne et déclassée est\\
$p(C\cap D) = p(C)\times p_{C}(D)=0,20\times 0,46 = 0,092$.
 
\item On sait que la scierie produit 32\,\% de planches déclassées, donc $p(D)=0,32$.

%Montrer que $p(T \cap D) = 0,063$.
D'après la formule des probabilités totales:
$p(D)=p(C\cap D) + p(S\cap D) + p(T\cap D)$.

$p(D)=0,32$, $p(C\cap D)=0,092$ et $p(S\cap D)=0,66\times 0,25=0,165$

Donc $0,32=0,092+0,165 + p(T\cap D)$
et donc $p(T\cap D) = 0,32 -0,092 - 0,165 = 0,063$.


\item On choisit une planche de la production en bois de hêtre. 

La probabilité qu'elle soit déclassée est
$p_{T}(D) = \dfrac{p(T\cap D)}{p(T)} = \dfrac{0,063}{0,14} = 0,45$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On choisit un lot de $10$ planches au hasard, et on suppose que le nombre de planches déclassées dans ce lot peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,32$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $p(X = 4) = \ds\binom{10}{4}\times 0,32^{4} \times \left (1-0,32\right )^{10-4}
\approx 0,218$

%et interpréter le résultat.
La probabilité qu'il y ait exactement 4 planches déclassées dans un lot de 10 est $0,218$.

\item Pour calculer la probabilité $p(X\geqslant 1)$ qu'au moins une planche du lot soit déclassée, on passe par l'événement contraire: \og aucune planche n'est déclassée \fg{}:

$p(X\geqslant 1) = 1- p(X=0) = 1- (1-0,32)^{10} \approx 0,979$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'épaisseur en millimètre d'une planche de sapin est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_S = 27$ et d'écart type $\sigma_S = 0,4$.

L'épaisseur en millimètre d'une planche de chêne est modélisée par une variable aléatoire $Z$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_C = 25$ et d'écart type $\sigma_C$.

On sait de plus que $\sigma_C > \sigma_S$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après la calculatrice, $p(26,5 \leqslant  Y \leqslant 27,5) \approx 0,789$.
\item Parmi les courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ci-dessous, l'une représente la densité de probabilité de $Y$, une autre celle de $Z$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6,1.5)
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,1.5)}
\multido{\n=0.00+0.25}{7}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=23,Dy=0.25](0,0)(0,0)(6,1.5)
\psGauss[mue=2,sigma=0.3,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{6}\uput[r](2.4,1){\red $\mathcal{C}_2$}
\psGauss[mue=2,sigma=0.5,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{6}\uput[l](1.2,0.3){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psGauss[mue=4,sigma=0.4,linewidth=1.25pt]{2}{6}\uput[r](4.3,0.8){$\mathcal{C}_3$}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,1.5) \uput[r](4,1.32){$x=27$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item % Quelle est la courbe représentant la fonction de densité de $Y$ ? Justifier. 
Une fonction de densité d'une loi normale a une courbe symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, donc la courbe qui convient pour $Y$ est $\mathcal{C}_3$.		
				
		\item %Quelle est la courbe représentant la fonction de densité de $Z$ ? Justifier.
En comparant les allures des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ à $\mathcal{C}_3$, on peut dire que la courbe $\mathcal{C}_1$ correspond à une loi dont l'écart-type est supérieur à $\sigma_S$, tandis que la courbe $\mathcal{C}_2$ correspond à une loi dont l'écart-type est inférieur à $\sigma_S$. Comme on sait que  $\sigma_C > \sigma_S$, on peut dire que la courbe qui convient pour la loi $Z$ est $\mathcal{C}_1$.
		
	\end{enumerate}
\item On sait que la probabilité qu'une planche de chêne ait une épaisseur comprise entre 24 mm et 26 mm est égale à environ $0,95$, c'est-à-dire $p(24 \leqslant Z \leqslant 26) \approx 0,95$. %Donner une valeur approchée de l'écart type $\sigma_C$.

On sait que pour toute loi normale $Z$, $p(\mu-2\sigma \leqslant Z \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$; or $\mu_C=0,25$, donc \\
$p(0,25-2\sigma \leqslant Z \leqslant 0,25 + 2\sigma) \approx 0,95$.

On sait que $p(24 \leqslant Z \leqslant 26) \approx 0,95$, donc $p(25-1 \leqslant Z \leqslant 25+1) \approx 0,95$.

On peut donc estimer que $2\sigma_C=1$ donc que $\sigma_C = 0,5$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant  suivi la spécialité ou candidats de L}

\medskip

L'organisatrice d'une course à pied dans la ville de Berlin voudrait faire passer les participants par les lieux suivants :

%\setlength\parindent{10mm}
\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}\textbullet~} l !{\hspace*{2cm}\textbullet~} l }
 Alexanderplatz (A)& Porte de Brandebourg (B)\\
 Checkpoint Charlie (C)& Fleamarket (F)\\
 Musée de Pergame (P)& Reichstag (R)\\
\end{tabular}
%\setlength\parindent{0mm}

On peut résumer la situation par le graphe ci-dessous:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(7,6.5)
\psset{nodesep=0pt, radius=2pt}
%\psgrid
%%% sommets et noms
\Cnode*(3,6){A} \uput[u](A){A}
\Cnode*(6,4){B} \uput[ur](B){B}
\Cnode*(6,1){C} \uput[-10](C){C}
\Cnode*(3,0){F} \uput[d](F){F}
\Cnode*(0,1.5){P} \uput[dl](P){P}
\Cnode*(0,4.5){R} \uput[ul](R){R}
%%% arêtes
\ncline{R}{B}
\ncline{R}{F} \ncline{P}{A}
\ncline{P}{B} \ncline{P}{C}
\ncline{F}{C} \ncline{F}{A} \ncline{F}{B}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncline{A}{C}
\end{pspicture}
\end{center}

Les lieux sont représentés par les sommets, et les rues ouvertes à la course par les arêtes.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Il y a 6 sommets donc ce graphe est d'ordre 6. 
		\item Il n'y a pas d'arête reliant A et R donc ce graphe n'est pas complet.
		\item Deux sommets quelconques peuvent être reliés par un chemin, donc ce graphe est connexe.
		
Par exemple, le chemin A -- B -- P -- C -- F -- R relie entre eux tous les sommets.			
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% L'organisatrice peut-elle envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues? Justifier.
On cherche le degré de chaque sommet:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*6{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Sommet & A & B & C & F & P & R \\
\hline
Degré & 4 & 5 & 4 & 4 & 3 & 2\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Il y exactement deux sommets de degrés impairs, B et P{}, donc, d'après le théorème d'Euler, il existe un chemin passant par tous les lieux en empruntant une seule fois chacune des rues; ce chemin part de B et se termine en P{}, ou part de P et se termine en B ;

Par exemple : B -- A -- C -- B -- F -- R -- B -- P -- A -- F -- C -- P.

		\item Pour envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues, et dont le départ et l'arrivée se font au même endroit, il faudrait que tous les sommets soient de degrés pairs, ce qui n'est pas le cas. \\
		Un tel parcours n'existe donc pas.
	\end{enumerate}

\item  La matrice d'adjacence de ce graphe est une matrice carrée d'ordre 6 ne contenant que des 0 et des 1; on met un 1 à l'intersection de la ligne correspondant à un sommet X et à la colonne correspondant à un sommet Y si, dans le graphe, il y a une arête reliant X à Y. On met 0 sinon.

 La matrice d'adjacence $M$ de ce graphe, en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique est:

\[M=
\begin{pmatrix}
0&1&1&1&1&0\\
1&0&1&1&1&1\\
1&1&0&1&1&0\\
1&1&1&0&0&1\\
1&1&1&0&0&0\\
0&1&0&1&0&0
\end{pmatrix}
\]


\item On admet que:


\[M^3 = \begin{pmatrix}
10&13&11&12&10& 5\\
13&12&13&12&11& 8\\
11&13&10&12&10& 5\\
12&12&12&8& 7& 7\\
10&11&10&7& 6& 5\\
5&8&5&7&5&2
\end{pmatrix}\]

Alexanderplatz correspond au 1\ier{} sommet A, et le Reichstag correspond au 6\ieme{} sommet R.

Le nombre situé à l'intersection de la ligne 1 et de la colonne 6 (ou de la ligne 6 et de la colonne 1) dans la matrice $M^3$ est 5; donc il y a 5 chemins de longueur 3 reliant A à R; ce sont: 

A -- B -- F -- R; A -- C -- F -- R; A -- C -- B -- R; A -- F -- B -- R et A -- P -- B -- R.

%Justifier la réponse.
\item L'organisatrice veut également prévoir un autre parcours pour les coureurs moins expérimentés. Ce parcours doit débuter à Alexanderplatz et se terminer au Reichstag. 

Les distances entre les différents lieux sont indiquées en kilomètres sur le graphe ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(7,6)
\psset{nodesep=0pt, radius=2pt}
%\psgrid
%%% sommets et noms
\Cnode*(3,6){A} \uput[u](A){A}
\Cnode*(6,4){B} \uput[10](B){B}
\Cnode*(6,1){C} \uput[-10](C){C}
\Cnode*(3,0){F} \uput[d](F){F}
\Cnode*(0,1.5){P} \uput[190](P){P}
\Cnode*(0,4.5){R} \uput[170](R){R}
%%% arêtes et poids
\ncline{R}{B}\ncput*[npos=0.43]{0,5}
\ncline{R}{F}\ncput*[npos=0.45]{5}
\ncline{P}{A}\ncput*{2}
\ncline{P}{B}\ncput*[npos=0.6]{4,5}
\ncline{P}{C}\ncput*[npos=0.55]{2}
\ncline{F}{C}\ncput*{6}
\ncline{A}{F}\ncput*[npos=0.43]{3,5}
\ncline{F}{B}\ncput*{4}
\ncline{A}{B}\ncput*{6}
\ncline{B}{C}\ncput*{1,5}
\ncline{A}{C}\ncput*[npos=0.45]{5}
\end{pspicture}
\end{center}



%Déterminer le parcours le plus court possible d'Alexanderplatz au Reichstag. Donner sa longueur.

En utilisant l'algorithme de Dijkstra, on détermine le parcours le plus court pour aller d'Alexanderplatz au Reichstag. 

\medskip

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%  cellule grisée avec package colortbl
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
A &  B  &  C  &    F   &   P   &  R     &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A \\
\hline
\cgr & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ }  & $\infty$ & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & {6 A} & {5 A} &  \sur{3,5 A}   &                 &                 &  F \\
\hline
\cgr & {6 A}             & \sur{5 A}      &  \cgr   &   $\infty$  & \sout{ $\infty$ } &  \\[-3pt]
\cgr & \sout{10 F} & \sout{9,5 F} &  \cgr   &                     &    8,5 F                  &  C \\
\hline
\cgr & \sur{6 A}        & \cgr &  \cgr   &  \sout{ $\infty$ }  & 8,5 F  &  \\[-3pt]
\cgr &  \sout{6,5 C} & \cgr &  \cgr   &           7 C                 &            &  B \\
\hline
\cgr & \cgr        & \cgr &  \cgr   &  7 C                    & 8,5 F  &  \\[-3pt]
\cgr &  \cgr       & \cgr &  \cgr   &  \sout{10,5 B}  & \sur{6,5 B}           &  R \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le trajet le plus court de A à R est:
A $\stackrel{6}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{0,5}{\longrightarrow}$ R;
sa longueur est de 6,5 km.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ deux fois dérivable sur l'intervalle [1~;~4], définie par : 

\hfill$f(x) = - x^2 + 4x - 5 + 6 \ln (x)$.\hfill{}

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de cette fonction est donnée dans le repère ci-dessous.

%\begin{figure}[t]
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.7,-2.2)(4.7,5.6)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,gridcolor=gray,gridlabels=0](-2,-3)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-0.7,-2.2)(4.7,5.6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{4 x mul x dup mul sub 5 sub x ln 6 mul add}
\uput[ur](3.25,4.5){\blue $\mathcal{C}$}
\rput(-0.2,-0.44){0}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](4,3.318)(1,-2)
\end{pspicture*}
\end{center}
%\end{figure}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1~;~4].
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~4], on a : 
		$f'(x) = -2x+4+\dfrac{6}{x}= \dfrac{- 2x^2 + 4x + 6}{x}$.

		\item Sur l'intervalle [1~;~4], $f'(x)$ est du signe de $-2x^2+4x+6$.

$\Delta = b^2-4ac = 4^2 -4\times (-2)\times 6=64=8^2$

Le trinôme $-2x^2+4x+6$ a deux racines:\\
$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 - 8 }{2\times(-2)} = 3$
et $x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 + 8 }{2\times(-2)} = -1 \not\in [1~;~4]$.

Le trinôme $-2x^2+4x+6$ est du signe de $a=-2$ donc négatif à l'extérieur des racines. 

D'où le signe de $f'(x)$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & 3 & \esp  & 4 \\
\hline
-2x^2+4x+6 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &    \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

		\item $f(1)=-2$, $f(3)=-2+6 \ln(3) \approx 4,592$ et $f(4)= -5+6\ln(4) \approx 3,318$
		
On établit le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [1~;~4]: %On arrondira les valeurs des images si nécessaire au millième.
		
		\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \esp & 3 & \esp & 4 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{4,592}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-2} &   &  &  &   \Rnode{min2}{3,318} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On place la valeur 0 dans le tableau de variation de $f$:
	
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \esp & 3 & \esp & 4 \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{4,592}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-2} &   &  &  &   \Rnode{min2}{3,318} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \rput*(-6.5,0.88){\Rnode{zero}{\blue 0}}
\rput(-6.5,2.4){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
%\rput(-1.3,2.4){\Rnode{beta}{\red \beta}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	
		
		
		Cela prouve que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~4] et que cette solution est dans [1~;~3].
		
%Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
À la calculatrice, on trouve que $f(1,28) \approx -0,037 <0$ et $f(1,29) \approx 0,024>0$ donc\\
 $\alpha \in [1,28~;~1,29]$.

		\item On en déduit le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4]:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & \alpha & \esp  & 4 \\
\hline
f(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}		
		
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants, qu'on admettra dans la suite:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
1 &Dériver((-2x \verb+^+2+ 4x + 6)/x)\\
&\multicolumn{1}{c|}{$-2 - \dfrac{6}{x^2\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$}\\ \hline
2&Dériver(- x \verb+^+3 / 3 + 2x\verb+^+2-11x + 6x ln (x)) \\
&\multicolumn{1}{c|}{$-x^2 +4x - 5 + 6 \ln (x)$}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Le premier résultat fourni par le logiciel donne la dérivée seconde
$f''(x) = -2 - \dfrac{6}{x^2}$.

Pour tout $x$ de [1~;~4], $-2 - \dfrac{6}{x^2}<0$ donc $f''(x)<0$.

On en déduit que la fonction $f$ est concave sur [1~;~4], donc sur cet intervalle, la courbe $\mathcal{C}$ est située en-dessous de toutes ses tangentes.

		\item Le deuxième résultat fourni par le logiciel indique que la fonction $F$ définie par\\
 $F(x) = -\dfrac{x^3}{3} +2x^2 -11x +6x \ln(x)$ est  une primitive de la fonction $f$ sur [1~;~4].
		
$I = \displaystyle\int_1^4 f(x)\:\text{d}x
= F(4) - F(1)
= \left ( -\dfrac{64}{3} + 32 -44 + 24 \ln(4)\right ) - \left (-\dfrac{1}{3} +2 -11 +6 \ln(1) \right )\\
\phantom{I}\vphantom{\displaystyle\int_1^4 f(x)\:\text{d}x}
=  -\dfrac{64}{3} -12 + 24 \ln(4) + \dfrac{1}{3} +9
= 24 \ln(4) -24 \approx 9,271$

%Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au millième de $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

Chaque mois, un prothésiste dentaire produit entre $100$ et $400$ prothèses.

On admet que lorsque $x$ centaines de prothèses sont fabriquées (avec $1 \leqslant x \leqslant 4$), le bénéfice, en millier d'euros, est donné par $f(x)$, où $f$ est la fonction définie à la partie A.

%\medskip
%
%Utiliser des résultats de la partie A pour répondre aux questions suivantes:
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Combien de prothèses faut-il fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal ? Donner ce bénéfice maximal à l'euro près.
$f(x)$ est maximale et vaut environ $4,592$ pour $x=3$; il faut donc 300 prothèses pour réaliser un bénéfice maximum qui est alors de $\np{4592}$ euros.

\item% Combien de prothèses faut-il fabriquer au minimum pour obtenir un bénéfice positif ?
$f(x)>0$ pour $ x> \alpha$ et $\alpha\in[1,28~;\,1,29]$, donc pour obtenir un bénéfice positif, il faut fabriquer au moins 129 prothèses.

\item La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4] est:
$\dfrac{1}{4-1} \ds\int_{1}^{4} f(x) \d x \approx \dfrac{9,271}{3}\approx 3,090$.

Le bénéfice moyen mensuel est donc de \np{3090} euros.
\end{enumerate}
\end{document}
