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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S - Corrigé},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2015},
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}  
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%    crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%    crochet droit
\renewcommand{\d}{\text{d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\text{\,e\,}}%       le e de l'exponentielle
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%     supérieur ou égal à
\newcommand{\pp}{\leqslant}%     inférieur ou égal à
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small 28 novembre 2017}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES~\decofourright
\\[4pt]
\large Nouvelle-Calédonie -- Wallis et Futuna -- 28 novembre 2017} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.}

\bigskip

\textbf{Affirmation 1.}

\medskip

Pour tout réel $a$ strictement positif, $\ln \left(a^3\right) - \ln\left(a^2\right) = \ln \left(a^{25}\right) - \ln \left(a^{24}\right)$.

\begin{quote}
Si $x$ et $y$ sont deux réels strictement positifs, alors $\ln(x)-\ln(y) = \ln\left ( \dfrac{x}{y}\right )$.

Donc, pour $a$ strictement positif:

$\ln\left (a^3\right ) - \ln\left (a^2\right ) = \ln\left ( \dfrac{a^3}{a^2}\right ) = \ln\left (a\right )$ et
$\ln\left (a^{25}\right ) - \ln\left (a^{24}\right ) = \ln\left ( \dfrac{a^{25}}{a^{24}}\right ) = \ln\left (a\right )$

\textbf{Affirmation 1 vraie}
\end{quote}

\medskip

\textbf{Affirmation 2.}

\medskip

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur \cd 0~;~100\cg{}, alors $P(X < 75) = P(X > 25)$.

\begin{quote}
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle \cd 0~;~100\cg{}, alors, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $0 \pp a \pp b \pp 100$, on a $P(a \pp X \pp b) = P(a<X<b) = \dfrac{b-a}{100-0} = \dfrac{b-a}{100}$.

$P(X<75)= P(0 \pp X<75) =  \dfrac{75-0}{100} = 0,75$ et
$P(X>25) = P(25 < X \pp 100) = \dfrac{100-25}{100} = 0,75$.

\textbf{Affirmation 2 vraie}
\end{quote}

\medskip

\textbf{Affirmation 3.}

\medskip

On a prélevé un échantillon aléatoire de $400$ pièces dans une production et observé
$6$ pièces défectueuses. La borne supérieure de l'intervalle de confiance de la proportion
de pièces défectueuses dans la production au niveau de confiance de 95\,\% est égale à
$0,08$.

\begin{quote}
L'intervalle de confiance au niveau de confiance 95\,\% est généralement 
$\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$.

$f=\dfrac{6}{400}$ et $n=400$ donc $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{6}{400} + \dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0,065 \neq 0,08$.

\textbf{Affirmation 3 fausse}
\end{quote}

\medskip

\textbf{Affirmation 4.}

\medskip

L'équation $x \ln(x) = 2 \ln (x)$ admet exactement deux solutions : $2$ et $1$ sur $]0~;~+ \infty[$.

\begin{quote}
On résout l'équation:

$x \ln(x)= 2\ln(x) \iff (x-2)\ln(x)=0 \iff x-2=0 \text{ ou } \ln(x)=0 \iff x=2 \text{ ou } x=1$.

\textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{quote}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série~L}

%\medskip
%
%\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième}

\medskip

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client
effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le
choix du mode de transport peut changer entre l'aller et le retour.
À l'aller, le bateau est choisi dans 65\,\% des cas.

Lorsque le bateau est choisi à l'aller, il l'est également pour le retour $9$ fois sur $10$.

Lorsque le train a été choisi à l'aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70\,\% des
cas.

\medskip

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og le client choisit de faire l'aller en bateau \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og le client choisit de faire le retour en bateau \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

%\medskip
% 
%On rappelle que si $E$ est un évènement, $p(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et
%on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.
% 
% \medskip
 
\begin{enumerate}
\item On traduit cette situation par un arbre pondéré:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,65$}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}\naput{$0,9$}
 		  \TR{$\overline{R}$}\nbput{\red $1-0,9=0,1$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\red $1-0,65=0,35$}}
 	  {
 		  \TR{$R$}\naput{$0,7$}
          \TR{$\overline{R}$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item On choisit au hasard un client de l'agence.
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer la probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau.
L'événement \og faire l'aller-retour en bateau \fg{} est l'événement $A \cap R$.

D'après l'arbre:
$p(A\cap R) = p(A)\times p_A(R)= 0,65\times 0,9 = 0,585$.
 		
		\item% Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à $0,31$.
Le client utilise les deux moyens de transport dans les événements $A\cap \overline{R}$ (aller en bateau et retour en train) et $\overline{A} \cap R$ (aller en train et retour en bateau).

Ces deux événement sont disjoints donc:\\
$p\left (A\cap \overline{R} \cup \overline{A} \cap R\rule{0pt}{9pt} \right )
= 	p\left ( A\cap \overline{R} \right) + p\left (\overline{A} \cap R\right )
= 0,65\times 0,1+0,35\times 0,7 = 0,31$	
		
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard $20$ clients de cette agence. On note $X$ la variable aléatoire qui
compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport.
On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l'on puisse considérer que $X$
suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item Les paramètres de cette loi binomiale sont $n=20$ et $p=0,31$.
		
		\item La probabilité qu'exactement $12$ clients utilisent les deux moyens de transport différents est:
		
$p(X=12) = \ds\binom{20}{12} \times 0,31^{12} \times (1-0,31)^{20-12} \approx 0,005$.
		
		\item La probabilité qu'il y ait au moins $2$ clients qui utilisent les deux moyens de transport différents est:

$p(X\pg 2) = 1- \left [ p(X=0) + p(X=1) \rule{0pt}{10pt}\right ]	
\approx 1- \left [ \np{0,0006} + \np{0,0054}\right ] = 1- 0,006 = 0,994$.

	\end{enumerate}
\item Le coût d'un trajet aller ou d'un trajet retour est de \np{1560}~\euro{} en bateau ; il est de \np{1200}~\euro{}  en train. 
	
On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en
euro de son trajet aller-retour.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
En mettant en correspondance les deux arbres ci-dessous:

\bigskip		
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2cm,treesep=0.8cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {\small
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,65$}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}~{\red $p(A\cap R)=0,585$}\naput{$0,9$}
 		  \TR{$\overline{R}$}~{\red $p(A\cap \overline R)=0,065$}\nbput{$0,1$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$0,35$}}
 	  {
 		  \TR{$R$}~{\red $p(\overline A\cap R)=0,245$}\naput{$0,7$}
          \TR{$\overline{R}$}~{\red $p(\overline A\cap \overline R)=0,105$}\nbput{$0,3$} 
     }
}
\hfill
 \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2cm,treesep=0.8cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {\small
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$\np{1560}$ \euro}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}~{\red $\np{3120}$ \euro}\naput{$\np{1560}$ \euro}
 		  \TR{$\overline{R}$}~{\red $\np{2760}$ \euro}\nbput{$\np{1200}$ \euro}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$\np{1200}$ \euro}}
 	  {
 		  \TR{$R$}~{\red $\np{2760}$ \euro}\naput{$\np{1560}$ \euro}
          \TR{$\overline{R}$}~{\red $\np{2400}$ \euro}\nbput{$\np{1200}$ \euro}
     }
}
\bigskip

on peut établir la loi de probabilité de $Y$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$y_i$ & \np{3120} & \np{2760} & \np{2400}\\
\hline
$p(Y=y_i)=p_i$ & $0,585$ & $0,31$ & $0,105$ \\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item L'espérance mathématique de $Y$ est~\\
$\ds\sum y_i\times p_i = \np{3120} \times 0,585 + \np{2760} \times 0,31 + \np{2400} \times 0,105 = \np{2932,80}$.		
		
L'agence de voyage peut annoncer un coût moyen pour le voyage aller-retour de $\np{2932,80}$~\euro.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

En 2012, un village ne comptait qu'un seul médecin, Albert. 

Début 2013, un nouveau médecin, Brigitte, s'installe dans ce village.

À l'arrivée de Brigitte, 90\,\% des habitants du village choisirent Albert comme médecin,
les autres choisirent Brigitte. 
On suppose que chaque habitant du village est patient du même médecin, Albert ou Brigitte, tout au long d'une année. 

On observe, à partir de 2013, que chaque année :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]13\,\% des patients d'Albert changent de médecin et deviennent des patients de
Brigitte ;
\item[$\bullet~~$]8\,\% des patients de Brigitte deviennent des patients d'Albert.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On choisit au hasard un habitant de ce village. Pour tout entier naturel $n$,

\textbullet~~$a_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient d'Albert pour l'année $(2013+n)$,

\textbullet~~$b_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient de Brigitte pour l'année $(2013+n)$,

\textbullet~~$P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ est la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année $(2013 + n)$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.
L'année 2013 correspond à $n=0$; en 2013, 90\,\% des patients allaient chez Albert, donc $a_0=0,9$. On en déduit que $b_0=1-a_0=0,1$ et que $P_0 = \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\end{pmatrix}$.

\item On représente la situation par un graphe probabiliste en appelant A le sommet correspondant au médecin Albert, et B celui correspondant au médecin Brigitte:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{A}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{B}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$0,13$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$0,08$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$0,87$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$0,92$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

\item% Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.
D'après le texte
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,87\,a_n + 0,08\,b_n\\
b_{n+1} & 0,13\,a_n + 0,92\,b_n
\end{array}
\right .$

ce qui s'écrit sous forme matricielle:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,87 & 0,13 \\ 0,08 & 0,92
\end{pmatrix}$ 

La matrice de transition de ce graphe est donc:
$M=
\begin{pmatrix} 0,87 & 0,13 \\ 0,08 & 0,92 \end{pmatrix}$ 

\item 
$P_1 = P_0 M 
= \begin{pmatrix}0,9 & 0,1\end{pmatrix}
\times \begin{pmatrix} 0,87 & 0,13 \\ 0,08 & 0,92 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0,9\times 0,87 + 0,1\times 0,08 & 0,9\times 0,13 + 0,1 \times 0,92 \end{pmatrix}\\
\phantom{P_1}
= \begin{pmatrix}0,791& 0,209\end{pmatrix}$

\item% Exprimer $P_n$ en fonction de $P_0$, $M$ et $n$.
$P_1=P_0M$; $P_2 = P_1M = \left (P_0M\right )M = P_0M^2$; $P_3 = P_2M = \left (P_0M^2\right )M = P_0M^3$; etc.

On peut donc conjecturer que $P_n=P_0 M^n$.

%Soit la propriété $P_n = P_0 M^n$.
%
%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item \textbf{Initialisation}
%
%Pour $n=0$, la matrice $M^0$ est la matricce identité d'ordre 2 donc $P_0 M^0 = P_0$, donc la propriété est vraie au rang 0.
%
%\item \textbf{Hérédité}
%
%On suppose la propriété vraie pour $n\pg 0$, c'est-à-dire $P_n=P_0 M^n$; c'est l'hypothèse de récurrence.
%
%$P_{n+1} = P_n M = \left (P_0 M^n\right ) M = P_0 M^{n+1}$
%
%Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
%
%\item \textbf{Conclusion}
%
%La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire pour tout $n\pg 0$; d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\pg 0$.
%\end{list}
%
%On a donc démontré par récurrence que, pour tout $n$, $P_n=P_0 M^n$.

\item% En déduire la matrice ligne $P_4$ et interpréter le résultat. Les résultats seront arrondis au millième.
$P_4= P_0 M^4 \approx \begin{pmatrix} 0,583 & 0,417 \end{pmatrix}$

On peut donc estimer qu'en $2013+4=2017$, Albert aura $58,3$\;\% des patients et Brigitte $41,7$\,\%

\item L'état stable $S=\begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ de la répartition des patients des médecins Albert et Brigitte est tel que $SM=M$ et $a+b=1$.

$SM=M 
\iff \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}
\times \begin{pmatrix} 0,87 & 0,13 \\ 0,08 & 0,92 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{ r!{=} l }
0,87 a + 0,08 b & a\\
0,13 a + 0,92 b & b
\end{array}
\right.\\
\phantom{SM=M}
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{ r !{=} l }
-0,13 a + 0,08 b & 0\\
0,13 a - 0,08 b & 0
\end{array}
\right.
\iff 13a-8b=0$

On doit donc résoudre le système:\\
$\left\lbrace
\begin{array}{ r !{=} l }
13a - 8b & 0\\
a + b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{ r !{=} l }
13a - 8b & 0\\
8a + 8b & 8
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{ r !{=} l }
21a	 & 8\\
b & 1-a
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{ r !{=} l }
a	 & \dfrac{8}{21}\\[7pt]
b & \dfrac{13}{21}
\end{array}
\right.$

L'état stable est $S=\begin{pmatrix} \dfrac{8}{21} & \dfrac{13}{21} \end{pmatrix}$; cela signifie qu'à long terme, la proportion de patients pour Albert sera de $\dfrac{8}{21}$ soit environ 38\,\%, et donc que la proportion de patients pour Brigitte sera de $\dfrac{13}{21\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$ soit environ 62\,\%.

%En donner une interprétation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le médecin Albert, qui officie dans le village A, doit rendre visite à un patient d'un village
voisin G. Il a construit le graphe ci-dessous où les sommets représentent les villages
alentours. Sur les arêtes sont indiquées les distances en kilomètres.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]}
\cnode*(0.3,2.8){0.1cm}{A}\uput[ul](0.3,2.8){A}
\cnode*(2.3,3.8){0.1cm}{B}\uput[ul](2.3,3.8){B}
\cnode*(5.3,4.8){0.1cm}{C}\uput[ur](5.3,4.8){C}
\cnode*(3.6,2.5){0.1cm}{D}\uput[r](3.6,2.5){D}
\cnode*(0.6,1){0.1cm}{E}\uput[dl](0.6,1){E}
\cnode*(4.5,0.3){0.1cm}{F}\uput[dr](4.5,0.3){F}
\cnode*(6.3,2.3){0.1cm}{G}\uput[r](6.3,2.3){G}
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{A}{B}\ncput*{\red 8}
\ncline{A}{D}\ncput*{18}\ncline{A}{E}\ncput*{13}
\ncline{B}{C}\ncput*{23}\ncline[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{B}{D}\ncput*{\red 9}
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{C}{D}\ncput*{\red 10}
\ncline{C}{F}\ncput*{4}\ncline[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{C}{G}\ncput*{\red 3}
\ncline{D}{F}\ncput*{7}\ncline{E}{F}\ncput*{13}\ncline{F}{G}\ncput*{9}
\end{pspicture}
\end{center}

On détermine le plus court chemin pour aller du village A au village G au moyen de l'algorithme de Dijkstra:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%                               cellule grisée
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
A &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   &   G      &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A \\
\hline
\cgr &                   & $\infty$ &            &          & $\infty$  & $\infty$  &   \\[-3pt]
\cgr & \sur{8 A} &                 &  18 A & 13 A &                  &                  &  B \\
\hline
\cgr & \cgr &           &  \sout{18 A} & \sur{13 A} & $\infty$  & $\infty$  &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & 31 B &   17 B              &                     &                  &                  &  E \\
\hline
\cgr & \cgr & 31 B &  \sur{17 B} & \cgr &            & $\infty$  &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &          &                      & \cgr &  26 E  &                  &  D \\
\hline
\cgr & \cgr & \sout{31 B} &  \cgr & \cgr &   \sout{26 E} & $\infty$  &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &      27 D         &  \cgr & \cgr &  \sur{24 D}   &                  &  F \\
\hline
\cgr & \cgr & \sur{27 D} &  \cgr & \cgr &   \cgr &               &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &                     &  \cgr & \cgr &  \cgr  &    33 F   &  C \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr &  \cgr & \cgr &   \cgr &    \sout{33 F} &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &  \cgr & \cgr &  \cgr  &    \sur{30 C}   &  G \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le plus court chemin pour aller du village A au village G est donc:
A $\stackrel{8}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{9}{\longrightarrow}$
D $\stackrel{10}{\longrightarrow}$
C $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ G;\\
sa longueur est de 30 km.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Début 2013, la superficie totale des forêts sur la terre représente un peu plus de 4 milliards d'hectares.

Au cours de l'année 2013, on estime qu'environ 15 millions d'hectares ont été détruits.

Des plantations d'arbres et une expansion naturelle des forêts ont ajouté $10,2$ millions
d'hectares de nouvelles forêts en 2013.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La superficie totale des forêts détruites au cours de l'année 2013 représente une proportion de 
$\dfrac{\np{15000000}}{\np{4000000000}} = \np{0,00375}$; ce qui fait un pourcentage de $0,375$\,\%.

\end{enumerate}

On admet dans la suite que chaque année, la proportion des surfaces détruites de forêts et la superficie de nouvelles forêts restent constantes.

On note $u_n$ la superficie (en millions d'hectares) occupée par les forêts sur la Terre au début de l'année $(2013+n)$ avec $u_0 = \np{4000}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \np{0,99625}u_n + 10,2$.
Si $0,375$\,\% de forêt est détruite chaque année, il en reste $99,625$\,\%; donc on multiplie la surface de forêt l'année $n$ par $\np{0,99625}$ pour avoir la surface de forêt l'année $n+1$. Comme de plus on plante chaque année $10,2$ millions d'hectares, on aura, pour tout $n$, $u_{n+1} = \np{0,99625} u_n + 10,2$.

		\item% Montrer que la superficie totale des forêts sur la Terre, au début de l'année 2014, en millions d'hectares, est $u_1 = \np{3995,2}$.
L'année 2014 correspond à $n=1$ donc la superficie de forêt en début de 2014 est:\\
$u_1 = \np{0,99625} u_0 + 10,2 = \np{0,99625} \times \np{4000} + 10,2 = \np{3995,2}$ millions d'hectares.		
		
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(d_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n = u_n - \np{2720}$; donc $u_n=d_n+\np{2720}$.

	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $d_{n+1} = \np{0,99625} \times d_n$.
$d_{n+1} = u_{n+1} - \np{2720} = \np{0,99625} u_n + 10,2 - \np{2720}
= \np{0,99625} \left ( d_n + \np{2720}\right )	- \np{2709,8}\\
\phantom{d_{n+1}}
= \np{0,99625} u_n + \np{2709,8} - \np{2709,8}
= \np{0,99625} d_n$	
		
		\item% Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Calculer $d_0$.
$d_0=u_0 - \np{2720} = \np{1280}$

Donc la suite $(d_n)$ est géométrique de premier terme $d_0 = \np{1280}$ et de raison $q=\np{0,99625}$.		
		
		\item %Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $d_n$, en fonction de $n$ ; en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
De la nature de la suite $(d_n)$ on déduit que, pour tout $n$, $d_n=d_0\times q^n= \np{1280} \times \np{0,99625}^{n}$.

Comme $u_n=d_n+\np{2720}$, on en déduit que, pour tout $n$, $u_n= \np{1280} \times \np{0,99625}^{n} + \np{2720}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Proposer un algorithme affichant la superficie (en millions d'hectares) occupée par les forêts sur la Terre, pour chaque année de 2013 à 2029.
L'année 2013 correspond à $n=0$ donc l'année 2029 correspond à $n=16$. Voici un algorithme permettant d'afficher la superficie occupée par les forêts pour chaque année de 2013 à 2019:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{| ll |}
\hline
\textbf{Variables}              & $u$ réel\\
                                               & $k$ entier\\
\hline
\textbf{Initialisation}        & $u$ prend la valeur $\np{4000}$ \\
\hline
\textbf{Traitement}           & Afficher $u$\\
                                               & Pour $k$ variant de 1 à 16\\
                                               & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $\np{0,99625} u + 10,2$ \hspace*{0.5cm}\\
                                               & \hspace*{1cm} Afficher $u$\\
                                               & Fin Pour\\
\hline                                                                                   
\end{tabular}
\end{center}		
		
		\item La superficie des forêts présentes sur la Terre sera inférieure à $3,9$ milliards d'hectares, c'est-à-dire $\np{3900}$ millions d'hectares, pour les valeurs de $n$ vérifiant $u_n<\np{3900}$; on résout cette inéquation:

$u_n<\np{3900} 
\iff \np{1280} \times \np{0,99625}^{n} + \np{2720} < \np{3900}
\iff \np{1280} \times \np{0,99625}^{n}  < \np{1180}\\[5pt]
\phantom{u_n<\np{3900} }
\iff \np{0,99625}^{n} < \dfrac{\np{1180}}{\np{1280}}
\iff \ln\left ( \np{0,99625}^{n} \right ) < \ln \left ( \dfrac{\np{118}}{\np{128}}\right )
\iff  n \ln\left ( \np{0,99625}\right ) < \ln \left ( \dfrac{\np{118}}{\np{128}}\right )\\[5pt]
\phantom{u_n<\np{3900} }
\iff n > \dfrac{ \ln \left ( \frac{\np{118}}{\np{128}}\right )}{\ln(\np{0,99625})}$	
	
Or 	$\dfrac{ \ln \left ( \frac{\np{118}}{\np{128}}\right )}{\ln(\np{0,99625})\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \approx 21,6$ donc on prendra $n=22$; c'est donc à partir de $2013+22=2035$ que la superficie de forêt deviendra inférieure à $3,9$ milliards d'hectares.
	
\emph{Remarque}	

On peut aussi procéder par approximations successives en utilisant la calculatrice et la formule $u_n= \np{1280} \times \np{0,99625}^{n} + \np{2720}$: on trouve $u_{21} \approx \np{3902,9}$ et $u_{22} \approx \np{3898,5}$.
	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
\def\interA{\texttt{[}-1~;~2\texttt{]}}
\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\interA$.

%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$.

La courbe $\left(\mathcal{C}_2\right)$ ci-dessous représente, dans le repère orthonormé, la fonction  $f''$.

Le point A(0~;~1) est situé sur la courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$.

Le point B est le point d'intersection de $\left(\mathcal{C}_2\right)$ avec l'axe des abscisses. Une valeur approchée de l'abscisse de B est $0,37$.
La tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$ au point A est horizontale.

\begin{figure}[t!]
\centering
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.25,-2.3)(3.1,2.6)
\def\f{x dup mul 2.71828 x exp 1 x sub mul add}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue]
{
\psplot{-1}{1}{\f}
\psplot{1}{-1}{0}
\closepath % indispensable !
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=5,gridwidth=1.5pt,subgridwidth=1pt,subgriddots=5]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-1.5,-2.75)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](2.9,0){$x$}\uput[r](0,2.4){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{\f}
\uput[r](1.75,-1.5){\blue $\left(\mathcal{C}_1\right)$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{2}{2 2.71828 x exp  x 1 add  mul sub}
\uput[r](0.65,-1.5){\red $\left(\mathcal{C}_2\right)$}
\end{pspicture*}
\end{figure}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique,
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la valeur de $f(0)$.
Le point A\,$(0~;~1)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ donc $f(x_{\text A}) = y_{\text A}$ donc $f(0)=1$.		
		
		\item% Donner la valeur de $f'(0)$.
La tangente à $\mathcal{C}_1$ au point A est horizontale donc $f'(0)=0$.		
		
		\item %Étudier la convexité de $f$ sur $\interA$. Justifier la réponse.
La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle sur lequel la dérivée seconde $f''$ est positive.


\begin{list}{\textbullet}{D'après le graphique:}
\item $f''>0$ sur $\cd -1~;~0,37 \cd$ donc la fonction $f$ est convexe sur $\cd -1~;~0,37 \cd$;
\item $f''<0$ sur $\cg 0,37~;~2 \cg$ donc la fonction $f$ est concave sur $\cg 0,37~;~2 \cg$.
\end{list}

	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction  définie sur $\interA$ par: $f(x) = (1 - x)\text{e}^x + x^2$.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
1 &$f(x)$ :\: $= (1 - x) * \text{exp} (x) + x^2$\\
&\hspace{3cm}$ \to (1 - x)\text{e}^x + x^2$\\ \hline
2 &factoriser( dériver($f(x)$))\\
&\hspace{3cm}$\to x\left(2 - \text{e}^x\right)$\\ \hline
3 &primitive ($f(x)$)\\
&\hspace{3cm}$\to \dfrac{1}{3}x^3 + (-x + 2)\text{e}^x$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier le résultat trouvé par le logiciel pour le calcul de $f'(x)$.
$f(x)=(1-x) \e^{x} + x^2$ donc \\
$f'(x) = (-1)\times \e^{x} + (1-x)\times \e^{x} +2x = -\e^{x} +	\e^{x} -x \e^{x} + 2x = 2x - x \e^{x} = x\left ( 2-\e^{x}\right )$	
		
		\item% Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-1~;~2]$.
$2-\e^{x} >0 \iff 2>\e^{x} \iff \ln(2) >x$

On détermine le signe de $f’(x)$ au moyen d'un tableau de signes:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & -1 & \esp & 0 & \esp & \ln(2) & \esp & 2 \\
\hline
x &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
2-\e^{x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
f'(x)=x\left ( 2-\e^{x} \right ) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

$f(-1)=1+2\e^{-1}\approx 1,74$; $f(0)=1$; $f(\ln(2)) = \left (\ln(2)\rule{0pt}{9pt}\right )^2-2\ln(2)+2n\approx 1,09$ et 

$f(2)=4-\e^{2}\approx -3,39$

On dresse le tableau de variation de $f$ sur $\interA$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & -1 & \esp & 0 & \esp & \ln(2) & \esp & 2 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{1+2\e^{-1}} & &  & & \Rnode{max2}{\left ( \ln(2)\rule{0pt}{9pt}\right )^2 -2\ln(2) +2\rule{0pt}{14pt}} & & \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{1} & & & & \Rnode{min2}{4-\e^{2}}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[-1~;~2]$.
$f(0)=1>0$, $f(\ln(2))\approx 1,09>0$ et $f(2)\approx -3,39<0$

D'après le tableau de variation de $f$, on peut déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\interA$ et que cette solution est dans l'intervalle $\cg \ln(2)~;~2 \cd$.
	
		\item% Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
En utilisant la calculatrice, on trouve:

$\left.
\begin{array}{l}
f(1) = 1 >0\\
f(2)\approx -3,39 <0
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\alpha \in \cd   1~;~2  \cg
$ \hfill
$\left.
\begin{array}{l}
f(1,5) \approx 0,009 >0\\
f(1,6)\approx -0,41 <0
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\alpha \in \cd   1,5~;~1,6  \cg
$\\[5pt]
$\left.
\begin{array}{l}
f(1,50) \approx 0,009 >0\\
f(1,51) \approx -0,03 <0
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\alpha \in \cd   1,50~;~1,51  \cg
$
	\end{enumerate}
\item%  Déterminer une équation de la tangente à $\left(\mathcal{C}_1\right)$ au point d'abscisse 1.
La tangente à une courbe représentant une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation
$y=f'(a) \left (x-a \right ) + f(a)$.

Pour $a=1$; $f(1)=1$ et $f'(1)= 1\left (2-\e^{1}\right )= = 2-\e$

Donc la tangente a pour équation
$y=\left (2-\e\right )\left (x-1\right ) + 1$ c'est-à-dire $y=\left (2-\e\right ) x -2 + \e + 1$ ou encore $y=\left (2-\e\right ) x +\e - 1$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier la ligne 3 du tableau de calcul formel.
La ligne 3 du tableau de calcul formel donne une primitive de la fonction $f$; on l'appelle $F$ et on a donc $F(x)=\dfrac{1}{3} x^3 + (-x+2)\e^{x}$. On va vérifier que $F'(x)=f(x)$:

$F'(x) = \dfrac{1}{3}\times 3x^2 + (-1)\times \e^{x} + (-x+2)\times \e^{x}
= x^2 + \e^{x} (-1 -x +2) = (1-x)\e^{x} + x^2 = f(x)$		
		
		\item On admet que la fonction $f$ est positive sur $\cd -1~;~1\cg$. Soit $\mathcal D$ le domaine compris entre la courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 1$. 
		
		On appelle $\mathcal{A}$ l'aire de ce domaine. D'après le cours, elle vaut, en unités d'aire:
		
		$\mathcal{A} = \ds\int_{-1}^{1} f(x) \d x = F(1) - F(-1) = \left [ \dfrac{1}{3} + (2-1)\e^{1} \right ] - \left [ -\dfrac{1}{3} + (2-(-1))\e^{-1}\right ] = \dfrac{2}{3} + \e + 3\e^{-1}\approx 2,3$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
