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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 26 février 2018},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%       le e de l'exponentielle
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie \& Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small 26 février 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Nouvelle-Calédonie~\decofourright
\\[4pt]26 février 2018} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre
%questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
%
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie sans
%justifier le choix effectué.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un laboratoire désire tester l'efficacité d'un médicament Pour cela, il constitue un
échantillon aléatoire de $500$ malades auxquels on prescrit ce médicament. On constate
que $325$ sont guéris au bout d'un mois.

Un intervalle de confiance au niveau $0,95$ de la proportion de patients guéris au bout
d'un mois est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} [0,305~;~0,395] &\textbf{b.~~} [0,32~;~0,33] &\textbf{c.~~} \fbox{[0,605~;~0,695]} &\textbf{d.~~}  [0,648~;~0,652]
\end{tabularx}
%\medskip

\begin{quote}
L'intervalle de fluctuation au niveau $0,95$ est donné par $\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$ dans lequel $n=500$ est la taille de l'échantillon, et $f = \dfrac{325}{500} = 0,65$ est la fréquence observée dans cet échantillon.

On trouve donc environ $\cd 0,605\,;\,0,695\cg$.
\end{quote}

\item  Dans le laboratoire précédent, le nombre minimal de patients à interroger pour obtenir
un intervalle de confiance de longueur inférieure ou égale à $0,01$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}200 &\textbf{b.~~}\fbox{\np{40000}} &\textbf{c.~~} \np{4000} &\textbf{d.~~} \np{1000}
\end{tabularx}
%\medskip

\begin{quote}
L'intervalle de confiance a une longueur égale à $\left (f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ) - \left (f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ) = \dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

On cherche donc $n$ pour que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,01$ soit $200 \pp \sqrt{n}$ ou encore $n\pg \np{40000}$.
\end{quote}

\item  On admet que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
$f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$ est dérivable sur cet intervalle. 

Si on note $f'$ sa fonction dérivée, alors pour tout réel $x$ de
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$ &\textbf{b.~~}$f'(x) = \dfrac{\ln (x) - 1}{x^2}$
&\textbf{c.~~} \fbox{$f'(x) = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2}$}
&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{1}{x}$
\end{tabularx}
%\medskip

\begin{quote}
Dérivée d'un quotient de fonctions dérivables: $f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x - \ln(x)\times 1}{x^2} = \dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$
\end{quote}


\item  Deux collègues communiquent régulièrement par vidéoconférence. On suppose que la
durée d'une communication entre ces deux personnes, exprimée en minutes, suit la loi
uniforme sur l'intervalle [0~;~120].

Sachant que la communication dure depuis 30 minutes, la probabilité que la durée de la
communication ne dépasse pas 90 minutes est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{3}$ & \textbf{b.~~}$\dfrac{1}{2}$&\textbf{c.~~}\fbox{$\dfrac{2}{3}$} &\textbf{d.~~} ~
$\dfrac{3}{4}$
\end{tabularx}


\begin{quote}
Si la variable aléatoire $T$ modélise la durée de communication, la probabilité cherchée est:\\
$P_{(T\pg 30)}(T\pp 90) = \dfrac{P\left ((T\pp 90) \cap (T\pg 30)\rule{0pt}{10pt}\right )}{P(T\pg 30)}
= \dfrac{P(30\pp T\pp 90) }{P(30 \pp T\pp 120)}
= \dfrac{\frac{90-30}{120-0}}{\frac{120-30}{120-0}}
=\dfrac{60}{90}
= \dfrac{2}{3}$
\end{quote}
\end{enumerate}

\vspace*{-0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cette étude porte sur l'utilisation principale des véhicules du parc automobile français.

%Les réponses seront arrondies au dix-millième.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les véhicules de la région parisienne représentent 16\,\% du parc automobile français en
2015.

22\,\% des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet
entre le domicile et le travail, 34\,\% pour les loisirs.

En province, 49\,\% des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le
domicile et le travail, 31\,\% pour les loisirs.

On choisit un véhicule au hasard dans le parc automobile français.

\smallskip

On note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement : \og le véhicule provient de la région parisienne \fg,
\item[$\bullet~~$] $\overline{R}$ l'évènement : \og le véhicule provient de la province \fg,
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement : \og le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail \fg,
\item[$\bullet~~$] $L$ l'évènement : \og le véhicule est utilisé principalement pour les loisirs \fg,
\item[$\bullet~~$] $F$ l'évènement : \og le véhicule est utilisé principalement pour d'autres fonctions
que le travail ou les loisirs\fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

%On rappelle que, si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ et $p_B(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente la situation par un arbre de probabilité.

\begin{center}
\bigskip
{%\small
\psset{treesep=.5cm,levelsep=4cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=5mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\naput{$0,16$}}
	                        {
	                        \TR{$T$}\naput{$0,22$}
			                \TR{$L$}\naput{$0,34$}
		                    \TR{$F$} \nbput{\red $1-0,22-0,34=0,44$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{\red $1-0,16=0,84$}}
                            {
	                        \TR{$T$}\naput{$0,49$}
	                        \TR{$L$}\naput{$0,31$}
	                        \TR{$F$} \nbput{\red $1-0,49-0,31=0,20$}
	                        }
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}


\item  La probabilité qu'un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est, d'après la formule des probabilités totales:

$p(T) = p(R\cap T) + p\left(\overline{R} \cap T\right) = p(R)\times p_{R}(T) + p\left(\overline R\right)\times p_{\overline R}(T) 
= 0,16\times 0,22 + 0,84\times 0,49=\np{0,4468}$

\item  Madame Dupont et Monsieur Durand ont une conversation sur l'utilisation de leur véhicule. Madame Dupont dit utiliser principalement sa voiture pour les loisirs, Monsieur Durand principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Pour savoir qui de Madame Dupont ou de Monsieur Durand a la plus grande probabilité d'habiter la région parisienne, il faut comparer $p_{L}(R)$ (probabilité qu'a Madame Dupont d'habiter la région parisienne) à $p_{T}(R)$ (probabilité qu'a Monsieur Durand d'habiter la région parisienne).

On calcule $p(L) = p(R\cap L) + p\left(\overline{R}\cap L\right) = 0,16\times 0,34+0,84\times 0,31 = \np{0,3148}$

Pour madame Dupont: $p_{L}(R) = \dfrac{p(R\cap L)}{p(L)} = \dfrac{0,16\times 0,34}{\np{0,3148}} = \dfrac{\np{0,0544}}{\np{0,3148}} \approx \np{0,1728}$.

Pour monsieur Durand: $p_{T}(R) = \dfrac{p(R\cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,16\times 0,22}{\np{0,4468}} = \dfrac{\np{0,0352}}{\np{0,4468}}\approx \np{0,0788}$

C'est donc Madame Dupont qui a la plus grande probabilité d'habiter dans la région parisienne.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On sélectionne un échantillon aléatoire de 10 véhicules du parc automobile français. On note $X$ la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Préciser la loi de probabilité de $X$ ainsi que ses paramètres.
Le nombre de véhicules utilisés principalement pour le travail peut être assimilé à un tirage aléatoire avec remise parmi 10 véhicules, la probabilité d'être utilisé pour le travail étant $p(T)=\np{0,4468}$; la variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\np{0,4468}$. 

\item La probabilité qu'exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est $p(X=2)$:

$p(X=2)=\ds\binom{10}{2} \times \np{0,4468}^{2} \times (1-\np{0,4468})^{10-2}\approx \np{0,0788} $

\item La probabilité qu'au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est $p(X\pg 1)$:

$p(X\pg 1) = 1-p(X=0) = 1 - \ds\binom{10}{0} \times \np{0,4468}^0 \times (1-\np{0,4468})^{10} \approx \np{0,9973}$

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution du parc automobile de la région parisienne. On considère qu'en 2018 le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne suivra la loi normale de moyenne $50$ et d'écart type $4$.

\smallskip

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de milliers de véhicules nouvellement
enregistrés en 2018 en région parisienne. Les résultats sont calculés à la calculatrice.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre \np{42000} et \np{58000} est $p(42 \pp Y \pp 58) \approx \np{0,9545}$.

\item Pour ne pas avoir de délais d'enregistrement trop longs, le nombre de dossiers doit être inférieur à \np{55000}. 

La probabilité que les délais d'enregistrement ne soient pas trop longs en 2018 est
$p(Y<55)\approx \np{0,8944}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip


On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015. 

Le tableau suivant indique, pour chaque année de 2011 à 2015, le nombre d'abonnés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2011 		&2012 			&2013 			&2014 		&2015\\ \hline
Nombre d'abonnés 			&\np{620214}&\np{610156} 	&\np{575038} 	&\np{578282}&\np{555239}\\ \hline
Taux d'évolution annuel 	&			&$- 1,62$\,\% 	&$- 5,76$\,\% 	&$0,56$\,\% &$- 3,98$\,\%\\ \hline
Taux d'évolution par rapport
 à l'année 2011				&			&$- 1,62$\,\%	&$- 7,28$\,\% 	&$- 6,76$\,\% 	&$- 10,48$\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013 est donné par:

\hfill{}$\dfrac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}} 
= \dfrac{\np{575038} - \np{610156}}{\np{610156}} \approx \np{- 0,057555}$ soit environ - 5,76\,\% \hfill{}

\item  Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de $-2,73$\,\%.

\begin{list}{\textbullet}{Deux façons de justifier ce taux.}
\item En vérifiant: on applique une baisse de $2,73\,\%$ par an en partant de l'année 2011. 

Baisser de $2,73\,\%$, c'est multiplier par $1-\dfrac{2,73}{100} = 0,9727$.

Baisser de $2,73\,\%$ pendant 4 ans, c'est multiplier par $0,9727^4$.

Le nombre d'abonnés en 2011 est de \np{620214}; avec cette baisse sur 4 ans, il serait de
 
$\np{620214} \times 0,9727^{4} \approx \np{555210}$ qui est proche de la valeur donnée pour 2015: \np{555239}.

\item En calculant ce taux moyen qu'on appelle $t_m$.

On passe de l'année 2011 à l'année 2015 en multipliant par $\left(1 + t_m\right)^4$.

Le coefficient multiplicateur pour passer de 2011 à 2015 est $\dfrac{\np{555239}}{\np{620214}}$.

On doit donc avoir $\left(1+t_m\right)^4 = \dfrac{\np{555239}}{\np{620214}}$ donc $1+t_m = \left ( \dfrac{\np{555239}}{\np{620214}}\right )^{\frac{1}{4}}$ et donc \\
$t_m= \left ( \dfrac{\np{555239}}{\np{620214}}\right )^{\frac{1}{4}} -1
\approx -0,0273$ qui correspond bien à un pourcentage de $- 2,73\,\%$. 

\end{list}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin d'étudier cette évolution, on suppose qu'à l'avenir, tous les ans, 10\,\% des abonnés ne
renouvellent pas leur abonnement à ce quotidien mais que l'on compte $52$ milliers de
nouveaux abonnés.

En 2011, le nombre d'abonnés est égal, après arrondi, à $620$ milliers.

On s'intéresse, pour tout entier naturel $n$, au nombre d'abonnés, en milliers, pour l'année
$(2011 + n)$.

On note $u_n$ le nombre d'abonnés en milliers pour l'année $(2011 + n)$.

On fixe donc $u_0 = 620$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer le nombre d'abonnés en 2012 suivant ce modèle.
Perdre 10\,\%, c'est multiplier par $0,9$; $620\times 0,9 = 558$.
On rajoute 52 milliers de nouveaux abonnés, donc il y aura $558 + 52= 610$ milliers d'abonnés en 2012.

\item% Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 0,9u_n + 52$.
Il y a $u_n$ milliers d'abonnés en $(2011+n)$; pour passer à l'année suivante, on en retire 10\,\% donc on arrive à $0,9 u_n$, puis on en ajoute 52 milliers donc $u_{n+1} = 0,9u_n+52$, pour tout $n$.

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 520$. On a donc $u_n=v_n+520$.

	\begin{enumerate}
	
		\item% Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1}-520 = 0,9 u_n +52 - 520 = 0,9\left ( v_n+520 \right ) - 468 = 0,9 v_n + 468 - 468 = 0,9v_n$
\item $v_0 = u_0 - 520 = 620 - 520 = 100$
\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=100$.	
				
		\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=100$ donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n = v_0\times q^n = 100\times 0,9^n$.			
				
		\item Pour tout entier naturel $n$, $u_n=v_n+520$ ; or $v_n = 100\times 0,9^n$ donc  $u_n = 100 \times 0,9^n + 520$.

	\end{enumerate}
\item Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d'abonnés est
inférieur à $540$ milliers.
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'algorithme suivant afin d'afficher l'année à partir de laquelle
le quotidien sera en difficulté financière:
		
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|m{2.5cm}|X|}\hline
\textbf{Variables}		& $N$ un nombre entier naturel non nul\\
						&$U$ un nombre réel\\ \hline
\textbf{Initialisation}	& Affecter à $U$ la valeur 620\\
						&Affecter à $N$ la valeur $0$\\ \hline
\textbf{Traitement} 	&Tant que {\red $U \pg 540$}\\
						&\qquad Affecter à $U$ la valeur {\red $0,9 \times U + 52$}\\ 
						&\qquad Affecter à $N$ la valeur {\red $N+1$}\\ 
						&Fin Tant que\\ \hline
\textbf{Sortie} 		&Afficher {\red $N$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item  On résout  l'inéquation $u_n \leqslant 540$:
		
$u_n \leqslant 540 \iff 100\times 0,9^n +520 \pp 540 \iff 100\times 0,9^n \pp 20 
\iff 0,9^n \pp 0,2 \\
\phantom{u_n \leqslant 540}
\iff \ln\left ( 0,9^n\right ) \pp \ln(0,2)
\iff n \ln(0,9) \pp \ln (0,2)
\iff n \pg \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,9)}$
		
		\item%  Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.
Le quotidien est en difficulté financière quand $u_n < 540$ donc quand $n	> \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,9)}$.	
		
Or $\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,9)\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\approx 15,3$ donc c'est au bout de 16 ans que 	le quotidien sera en difficulté financière, c'est-à-dire à partir de l'année $2011+16 = 2027$.	
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une
fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~8]$. On note $f'$ sa dérivée.

A est le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $-2$.
B est le point de $\mathcal{C}_f$ de coordonnées (0~;~3).
La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A est horizontale.
La droite $T$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B d'abscisse 0 et elle passe par le point D(1~;~ 1).

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.75)(8.5,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridcolor=gray](-3.5,0)(8.5,9)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.5,0)(8.5,8.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](8.4,0){$x$}\uput[r](0,8.9){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{8}{x 3 add 2.71828 x exp div}
\uput[u](3.5,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots(-2,7.389)(1,1)(0,3)
\uput[u](-2,7.389){A}\uput[ur](0,3){B}\uput[dl](1,1){D}
\psplot{-2.8}{1.7}{3 2 x mul sub}
\psline(-3.2,7.389)(8.2,7.389)
\end{pspicture*}

\end{center}
%\medskip
%
%À l'aide du graphique :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'( - 2)=f'(x_{\text{A}}) = 0$ car la tangente au point A est horizontale..
\item $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente en B à la courbe $\mathcal{C}_f$. Cette tangente est la droite (BD) donc a pour coefficient directeur $\dfrac{y_{\text D}-y_{\text B}}{x_{\text D}-x_{\text B}} = \dfrac{1 - 3}{1-0}=-2$; donc $f'(0)=-2$.
\item% La fonction $f$ est-elle convexe sur $[-2~;~2]$ ?
En $x=-2$ la tangente est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ donc la fonction $f$ n'est pas convexe sur $\cd -2\,;\,2\cg$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet désormais que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\cd -3~;~8\cg$ par 
$f(x) = (x + 3)\text{e}^{- x}$.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|m{1.cm}|X|}\hline
\multirow{2}{1.cm}{1}&dériver $(x + 3) * \text{exp}( -x)$\\ \cline{2-2}
&\multicolumn{1}{r|}{$\text{exp}( -x) + (x + 3) * (- \text{exp}( -x))$} \\ \hline

\multirow{2}{1.cm}{2}& factoriser $(\text{dériver}(x + 3) * \text{exp} ( -x))$\\  \cline{2-2}
&\multicolumn{1}{r|}{$(- x - 2) * \text{exp}( -x)$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Étudier le signe de la dérivée de la fonction $f$.
D'après le logiciel de calcul formel, $f'(x)=(-x-2)\e^{-x}$; or, pour tout $x$, $\e^{-x}>0$, $f'(x)$ est du signe de $-x-2$.

\begin{tabular}{@{} l @{ } l}
Donc & $f'(x)>0$ sur $\cd -3\,;\,-2\cd$;\\
 & $f'(-2)=0$;\\
 & $f'(x)<0$ sur $\cg -2\,;\,8\cg$.
\end{tabular} 


\item $f(-3) = 0$, $f(-2)=\e^{2}\approx 7,39$ et $f(8)=11\e^{-8} \approx \np{0,0037}$

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd - 3~;~8\cg$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{15pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & -3  & \esp & -2 & \esp & 8 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\e^{2}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{11\e^{-8}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3~;~-2]$.
$f(0)=0<3$ et $f(-2) = \e^{2}>3$; on complète le tableau de variations de $f$ entre $-3$ et $-2$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{15pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}\hline
x & -3  & \esp & -2 & \esp & 8 \\ \hline
 & &  &   \Rnode{max}{\e^{2}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{11\e^{-8}} \rule{0pt}{\hauteur}    
\ncline{->}{min1}{max} 
\ncline{->}{max}{min2} 
\def\gau{-6.1}
\rput*(\gau,0.9){\Rnode{zero}{\red 3}}
\rput(\gau,2){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted,linecolor=red]{alpha}{zero}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}		
		
On déduit de ce tableau de variations que l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution sur l'intervalle $\cd -3\,;\,-2\cg$.
		
		\item% Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près.
On cherche un encadrement de $\alpha$:

$\left.
\begin{array}{l}
f(-2,9) \approx 1,82<3\\
f(-2,8) \approx 3,21>3
\end{array}
\right\rbrace
\implies \alpha \in \cd -2,9\,;\,-2,8\cg$
\hfill
$\left.
\begin{array}{l}
f(-2,83) \approx 2,88<3\\
f(-2,82) \approx 3,02>3
\end{array}
\right\rbrace
\implies$

$ \alpha \in \cd -2,83\,;\,-2,82\cg$

Donc $-2,83$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $0,01$ près.

	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\cd - 3~;~8\cg$ par :
$F(x) = (-x - 4)\e^{- x}$.
		
$F'(x)=(-1)\e^{-x} + (-x-4)(-1)\e^{-x} = (-1 +x+4)\e^{-x} = (x+3)\e^{-x} = f(x)$ donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\cd - 3~;~8\cg$.

		\item $\ds\int_0^3 f(x)\d x = F(3) - F(0) = \left [-7\e^{-3} \rule{0pt}{10pt}\right ] - \left [ -4\e^{0} \rule{0pt}{10pt}\right ] = 4-7\e^{-3}$

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}