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%Tapuscrit de Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Nouvelle Calédonie novembre 2007},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie  
~\decofourright\\[4pt]novembre 2007} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, strictement croissante sur l'intervalle ]0~;~2] et strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
% 
%La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé est tracée ci-dessous.
%
%Elle passe par les points A$\left(\dfrac{1}{2}~;~-2\right)$, B(1 ; 0), C(2 ; 1) et D$\left(\dfrac{7}{2}~;~0\right)$.
%
%\medskip
% 
%\parbox{0.5\linewidth}{E est le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.
%
%La courbe $\Gamma$  admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
%
%La droite (AE) est tangente à la courbe $\Gamma$  au point A.}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture*}(-0.75,-4.5)(6.5,4)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-4.5)(6.5,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-4.5)(6.5,4)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.14285}{1.3571}{7 x mul 5.5 sub}
%\pscurve(0.2,-4.5)(0.5,-2)(1,0)(1.5,0.75)(2,1)(2.5,0.8)(3,0.44)(3.5,0)(4,-0.5)(5,-1.9)(6,-3.5)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.5,-2)(1,0)(1,1.5)(2,1)(3.5,0)
%\uput[dl](0,0){O} \uput[r](0.5,-2){A} \uput[u](1,0){B} \uput[u](2,1){C} \uput[ur](3.5,0){D} \uput[ul](1,1.5){E}
%\psline{<->}(1,1)(3,1) \uput[ur](5,-2){$\Gamma$}
%\end{pspicture*}} 

%\medskip
% 
%Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'annexe, à rendre avec la copie.
%
%Les réponses ne seront pas justifiées.
%
%NOTATION :  \emph{une réponse exacte rapporte $0,5$ point; une réponse inexacte retire $0,25$ point; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %L'équation $f(x)= -1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$
V : la droite d'équation $y = - 1$ coupe la courbe $\Gamma$ en deux points.
\item  %Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1}{7}$.
F : Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1,5 - (- 2)}{1 - 0,5} = \dfrac{3,5}{0,5} = 7$.
\item  %Les fonctions $f$ et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle  [1 ; 2].
V : sur [1~;~2], $f$ est croissante et positive donc $f$ et $f'$ sont toutes les deux positives. 
\item  %Les primitives de la fonction $f$ sont croissantes sur l'intervalle $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$.
V : Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F'(x) = f(x)  \geqslant 0$ sur  $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$, donc $F$ est croissante sur cet intervalle.
\item  %On peut calculer $\ln [f(x)]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
F : Sur ]0~;~1[, $f(x) < 0$, donc $\ln [f(x)]$ n'existe pas.
\item %La fonction $g$ définie sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ par $g(x) =  \text{e}^{f(x)}$ est croissante sur cet intervalle.
F :Sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ la fonction exponentielle est croissante et la fonction $f$ est décroissante, donc par composition la fonction $\text{e}^{f(x)}$  est décroissante.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Un club sportif a été créé au début de l'année 2000 et, au cours de cette année-là, 140 adhérents s'y sont inscrits.
%
%Le tableau cl-dessous donne le nombre d'adhérents de 2000 à 2005.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3,4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%année						& 2000	&2001	&2002	&2003	&2004	&2005\\ \hline
%rang de l'année $x_{i}$	&0		&1		&2 		&3		&4		&5\\ \hline
%nombre	d'adhérents $y_{i}$	&140	&165	&220	&240	&260	&310\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%	
%\emph{Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n'est pas demandé.}

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter dans un repère orthogonal \Oij{} le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique.

%On prendra comme unités graphiques 2~cm pour 1 année en abscisse et 1~cm pour 10 adhérents en ordonnées. Sur l'axe des ordonnées, on commencera la graduation à 120.
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(5.5,200)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=120,Dy=40]{->}(0,0)(0,0)(5.5,200)
\psdots(0,20)(1,45)(2,100)(3,120)(4,140)(5,190)
\psdots[linecolor=cyan](1,55)(4,150)
\uput[ul](1,55){\cyan G$_1$} \uput[ul](4,150){\cyan G$_2$}
\uput[u](5,0){rang de l'année}\uput[r](0,195){nombre d'adhérents}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{5}{95 x mul 3 div 430 3 div add 120 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\item Un premier ajustement du nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$
	\begin{enumerate}
		\item  %On désigne par G$_{1}$, le point moyen des trois points M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ du nuage et par G$_{2}$ le point moyen des trois points M$_{4}$, M$_{5}$ et M$_{6}$ du nuage. Calculer les coordonnées respectives de G$_{1}$ et de G$_{2}$ dans le repère \Oij.
On a G$_1(1~;~175)$ et G$_2(4~;~270)$.		
		\item  %Déterminer l'équation réduite $y = Ax +B$ de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) dans le repère \Oij.
		
Les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$ vérifient l'équation $y = Ax + B$ soit :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
175&=&A + B\\
270&=&4A + B
\end{array}\right. \Rightarrow 95 = 3A \iff A = \dfrac{95}{3}$, puis 

$B = 175 - A = 175  - \dfrac{95}{3} = \dfrac{525 - 95}{3} = \dfrac{430}{3}$.		

%Les coefficients A et B seront donnés sous la forme de fractions irréductibles.
L'équation réduite  de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) est donc $y = \dfrac{95}{3}x + \dfrac{430}{3}$.
%Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique.
		\item %En utilisant la droite (G$_{1}$G$_{2}$) comme droite d'ajustement du nuage, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.
		2007 correspond au rang $x = 7$, d'où $y = \dfrac{95}{3}\times 7  + \dfrac{430}{3} = \dfrac{665}{3} + \dfrac{430}{3} = \dfrac{\np{1095}}{3} = 365$~adhérents.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on utilise la droite des moindres carrés,
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $\Delta$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\Delta$ dans le repère \Oij.
La calculatrice donne $y = 33x + 140$.
		\item  %En utilisant la droite $\Delta$, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.
Pour $x = 7$, on obtient $y = 33 \times 7 + 140 = 231 + 140 = 371$~adhérents.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Si le taux d'augmentation du nombre d'adhérents d'une année à l'autre était fixe et égal à $t$\,\%, quelle serait la valeur de $t$ arrondie au centième qui donnerait la même augmentation du nombre d'adhérents entre 2000 et 2005 ?
Augmenter chaque année de $\dfrac{t}{100}$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; $t$ vérifie donc :

$140 \times \left( 1 + \dfrac{t}{100}\right)^5 = 310 \iff \left( 1 + \dfrac{t}{100}\right)^5 = \dfrac{310}{140} \iff  1 + \dfrac{t}{100} = \left( \frac{310}{140}\right)^{\frac{1}{5}}$.

Or $\left( \frac{310}{140}\right)^{\frac{1}{5}} \approx \np{1,17232}$.

Donc au centième près le taux moyen d'augmentation  sur les cinq années est environ de 17,23\,\%.
		\item %Avec ce même taux d'augmentation $t$, quel serait le nombre d'adhérents, arrondi à l'unité, pour l'année 2007 ?
		En continuant avec ce taux d'augmentation le nombre d'adhérents en 2007 sera environ de :
		
$310 \times 1\np{1,1723}^2 \approx 426$.

Avec une augmentation moyenne annuelle de 17,23\,\% on peut espérer avoir en 2007, 426 adhérents.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{Sur le graphe ci-contre, les sept sommets A, B,
%C, D, E, F et G correspondent à sept villes. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une liaison entre les deux villes correspondantes.}\hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,5)
%%\psgrid
%\psline(0.5,3)(2,4)(2.8,0.3)(3.8,3)(3.8,1.7)(0,1.7)(2,4)%ABECDGB
%\psline(0.5,3)(3.8,3)%AC
%\psline(2,4)(3.8,1.7)%BD
%\psline(3.8,1.7)(0.7,0.3)(2.8,0.3)%DFE
%\uput[ul](0.5,3){A} \uput[u](2,4){B} \uput[ur](3.8,3){C} \uput[r](3.8,1.7){D} 
%\uput[dr](2.8,0.3){E} \uput[d](0.7,0.3){F} \uput[l](0,1.7){G} 
%\end{pspicture}}
%
%\emph{Les questions $1,~2$ et $3$ sont indépendantes.}
%
\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d'une des sept villes et y revient en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes ?
Oui par exemple : A -- B -- G  -- D -- F -- E -- C -- A.
\item  %On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l'ordre alphabétique.

%On donne M$^3 =\begin{pmatrix}
%0	& 7 &6	& 1 &0 	&4 	&2\\
%7 	&2 	&1	&10	&9	&1 	&5\\
%6	&1	&0	&9	&8	&0	&3\\
%1	&10	&9	&2	&1	&7	&5\\
%0	&9	&8	&1	&0	&6	&3\\
%4	&1	&0	&7	&6	&0	&2\\
%2 	&	5&3 &5	&3 	&2	&2\\
%\end{pmatrix}$

%Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F.

%Les citer tous. Aucune justification n'est demandée.
Le nombre de chemins longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F est le nombre situé sur la première ligne et la sixième colonne soit 4 : A-- B-- D-- F ; A--B--E--F ; A--C--D--F et A--C--E--F.
%\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{3.}  On donne ci-dessous et sur le graphe ci-contre les distances exprimées en centaines de kilomètres entre
%deux villes pour lesquelles il existe une liaison :
%
%AB : 5 ; AC : 7 ;
%
%BD : 8 ; BE: 15 ;
%
%BG : 6 ;CD : 10 ;
%
%CE : 15 ; DF : 20 ;
%
%DG : 10 ; EF : 5 ;
%
%Un représentant de commerce souhaite aller	de la ville A à la ville F.} \hfill
%\parbox{0.38\linewidth}{ \begin{pspicture}(4,5)
%%\psgrid
%\psline(0.5,3)(2,4)(2.8,0.3)(3.8,3)(3.8,1.7)(0,1.7)(2,4)%ABECDGB
%\psline(0.5,3)(3.8,3)%AC
%\psline(2,4)(3.8,1.7)%BD
%\psline(3.8,1.7)(0.7,0.3)(2.8,0.3)%DFE
%\uput[ul](0.5,3){A} \uput[u](2,4){B} \uput[ur](3.8,3){C} \uput[r](3.8,1.7){D} 
%\uput[dr](2.8,0.3){E} \uput[d](0.7,0.3){F} \uput[l](0,1.7){G}
%\rput(1.2,3.7){5}  \rput(1.6,3.2){7}  \rput(3.1,2.85){8}  \rput(0.6,2.6){6}  \rput(4,2.4){10}  
%\rput(2.2,2.2){15}  \rput(1.2,1.9){10}  \rput(3.2,0.9){15}  \rput(1.5,0.9){20}  \rput(1.8,0.5){5}  
%\end{pspicture}}
%\medskip
%
%En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu'il doit suivre pour que la distance parcourue soit la plus courte possible et donner cette distance.
On utilise l'algorithme de Dijkstra :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{2cm}|}\hline
A	&B		&C&D&E&F& G&Sommet sélectionné\\ \hline
0	&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&A (0) \\ \hline
&A 5&A 7	&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&B \\ \hline
&	&A 7	&B 13	&B 20	&$\infty$&B 11	&C \\ \hline
&	&		&B 13	&B 20	&$\infty$&B 11	&G \\ \hline
&	&		&B 13	&B 20	&$\infty$&		&D \\ \hline
&	&		&		&B 20	&D 33	&		&E \\ \hline
&	&		&		&		&E 25	&		&F \\ \hline
\end{tabularx}

On remonte les sommets F--E--B--A, donc le trajet le plus court est A--B--E--F dont la longueur est 25 centaines de km soit \np{2500}~km.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

%Une étude réalisée auprès des élèves d'un lycée a permis d'établir que 55\,\% des élèves possèdent un ordinateur. Parmi les élèves qui ont un ordinateur, 98\,\% possèdent un téléphone portable.
%
%De plus, parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60\,\% possèdent un ordinateur.
%
%Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au centième donc les pourcentages à l'unité.
%
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}
% 
%\medskip
% 
%\textbf{Partie A :} on choisit au hasard un élève de ce lycée.\\
%On note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  M l'évènement : \og L'élève possède un ordinateur \fg{} ;
%\item  T l'évènement : \og L'élève possède un téléphone portable \fg{} ;
%\item  $\overline{\text{M}}$ l'évènement contraire de M ;
%\item  $\overline{\text{T}}$ l'évènement contraire de T.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que l'élève possède un ordinateur et un téléphone portable.
Il faut trouver :

$p(M \cap T) = p(M) \times p_{M}(T) = 0,55 \times 0,98 = 0,539$.
		\item %En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable.
Parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60\,\% possèdent un ordinateur, donc on a $p_{T}(M) = 0,6$.

Mais  :

$p_{T}(M) = \dfrac{p(M \cap T)}{p(T)}$.

On a donc 	$p(T) = \dfrac{p(M \cap T)}{p_{T}(M)} = \dfrac{0,54}{0,6} = 0,9$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %On prend $0,90$ comme valeur de la probabilité de l'évènement T.
%Calculer la probabilité que l'élève ne possède pas d'ordinateur mais possède un téléphone portable.

D'après la loi des probabilités totales  :

$p(T) = p(M \cap T) + p\left(\overline{M} \cap T\right)$ ou encore 
$p\left(\overline{M} \cap T\right) = p(T) - p(M \cap T) = 0,9 - 0,54 = 0,36$.

		\item  %En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable sachant qu'il ne possède pas d'ordinateur.
On a $p_{\overline{M}}(T) = \dfrac{p\left(T \cap \overline{M} \right)}{p\left(\overline{M}\right)} = \dfrac{p\left(T \cap \overline{M} \right)}{1 - p(M)} = \dfrac{0,36}{1 - 0,55} = \dfrac{0,36}{0,45} = \dfrac{36}{45} = \dfrac{4}{5} = 0,8$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B :} %%on choisit trois élèves au hasard, indépendamment les uns des autres.

%On note E l'évènement : \og Exactement deux des trois lycéens choisis possèdent un ordinateur \fg.

%Calculer la probabilité de l'évènement E.
La loi associée au nombre d'ordinateurs possédés par les élèves est une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = p(M) = 0,55$.

La  probabilité de l'évènement E est égale à $3 \times 0,55^2 (1 - 0,55) = \np{0,408375} \approx 0,41$.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur R par
% 
%\[h(x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^{x} +6.\]
%
%On note $h'$ sa fonction dérivée.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{x} =0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{2x} = 0$, d'où par somme de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = 6$.
		\item  %Calculer la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$ ; on pourra utiliser l'égalité vraie pour tout réel $x\::\: h(x) = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} -  7 + 6\text{e}^{-x}\right)$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x} = + \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x}\text{e}^x = + \infty$, d'où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item  %Calculer $h\left[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right],~ h(0)$ puis $h(\ln 6)$.
$\bullet~~$$h\left[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right] = \text{e}^{2\times \ln\left(\frac{7}{2}\right)} - 7\text{e}^{\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)} + 6 = \text{e}^{\frac{49}{4}} - 7\text{e}^{\ln \frac{7}{2}} + 6 = \frac{49}{4} - 7 \times \frac{7}{2} + 6 = \frac{49  - 98 + 24}{4}= - \frac{25}{4}$.

$\bullet~~$$h(0) = 1 - 7 + 6 = 0$ ;

$\bullet~~$$h(\ln 6) = \text{e}^{2\ln 6} - 7 \text{e}^{\ln 6} + 6 = \text{e}^{\ln 36} - 7 \text{e}^{\ln 6} + 6 = 36 - 42 + 6 = 0$.
\item %Déterminer par le calcul l'image $h'(x)$ d'un réel $x$ par la fonction $h'$ et étudier les variations de la fonction $h$.

%Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau.
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$h'(x) = 2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^{x} = \text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x} - 7 \right)$.

Comme $\text{e}^{x} > 0$ quel que soit le réel $x$, $h'(x) $ a le signe de $2\text{e}^{x} - 7$.

$\bullet~~$$h'(x) > 0 \iff 2\text{e}^{x} - 7 > 0 \iff 2\text{e}^{x}  > 7 \iff \text{e}^{x} > \frac{7}{2} \iff x > \ln \frac{7}{2}$ : la fonction $h$ est croissante sur $\left]\ln \frac{7}{2}~;~+ \infty\right[$ de $- \dfrac{25}{4}$ à plus l'infini. De même :

$\bullet~~$$h'(x) < 0 \iff 2\text{e}^{x} - 7 < 0 \iff 2\text{e}^{x}  < 7 \iff \text{e}^{x} < \frac{7}{2} \iff x < \ln \frac{7}{2}$ : la fonction $h$ est décroissante sur $\left]- \infty~;~\ln \frac{7}{2}\right[$ de 6 à $- \dfrac{25}{4}$.

$\bullet~~$$h'(x) = 0 \iff 2\text{e}^{x} - 7 = 0 \iff x = \ln \frac{7}{2}$. $h\left[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right] = - \frac{25}{4}$ est le minimum de $h$ sur $\R$.
\item %En déduire le tableau des signes de la fonction $h$.
La fonction s'annulant en $0$ et en $\ln 6$, on en déduit que $h(x) \geqslant 0$, sauf sur l'intervalle $]0~;~\ln 6[$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par
% 
%\[f(x) = 6 - 6\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad g(x)= \text{e}^{x} - 1. \]
%
%On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère du plan d'unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
%
%Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données en annexe.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le point de coordonnées $(\ln 6~;~ 5)$ est un point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
$f(\ln 6) = 6 - 6\text{e}^{- \ln 6} = 6 - 6 \times \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 6}} = 6 - 6 \dfrac{1}{6} = 6 - 1 = 5$ ;

$g(\ln 6) = \text{e}^{\ln 6} - 1 = 6 - 1 = 5$.

Ceci montre que le point de coordonnées $(\ln 6~;~ 5)$ est un point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que, pour tout réel $x,~ f(x) - g(x) = \dfrac{- h(x)}{\text{e}^{x}}$.
$f(x) - g(x) = 6 - 6\text{e}^{-x} - \left[\text{e}^{x} - 1  \right] = 7 - 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x} = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}}\left(7 - 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x} \right) = \dfrac{\text{e}^{x}\left(7 - 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x} \right)}{\text{e}^{x}} = \dfrac{7\text{e}^{x} - 6 - \text{e}^{2x}}{\text{e}^{x}} = \dfrac{- h(x)}{\text{e}^{x}}$
		\item  %Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
$f(x) - g(x)$ a donc le signe de $h(x)$, donc :

$f(x) - g(x) > 0 \iff f(x) > g(x)$ qui signifie que $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{g}$, sauf sur l'intervalle $]0~;~\ln 6[$ où c'est le contraire.		
	\end{enumerate}
\item 	%On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par les courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln 6$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe.
Voir le graphique.
		\item  %Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$ puis en donner une valeur approchée arrondie au centième.
On a vu que sur $[0~;~\ln 6]$, $\mathcal{C}_{g}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{f}$. L'aire du domaine $\mathcal{D}$ en unités d'aire est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_0^{\ln 6} [g(x) - f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\ln 6} \left[7 - 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x}  \right]\:\text{d}x = \left[7x + 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x}  \right]_0^{\ln 6} = 7\ln 6 + 6\text{e}^{-\ln 6} - \text{e}^{\ln 6} - \left[7\times 0 + 6\text{e}^{-0} - \text{e}^{0} \right] = 7\ln 6 + 1 - 6 - 6  + 1 = 2 + 7\ln 6 - 10$~unités d'aire.

Or 1 unité d'aire vaut $2 \times 1 = 2$~cm$^2$.

Donc l'aire du domaine $\mathcal{D}$ est égale à $14\ln 6 - 20$~cm$^2$, soit environ 5,084~cm$^2$, soit finalement environ 5,08~cm$^2$ au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\bigskip

\textbf{À compléter et à rendre avec la copie}

%\medskip
%
%\textbf{Exercice 1}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|X|} \hline
%\multicolumn{1}{|c|}{Affirmation}&	V&F\\ \hline
%\textbf{1.}  L'équation $f(x)= -1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.&\rule[2mm]{0mm}{3mm}&\\ \hline
%\textbf{2.}  Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1}{7}$.&&\rule[1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline
%\textbf{3.}  Les fonctions $f$ et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle 
%[1 ; 2].&& \\ \hline
%\textbf{4.} \rule[2mm]{0mm}{3mm} Les primitives de la fonction $f$ sont croissantes sur l'intervalle $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$.&&\\ \hline
%\textbf{5.}  On peut calculer $\ln [f(x)]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.&&\\ \hline
%\rule[2mm]{0mm}{3mm} \textbf{6.}	La fonction $g$ définie sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ par $g(x) =  \text{e}^{f(x)}$ est croissante sur cet intervalle.&&\\ \hline
%\end{tabularx}

\vspace{1,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\bigskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-2)(4,6.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(4,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.28}{3.5}{6 6 2.71828 x exp div sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{1.95}{2.71828 x exp 1 sub}
\uput[dr](0,0){O} \uput[d](3.5,5.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[r](2,6){\red $\mathcal{C}_{g}$} 
\pscustom[fillstyle=vlines]
{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{1.79176}{2.71828 x exp 1 sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.79176}{0}{6 6 2.71828 x exp div sub}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}