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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Thierry Petit
%Corrigé par Nathalie DEFLORAINE
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-node,pst-func}% pst-func pour les courbes de distribution normale
\everymath{\displaystyle}
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Polynésie - 10 juin  2016},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin  2016}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat ES Polynésie  10 juin  2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip

%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

%\medskip

%On s'intéresse à l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandes banques.

%Une étude montre que 42\,\% des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Karl, 35\,\%
%des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa, alors que cette proportion est de
%23\,\% pour la banque Miro.

%Par ailleurs :

%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$~~] 76\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Karl sont acceptées ;
%\item[$\bullet$~~] 65\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Lofa sont acceptées ;
%\item[$\bullet$~~] 82\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Miro sont acceptées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%\smallskip

%On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprès des trois
%banques.

%On considère les évènements suivants :

%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$~~] $K$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Karl \fg{} ;
%\item[$\bullet$~~] $L$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Lofa \fg{} ;
%\item[$\bullet$~~] $M$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Miro \fg{} ;
%\item[$\bullet$~~] $A$ : \og la demande de prêt est acceptée \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On rappelle que pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité et on désigne par $E$ son
%événement contraire.

%\medskip

%\emph{Dans tout l'exercice on donnera, si nécessaire, des valeurs approchées au millième des résultats.}

%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice.
Voici un arbre qui convient (les données du texte sont en noir) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=white]]
\tikzstyle{feuille}=[fill=white]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$K$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$L$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$A$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$M$};
\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$A$};
\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {0,42};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {0,76};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$\textcolor{red}{0,24}$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {0,35};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {0,65};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$\textcolor{red}{0,35}$};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {0,23};
\draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {0,82};
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$\textcolor{red}{0,18}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item La probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit
acceptée est donnée par : $p(K \cap A)$.\\
$p(K\cap A)=p(K)\times p_K(A)$\\
$p(K\cap A)=0,42\times 0,76$\\
$p(K\cap A)= \np{0,3192}$\\
$p(K\cap A)\simeq 0,319$.\\

\item D'après la formule des probabilités totales on obtient:\\
$p(A)=p(K\cap A)+p(L\cap A)+p(M\cap A)$\\
$p(A)= 0,3192+ 0,35 \times0,65 + 0,23 \times 0,82$\\
$p(A)=\np{0,3192} + \np{0,2275} + \np{0,1886}$\\
$p(A) = \np{0,7353}$\\
$p(A)\simeq 0,735$.

\item On cherche $p_A(M)$.\\
Or, $p_A(M)=\dfrac{p(A\cap M)}{p(A)}$\\
$p_A(M)=\dfrac{\np{0,1886}}{\np{0,7353}}$\\
$p_A(M) \simeq 0,256$\\

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

%\medskip

%Dans cette partie, on s'intéresse à la durée moyenne d'un prêt immobilier.

%On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, en années.

%On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 7$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On calcule $P(13 \leqslant X \leq 27) \simeq 0,683$\\
La probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans est d'environ $0,683$.
\item On cherche $a$ tel que $P(X > a) = 0,1$.\\
$P(X > a) = 0,1 \Longleftrightarrow 1- P(X\leqslant a)= 0,1$\\
$P(X > a) = 0,1 \Longleftrightarrow P(X\leqslant a)= 0,9$\\
La calculatrice nous permet de trouver $a\simeq 28,97$.\\
La probabilité qu'un prêt dure plus de $28,97$ ans est de $0,1$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip

%Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année &2010 &2011 &2012\\ \hline
%Nombre d'écrans 3D vendus& 0&\np{5000} &\np{11000}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année $(2010 + n)$ est modélisé par une suite $\left(u_n\right)$, arithmético-géométrique, de premier terme $u_0 = 0$.

%On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel $n$, une relation
%de récurrence de la forme $u_{n+1} = a \times u_n + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $u_1 =\np{5000} $, or  $u_1 = a \times u_0 + b = b$ car $u_0 = 0$
		donc $b=\np{5000}$.
		\item $u_2 = \np{11000}$, et $u_2 = a \times u_1 + b = a \times u_1 + \np{5000} $ donc 
	$\np{11000} = a \times \np{5000} + \np{5000} $ d'où $a= \dfrac{\np{11000}-\np{5000}}{\times \np{5000}}=1,2$
	
Donc,pour tout entier $n$, on a : \\
		\[u_{n+1} = 1,2 \times u_n + \np{5000}.\]
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \[u_3 = 1,2 \times u_2 + \np{5000}=\np{18200} \]
		\[u_4 = 1,2 \times u_3 + \np{5000}=\np{26840} \]
		
		\item En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement \np{18000} et \np{27000} écrans 3D.
		
La modélisation semble pertinente car $u_3 =\np{18200}$ et $u_4 \simeq \np{27000}$
	\end{enumerate}
	
\textbf{Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre
d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.}
		
\smallskip
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[v_n = u_n + \np{25000}.\]

	\begin{enumerate}
		\item
		\begin{tabbing}
Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}$~\=$=u_{n+1}+\np{25000}$\\
\> $=1,2u_n+\np{5000}+\np{25000}$\\
\> $=1,2u_n+\np{30000} $\\
\> $=1,2(u_n+ \np{25000})$\\
\> $=1,2v_n$
\end{tabbing} 

La suite $(v_n)_{n\in\N}$ est donc bien une suite géométrique de raison $q=1,2$.

$v_0=u_0+\np{25000}=\np{25000}$

Son premier terme est $v_0=\np{25000}$.
		\item Puisque $(v_n)_{n\in\N}$ est une suite géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme $v_0$, on a, pour tout entier naturel $n$, $v_{n}=v_0\times q^n$, soit

$v_n=\np{25000}\times 1,2^n$.\\
Comme, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=u_n+\np{25000}$, alors $u_n=v_n-\np{25000}$\\
Donc, pour tout entier naturel $n,\: u_n = \np{25000} \times 1,2^n - \np{25000}$.
	\end{enumerate}
\item %On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D
%dépassera \np{180000} unités.
	\begin{enumerate}
		\item \begin{tabbing}
Or, pour tout entier naturel $n$, $u_n>\np{180000}$~\=$\Leftrightarrow \np{25000} \times 1,2^n - \np{25000}>\np{180000}$\\
\> $\Leftrightarrow\np{25000} \times 1,2^n > \np{25000}+ \np{180000}$\\
\> $\Leftrightarrow\np{25000} \times 1,2^n > \np{205000}$\\
\> $\Leftrightarrow 1,2^n >8,2$\\
\end{tabbing}


		\item 		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline		
\textbf{Variables :}		& $N$ est un entier naturel\\
							&$W$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation :}	&$N$ prend la valeur 0\\
							&$W$ prend la valeur {$\textcolor{red}{1}$}\\
\textbf{Traitement :}		&Tant que {$\textcolor{red}{W}\leqslant 8,2$}\\
							&\hspace{0,5cm} \begin{tabular}{|l}
							$W$ prend la valeur $W \times 1,2$\\
							$N$ prend la valeur $N+1$
							\end{tabular}\\
							&Fin du Tant que\\
\textbf{Sortie :}			&Afficher {$\textcolor{red}{N}$}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  $n=12$.
\item 
Le nombre de ventes en 2022 est $u_{12}=\np{25000} \times 1,2^{12} - \np{25000}\simeq \np{197903}$.

À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15\,\% par an du nombre de ses ventes d'écrans 3D.
 
Donc $u_{15}=(1-0,15)^{3} \times \np{197903} \simeq \np{121537}$.
En 2025 elle peut donc prévoir de vendre $\np{121537}$ écrans 3D.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Obligatoire }

%\medskip

%\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.\\ Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

%\medskip

%\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}

%\medskip

%On rappelle que $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x \ln x - x + 1.\]

\[f'(x) = 1\times \ln x + x \times \dfrac{1}{x}- 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x.\]
\[f''(x) = \dfrac{1}{x}.\]

\textbf{Affirmation A :} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle ]0~;~1[. Affirmation \textbf{fausse} car sur l'intervalle ]0~;~1[  $f'(x)<0$ donc $f$ est décroissante.

\textbf{Affirmation B :} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. Affirmation \textbf{vraie} car sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $\dfrac{1}{x} > 0$ donc $f''(x) >0$ \\
donc la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Autre méthode : $f'$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ donc $f$ est convexe sur cet intervalle.

\textbf{Affirmation C :} Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[,\: f(x) \leqslant 50$. Affirmation \textbf{fausse} $f(23)\simeq 50,116$
\item On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$ définie sur $\R$.

On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on rappelle que $g$' désigne la fonction dérivée de la
fonction $g$.

On a tracé en pointillé la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point A de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.1)(3.1,8.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,dash=3pt 2pt,gridwidth=0.4pt](-2,-2)(3,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.1,8)(-1,6)(-0.5,2.5)(0,2.9)(0.5,2.85)(1,2)(1.4,1.6)(2,2)(3,2.85)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.25}{3}{x  4 exp x 3 exp 1.4 mul 3 div sub x dup mul 0.08 mul sub 0.224 x mul add 2.7 add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-1.25}{3}{4 x 2 mul  sub}
\psdots(1,2)\uput[ur](1,2){A}\uput[u](2.8,2.8){\blue $\mathcal{C}_g$}
\uput[dl](2.8,-1.5){$T$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Affirmation D :} $g'(1) = -2$.  Affirmation \textbf{vraie}.

En effet $g'(1)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point A.

Cette tangente passe par A(1~;~2) et le point de coordonnées (2~;~0). Son coefficient directeur est :\\
$\dfrac{0-2}{2-1}= -2$ 

\textbf{Affirmation E :} $\displaystyle\int_0^1 g(x)\:\text{d}x < 3$. Affirmation \textbf{vraie}.

En effet $\displaystyle\int_0^1 g(x)\:\text{d}x $ représente l'aire exprimée en u. a. de la surface limitée par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$, la courbe $\mathcal{C}_g$ et l'axe des abscisses.

L'aire de cette surface est inférieure à 3.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Spécialité}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne le graphe probabiliste suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1)
\Rnode{A}{$A$}\hskip 4cm\Rnode{B}{$B$}
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}
\ncarc{->}{A}{B}\Aput{0,6}
\ncarc{->}{B}{A}\Aput{0,3}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,4}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,7}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Affirmation A :} L'état stable associé à ce graphe est $\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.

La matrice de transition $M$ de ce graphe est : $M = \begin{pmatrix}0,4&0,6\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.
Les termes de cette matrice ne sont pas nuls, donc l'état $P_n$ converge vers un état stable $P = \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$ vérifiant l'équation :

$P = P \times M$ soit $\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&0,4a + 0,3b\\
b&=&0,6a + 0,7b
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,6a&=& 0,3b\\
0,3b&=&0,6a 
\end{array}\right.$ 

Mais on a de plus $a + b = 1$, donc $a$ et $b$ vérifient le système:

$\left\{\begin{array}{l c l}
0,6a&=& 0,3b\\
a + b&=&1
\end{array}\right. \implies 0,6(1 - b) = 0,3b \iff 0,6 - 0,6b = 0,3b\iff 0,6 = 0,9b \iff b = \dfrac{0,6}{0,9} = \dfrac{2}{3}$, puis $a = 1 - b = \dfrac{1}{3}$.

Donc l'état stable est $P = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
 \textbf{Affirmation A fausse}

\item On donne le graphe pondéré $G$ suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1.5)(2,2.5)(5.5,2.5)(7,1.5)(5.5,0.5)(2,0.5)%ABCDEF
\uput[l](0.5,1.5){$A$} \uput[ul](2,2.5){$B$} \uput[ur](5.5,2.5){$C$} 
\uput[r](7,1.5){$D$} \uput[dr](5.5,0.5){$E$} \uput[dl](2,0.5){$F$}
\psline(5.5,2.5)(2,0.5)(2,2.5)(5.5,0.5)%CFBE
\rput(1.2,2.2){2}\rput(3.75,2.7){3} \rput(6.4,2.1){1}\rput(6.4,0.8){1}
\rput(3.75,0.3){4}\rput(1.2,0.8){1}\rput(1.85,1.5){2}\rput(3,1.3){4}\rput(4.4,1.3){2}

\end{pspicture}
\end{center}
\textbf{Affirmation B :} Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce graphe.
	Voici le tableau des sommets degrés :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
Sommets	&A	&B	&C	&D	&E	&F	\\ \hline
Degrés	&2	&4	&3	&2	&3	&4	\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


Ce graphe est connexe.          
Il y a deux sommets de degré impair. D'après le théorème d'Euler, le graphe $G$ admet une chaîne eulériennne (une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes du graphe).

\textbf{Affirmation B vraie}\\
\textbf{Affirmation C :} La plus courte chaîne entre les sommets $A$ et $D$ est une chaîne de poids 5.
\textbf{Affirmation C vraie}. C'est la chaîne $A-B-E-D$.
\item On considère la matrice
\[M = \begin{pmatrix}
0 &1 &0 &1\\ 1 &0 &1 &1\\0 &1 &0 &0\\1 &1&0&0\end{pmatrix}.\]

On suppose que $M$ est la matrice d'adjacence d'un graphe à quatre sommets $A, B, C, D$ dans
cet ordre.

\textbf{Affirmation D :} Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommet $B$ au sommet $D$.
\[M^{^4} = \begin{pmatrix}
7 &6 &4 &6\\ 6 &11 &2 &6\\4 &2 &3 &4\\6 &6&4&7\end{pmatrix}.\]
Le nombre de chaînes de longueur 4 reliant B à D est donné par $m_{24}^{(4)}=6$.\\
\textbf{Affirmation D fausse
}
\item On considère les matrices $A = \begin{pmatrix}a&0\\0&a \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&a\end{pmatrix}$.

\textbf{Affirmation E :} Il existe un nombre réel $a$ pour lequel $B$ est l'inverse de $A$.
\end{enumerate}
$B$ est l'inverse de $A$ si et seulement si $A\times B = I_{2}$
$A\times B = \begin{pmatrix}- a&0\\0&a^{2}\end{pmatrix}$.
$A \times B =I_{2} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
-a&=& 1\\
a^{2}&=1 
\end{array}\right.$ 
$\left\{\begin{array}{l c l}
a&=& -1\\
a ^{2}&=&1
\end{array}\right.$
\textbf{Affirmation E vraie}. Ce nombre est $-1$
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un publicitaire envisage la pose d'un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de
skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction
$f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par :

\[f(x) = 4\text{e}^{-0,4x}.\]

Cette courbe $\mathcal{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère d'origine O :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-1.)(10.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(10.5,5.5)
\psline(-1.5,4)(0,4)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{4 2.71828 0.4 x mul exp div}
\uput[r](0,5.4){$y$ (en mètres)}
\uput[u](9.5,0.1){$x$ (en mètres)}
\uput[u](6,0.4){$\mathcal{C}_{f}$}
\psframe[fillstyle=hlines](1.25,2.426)
\uput[ul](0,0){A}\uput[ur](0,2.426){D}\uput[ur](1.25,2.426){C}\uput[ur](1.25,0){B}
\end{pspicture}
\end{center}

Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le
point A est situé à l'origine du repère, le point B est sur l'axe des abscisses, le point D est sur l'axe
des ordonnées et le point C est sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse $x = 2$.

L'aire du panneau publicitaire est l'aire du rectangle ABCD.
$AB\times BC = 2 \times f(2)= 2 \times 4\text{e}^{-0,8} = 8\text{e}^{-0,8}\simeq 3,6$.

\item Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ?\\
L'aire d'un panneau répondant aux contraintes de l'énoncé est donnée par $A(x)=xf(x)=4x\text{e}^{-0,4x}$.\\
On cherche la valeur de $x$ pour laquelle $A(x)$ est maximal.\\
Pour cela on étudie la fonction $x\longmapsto A(x)$.\\
On calcule $A'(x)$\\

$A'(x)=4\text{e}^{-0,4x}-1,6x\text{e}^{-0,4x}=\text{e}^{-0,4x}(4-1,6x)$\\
On étudie le signe de $A'(x)$
Pour tout réel $x$, $\text{e}^{-0,4x}>0$ donc $A'(x)$ est du signe de $4-1,6x$ sur l'intervalle [0~;~10].

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $x<2,5$, $A'(x)>0$ donc $A$ est strictement croissante sur $[0~;~2,5[$;
\item Si $x>2,5$, $A'(x)<0$ donc $A$ est strictement décroissante sur $]2,5~;~10]$;
\item $A'(2,5) = 0$ et $A$ admet un maximum en $2,5$.\\

Les dimensions du panneau sont donc $2,5$~m et $f(2,5) = 4\text{e}^{-1} \simeq 1,47$~m.
\end{list}
\end{enumerate}
\end{document}