\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-node,pst-text,pstricks,pstricks-add}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Polynésie septembre 2011~\decofourright}}}
\\
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
% 
%On s'intéresse dans cet exercice à la fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels $\R$ par 
%
%\[f(x)= - 1 + x\text{e}^x.\]
% 
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x  = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$ par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. 
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} = - 1$.

Graphiquement ceci signifie que la droite horizontale dont une équation est $y = - 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.		 
%(\emph{On rappelle le résultat:} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$)  
	\end{enumerate}
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x$ on a $f'(x) = (x + 1 )\text{e}^x$.
$f'(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x = \text{e}^x(1 + x) = (x + 1)\text{e}^x$.		 
%Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (la valeur de l'extremum sera arrondie à $10^{-2}$).
Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x + 1$.

$f'(x) = 0 \iff x = - 1$ ;

$f'(x) > 0 \iff x > - 1$ ; $f$ est croissante sur $]-1~;~+ \infty[$ ;

$f'(x) < 0 \iff x < - 1$ ; $f$ est décroissante sur $]- \infty~;~- 1[$.

$f(- 1 ) = - 1 - 1\text{e}^{- 1} = - 1 - \dfrac{1}{\text{e}} \approx - 1,37$ est le minimum de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item %Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~1].
Sur l'intervalle [0~;~1], $f$ est continue car dérivable, croissante de $f(0) = - 1$ à $f(1) = -1 + \text{e} \approx 1,718$ ; d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un réel unique de [0~;~1], $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne :

$f(0,5) \approx -0,2$ et $f(0,6) \approx 0,09$, donc $0,5 < \alpha < 0,6$ ;

$f(0,56) \approx - 0,02$ et $f(0,57) \approx 0,008$, donc $0,56 < \alpha < 0,57$.
 
%Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
\item %Démontrer qu'une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est $y = x - 1$.
Une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est :

$y - f(0) = f'(0)(x - 0) \iff y - (- 1) = 1\times x \iff y = x - 1$. 
\item ~%Dans le repère \Oij{} tracer la droite T et la courbe $\mathcal{C}$. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-2)(5,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-1}{5}{x 1 sub}\uput[d](4.5,3.5){T}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.6775}{2.71828 x exp x mul  1 sub}
\uput[r](1.68,7.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite T ? 
Il semble que la courbe est au dessus de la tangente
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Justifier la conjecture émise à la question 5.
Considérons la fonction différence  définie sur $\R$ par :

$d(x) = f(x) - (x - 1) = - 1 + x\text{e}^x - x + 1 =  x\text{e}^x - x = x\left(\text{e}^x - 1 \right)$.

Le second facteur s'annule pour $x = 0$ est positif pour $x > 0$ et négatif pour $x < 0$. On dresse le tableau de signe de $f(x)$ à partir de celui de ses facteurs :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.5)
\psframe(7,3.5) \psline(0,1)(7,1) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,3)(7,3)
\psline(1,0)(1,3.5)
\uput[u](0.5,2.9){$x$} \uput[u](1.4,2.9){$- \infty$} \uput[u](4,2.9){0} \uput[u](6.5,2.9){$+\infty$}
\rput(0.5,2.5){$x$}\rput(2.5,2.5){$-$}\rput(4,2.5){$0$}\rput(5.5,2.5){$+$}
\rput(0.5,1.5){$\text{e}^x - 1$} \rput(2.5,1.5){$-$}\rput(4,1.5){$0$}\rput(5.5,1.5){$+$}
\rput(0.5,0.5){$d(x)$} \rput(2.5,0.5){$+$} \rput(4,0.5){$0$} \rput(5.5,0.5){$+$} 
\end{pspicture}
\end{center}

On a donc démontré que pour tout réel $x$, \: $d(x) \geqslant 0 \iff f(x) \geqslant (x - 1)$ ce qui géométriquement montre que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la tangente T, le seul point de contact étant pour $x = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Dans  une  ville,  une  enquête  portant  sur  les  habitudes  des  ménages  en  matière  d'écologie  a donné les résultats suivants : 
%
%\begin{itemize}
%	\item  70 \% des ménages pratiquent le tri sélectif ; 
%	\item parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40 \% consomment des produits bio ; 
%	\item parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10 \% consomment des produits bio. 
%\end{itemize}
% 
%On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d'être choisis) et on note : 
%
%T l'évènement \og le ménage pratique le tri sélectif \fg{} et  $\overline{\mathrm{T}}$  son évènement contraire ; 
%
%B l'évènement \og le ménage consomme des produits bio \fg{} et  $\overline{\mathrm{B}}$  son évènement contraire. 
%
%\begin{center}
%\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale}.
%\end{center}
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item  %Donner sans justification la probabilité  $p\left(\mathrm{T}\right)$ de l'évènement T.
$p\left(\mathrm{T}\right) = 0,7$.
	\item %Donner sans justification  $p_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{B}\right)$ et $p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\mathrm{B}\right)$
$p_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{B}\right) = 0,4$ et $p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\mathrm{B}\right) = 0,10$.	
	\end{enumerate}
\item ~%Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{T}\taput{0,7}}
	{\TR{B}\taput{0,4}
	\TR{$\overline{\text{B}}$}\tbput{0,6}
	}
\pstree{\TR{$\overline{\text{T}}$}\tbput{0,3}}
	{\TR{B}\taput{0,1}
	\TR{$\overline{\text{B}}$}\tbput{0,9}
	}
}
\end{center}
\medskip

\item 
\begin{enumerate}
	\item %Calculer  la  probabilité  de  l'évènement :  \og le  ménage  pratique  le  tri  sélectif  et consomme des produits bio \fg{}.
$p(\text{T} \cap \text{B}) = p(\text{T}) \times p_{\text{T}}(\text{B}) = 0,7 \times 0,4 = 0,28$.
	\item %Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à 0,31.
On a $p(\text{B}) = p(\text{T} \cap \text{B}) + p(\overline{\text{T}} \cap \text{B})$.

$p(\overline{\text{T}} \cap \text{B}) = p\left(\overline{\text{T}} \right) \times p_{\text{B}} = 0,3 \times 0,1 = 0,03$. Donc 

$p(\text{B}) = 0,28 + 0,03 = 0,31$.
\end{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu'il consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième).
Il faut calculer $p_{\text{B}}(\text{T}) = \dfrac{p(\text{B} \cap \text{T})}{p(\text{B})} = \dfrac{0,28}{0,31}  = \dfrac{28}{31} \approx 0,903 \approx 0,90$.
\item %Les évènements T et B sont-ils indépendants ? Justifier. 
$p(\text{T} \cap \text{B}) = 0,28$ et $p(\text{B}) \times p(\text{T}) = 0,31 \times 0,7 = 0,217 \ne 0,28$ : les évènements ne sont pas indépendants. 
\item %Calculer la probabilité de l'évènement $ \mathrm{T} \cup \mathrm{B}$ puis interpréter ce résultat.
$p(\mathrm{T} \cup \mathrm{B}) = p(\mathrm{T}) + p(\mathrm{B}) - p(\mathrm{T} \cap \mathrm{B}) = 0,7 + 0,31 - 0,28 = 0,73$ : c'est la probabilité qu'un ménage pratique le tri sélectif \textbf{ou} consomme des produits bio. 
\item %Cette  ville  décide  de  valoriser  les  ménages  ayant  un  comportement  éco-citoyen.  Pour cela, elle donne chaque année un chèque de 20~\euro{} aux ménages qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de 10~\euro{} aux ménages qui consomment des produits bio sur présentation de justificatifs (les deux montants peuvent être cumulés). 

%Soit S la somme d'argent reçue par un ménage. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles  sont  les  différentes  valeurs  que  peut  prendre  S ?  (on  n'attend  pas  de justification).
S peut  prendre les valeurs 0,\:10, \:,20,\:30.
		\item ~%Donner la loi de probabilité de S.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$S$&0&10&20&30\\ \hline
$p(S)$&0,27&0,03&0,42&0,28\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
		\item ~%Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.
On a E $ = 0 \times 0,27 + 10 \times 0,03 + 20 \times 0,42 + 30 \times 0,28 = 0,3 + 8,4 + 8,4 = 17,10$~\euro.

Cette valeur est pour un grand nombre de ménages la moyenne des chèques attribués par ménage.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Deux enfants Alexis et Bilal jouent dans la cour de leur immeuble.
% 
%Ils décident d'entamer une compétition formée d'une série de parties (notées partie 1, partie 2, \ldots).
% 
%On désigne par $n$ un entier supérieur ou égal à 1. On suppose que : 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Alexis a 65\,\% de chances de gagner la partie 1 ; 
%\item[$\bullet~~$] si Alexis gagne la partie $n$, alors il a 10\,\% de chances de gagner la partie $n + 1$ ; 
%\item[$\bullet~~$] si Alexis perd la partie $n$, alors il a 60\,\% de chances de gagner la partie $n + 1$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on note : 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $A_{n}$ l'évènement : \og Alexis gagne la partie $n$ \fg ; 
%\item[$\bullet~~$] $B_{n}$ l'évènement : \og Bilal gagne la partie $n$ \fg (on remarquera que : $B_{n} = \overline{A_{n}}$) ; 
%\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$ et $b_{n}$ celle de l'évènement $B_{n}$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\begin{center}\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}\end{center}
 
\textbf{PARTIE A : Étude d'un graphe probabiliste}

\medskip
 
%Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{n}\right)$ la matrice ligne représentant l'état probabiliste lors de la partie $n$. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner sans justification la matrice $P_{1}$.
$P_{1} = \begin{pmatrix}0,65&0,35 \end{pmatrix}$. 
		\item ~%Traduire la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(-0.15,1){0,1} \rput(5.2,1){0,4}
\rput(2.5,2){0,9} \rput(2.5,0){0,6}
\end{pspicture}
\end{center} 
	\end{enumerate} 
\item %On admet que la matrice de transition $M$ associée au graphe probabiliste précédent est $M = \begin{pmatrix}0,1 &0,9\\ 0,6& 0,4 \end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item %Donner $M^2$ (on pourra utiliser la calculatrice ; les coefficients de $M^2$ seront donnés sous forme décimale exacte).
$M^2 = \begin{pmatrix}0,55&0,45\\0,3&0,7 \end{pmatrix}$. 
		\item %En déduire la probabilité que Bilal gagne la partie 3, en justifiant la réponse (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$).
		On a $P_3 = P_1 \times M^2 = \begin{pmatrix}0,65&0,35 \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}0,1 &0,9\\ 0,6& 0,4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\np{0,4625}&\np{0,5375} \end{pmatrix}$.
		
Donc arrondie au centième, la probabilité que Bilal gagne la 3\up{e} partie est égale à 0,54.
	\end{enumerate}
\item %Soit $P = (x\quad y)$ la matrice correspondant à l'état stable ($x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $x + y = 1$).


L'état stable est donc $P = \begin{pmatrix}0,4&0,6\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les nombres $x$ et $y$.
Avec $x + y = 1$, l'égalité $P = PM$ se traduit par :

$\begin{pmatrix}x&y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x&y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,1 &0,9\\ 0,6& 0,4 \end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&0,1x + 0,6y\\
y&=&0,9x + 0,4y\\
x + y&=&1
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
0,9x - 0,6y &=&0\\
-0,9x + 0,6y&=&0\\
x + y&=&1
\end{array}\right.$
 
$\iff\left\{\begin{array}{l c l}
0,9x - 0,6y &=&0\\
x + y&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
3x - 2y &=&0\\
x + y&=&1
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
3x - 2y &=&0\\
2x + 2y&=&2
\end{array}\right. \Rightarrow $

$5x = 2 \iff x = \dfrac{2}{5}$ et par conséquent $y = \dfrac{3}{5}$. 

L'état stable est donc $P = \begin{pmatrix}0,4&0,6\end{pmatrix}$. 
		\item %Interpréter ces deux valeurs.
Au bout d'un grand nombre de parties la probabilité de gagner est égale à 0,4 pour Alexis et par conséquent 0,6 pour Bilal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : Détermination d'un nombre chromatique}

\medskip

%Carlos (C), Dora (D), Edwige (E) et Farid (F), eux aussi intéressés par le jeu, décident de rejoindre Alexis (A) et Bilal (B) et de former ainsi des équipes.
% 
%Comme ils ne s'entendent pas tous entre eux, ils optent pour une répartition en équipe par affinité. 
%
%On donne ci-après le graphe G d'incompatibilité entre les différents enfants :
%
%\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5)
%\psset{dotstyle=x,dotscale=1.5}
\cnodeput[linecolor=green](0.5,2){A}{}
\cnodeput[linecolor=red](1.25,3.5){B}{}
\cnodeput[linecolor=blue](4.5,3){C}{} 
\cnodeput[linecolor=green](4,0.5){D}{}
\cnodeput[linecolor=blue](2.5,0.5){E}{}
\cnodeput[linecolor=red](3.25,1.25){F}{}
\pspolygon(D)(F)(E)(D)(C)(A)(E)(B)(C)
\uput[l](A){A} \uput[u](B){B} \uput[r](C){C} \uput[d](D){D} \uput[d](E){E} \uput[u](F){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
%Par exemple, Alexis ne peut pas se trouver dans une équipe où il y aurait Carlos ou Edwige.
 
%Cela est représenté dans le graphe par le fait que les sommets A et C, ainsi que les sommets A et E sont adjacents.
 
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer un sous-graphe complet d'ordre 3. Que peut-on en déduire pour le nombre chromatique du graphe G ?
Soit $\chi$ le nombre chromatique.

D-E-F est un sous-graphe complet d'ordre 3 donc $\chi \geqslant 3$. 
\item %Donner en justifiant un encadrement du nombre chromatique du graphe G.
E est le sommet de plus haut degré : 4, donc $\chi \leqslant 5$.

Conclusion $3 \leqslant \chi \leqslant 5$. 
\item %Proposer une coloration du graphe (sans justification) puis en déduire le nombre chromatique du graphe G.
Voir ci-dessus. Le nombre chromatique est donc égal à 3. 
\item %Proposer une répartition des enfants faisant intervenir un nombre minimal d'équipes.
D'après le résultat précédent une répartition des enfants faisant intervenir un nombre minimal d'équipes est possible : (A ; B ; D) (C ; E) et (F) ou  (A ; D)   (C ; E) et (B ; F) ou encore 

(B ; D)   (C ; E) et (A ; F) soit à chaque fois 3 équipes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

%Le tableau suivant donne la valeur de revente d'une machine outil au bout de $t$ années d'utilisation (les prix sont donnés en centaines d'euros). On veut faire une estimation de son prix de revente au-delà de 6 ans.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Temps écoulé depuis l'achat $t_{i}$\, $0 \leqslant  i \leqslant 6$& 0 &1 &2& 3& 4 &5 &6\\ \hline 
%Valeur de revente $y_{i}$\: en centaines d'euros $0 \leqslant  i \leqslant 6$&90 &73,8 &60 &49,5 &40,5 &33 &27 \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quel est le pourcentage de baisse du prix de revente de la machine au bout de six ans d'utilisation (de $t_{0}$ à $t_{6}$) ?
Le pourcentage de baisse du prix de revente de la machine au bout de six ans d'utilisation (de $t_{0}$ à $t_{6}$) est égal à $\dfrac{90 - 27}{90} \times 100 = 70$~\,\%. 
\item %Étude d'un modèle affine 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Représenter graphiquement le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $0 \leqslant i \leqslant 6$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités graphiques: 
%1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 1~cm pour 10~unités sur l'axe des ordonnées.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(7,100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-1)(7,100)
\psdots(0,90)(1,73.8)(2,60)(3,49.5)(4,40.5)(5,33)(6,27)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{84.48 x 10.36 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Tracer cette droite dans le repère précédent.
La calculatrice donne $y = -10,36t + 84,48$ comme équation de la droite d'ajustement de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés.
		\item %On sait qu'au bout de 10~ans la valeur de revente est de \np{1000}~euros. Le modèle vous semble-t-il adapté pour des calculs à plus long terme ?
Pour $t_{10} = 10$, on obtient $y = - 10,36 \times 10 + 84,48 = 84,48 - 103,6 = - 19,12$ soit un prix irréaliste de $- \np{1912}$~\euro. Cet ajustement affine n'est pas adapté pour le long terme.
	\end{enumerate} 
\item Étude d'un modèle exponentiel 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour $0 \leqslant i \leqslant 6$, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$. Recopier et compléter le tableau suivant (en arrondissant les nombres au dixième) :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps écoulé depuis l'achat 
$t_{i}$ : $0 \leqslant  
i \leqslant 6$					&0 		&1 		&2		&3		&4 		&5 		&6\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&4,5	&4,3	&4,1	&3,9	&3,7	&3,5	&3,3\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

		\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième).
La calculatrice livre  $z = - 0,2t + 4,5$.
		\item %En déduire que $y = \text{e}^{- 0,2t + 4,5}$ est un ajustement exponentiel possible.
		On a donc $z = \ln(y) =  \iff y = \text{e}^{- 0,2t + 4,5}$. 
		\item %Déterminer à l'aide de ce modèle une estimation de la valeur de revente au bout de 10~ans d'utilisation. Ce modèle vous semble-t-il mieux adapté que celui de l'ajustement affine ? 
Avec $t = 10$, on obtient $y = \text{e}^{-0,2 \times 10 + 4,5} = \text{e}^{2,5} \approx 12,18$.		
%Justifier la réponse.
Avec cet ajustement exponentiel la valeur de revente au bout de 10 ans sera d'environ \np{1218}~\euro{} qui est proche de la valeur réelle \np{1000}~\euro. Ce modèle est mieux adapté au long terme.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

%\parbox{0.45\linewidth}{Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$. 
%
%On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$. 
%
%La courbe $\Gamma$ ci-contre est la représentation graphique dans un repère orthogonal de $f^{\prime}$, la fonction dérivée de $f$ sur  $]- 4~;~+ \infty[$. 
%
%Cette courbe $\Gamma$ passe par les points A$(- 3~;~0)$, B$(- 1~;~0)$ et C$(0~;~- 1,5)$.}\hfill  
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-5,-7)(2,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-7)(2,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-5,-7)(2,3)
%\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt]
%\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.58}{2}{x 3 add 2 mul x 1 add mul x 4 add div neg}
%\uput[l](-3.4,-3.5){$\Gamma$}\uput[ul](-3,0){A}\uput[ur](-1,0){B}\uput[ur](0,-1.5){C}
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide de la représentation graphique de la fonction dérivée $f^{\prime}$, déterminer $f^{\prime}(0)$ et $f^{\prime}(-3)$.
Graphiquement on lit  $f'(0)  = - 1,5$ et $f'(- 3) = 0$.
\item %Trois courbes sont présentées ci-dessous. Une seule de ces trois courbes peut représenter la fonction $f$.

%Déterminer laquelle des trois représentations graphiques ci-dessous est celle de la fonction $f$, en justifiant votre réponse :
%
%\hspace{-.15\linewidth}
%\parbox{1.2\linewidth}{
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.4cm}
%\begin{pspicture}(-5,-12)(3,3)
%\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(-5,-12)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-12)(3,3)
%\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.955}{1.38}{x 4 add ln 6 mul x dup mul add neg}
%\uput[l](-3.7,-7){$\mathcal{C}_{1}$}
%\end{pspicture} \hfill
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.4cm}
%\begin{pspicture}(-5,-5)(3,10)
%\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(-5,-5)(3,10)
%\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(3,10)
%\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.975}{1.51}{x 4 add ln 6 mul x dup mul add  .8 mul}
%\uput[l](-3.4,7){$\mathcal{C}_{2}$}
%\end{pspicture} \hfill
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.4cm}
%\begin{pspicture}(-5,-5)(5,10)
%\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(-5,-5)(5,10)
%\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,10)
%\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.293}{5}{6 x 4 add dup mul div 2 sub}
%\uput[l](-3,4){$\mathcal{C}_{3}$}
%\end{pspicture}
% \end{center}
% }
On peut écarter $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{2}$ : en effet sur $[- 3 ~;~- 1]$, \: $f'(x) \geqslant 0$, donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle ce qui n'est pas le cas de ces deux fonctions.

Reste $\mathcal{C}_{1}$ : on a bien $f'(- 3) = f'(- 1) = 0$, \:$f(0) \approx - 1,5$ et la fonction est croissante sur $[- 3 ~;~- 1]$ et décroissante ailleurs.

Seule $\mathcal{C}_{1}$ est susceptible d'être la représentation graphique de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On suppose qu'il existe deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$ , on a $f(x) = ax^2 + b \ln( x + 4)$. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $x$ un réel appartenant à l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$. 

%Exprimer $f'(x)$ en fonction de $x,\:a$ et $b$.
Pour $x > - 4 \iff x + 4 > 0$, \:$\ln (x + 4)$ existe et 

$f'(x) = 2ax + \dfrac{b}{x + 4}$. 
		\item %Déduire des questions précédentes que $a = -1$ et $b = - 6$.
On sait que $\left\{\begin{array}{l c l}
f'(-3)&=&0\\
f'(- 1)&=&0\\
f'(0)&=&-1,5
\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{l c l}
- 6a + \dfrac{b}{-3 + 4}&=&0\\
- 2a + \dfrac{b}{-1 + 4}&=&0\\
\dfrac{b}{4}&=&- 1,5
\end{array}\right. \iff$
 
$\left\{\begin{array}{l c l}
- 6a + b&=&0\\
- 2a + \dfrac{b}{3} &=& 0\\
b&=&- 6
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
- 6a + b&=&0\\
- 6a + b&=&0\\
b&=&- 6
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
- 6a - 6 	&=& 0\\
b			&=&- 6
\end{array}\right.
\iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
a  	&=&- 1\\
b	&=&- 6
\end{array}\right.$.

Conclusion : sur $]- 4~;~+ \infty[$,\:$f(x) = - x^2 - 6 \ln (x + 4)$.
	\end{enumerate}
\item %On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-3}^{- 1} f'(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$ puis en donner une valeur arrondie au dixième.
On a $I = \left[f(x)  \right]_{- 3}^{- 1}  = f(- 1) - f(- 3) =  - (- 1)^2 - 6 \ln (-1 + 4) - \left[- (- 3)^2 - 6 \ln (- 3 + 4) \right] = - 1 - 6\ln 3 + 9 = 8 - 6\ln 3 \approx 1,4$.
		\item %Donner une interprétation géométrique de l'intégrale $I$.
		On a vu que sur l'intervalle $[- 3 ~;~- 1]$ la fonction $f'$ est positive, donc $I$ représente l'aire en unité d'aire de la surface limitée par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = - 1)$.
		
On peut constater sur la figure que cette aire vaut à peu près 1,5.		 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}