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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Polynésie ~\decofourright\\ 13 septembre 2012}}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip
 
%Le tableau ci-dessous représente l'évolution de l'indice du PIB de la Chine de 1985 à 2005, base 100 en 1985
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline 
%année &1985 &1988 &1991 &1994 &1997 &2000 &2003 &2005\\ \hline 
%Rang de l'année : $x_{i},\:1 \leqslant i \leqslant 8$ &0 &3 &6 &9 &12 &15 &18 &20\\ \hline 
% Indice du PIB : $y_{i},\:1 \leqslant i \leqslant 8$& 100 &131,29& 172,38& 226,32& 297,15& 390,13& 512,22& 614,16\\ \hline
%\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : Banque Mondiale}}\\ 
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

On veut étudier l'évolution de l'indice du PIB $y$ en fonction du rang de l'année $x$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$  ($1 \leqslant i \leqslant 8$) associé à cette série dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
%\setlength\parindent{6mm}		 
%\begin{itemize}
%\item[] sur l'axe des abscisses : 1~cm pour 1 année; 
%\item[] sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour $50$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(21,650)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=100](0,0)(18,650)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=25,Dy=100](0,0)(21,650)
\psdots(0,100)(3,131.29)(6,172.38)(9,226.32)(12,297.15)(15,390.13)(18,512.22)(20,614.16)
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %Un ajustement affine semble t-il approprié ?
Les points ne sont pas alignés. Un ajustement affine n'est pas  approprié.
	\end{enumerate}
\item %Pour $1 \leqslant i \leqslant 8$, on pose $z_{i} = \ln y_{i}$. 
%Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au centième).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Rang de l'année : $x_{i}, \:1 \leqslant i \leqslant 8$ &0 &3 &6 &9 &12 &15 &18 &20\\ \hline 
$z_{i} = \ln y_{i},\:1 \leqslant i \leqslant 8$&4,61&4,88&5,15&5,42&5,69&5,97&6,24&6,42\\ \hline 
\end{tabularx} 

\medskip

\item %Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Aucune justification n'est demandée.
La calculatrice donne : $y = 0,09x + 4,61$. 
\item %En déduire une estimation de l'indice du PIB de la Chine en 2012 d'après cet ajustement.
2012 correspond au rang 27. Donc $z = \ln y = 0,09 \times 27 + 4,61\approx 7,04 \iff y = \text{e}^{7,04} \approx \np{1141,39}$. 
\item %Dans le cas général donner un ajustement exponentiel de $y$ en fonction de $x$, sous la forme $y = a\text{e}^{bx}$, les coefficients $a$ et $b$ étant arrondis au centième.
On a $z = \ln y = 0,09x + 4,61$ avec $y > 0$ ; donc $y = \text{e}^{0,09x + 4,61} =  \text{e}^{0,09x} \times \text{e}^{ 4,61}$ ; or $\text{e}^{ 4,61} \approx 100,48$.

Finalement $y \approx 100,48\text{e}^{0,09x}$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous donne la récolte de bois en France en 2005 en milliers de m$^3$ suivant que l'on a affaire à des feuillus ou des conifères destinés au bois d'{\oe}uvre ou au bois d'industrie.
%
%\begin{center} 
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&Feuillus &Conifères &Total\\ \hline 
%Bois d'{\oe}uvre &\np{6076} &\np{14803} &\np{20879}\\ \hline 
%Bois d'industrie &\np{5413} &\np{6805} &\np{12218}\\ \hline 
%Total &\np{11489} &\np{21608} &\np{33097}\\ \hline
%\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : Ministère de l'Agriculture et de la Pêche - SCEES 2005}}
%\end{tabularx}
%\end{center} 
%
%\emph{Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à} 1\,\%.
%
%\medskip
% 
%À l'aide du tableau ci-dessus :
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le pourcentage de feuillus dans la récolte totale.
Le pourcentage de feuillus dans la récolte totale est égal à :

$\dfrac{\np{11489}}{\np{33097}} \times 100 \approx 35$\,\%. 
\item %Déterminer, parmi les conifères, le pourcentage de bois destiné à l'industrie.
Le pourcentage de bois destiné à l'industrie parmi les conifères est égal à :

$\dfrac{\np{6805}}{\np{21608}} \times 100 \approx 31$\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip 

%Chez un grossiste, les quatre catégories \og feuillu - bois d'{\oe}uvre \fg, \og feuillu - bois d'industrie \fg, \og conifère - bois d'{\oe}uvre \fg{} et \og conifère - bois d'industrie \fg{} sont réparties chacune dans différents lots de même volume.
% 
%On sait par ailleurs que :
% 
%\setlength\parindent{8mm}		 
%\begin{itemize}
%\renewcommand \labelitemi{$\bullet$}
%\item 70\,\% des lots sont du bois de conifère ; 
%\item Parmi les lots de feuillus, 45\,\% sont destinés à l'industrie ;
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Le grossiste prélève au hasard un lot (on suppose que tous les lots ont la même chance d'être choisis).
% 
%On considère les évènements :
%
%\setlength\parindent{8mm}		 
%\begin{itemize} 
%\item[]$F$ : \og le lot est constitué de feuillus \fg, 
%\item[]$C$ : \og le lot est constitué de conifères \fg, 
%\item[]$I$ : \og le lot est destiné à l'industrie \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item ~%Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$}\taput{0,7}}
	{
	\TR{$I$}
	\TR{$\overline{I}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$}\tbput{0,3}}
	{
	\TR{$I$}\taput{0,45}
	\TR{$\overline{I}$}\tbput{0,55}
	}	
}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

La probabilité qu'un lot pris au hasard soit destiné au bois d'{\oe}uvre est de $0,585$.
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
\item %Déterminer la probabilité de l'évènement $I \cap  C$. Interpréter ce résultat.
D'après la loi des probabilités totales, on a :

$p\left(\overline{I}\right) = p\left(C \cap \overline{I} \right) + p \left(\overline{C} cap \overline{I}\right) \iff 0,585 = p\left(C \cap \overline{I} \right) + 0,3 \times 0,55 \iff p\left(C \cap \overline{I} \right) = 0,585 - 0,165 = 0,42$.

Or $p\left(C \cap \overline{I} \right) = p(C) \times p_C\left(\overline{I} \right) \iff 0,42 = 0,7 \times p_C\left(\overline{I} \right) \iff p_C\left(\overline{I} \right) = \dfrac{0,42}{0,7} = 0,6$.

On a donc $p_C(I) = 1 - p_C\left(\overline{I} \right) = 1 - 0,6 = 0,4$.

Enfin $p(I \cap C) = p(C) \times p_C(I) = 0,7 \times 0,4 = 0,28$. 
\item %Le lot pris au hasard est destiné à l'industrie. Quelle est la probabilité qu'il soit constitué de conifères ?
Il faut trouver $p_I(C) = \dfrac{p(I \cap C}{p(I)}$.

Or $p(I) = p(C \cap I) + p\left(\overline{C} \cap I \right) = 0,28 + 0,135 = 0,415$.

Donc  $p_I(C) = \dfrac{p(I \cap C)}{p(I)} = \dfrac{0,28}{0,415} \approx 0,675$.
\item %Quatre lots sont prélevés au hasard. Vue la grande quantité de lots présents chez le grossiste, on peut assimiler ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants.
 
%Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'{\oe}uvre.
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 4$ et $p = 0,585$.

L'évènement contraire de \og il y a au moins un lot constitué de bois d'{\oe}uvre \fg{} est l'évènement \og aucun lot ne contient du bois d'{\oe}uvre \fg, dont la probabilité est $0,415^4$. La probabilité cherchée est donc égale à :

$1 - 0,415^4 \approx 0,970$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip 
 
%Le centre commercial Commerce Plus est implanté dans une ville. La première semaine, 80\,\% des habitants de la ville viennent faire leurs achats dans ce centre commercial, puis on constate dans les semaines suivantes que :
% 
%\setlength\parindent{8mm}		 
%\begin{itemize}
%\renewcommand \labelitemi{$\bullet$}
%\item  la probabilité qu'un habitant étant venu faire des achats dans le centre commercial y retourne la semaine suivante est égale à $0,55$ ; 
%\item la probabilité qu'un habitant n'étant pas venu faire des achats dans le centre commercial y aille la semaine suivante est égale à $0,6$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On cherche à étudier l'évolution de la répartition des visites des habitants dans le centre commercial sur plusieurs semaines.
%
%\medskip
% 
\begin{enumerate}
\item %On note A l'état : \og l'habitant vient faire ses courses au centre commercial \fg.
% 
%On note B l'état: \og l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial \fg.

 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.
En posant $A_n$ l'évènement \og l'habitant vient faire ses courses à Commerce Plus la semaine $n$ \fg{} et $B_n$ l'évènement \og l'habitant ne vient pas  faire ses courses à Commerce Plus la semaine $n$ \fg, on a :

$p_{A_n}(\left(A_{n+1} \right) = 0,55\quad ; \quad p_{A_n}(\left(B_{n+1} \right) = 0,45$ ;

$p_{B_n}(\left(A_{n+1} \right) = 0,6\quad ; \quad p_{B_n}(\left(B_{n+1} \right) = 0,4$.

On a donc le graphe probabiliste suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(-0.1,1){0,55} \rput(5.2,1){0,4}
\rput(2.5,2){0,45} \rput(2.5,0){0,6}
\end{pspicture}
\end{center}  
		\item %On note M la matrice de transition de ce graphe. 
		
%Vérifier que  $\mathrm{M}= \begin{pmatrix}0,55& 0,45\\0,6&0,4\end{pmatrix}$.
La matrice M vérifiant $\begin{pmatrix} a_{n+1}&b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n&b_n \end{pmatrix}\times $ M est la matrice 

M $ = \begin{pmatrix} 0,55&0,45\\0,6&0,4 \end{pmatrix}$. 
	\end{enumerate} 
\item %On appelle $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$ la matrice traduisant la répartition des habitants selon leur venue au centre commercial au cours de la $n$-ième semaine : 

%\setlength\parindent{8mm}		 
%\begin{itemize}
%\renewcommand \labelitemi{$\bullet$}
%\item $a_{n}$ représente la proportion d'habitants qui vient faire ses courses au centre commercial au cours de la $n$-ième semaine, 
%\item $b_{n}$ représente la proportion d'habitants qui ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la $n$-ième semaine. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%Ainsi, on a $P_{1} = (0,8\quad 0,2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P_{2}$ et $P_{3}$.
$P_2 = P_1 \times \text{M} = \begin{pmatrix} 0,8&0,2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,55&0,45\\0,6&0,4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,56&0,44 \end{pmatrix}$.

De même $P_3 = P_2 \times \text{M} = \begin{pmatrix} 0,56&0,44 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,55&0,45\\0,6&0,4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,572&0,428 \end{pmatrix}$.
		\item %Donner une interprétation de $P_{3}$ en termes de répartition des habitants.
		La dernier résultat signifie  que 57,2\,\% des habitants vont aller à Commerce Plus la troisième semaine.
	\end{enumerate} 
\item  %Soit $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste stable. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $x$ et $y$. On donnera les valeurs exactes, puis les résultats arrondis au centième.
Les termes de la matrice de transition M étant non nuls, donc $P_n$ converge vers un état stable $P = \begin{pmatrix} x&y \end{pmatrix}$ (avec $x + y = 1$) ne dépendant pas de l'état initial. Cette matrice $P$ vérifie :

$P = P \times \text{M}$ d'où le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x		&=&0,55x + 0,6y\\
y		&=&0,45x + 0,4y\\
x + y	&=&1
\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{l c l}
0,45x - 0,6y	&=&0\\
- 0,45x + 0,6y	&=&0\\
x + y			&=&1
\end{array}\right. \iff$
   
$\left\{\begin{array}{l c l}
0,45x - 0,6y	&=&0\\
x + y			&=&1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
0,45x - 0,6y&=&0\\
y			&=&1 - x
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
0,45x - 0,6(1 - x)	&=&0\\
y					&=&1 - x
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
1,05x - 0,6	&=&0\\
y			&=&1 - x
\end{array}\right.\iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
x 	&=&\frac{0,6}{1,05}\\
y	&=&1 - x
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x 	&=&\frac{4}{7}\\
y	&=&1 - x
\end{array}\right.\iff$
 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x 	&=&\frac{4}{7}\\
y	&=&\frac{3}{7}
\end{array}\right.$ Donc $P = \begin{pmatrix} \frac{4}{7} & \frac{3}{7} \end{pmatrix}$
		\item %Interpréter ces résultats.
Le dernier résultat montre qu'à terme sur 7 clients éventuels 4 iront faire leurs courses à Commerce Plus. Ce résultat est déjà pratiquement atteint la troisième semaine, car $\dfrac{4}{7} \approx \np{0,5714} \approx 0,572$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip
 
%Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire $x$ mètres cube chaque jour ; on suppose que $x$ appartient à l'intervalle [1~;~6].
% 
%Le coût total de production $C_{T}$, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite $x$ : 
% 
%\[C_{T}(x) = \dfrac{x^2}{2} + 4\ln x + 5,6\quad  \text{pour} x \in  [1~;~6].\]

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $C_{T}$ est strictement croissante sur l'intervalle [1~;~6].
$f$ est la somme de fonctions dérivables sur  [1~;~6] et sur cet intervalle, $f'(x) = \dfrac{2x}{2} + \dfrac{4}{x} = x + \dfrac{4}{x} > 0$ car somme de deux termes supérieurs à zéro. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur [1~;~6].
\item %On note $C_{M}(x)$ le coût moyen de production en milliers d'euros du mètre cube pour une production journalière de $x$ mètres cube, avec $x \in  [1~;~6]$. 

%On rappelle que $C_{M}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x}$.  
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire l'expression de $C_{M}(x)$ en fonction de $x$. 
$C_{M}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x} = \dfrac{\dfrac{x^2}{2} + 4\ln x + 5,6}{x} = \dfrac{x}{2} + 4\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{5,6}{x}$.
		\item %On admet que la fonction $C_{M}$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~6] et on appelle $C'_{M}$ sa fonction dérivée. 
		
%Calculer $C'_{M}(x)$, et vérifier que 	$C'_{M}(x) = \dfrac{x^2 - 3,2 - 8\ln x}{2x^2}$ pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~6].
On a $C'_{M}(x) = \dfrac{1}{2} + 4\dfrac{\frac{1}{x}\times x - 1 \times \ln x}{x^2} - \dfrac{5,6}{x^2} = \dfrac{1}{2} + 4\left(\dfrac{1 - \ln x}{x^2} \right) - \dfrac{5,6}{x^2} = \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{-1,6 - 4\ln x}{x^2} \right) = \dfrac{x^2 - 3,2 - 8\ln x}{2x^2}$. 
	\end{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~6] par $f(x) = x^2 - 3,2 - 8\ln x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %On admet que $f$ est dérivable sur [1~;~6]. Étudier les variations de $f$ sur [1~;~6].
$f'(x) = 2x - \dfrac{8}{x} = \dfrac{2x^2 - 8}{x} = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x} = \dfrac{2(x + 2)(x - 2)}{x}$.

Les trois termes : $2, \:, x + 2,\: x$ sont supérieurs à zéro sur [1~;~6]. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $x - 2$, d'où positif pour $x \geqslant 2$ et négatif ailleurs.

Conclusion : $f$ est décroissante sur [1~;~2] puis croissante sur [2~;~6].

On a par ailleurs $f(1) = - 2,2\: ;\: f(2) = 0,8 - 8\ln 2 \approx - 4,75$ et $f(6) = 32,8 - 8\ln 6 \approx 18,5$. 
		\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans [2~;~6] ; déterminer une valeur approchée par excès à $10^{-1}$ près de $\alpha$.
Sur l'intervalle  [2~;~6], la fonction $f$ est continue car dérivable et strictement croissante de $- 4,75$ à 18,5 : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un réel unique $\alpha$ de l'intervalle [2~;~6] tel que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne $f(3) \approx - 2,99$ et $f(4) \approx 1,7$, donc $3 < \alpha < 4$, puis 

$f(3,6) \approx - 0,49$ et $f(3,7) \approx 0,02$, d'où $3,6 < \alpha < 3,7$ et enfin

$(3,69) \approx -0,03$ et $f(3,70) \approx 0,02$, d'où $3,69 < \alpha < 3,70$.

Au dixième près $\alpha \approx 3,7$.
		\item %En déduire le signe de $f(x)$ sur [1~;~6] (on ne demande pas de justification).
Les variations de $f$ montrent que $f(x) \leqslant 0$ sur $[1~;~\alpha]$ et $f(x) \geqslant 0]$ sur $[\alpha~;~6]$.
	\end{enumerate} 
\item %On prendra pour $\alpha$ la valeur approchée trouvée à la question 3. b.
 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction $C_{M}$ sur [1~;~6]. Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième).
On a vu que $C_{M}'(x) = \dfrac{f(x)}{2x^2}$ et comme $2x^2 > 0$ sur [1~;~6], le signe de $C_{M}'(x)$ est celui de $f(x)$, donc d'après la question précédente :	

$C_{M}'(x) < 0$ sur $[1~;~\alpha]$, soit $C_M$ est décroissante sur cet intervalle et 

$C_{M}'(x) > 0$ sur $[\alpha~;~6]$, soit $C_M$ est croissante sur cet intervalle.

D'où le tableau de variation suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$1$} 
\uput[u](4,2.4){$\alpha \approx 3,7$} \uput[u](6.85,2.4){$6$} 
\rput(0.5,2.25){$C'_M(x)$} \rput(0.5,1){$C_M(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](5.5,1.9){$+$}
\uput[d](1.4,2){$6,1$}\uput[u](4,0){$\approx 4,78$}\uput[d](6.6,2){$\approx 5,13$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}	 
		\item %Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ?
Le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit est d'après le tableau $C_M(\alpha)\approx 4,78$, soit environ \np{4780}~\euro.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l'intervalle donné ?
On a vu que la fonction $C_T$ est croissante sur [1~;~6] : le coût maximal est donc $C_T(6) = 18 + 4\ln 6 + 5,6 \approx 30,77$, soit environ \np{30770}~\euro.

Pour ne pas perdre d'argent il faut récupérer ces \np{30770}~\euro avec une vente minimale de $x = 1$, soit 30,77~\euro{} le mètre cube. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip
 
%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\R$. On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée sur $\R$.
% 
%On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative, représentée en ANNEXE 1 dans un repère orthonormé. On appelle $(T)$ la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point A de coordonnées $(0~;~- 1)$.
% 
%On admet que la fonction $f$ admet un maximum en $x = 3$.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Cette partie est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte. Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Il n'est pas demandé de justification.
%
%\emph{Dans cette première partie, une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.}
% 
% \medskip
 
\textbf{Question 1 :}

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$&$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 
%f(x) = - \infty$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
%f(x) = + \infty$\\
%\end{tabularx}
\medskip 
Graphiquement  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 
f(x) = - \infty$

\textbf{Question 2 :} %sur l'intervalle $[ - 1~;~7]$ $f'(x)$ vérifie :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}  
%$f'(x) > 0$ sur $]1~;~7]$ & $f'(x) < 0$ sur $[- 1~;~0]$ & $f'(x) < 0$ sur $]3~;~7]$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
Graphiquement : la fonction décroit à partir de $x = 3$ : $f'(x) < 0$ sur $]3~;~7]$.
 
\textbf{Question 3 :} %l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est : 
Pour un accroissement de 3 en ordonnées l'accroissement de l'abscisse est de 2 : le coefficient directeur est donc égal à $\dfrac{3}{2} = 1,5$.

L'ordonnée à l'origine est égal à $- 1$, donc l'équation est $y = 1,5x - 1$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
%$y = - 1$ 	& $y = x + 1$ 	& $y = 1,5x - 1$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
 
\textbf{Question 4 :}

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x = f(4) - f(2)$&$0,5 \leqslant \displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x \leqslant 1,5$&$\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x$   
%n'existe pas.\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
L'intégrale existe, est égale à l'aire de la surface limitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 4$. On voit que cette aire est inférieur e à celle du rectangle de longueur 2 et de largeur 0,5, donc inférieure à 1. Réponse :  $0,5 \leqslant \displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x \leqslant 1,5$.
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\R$, telle que 

\[g(x) = (- 2x - 2) \times  \text{e}^{- 0,5x}\]
 
%On note $g'$ sa fonction dérivée sur $\R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\R$, $g'(x) = (x - 1) \times \text{e}^{- 0,5x}$.
$g$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$, donc :

$g'(x) = - 2 \text{e}^{- 0,5x} - 0,5(- 2x - 2) \times  \text{e}^{- 0,5x} = \text{e}^{- 0,5x}\left(- 2 + x + 1 \right)  = (x - 1) \text{e}^{- 0,5x}$
\item %Étudier le signe de $g^{\prime}$ sur $\R$ et en déduire les variations de $g$ sur $\R$.
On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{- 0,5x} > $ ; le signe de $g'(x)$ est donc celui de  $(x - 1)$, donc négatif pour $x < 1$ et positif pour $x > 1$.

La fonction $g$ est donc décroissante pour $x < 1$ et croissante pour $x > 1$. Elle a donc un minimum pour $x = 1$, \: $g(1) = -4\text{e}^{- 0,5} \approx - 2,426$.
\item %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. (On utilisera le résultat suivant : 

%$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{- 0,5x} = 0$).
On a $g(x) = - 2x\text{e}^{- 0,5x} - 2\text{e}^{- 0,5x}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\text{e}^{- 0,5x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}- 2 \text{e}^{- 0,5x} = 0$, donc par somme de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x) = 0$.

L'axe des abscisses est asymptote horizontale au graphe de $g$ au voisinage de plus l'infini.

D'autre part  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (- 2x - 2) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{- 0,5x} = + \infty$, d'où par produit de limites :

 $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = + \infty$.
\item %Construire la courbe représentative de $g$, notée $\mathcal{C}_g$, dans le repère fourni en ANNEXE 1 (sur lequel est construite $\mathcal{C}_f$).
Voir plus bas. 
\item %Donner graphiquement un encadrement par deux entiers consécutifs des coordonnées de $I$, point d'intersection des courbes  $\mathcal{C}_f$ et  $\mathcal{C}_g$.
On lit graphiquement $- 1 < x_I < 0$ et $- 2 < y_I < - 1$. 
\item %On admet maintenant que $g' = f$.
 
%Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point $I$.
On a donc $g'(x) = f(x) \iff  (x - 1) \text{e}^{- 0,5x} = (- 2x - 2) \times  \text{e}^{- 0,5x} \iff x - 1 = - 2x - 2$ (car $\text{e}^{- 0,5x} \ne 0) \iff 3x = - 1 \iff x = - \dfrac{1}{3}$.

L'ordonnée de $I$ est donc : $f\left(- \dfrac{1}{3} \right) = \left(- \dfrac{1}{3} - 1 \right)\text{e}^{\frac{0,5}{3}} = - \dfrac{4}{3} \text{e}^{\frac{1}{6}}$.
\item %Calculer la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~1] ; on donnera d'abord sa valeur exacte puis sa valeur approchée à $10^{-2}$ près.
La valeur  moyenne de $f$ sur [0~;~1] est :

$V_m = \dfrac{1}{1 - 0}\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = g(1) - g(0)$, car $g$ est une primitive de $f$.

$V_m = (- 2 - 2) \times  \text{e}^{- 0,5} - \left((- 2) \times  \text{e}^{0} \right) = - 4 \text{e}^{- 0,5} + 2 = 2 - 4\text{e}^{- 0,5} \approx - 0,43$. (une valeur négative est normale puisque sur l'intervalle [0~;~1], on $f(x) \leqslant 0$.)
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
{\Large{\textbf{ANNEXE 1}}}

\bigskip
 
\textbf{À rendre avec la copie}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 4}
\end{flushleft}

\vspace{0.5cm}

\psset{unit=1.6cm}
\rput{-90}(0,-4.75){
\begin{pspicture*}(-2,-4)(8.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(-2,-4)(8.5,3.5)
\uput[dr](0,0){O}\uput[u](2.5,2.8){$T$}\uput[u](6,0.3){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[d](8.4,0){$x$}\uput[r](0,3.4){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{8.5}{x 1 sub 2.71828 0.5 x mul exp div}
\psplot{-2}{3}{1.5 x mul 1 sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.25}{8.5}{2 x mul 2 add 2.71828 0.5 x mul exp div neg}
\end{pspicture*}}
\end{center}
\end{document}