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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : René Roux
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé  du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 16 juin 2017}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé  du baccalauréat ES Polynésie 16 juin 2017~\decofourright\\[4pt]}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats } 

\medskip 


%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=\dfrac{3}{10} \iff \ln \left( \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\right)=\ln \left( \dfrac{3}{10}\right)$

$\iff x\times \ln \left( \dfrac{1}{2}\right)= \ln \left( \dfrac{3}{10}\right) \iff x\times \left[-\ln (2)\right]= \ln (3)-\ln (10)$

$\iff x=\dfrac{\ln (3)-\ln (10)}{-\ln (2)}=\dfrac{\ln (10)-\ln (3)}{\ln (2)}$ \hfill \textbf{Réponse b.}

\item Pour tout $x\in[-2~;~2]$, la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x\text{e}^{x^2}$ admet pour primitive la fonction $F$ définie par $F(x) = \text{e}^{x^2}$.

En effet $f(x)$ est de la forme $u'(x)\times \text{e}^{u(x)}$. Cette dernière admet pour primitive $\text{e}^{u(x)}$.

$F(2)=\text{e}^{4}$ et $F(-2) = \text{e}^{4}$. Donc $I = \displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\:\text{d}x=F(2)-F(-2)=0$ \hfill \textbf{Réponse c.}

\item Pour tout $x\in ]0~;~+\infty]$,

$f'(x)=2\times \ln (x)+(2x+3)\times \dfrac{1}{x}=2\ln (x)+2+\dfrac{3}{x}$ \hfill \textbf{Réponse c.}

\item Si on augmente de $5\,\%$ une quantité on la multiplie par $1,05$, et si on l'augmente de $7 \,\%$ on multiplie par $1,07$. Les deux augmentations successives donneront un coefficient multiplicateur égal à $1,05\times 1,07=1,1235$ soit une augmentation de $12,35\,\%$. \hfill \textbf{\mbox{Réponse d.}}

\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}
\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats } 

\medskip 

%\emph{Les trois parties  sont indépendantes} 
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item 
			\begin{enumerate}
			\item D'après l'énoncé, $P(A) = 0,20$, $P_A(R) = 0,75$ et $P_{\overline{A}}(R) = 0,566$
			\item On complète l'arbre de probabilités proposé dans le texte:

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$A$} \naput{0,20}}
	{\TR{$R$}\naput{0,75}
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{0,25}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{A}$} \nbput{0,80}}
	{\TR{$R$}\naput{0,566}
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{0,4341}
	}
}
\end{center}
\medskip
			\end{enumerate}

\item 
		\begin{enumerate}
		\item Formule de Bayes $P(A\cap R)=P_A(R)\times P(A)=0,75 \times 0,20=0,15$.
		\item La probabilités qu'un candidat réussie le permis et ait suivi la formation AAC est de $15\,\%$. 
		\end{enumerate}
\item Formule des probabilités totales :

$P(R) = P(R\cap A) + P\left(R\cap \overline{A}\right) = P_A(R) \times P(A) + P_{\overline{A}}(R)\times P\left(\overline{A}\right)$

$P(R) =0,15 + 0,80\times 0,566 = $\np{0,6028}.
\pagebreak
\item Formule de Bayes : $P(A\cap R) = P_R(A)\times P(R)$ donc

$P_R(A) = \dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} = \dfrac{0,15}{0,6028} \approx$ \np{0,2488}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
\medskip
\begin{enumerate}
\item La fréquence théorique de tickets gagnants est $p=0,62$ et l'échantillon est de taille $n=400$.
		
On a $n\geqslant 30$~,~$np=248\geqslant 5$~et ~$n(1-p)=152\geqslant 5$ on peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% : 
		
\[I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right].\]
		
Or $p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx \np{0,5724}$ et $p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx \np{0,667}$.

Finalement $I_{400} = [\np{0,5724}~;~\np{0,6676}]$.
	\item Calculons la fréquence de réussite : $f = \dfrac{220}{400} = \dfrac{11}{20} = 0,55$.
	
$f \notin I_{400}$ donc on peut raisonnablement émettre des doutes quant aux affirmations de ce responsable.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
\medskip
\begin{enumerate}
\item On sait que $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=\np{1500}$ et $\sigma=410$.

Avec la calculatrice, $P(\np{1090}\leqslant X\leqslant \np{1910}) \approx 0,68$.

On peut également dire que $\np{1090} = \mu - \sigma$ et $\np{1910} = \mu + \sigma$, et on sait que $P( \mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,68$.

\item Avec la calculatrice, $P(X\leqslant \np{1155}) = 0,5 - P(\np{1155}\leqslant X\leqslant \np{1500})\approx 0,20$.
\item
	\begin{enumerate}
	\item $P(X\geqslant a) = 1 - P(X\leqslant a)=0,2$ donc $P(X\leqslant a)=0,8$.
	
À l'aide de la touche \textit{InvNormCD} (inversion de la loi normale), on trouve $a\approx \np{1845,06}$ soit $a\approx \np{1845}$.
	\item Cela veut donc dire que moins de $20\,\%$ des candidats auront payé plus de \np{1845}~€ pour obtenir leur permis.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $u_n$ la surface en millions d'hectares de forêt pour l'année $n$, et $u_{n+1}$ celle en millions d'hectares de l'année $n+1$.

D'une année à l'autre la surface diminue de $0,4\%$, donc il en restera $99,6\%$, soit avec les notations $0,996\times u_n$. On ajoute alors $7,2$ millions d'hectares, soit donc au total $0,996\times u_n+7,2$. Donc $u_{n+1}=0,996\times u_n+7,2$.

Donc pour tout entier naturel $n$, la suite $(u_n)$ permet d'obtenir une estimation de la surface boisée en millions d'hectares pour l'année $2015+n$.

\item Algorithme complété : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{l X}
Variables : 	&$N$ est un nombre entier naturel\\
				&$U$ est un nombre réel\\
Initialisation :&Affecter à $N$ la valeur 2015\\
				&Affecter à $U$ la valeur \np{4000}\\
Traitement :	& \textcolor{red}{Tant que $U \geqslant \np{3500}$ faire}\\
				& \hspace*{0.5cm}\textcolor{red}{Affecter à $U$ la valeur $0,996\times U+7,2$}\\
				& \hspace*{0.5cm}\textcolor{red}{Affecter à $N$ la valeur $N+1$}\\
				&\textcolor{red}{Fin Tant que}\\
Sortie: 		&Afficher $N$
\end{tabularx}
\end{center}

\item \begin{enumerate}
			\item Pour tout entier naturel $n$,
			
$v_{n+1}=u_{n+1}-\np{1800}=0,996u_n+7,2-\np{1800}=0,996u_n-\np{1792,8}$

$=0,996\times\left(u_n-\dfrac{\np{1792,8}}{0,996}\right)=0,996\times (u_n-\np{1800}) = 0,996\times v_n$.

Donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,996$ et de premier terme $v_0 = u_0 - \np{1800} = 220$.
			
			\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times q^n=\np{2200}\times 0,996^n$.
			
De plus $v_n=u_n-\np{1800}$ donc $u_n=v_n+\np{1800}$.

Donc pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{2200}\times 0,996^n+\np{1800}$.
			
			\item La limite de la suite $(v_n)$ quand $n$ tend vers l'infini est égale à 0 car $q\in]-1~;~1[$.
			
Donc la limite de la suite $(u_n)$ quand $n$ tend vers l'infini sera égale à \np{1800}.
			
Cela signifie qu'au bout d'un très grand nombre d'années, la surface boisée tendra vers \np{1800} millions d'hectares.
			\end{enumerate}
\item Chaque année depuis 2016, le nombre d'arbres plantés augmente de $10\,\%$, donc est multiplié par $1,1$. Donc pour l'année $2016+n$, l’ONU aura replanté $7,3×1,1^n$ milliards d'arbres.

La somme des 10 premiers termes (de 2016 à 2025) est donc :

$S = 7,3\times \dfrac{1 − 1,1^{10}}{1 − 1,1}\approx 116,34 < 140$.

L’ONU n’arrivera donc pas à atteindre son objectif.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}
\medskip 

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

À l'aide de l'algorithme de Dijkstra

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 
Départ-Sommet & A 		& B 	& C 	& D 	& E 			& F 	& O\\ \hline
O 			& 2, O 	& 5, O 		& 4, O 	&	$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ &	0\\ \hline
A(2) 		&  			& \sout{5, O} & 4,O	& 9, A	& $\infty$	& $+\infty$ 	&\\ 
			&			&	4, A& 		&			&			&				&\\\hline 
B(4)		&			&		&	4, O& 9, A		& 7, B		& $+\infty$		& \\ \hline 
C(4)		&			&		&		& 9, A		&7, B		& $+\infty$		&\\\hline 
E(7)		&			&		&		&\sout{9, A}&			&15, E 			&\\
			&			&		&		&8, E		&			& 				&\\\hline 	
D(8)		&			&		&		&			&			&14, D			&\\\hline
\end{tabular} 
\end{center}		
		
Le tracé le plus court entre O et F est donc :
$\text{O} \longrightarrow \text{A} \longrightarrow \text{B} \longrightarrow \text{E} \longrightarrow \text{D} \longrightarrow \text{F}$. 

Il devra donc combattre  $14$ créatures.

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pout tout $x\in [1~;~10]$,\: $f(x) = ax^2 + bx + c$.

$f(1)=8 \iff a+b+c=8$.

$f(2)=25 \iff 4a+2b+c=25$.

$f(3)=80 \iff 9a+3b+c=80$.

On obtient le système suivant : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
a+b+c &= &8\\
4a+2b+c &=& 25\\
9a+3b+c&=&80
\end{array}\right.$

\item On pose $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 8 \\ 25 \\ 80 \end{pmatrix}$.

$A\times X = B \iff \begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 8 \\ 25 \\ 80 \end{pmatrix}
\iff \begin{pmatrix} a+b+c \\ 4a+2b+c \\9a+3b+c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ 25 \\ 80 \end{pmatrix}$.

On obtient alors le système précédent.

\item On pose $M=\begin{pmatrix}0,5&-1&0,5\\-2,5&4&-1,5\\3&-3&1\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Avec la calculatrice,

 $M\times A=\begin{pmatrix}0,5&-1&0,5\\-2,5&4&-1,5\\3&-3&1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=Id_3$ matrice identité de dimension 3.
\item La matrice $M$ représente donc l'inverse de la matrice $A$.
\end{enumerate}
\item $A\times X=B \implies M\times A \times X = M \times B \iff X=M\times B$. Donc 

 $\begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&-1&0,5\\-2,5&4&-1,5\\3&-3&1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8 \\ 25 \\ 80 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19 \\ -40 \\ 29 \end{pmatrix}$
 
Donc pour tout $x\in [1~;~10]$, $f(x) = 19x^2-40x+19$.
\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet un minimum au point d'abscisse $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{20}{19}$. Donc la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left [\dfrac{20}{19}~;~10\right ]$, et pour tout $x\in \left [\dfrac{20}{19}~;~10\right ]$, $f(x)\leqslant f(10)$ soit $f(x)\leqslant \np{1529} < \np{2500}$. 

Le parc n'a aucun risque de refuser des personnes. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 6 points}}
\medskip 

\textbf{Commun à tous les candidats } 
\medskip 

\begin{enumerate}
\item $f(0)=-2$ et $f'(0)=10$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x\in[0~;~5]$,
		
$f'(x)=a\times \text{e}^{-x}+(ax-2)\times -\text{e}^{-x}=\left( a-(ax-2)\right)\text{e}^{-x})=(-ax+a+2)\text{e}^{-x}$
		\item On sait que $f'(0)=10$ donc $(0+a+2)\text{e}^0=10 \iff a+2=10 \iff a=8$.
		
		\item Donc pour tout $x\in[0~;~5]$,
		
$f'(x)=(-ax+a+2)\text{e}^{-x}=(-8x+10)\text{e}^{-x}$ et $f(x)=(8x-2)\text{e}^{-x}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x\in[0~;~5]$, $\text{e}^{-x}>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $-8x+10$.

$-8x+10\geqslant 0 \iff -8x \geqslant -10 \iff x\leqslant \dfrac{-10}{-8} \iff x\leqslant \dfrac{5}{4}$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & $0$  & \esp & \frac{5}{4} & \esp & 5 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
\end{array}$
}
\end{center}	

		\item 
$f(0)=-2$ \hfill $f\left(\dfrac{5}{4}\right)=8\text{e}^{-\frac{5}{4}}\approx 2,292$ \hfill $f(5)=38\text{e}^{-5}\approx 0,256$.

Tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~5]$: 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & $0$  & \esp & \frac{5}{4} & \esp & 5 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{8\text{e}^{-\frac{5}{4}}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-2} &   &  &  &   \Rnode{min2}{38\text{e}^{-5}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array}$
}
\end{center}	


		\item Pour tout $x\in[0~;~5]$,
		
$f(x)=0 \iff (8x-2)\text{e}^{-x}=0 \iff 8x-2=0 \text{~car~} \text{e}^{-x}\neq 0$ donc $x=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet $x=\frac{1}{4}$ comme unique solution sur l'intervalle $[0~;~5]$.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La première ligne sert uniquement à rentrer la définition de la fonction $f'(x)$.
		
		La seconde ligne permet donc de calculer $f''(x)$ : $f''(x)=(8x-18)\text{e}^{-x}$.
		\item Pour tout $x\in [0~;~5]$, $f''(x)$ a le même signe que $8x-18$. Elle s'annule donc et change de signe pour $x=\dfrac{18}{8} = \dfrac{9}{4}$.
		La courbe représentative de la fonction $f$ va donc admettre un point d'inflexion d'abscisse $x = \dfrac{9}{4}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le tableau des variations, la fonction $f$ admet un maximum pour $x=\dfrac{5}{4} = 1,25$.

Le bénéfice sera donc maximum pour \np{1250} grille-pains.
		\item Nous avons vu que $f\left(\dfrac{5}{4}\right)=8\text{e}^{-\frac{5}{4}}$.
		
Le bénéfice maximum sera donc de $8\text{e}^{-\frac{5}{4}}\times \np{100000} \approx \np{229204}$~ euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}