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%Corrigé : Dominique Trémulot
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% 
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L - Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 10 juin 2016}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center}%\textbf{Durée : 3 heures }

%\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Polynésie 
~\decofourright\\10 juin 2016}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}
%
%\medskip
%
%On s'intéresse à l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandes banques.
%
%Une étude montre que 42\,\% des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Karl, 35\,\%
%des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa, alors que cette proportion est de
%23\,\% pour la banque Miro.
%
%Par ailleurs :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$~~] 76\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Karl sont acceptées ;
%\item[$\bullet$~~] 65\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Lofa sont acceptées ;
%\item[$\bullet$~~] 82\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Miro sont acceptées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\smallskip
%
%On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprès des trois
%banques.
%
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$~~] $K$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Karl \fg{} ;
%\item[$\bullet$~~] $L$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Lofa \fg{} ;
%\item[$\bullet$~~] $M$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Miro \fg{} ;
%\item[$\bullet$~~] $A$ : \og la demande de prêt est acceptée \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On rappelle que pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité et on désigne par $E$ son
%événement contraire.
%
%\medskip
%
%\emph{Dans tout l'exercice on donnera, si nécessaire, des valeurs approchées au millième des résultats.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
Voici un arbre pondéré qui convient (les données en noir sont celles de l'énoncé) :

\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=white]
\tikzstyle{feuille}=[fill=white]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{2}
\def\DistanceInterFeuilles{1.5}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$$};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$K$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$L$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$A$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$M$};
\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$A$};
\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0,42$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$0,76$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$\textcolor{red}{0,24}$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$0,35$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$0,65$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$\textcolor{red}{0,35}$};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$0,23$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {$0,82$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$\textcolor{red}{0,18}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

\item %Calculer la probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée.
On cherche $p(K\cap A)$.

Or, $p(K\cap A)=p(K)\times p_K(A)$

$p(K\cap A)=0,42\times 0,76$

$p(K\cap A)=\numprint{0,3192}$.

La probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée est de \numprint{0,319} au millième.

\item %Montrer que $P(A) \approx 0,735$.
$\{K,L,M\}$ forme une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales : $p(A)=p(K\cap A)+p(L\cap A)+p(M\cap A)$.

$p(A)=p(K\cap A)+p(L)\times p_L(A)+p(M)\times p_M(A)$

$p(A)=\numprint{0,3192}+0,35\times 0,65+0,23\times 0,82$

$p(A)=\numprint{0,7353}\approx 0,735$.

\item %La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu'elle ait été déposée à la banque Miro.
On cherche $p_A(M)$.

Or, $p_A(M)=\dfrac{p(M\cap A)}{p(A)} = \dfrac{0,23\times 0,82}{\numprint{0,7353}}$

$p_A(M) \approx 0,256$.

Sachant que la demande de prêt est acceptée, la probabilité qu'elle ait été déposée à la banque Miro est environ de 0,256.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip
%
%Dans cette partie, on s'intéresse à la durée moyenne d'un prêt immobilier.
%
%On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, en années.
%
%On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans.
On cherche $p(13\leqslant X\leqslant 27)$.

La calculatrice donne $p(13\leqslant X\leqslant 27)\approx 0,683$.

Remarque : Il s'agit de la probabilité $p(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma)$ qui est donnée dans le cours.

La probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans est environ de 0,683.

\item %Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près du nombre réel $a$ tel que $P(X > a) = 0,1$.
$p(X>a)=0,1 \iff  p(X\leqslant a)=0,9$.

La calculatrice donne alors $a\approx 28,97$.

La probabilité que la durée d'un prêt immobilier soit supérieure à 28,97 années est de 0,1.

%Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année &2010 &2011 &2012\\ \hline
%Nombre d'écrans 3D vendus& 0&\numprint{5000} &\numprint{11000}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année $(2010 + n)$ est modélisé par une suite $\left(u_n\right)$, arithmético-géométrique, de premier terme $u_0 = 0$.
%
%On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel $n$, une relation
%de récurrence de la forme $u_{n+1} = a \times u_n + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En supposant que $u_1 = \numprint{5000}$, déterminer la valeur de $b$.
On a $u_1=a\times u_0+b$, $u_0=0$ et $u_1=\numprint{5000}$.

On obtient donc $b=u_1-a\times u_0$, soit $b=\numprint{5000}-a\times 0$, c'est-à-dire $b=\numprint{5000}$.
		
		\item %En supposant de plus que $u_2 = \numprint{11000}$, montrer que pour tout entier naturel $n$, on a :

		%\[u_{n+1} = 1,2 \times u_n + \numprint{5000}.\]
On a $u_2=a\times u_1+b$, donc $a=\dfrac{u_2-b}{u_1}$.

On obtient donc $a=\dfrac{\numprint{11000}-\numprint{5000}}{\numprint{5000}}$, soit $a=1,2$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a bien : $u_{n+1}=1,2\times u_n+\numprint{5000}$.
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_3$ et $u_4$.
D'après ce qui précède, $u_3=1,2\times u_2+\numprint{5000}$ et $u_4=1,2\times u_3+\numprint{5000}$.

On obtient donc :

$u_3=1,2\times \numprint{11000}+\numprint{5000}$, soit $u_3=\numprint{18200}$,

et $u_4=1,2\times \numprint{18200}+\numprint{5000}$, soit $u_4=\numprint{26840}$.

		\item %En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement \numprint{18000} et \numprint{27000} écrans 3D.
\numprint{18000} est proche de $u_3$ et \numprint{27000} est proche de $u_4$.

La modélisation semble donc pertinente.

		
%La modélisation semble-t-elle pertinente ?		
	\end{enumerate}
	
%\textbf{Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.}
		
%\smallskip
\item %On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

%\[v_n = u_n + \numprint{25000}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.
\begin{tabbing}
Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}$~\=$=u_{n+1}+\numprint{25000}$\\
 \> $=1,2u_n+\numprint{5000}+\numprint{25000}$\\
 \> $=1,2u_n+\numprint{30000}$\\[6pt]
 \> $=1,2\left( u_n+\dfrac{\numprint{30000}}{1,2}\right)$\\[6pt]
 \> $=1,2(u_n+\numprint{25000})$\\
 \> $=1,2v_n$
\end{tabbing} 

La suite $(v_n)_{n\geq 0}$ est donc bien une suite géométrique de raison $q=1,2$.

Son premier terme est $v_0=u_0+\numprint{25000}$, soit $v_0=0+\numprint{25000}=\numprint{25000}$.
%Préciser la valeur de son premier terme $v_0$.

		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n,\: u_n = \numprint{25000} \times 1,2^n - \numprint{25000}$.
D'après que ce qui précède, on a, pour tout entier naturel $n$ :

$v_n=v_0\times q^n$, donc $v_n=\numprint{25000}\times 1,2^n$.

Or, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n+\numprint{25000}$, donc $u_n=v_n-\numprint{25000}$.

On obtient donc, pour tout entier naturel $n$ :

$u_n=\numprint{25000}\times 1,2^n-\numprint{25000}$.

	\end{enumerate}
\item %On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D
dépassera \numprint{180000} unités.
	\begin{enumerate}
		\item %Prouver que résoudre l'inéquation $u_n > \numprint{180000}$ revient à résoudre l'inéquation $1,2^n > 8,2$.
\begin{tabbing}
Pour tout entier naturel $n$, $u_n>\numprint{180000}$~
\=$\Leftrightarrow \numprint{25000}\times 1,2^n-\numprint{25000}>\numprint{180000}$\\
 \> $\Leftrightarrow \numprint{25000}\times 1,2^n>\numprint{205000}$\\[6pt]
 \> $\Leftrightarrow 1,2^n>\dfrac{\numprint{205000}}{\numprint{25000}}$\\[6pt]
 \> $\Leftrightarrow 1,2^n>8,2$
\end{tabbing}

Résoudre l'inéquation $u_n > \numprint{180000}$ revient bien à résoudre l'inéquation $1,2^n > 8,2$.

		\item %Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine et affiche le plus petit entier naturel $n$, solution de l'inéquation $1,2^n > 8,2$.
Voici l'algorithme complété :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline		
\textbf{Variables :}		& $N$ est un entier naturel\\
							&$W$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation :}	&$N$ prend la valeur 0\\
							&$W$ prend la valeur \textcolor{red}{1}\\
\textbf{Traitement :}		&Tant que \textcolor{red}{$W\leqslant 8,2$}\\
							&\hspace{0,5cm} \begin{tabular}{|l}
							$W$ prend la valeur $W \times 1,2$\\
							\textcolor{red}{N prend la valeur $N+1$}
							\end{tabular}\\
							&Fin du Tant que\\
\textbf{Sortie :}			&Afficher \textcolor{red}{N}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Déterminer cet entier naturel $n$.
On peut implémenter cet algorithme dans sa calculatrice pour obtenir l'entier naturel $n$ cherché.

On peut également programmer la suite géométrique de terme général $1,2^n$ dans sa calculatrice.

Ou, on peut résoudre l'inéquation, comme suit :

\begin{tabbing}
Pour tout entier naturel $n$, $1,2^n>8,2$~\=$\iff \ln\left( 1,2^n\right)>\ln(8,2)$\\
 \> $\iff n\ln(1,2)>\ln(8,2)$\\[6pt]
 \> $\iff n>\dfrac{\ln(8,2)}{\ln(1,2)}$
\end{tabbing}

Or, $\dfrac{\ln(8,2)}{\ln(1,2)}\approx 11,54$.

Le premier entier qui convient est donc $n=12$.

L'algorithme affichera donc 12.

\item %À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15\,\% par an du nombre de ses ventes d'écrans 3D. Combien d'écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ?
Appliquer une baisse de 15\,\% revient à multiplier par 0,85.

Le nombre d'écrans que l'entreprise peut prévoir vendre en 2025 est donc $u_{12}\times 0,85^3 \approx \numprint{197903}$,

soit $\numprint{197903} \times 0,85^3$,
c'est-à-dire environ \numprint{121537}.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Obligatoire }

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.\\ Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}
%
%\medskip
%
%\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}
%
%\medskip
%
%On rappelle que $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

%\[f(x) = x \ln x - x + 1.\]

\textbf{Affirmation A :} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle ]0~;~1[.

Comme somme et produit de fonctions dérivables sur $I=]0\,;\,+\infty[$, $f$ est dérivable sur I, et pour tout $x>0$,

$f'(x)=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1+0$, soit $f'(x)=\ln(x)+\dfrac{x}{x}-1$, c'est-à-dire $f'(x)=\ln(x)$.

Or, pour tout réel $x>0$, on a : $\ln (x) > 0\iff x>1$ et $\ln (x) < 0\iff 0 < x < 1$.

Ainsi, $f'(x)<0$ sur $]0\,;\,1[$.

L'affirmation est donc \textbf{fausse}.

\textbf{Affirmation B :} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

D'après ce qui précède, pour tout réel $x>0$, $f'(x)=\ln(x)$.

Donc $f'$ est dérivable sur I, et pour tout réel $x > 0$, $f''(x) = \dfrac{1}{x}$.

Par conséquent, $f''(x) > 0$ sur I, et $f$ est bien convexe sur I.

L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

\textbf{Affirmation C :} Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: f(x) \leqslant 50$.

Prenons un contre-exemple : $f(100)=100\ln(100)-100+1\approx 361,52$.

L'affirmation est donc \textbf{fausse}.

\item %On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$ définie sur $\R$.

%On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on rappelle que $g$' désigne la fonction dérivée de la
%fonction $g$.
%
%On a tracé en pointillé la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point A de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=2.5cm}
%\begin{pspicture*}(-1.5,-2.1)(3.1,8.1)
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,dash=3pt 2pt,gridwidth=0.4pt](-2,-2)(3,8)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
%\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.08,8)(-.9,2.5)(-.6,1.8)(0,2.7)(.3,3.15)(.45,3.1)(1,2)(1.5,1)(1.5,1.7)(3,2.9)
%\psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-1.25}{3}{4 x 2 mul  sub}
%\psdots(1,2)\uput[ur](1,2){A}\uput[u](2.8,2.8){\blue $\mathcal{C}_g$}
%\uput[dl](2.8,-1.5){$T$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\textbf{Affirmation D :} $g'(1) = -2$.

Notons B le point de coordonnées $(2\,;\,0)$.

$g'(1)$ correspond au coefficient directeur de la droite T, soit $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Or, $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-2}{2-1}= - 2$.

L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

\textbf{Affirmation E :} $\displaystyle\int_0^1 g(x)\:\text{d}x < 3$.

Comme $g$ est positive sur $[0\,;\,1]$, l'intégrale $\int_{0}^{1}g(x) \text{d} x$ correspond à l'aire du domaine délimité par la courbe de $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.

L'aire de ce domaine est clairement strictement inférieure à l'aire du rectangle grisé ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.1)(3.1,8.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,dash=3pt 2pt,gridwidth=0.4pt](-2,-2)(3,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
\psframe[fillstyle=solid,opacity=0.5,fillcolor=lightgray](0,0)(1,3)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.08,8)(-.9,2.5)(-.6,1.8)(0,2.7)(.3,3.15)(.45,3.1)(1,2)(1.5,1)(1.5,1.7)(3,2.9)
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-1.25}{3}{4 x 2 mul  sub}
\psdots(1,2)\uput[ur](1,2){A}\uput[u](2.8,2.8){\blue $\mathcal{C}_g$}
\uput[dl](2.8,-1.5){$T$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Spécialité}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}
%
%\medskip
%
%\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On donne le graphe probabiliste suivant :

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1)
%\Rnode{A}{$A$}\hskip 4cm\Rnode{B}{$B$}
%\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}
%%\pnode(1,1.25){$A$} \pnode(7,1.25){$B$}
%\ncarc{->}{A}{B}\Aput{0,6}
%\ncarc{->}{B}{A}\Aput{0,3}
%\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,4}
%\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,7}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\textbf{Affirmation A :} L'état stable associé à ce graphe est $\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.

La matrice de transition associée à ce graphe est :
$M=\begin{pmatrix}
0,4&0,6\\0,3&0,7
\end{pmatrix}$.

Puisque la matrice de transition est d'ordre 2 et ne possède pas de 0, l'état probabiliste converge vers un état stable, qui est unique.

Il suffit donc de vérifier si l'état proposé est un état stable.

Notons $P=\begin{pmatrix}
\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}
$.

$\star$ On a $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1$

$\star$ $P\times M=\begin{pmatrix}
\dfrac{2}{3}\times 0,4+\dfrac{1}{3}\times 0,3
&\dfrac{2}{3}\times 0,6+\dfrac{1}{3}\times 0,7
\end{pmatrix}$,
donc $P\times M=\begin{pmatrix}
\dfrac{11}{30}&\dfrac{19}{30}
\end{pmatrix}
$

Par conséquent, $P\times M\neq P$.

L'affirmation est \textbf{fausse}.

\item %On donne le graphe pondéré $G$ suivant :

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,3)
%%\psgrid
%\pspolygon(0.5,1.5)(2,2.5)(5.5,2.5)(7,1.5)(5.5,0.5)(2,0.5)%ABCDEF
%\uput[l](0.5,1.5){$A$} \uput[ul](2,2.5){$B$} \uput[ur](5.5,2.5){$C$} 
%\uput[r](7,1.5){$D$} \uput[dr](5.5,0.5){$E$} \uput[dl](2,0.5){$F$}
%\psline(5.5,2.5)(2,0.5)(2,2.5)(5.5,0.5)%CFBE
%\rput(1.2,2.2){2}\rput(3.75,2.7){3} \rput(6.4,2.1){1}\rput(6.4,0.8){1}
%\rput(3.75,0.3){4}\rput(1.2,0.8){1}\rput(1.85,1.5){2}\rput(3,1.3){4}\rput(4.4,1.3){2}
%
%\end{pspicture}
%\end{center}
\textbf{Affirmation B :} Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce graphe.

Le graphe G est connexe, car deux sommets quelconques du graphe peuvent être reliés par une chaîne extraite de celle-ci :

\[A-B-C-D-E-F\]

Les degrés des sommets du graphe sont :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}
\hline
Sommets&A&B&C&D&E&F\\\hline
Degrés&2&4&3&2&3&4\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le graphe ne possède que deux sommets de degré impair.

D'après le théorème d'Euler, il existe une chaîne eulérienne.

L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

\textbf{Affirmation C :} La plus courte chaîne entre les sommets $A$ et $D$ est une chaîne de poids 5.

Appliquons l'algorithme de Dijkstra à ce graphe :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{6}{>{\centering}m{1.1cm}|}c|}
 \hline
 A&B&C&D&E&F&Sommet\\
 \hline
 0&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&A\\
 \hline
  &0+2\par 2(A)&$\infty$&$\infty$&$\infty$&0+1\par 1(A)&F\\
 \hline
  &1+2\par 2(A)&1+4\par 5(F)&$\infty$&1+4\par 5(F)& &B\\
 \hline
  & &2+3\par 5(B)&$\infty$&2+2\par 4(B)& &E\\
 \hline
  & &5(B)&4+1\par 5(E)& & &C\\
 \hline
  & & &5+1\par 5(E)& & &D\\
 \hline
 \end{tabular}
\end{center}

Une des plus courtes chaînes reliant les sommets A et D est bien de poids 5.

L'affirmation est \textbf{vraie}.

\item %On considère la matrice
\textbf{Affirmation D :} Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommet $B$ au sommet $D$.

On obtient 
$M^4 = \begin{pmatrix}
7&6&4&6\\6&11&2&6\\4&2&3&4\\6&6&4&7\end{pmatrix}$

%On suppose que $M$ est la matrice d'adjacence d'un graphe à quatre sommets $A, B, C, D$ dans
%cet ordre.

Le terme d'indice $(2\,;\,4)$ de la matrice $M^4$ est 6.

Il existe donc 6 chaînes de longueur 4 reliant le sommet B au sommet D.

L'affirmation est \textbf{fausse}.

\item On considère les matrices $A = \begin{pmatrix}a&0\\0&a \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&a\end{pmatrix}$.

\textbf{Affirmation E :} Il existe un nombre réel $a$ pour lequel $B$ est l'inverse de $A$.

Effectuons les calculs $A\times B$ et $B\times A$.

On obtient : $A\times B=\begin{pmatrix}
-a&0\\0&a^2
\end{pmatrix}
$ et $B\times A=\begin{pmatrix}
-a&0\\0&a^2
\end{pmatrix}
$.

En choisissant $a=-1$, on obtient $A\times B=B\times A=I_2$ (matrice identité d'ordre 2).

L'affirmation est \textbf{vraie}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Un publicitaire envisage la pose d'un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de
%skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction
%$f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par :
%
%\[f(x) = 4\text{e}^{-0,4x}.\]
%
%Cette courbe $\mathcal{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère d'origine O :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-0.75,-1.)(10.5,5.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(10.5,5.5)
%\psline(-1.5,4)(0,4)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{4 2.71828 0.4 x mul exp div}
%\uput[r](0,5.4){$y$ (en mètres)}
%\uput[u](9.5,0.1){$x$ (en mètres)}
%\uput[u](6,0.4){$\mathcal{C}_{f}$}
%\psframe[fillstyle=hlines](1.25,2.426)
%\uput[ul](0,0){A}\uput[ur](0,2.426){D}\uput[ur](1.25,2.426){C}\uput[ur](1.25,0){B}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le
%point A est situé à l'origine du repère, le point B est sur l'axe des abscisses, le point D est sur l'axe
%des ordonnées et le point C est sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse $x = 2$.

%Montrer qu'une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est $3,6$~m$^2$.
Dans ce cas, $x_C=x_B=2$ et $y_C=y_D=f(2) = 4\e^{- 0,8}$.

L'aire du panneau publicitaire est donc, en unités d'aire (c'est-à-dire en m\up{2}) :

$\mathscr{A} = 2 \times 4\e^{-0,8} = 8\e^{- 0,8}$.

On obtient bien une aire d'environ 3,6 m\up{2}.

\item %Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ?

%On donnera les dimensions d'un tel panneau au centimètre près.
On cherche donc $x\in [0\,;\,10]$ tel que $\mathscr{A}(x)=x\times f(x)$ soit maximal.

Pour tout réel $x\in [0\,;\,10]$, $\mathscr{A}(x) =4x\e^{-0,4x}$.

Comme produit de fonctions dérivables sur $I = [0\,;\,10]$, $\mathscr{A}$ est dérivable sur I et pour tout réel $x\in I$,

$\mathscr{A}'(x) = 4\e^{-0,4x}+ 4 x\times \left( -0,4\e^{-0,4x}\right)$

$\mathscr{A}'(x) = (4 - 1,6x)\e^{- 0,4x}$.

Or, pour tout réel $x$, on a :

$\star$ $4-1,6x>0\Leftrightarrow 4>1,6x\iff  2,5>x$

$\star$ $\e^{-0,4x}>0$

On obtient donc le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,lgt=2.5,espcl=3,colorC=blue!20,colorV=blue!20,deltacl=0.6]
{$x$/1,$4-{1,6}x$/1,$\e^{-{0,4}x}$/1,$f'(x)$/1,Variations\\de $f$/1.5}
{$0$,${2,5}$,$10$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabLine{,+,t,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/$0$,+/$\mathscr{A}({2,5})$,-/$\mathscr{A}(10)$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

avec $\mathscr{A}(2,5)\approx 3,68$ et $\mathscr{A}(10)\approx 0,73$.

L'aire du panneau est donc maximale lorsque $x = 2,5$. L'autre dimension est donc $f(2,5) \approx 1,472$.

Les dimensions correspondantes sont 2,50 m et 1,47 m (arrondies au cm).
\end{enumerate}
\end{document}