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% Tapuscrit Denis Vergès
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\label{Polynesie}
\rfoot{\small 21 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 3 heures}
%
%\vspace{0,5cm}
%
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES Polynésie 21 juin 2019
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\textbf{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune
%justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Pour répondre, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ d'expression
$f(x) = - 1,5x^2 + x^2\ln (x)$.

La fonction dérivée de $f$ est donnée pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $f'(x) = - x + 1$&\textbf{b.~~} \fbox{$f'(x) = 2x\ln (x) - 2x$}\\
\textbf{c.~~} $f'(x) = - 3 x + 2$&\textbf{d.~~} $f'(x) = - x \ln (x) - 0,5 x$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$f(x) = - 1,5x^2 + x^2\ln (x)$ donc \\
$f'(x)= -1,5 \times 2x + \left ( 2x \times \ln(x) + x^2 \times \dfrac{1}{x}\right )
= -3x +2x\ln(x) +x = 2x\ln(x) -2x$
\end{tabular}

\medskip

\item  Entre 2006 et 2018, dans un restaurant universitaire, le prix d'un repas est passé de 2 euros à 3,50~euros en augmentant chaque année de $x$\,\%. Parmi ces valeurs, la valeur la plus proche de $x$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~} $6,25$ &\textbf{b.~~} \fbox{$4,77$} &\textbf{c.~~} $14,58$ &\textbf{d.~~} $0,85$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
Il y a 12 ans entre 2006 et 2018. Le nombre $x$ est tel que $2\times \left (1+x\right )^{12} = 3,5$; ce qui veut dire que 
$x= \left (\dfrac{3,5}{2}\right )^{\frac{1}{12}}-1 \approx 0,0477$ qui correspond à $4,77\,\%$.
\end{tabular}

\medskip

\item  Un adolescent joue à un jeu dont les parties successives sont indépendantes.

À chaque partie, il a une chance sur 25 de sortir vainqueur. 

Après 13 parties, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait gagné au moins une fois est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~} $0,588$ &\textbf{b.~~} \fbox{$0,412$} &\textbf{c.~~}$0,025$ &\textbf{d.~~}$0,975$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
L'événement \og il a gagné au moins une fois \fg{} est l'événement contraire de \og il n'a jamais gagné \fg{} qui est de probabilité $\left ( \dfrac{24}{25}\right )^{13}$.

La probabilité cherchée est donc $1-  \left ( \dfrac{24}{25}\right )^{13} \approx 0,412$.
\end{tabular}

\medskip

\item  ~

\parbox[4.55cm]{0.53\linewidth}{On considère une fonction $g$ définie sur $\R$,
dont la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ est donnée ci-contre.

La fonction $g$ admet une primitive sur $\R$ notée $G$.

La fonction $G$ est:

\textbf{a.~~} convexe sur l'intervalle $[-1~;~5]$.

\textbf{b.~~} concave sur l'intervalle $[-1~;~5]$.

\textbf{c.~~} \fbox{croissante sur l'intervalle [2~;~5].}

\textbf{d.~~} décroissante sur l'intervalle [2~;~5]}
\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2)(6.25,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.6pt,subgridwidth=0.2pt](-2,-2)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-1.99)(6.25,4.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.5,-2)(6.25,4.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{6}{x 16 mul x dup mul 4 mul sub 20 add 9 div}
\uput[ur](4,2.1){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
La fonction $g=G'$ est positive sur [2~;~5], donc la fonction $G$ est croissante sur [2~;~5].
\end{tabular}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\begin{center}
%Les parties sont indépendantes\end{center}

\smallskip

Une entreprise vend des téléviseurs.

%Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. 
%
%Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.

L'étude indique que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 3\,\% des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci 2\,\% ont aussi un défaut sur le condensateur.
\item[$\bullet~~$] 5\,\% des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ :\og le téléviseur a un défaut sur la dalle \fg{};
\item[$\bullet~~$] $C$ :\og le téléviseur a un défaut sur le condensateur\fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %\textbf{Les résultats seront approchés si nécessaire à \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath près}.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer les trois données numériques de l'énoncé sous forme de probabilités.
3\,\% des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle, donc $p(D)=0,03$, et parmi ceux-ci 2\,\% ont aussi un défaut sur le condensateur, donc $p_D(C)=0,02$.

5\,\% des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur, donc $p(C)=0,05$.		
		
		\item  On complète dans l'arbre ci-dessous les pointillés par les probabilités associées:
		
		\begin{center}
		\medskip
		\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~~}\naput{\blue $0,03$}}
	{\TR{$C$}\naput{\blue $0,02$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-0,02=0,98$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~~}\nbput{\blue $1-0,03=0,97$}}
	{\TR{$C$}\naput{}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{}
	}
}
\medskip
\end{center}

		\item  $p(D \cap C) = p(D)\times p_D(C) = 0,03 \times 0,02 = \np{0,0006}$
		
		\item  Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. 
		
		La probabilité qu'il ait un défaut sur la dalle est
		$p_C(D) = \dfrac{p(D\cap C)}{p(C)} = \dfrac{\np{0,0006}}{0,05} = 0,012$
		\item  La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle %vaut \np{0,0494}. Justifier cette affirmation.
est $p\left (\overline{D}\cap C\right )$.

D'après la formule des probabilités totales, $p(C)= p\left (D\cap C\vphantom{\overline{D}}\right ) + p\left (\overline{D}\cap C\right )$; on sait que\\
 $p(C)=0,05$ donc
$0,05 = \np{0,0006} + p\left (\overline{D}\cap C\right )$ donc $p\left (\overline{D}\cap C\right )=0,05-\np{0,0006}=\np{0,0494}$.
	\end{enumerate}
	
\item%  \textbf{Les résultats seront approchés à \boldmath $10^{-2}$ près}.
On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur prélevé, associe le temps exprimé en mois avant la première panne. On admet que $T$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 84$ et d'écart type $\sigma = 6$.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'un téléviseur tombe en panne pour la première fois après $72$ mois d'utilisation est
$p(T>72) \approx 0,98$.		
		
		\item  La probabilité que la première panne arrive entre $6$ années (soit 72 mois) et $8$ années (soit 96 mois) d'utilisation est
$p(72 \leqslant T \leqslant 	96) \approx 0,95$.
		
		\item  Le téléviseur n'a pas eu de panne après $6$ années d'utilisation. 
		
		La probabilité qu'il tombe en panne avant $8$ années d'utilisation est\\[5pt]
$p_{T\geqslant 72}(T \leqslant 96)	 = \dfrac{p\left ( (T \geqslant 72) \cap (T \leqslant 96)\right )}{p(T\geqslant 72)} 
=  \dfrac{p\left ( 72 \leqslant T \leqslant 96\right )}{p(T\geqslant 72)} 
\approx \dfrac{\np{0,9545}}{\np{0,9772}} \approx 0,98$.
		
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin de satisfaire davantage de clients, l'entreprise décide d'apporter des améliorations à son service d'assistance. Après quelques mois de mise en place du nouveau service, elle affirme que 90\,\% des clients sont maintenant satisfaits. Un service de contrôle indépendant veut vérifier cette affirmation. Pour cela il interroge au hasard $300$ clients. Parmi eux, $265$ affirment être satisfaits.

%Les résultats de cette étude remettent-ils en cause l'affirmation de l'entreprise ?
%
%Justifier la réponse.

On va tester l'hypothèse \og 90\,\% des clients sont satisfaits \fg{} sur un échantillon de taille 300.

\smallskip

$n=300 \geqslant 30$, $p=0,9$ donc $np=270\geqslant 5$ et $n\left (1-p\right ) = 30\geqslant 5$ donc on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% pour vérifier ou infirmer cette hypothèse.

\smallskip

$I= \left [ p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\ds\sqrt{n}}~;\,  p+1,96\dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\ds\sqrt{n}} \right ]
=
\left [ 0,9-1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,9\times 0,1}}{\ds\sqrt{300}}~;\,  0,9+1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,9\times 0,1}}{\ds\sqrt{300}} \right ]\\[5pt]
\phantom{I}
\approx \left [   0,866~;\, 0,934\strut\right ]
$

\smallskip

Dans l'échantillon choisi, la fréquence de clients satisfaits est $f=\dfrac{265}{300}\approx 0,88$.\\[5pt]
$f \in I$ donc, au vu de cet échantillon, on ne peut pas remettre en cause l'affirmation de l'entreprise.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Sur un site de vente en ligne, Antoine a commandé une machine à café à capsules.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque capsule achetée à l'unité coûte $0,60$~\euro. \\
Une offre permet d'acquérir $150$ capsules au prix de $60$~\euro{}, ce qui fait $\dfrac{60}{150}=0,40$ \euro{} à l'unité.

La réduction est donc de $0,20$ sur $0,60$ soit un tiers donc $33,33\,\%$.

%De quel pourcentage de réduction bénéficie-t-on grâce à l'offre par rapport à un achat à l'unité ?

\item Au 1\up{er}janvier 2017, on comptait \np{60000} utilisateurs de cette machine à café. 

On estime que chaque mois, 10\,\% des propriétaires cessent de l'utiliser mais on compte \np{24000} nouveaux utilisateurs.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite modélisant le nombre d'utilisateurs de cette machine à café $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2017. 
Au 1\ier{} janvier 2017, on comptait \np{60000} utilisateurs de cette machine à café donc $u_0 = \np{60000}$.

Retirer $10\,\%$n c'est multiplier par $0,9$. On passe du mois $n$ au mois $n+1$ en multipliant par $0,9$ puis en ajoutant $\np{24000}$.

On peut donc dire que pour tout $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n + \np{24000}$.
		
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: $v_n = u_n - \np{240000}$. On peut donc dire que $u_n = v_n + \np{240000}$.
%Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$  est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{240000} = 0,9 u_n + \np{24000} - \np{240000}
= 0,9\left ( v_n + \np{240000}\right ) - \np{216000}\\
\phantom{v_{n+1}}
= 0,9 v_n  +  \np{216000} -  \np{216000}
= 0,9 v_n$
\item $v_0 = u_0 -  \np{240000} =  \np{60000} -  \np{240000} = - \np{180000}$
\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0= - \np{180000}$.

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %$n$ étant un entier naturel, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que, pour tout $n$, on a $v_n=v_0\times q^n = -\np{180000}\times 0,9^n$.
		
		\item Pour tout entier naturel $n$, $u_n = v_n+\np{240000} = \np{240000} - \np{180000} \times 0,9^n$.
 	\end{enumerate}
\item Pour déterminer au bout de combien de mois le nombre d'utilisateurs de cette machine à café dépassera pour la première fois \np{230000}, on résout l'inéquation $u_n\geqslant \np{230000}$:

$u_n\geqslant \np{230000}
\iff \np{240000} - \np{180000} \times 0,9^n \geqslant \np{230000}
\iff  \dfrac{\np{240000} - \np{230000}}{\np{180000}} \geqslant 0,9^n \\
\phantom{u_n\geqslant \np{230000}}
\iff \dfrac{5}{90} \geqslant 0,9^n
\iff \ln\left ( \dfrac{5}{90}\right ) \geqslant \ln\left ( 0,9^n\right )
\iff \ln\left ( \dfrac{5}{90}\right ) \geqslant n \ln\left ( 0,9\right )
\iff \dfrac{\ln\left ( \frac{5}{90}\right )}{\ln(0,9)} \leqslant n
$

Or $\dfrac{\ln\left ( \frac{5}{90}\right )}{\ln(0,9)} \approx 27,4$ donc le nombre d'utilisateurs dépassera la première fois $\np{230000}$ le 28\ieme{} mois. 

\item L'entreprise qui fabrique cette machine à café prétend qu'elle touchera un certain mois plus de \np{250000} utilisateurs.

$u_n=\np{240000} - \np{180000} \times 0,9^n $ donc, pour tout $n$, $u_n < \np{240000}$.
 
 L'affirmation de l'entreprise est donc fausse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d'un liquide industriel.
On suppose que le nombre total de clients reste fixe d'une année sur l'autre.
En 2017, 45\,\% des clients se fournissaient chez le grossiste A et 55\,\% chez le grossiste B.
D'une année sur l'autre, 6\,\% des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve 86\,\% de ses clients.

Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide.

Pour tout entier naturel $n$ on note :

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité qu'il soit client du grossiste A en $(2017+n)$,
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'il soit client du grossiste B en $(2017+n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne représentant l'état probabiliste de
l'année $(2017+n)$.  On rappelle que $a_n + b_n= 1$.

On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{0 0 1}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{A}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{B}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$0,06$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$0,14$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$0,94$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$0,86$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la matrice de transition $T$ associée à ce graphe (les sommets seront rangés par ordre alphabétique).
D'après le texte:		
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,94\,a_n + 0,14\,b_n\\
b_{n+1} & 0,06\,a_n + 0,86\,b_n
\end{array}
\right .$

Ce qui s'écrit:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,94 & 0,06 \\ 0,14 & 0,86
\end{pmatrix}$ 

Donc la matrice de transition de ce graphe est
$T=
\begin{pmatrix}
0,94 & 0,06 \\ 0,14 & 0,86
\end{pmatrix}$ 
		
		
		\item %Quelle sera, exprimée en pourcentage, la répartition prévisible des ventes entre ces deux grossistes en 2020 ? Justifier la réponse. On arrondira les résultats à 0,1\,\% près.
L'année 2020 correspond à $n=3$; on cherche donc $P_3$.

$P_3=P_2\times T = P_1\times T \times T = P_0 \times T\times T\times T = P_0\times T^3$

À la calculatrice, on trouve 
$P_3=
\begin{pmatrix}
0,572 & 0,428
\end{pmatrix}$
donc en 2020 il y aura $57,2\,\%$ pour le grossiste A et $42,8\,\%$ pour le grossiste B.
		
 	\end{enumerate}
\item  On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 0,8a_n + 0,14$.
	\begin{enumerate}
		\item On pose pour tout naturel $n$ : $u_n = a_n - 0,7$. Donc $a_n=u_n+0,7$.
		
%Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_{n+1} = a_{n+1} - 0,7 = 0,8 a_n + 0,14 - 0,7 = 0,8\left ( u_n+0,7\right ) - 0,56 
= 0,8 u_n + 0,56 - 0,56 = 0,8 u_n$
\item $u_0=a_0-0,7 = 0,45-0,7=-0,25$
\end{list}

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $u_0=-0,25$. 

		\item % En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $a_n = - 0,25\times 0,8^n + 0,7$.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $u_0=-0,25$ donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = -0,25\times 0,8^n$.

Comme $a_n=u_n+0,7$, on déduit que, pour tout $n$, $a_n=-0,25\times 0,8^n+0,7$.
		
		\item%  Quelle part du marché, exprimée en pourcentage, le grossiste A peut-il espérer à long terme ? Justifier la réponse.
$0< 0,8 < 1$ donc la suite $(u_n)$ qui est géométrique de raison $0,8$ a pour limite 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.

On en déduit que $\ds\lim_{n\to+\infty} a_n=0,7$ et donc que le grossiste A peut espérer $70\,\%$ de part de marché à long terme.		
		
		\item  Le grossiste A détiendra t-il plus de 65\,\% du marché quand $n$ sera tel que $a_n>0,65$; on résout cette inéquation:
		
$a_n > 0,65 \iff -0,25\times 0,8^n + 0,7 > 0,65 \iff 0,7-0,65 > 0,25\times 0,8^n
\iff \dfrac{0,05}{0,25} > 0,8^n\\
\phantom{a_n > 0,65}
\iff 0,2 > 0,8^n
\iff \ln\left (0,2\right ) > \ln\left (0,8^n\right )
\iff \ln\left (0,2\right ) > n \ln\left (0,8\right )
\iff \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} < n
$

Or $\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \approx 7,2$ donc c'est en $2017+8=2025$ que le grossiste A dépassera $65\,\%$ de part de marché.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ par 
$f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x)$.

On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pneus produits.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ on a 
$f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x)$ donc\\
$f'(x)= 0,5\times 2x - 7 + 6\times \dfrac{1}{x}
= x-7-\dfrac{6}{x}
= \dfrac{x^2-7x+6}{x}$.

%Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ on a : $f'(x)= \dfrac{x^2 -7 x + 6}{x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On va justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~9] :
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 1 & \esp & 6 & \esp & 9 \\
\hline
  & \Rnode{max1}{\phantom{0}}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\phantom{0}}   \\
\text{Variations de } f & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{\phantom{0}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
%\rput*(-3.7,0.65){\Rnode{zero}{\blue 0}}
%\rput(-3.7,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
%\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Sur $\left [1~;~9\strut\right ]$, $f'(x)$ est du signe de $x^2-7x+6$.

$\Delta = 7^2 - 4\times 1\times 6 = 49-24=25=5^2$ donc le trinôme $x^2-7x+6$ admet deux racines:\\[3pt]
$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7-5}{2}=1$ et $x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7+5}{2}=6$.

\smallskip

On en déduit le signe du trinôme (positif à l'extérieur des racines) donc de $f'(x)$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1.2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & 6 & \esp  & 9 \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &    \\
\hline
\end{array}$
\end{center}

Cela justifie les variations de $f$.

		\item%  Justifier que, sur l'intervalle [1~;~9], l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
On complète le tableau de variations de $f$:
$f(1)=7,5$, $f(6)\approx 0,75$ et $f(9)\approx 4,7$		

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 1 & \esp & 6 & \esp & 9 \\
\hline
  & \Rnode{max1}{7,5}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\approx 4,7}   \\
\text{Variations de } f & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{\approx 0,75} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
\rput*(-4.5,0.65){\Rnode{zero}{\blue 5}}
\rput(-4.5,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
	
On en déduit que sur $\left [1~;~9\strut\right ]$, l'équation $f(x)=5$ admet une solution unique $\alpha$.
	
		
		\item  %Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
$\left.
\begin{array}{l}
f(2)\approx 6,2 > 5\\
f(3)\approx 4,1 < 5
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow
\alpha \in \left [ 2~;\,3\strut\right ]$
\hfill
$\left.
\begin{array}{l}
f(2,5)\approx 5,1 > 5\\
f(2,6)\approx 4,9 < 5
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow
\alpha \in \left [ 2,5~;\, 2,6 \strut\right ]$
		
$\left.
\begin{array}{l}
f(2,55)\approx 5,018 > 5\\
f(2,56)\approx 4,997 < 5
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow
\alpha \in \left [ 2,55~;\, 2,56 \strut\right ]$		
		
		\item  On considère l'algorithme ci-dessous:
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$X \gets 1$\\
$Y \gets 7,5$\\
Tant que $Y > 5$\\
\hspace{12mm}$X \gets X + 0,01$\\
\hspace{12mm}$Y \gets 0,5X^2 - 7X + 14 + 6*\ln (X)$\\
Fin Tantque\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable $X$ contient la valeur $2,56$, première valeur au centième pour laquelle $Y>5$.
	\end{enumerate}
\item  Le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est minimal quand la fonction $f$ atteint son minimum c'est-à-dire pour $x=6$; c'est donc pour la fabrication de 600 pneus que  le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est minimal. Ce coût est, en euro, de $f(6)\times 100 \approx 75$.
%À combien s'élève-t-il ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).

On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$ par 
$g (x) = 2x -1 + \e^{0,05x}$
modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de $x$ semoirs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$.
Sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$, la fonction $g$ a pour primitive la fonction $G$ définie par\\
$G(x)=x^2 - x + \dfrac{\e^{0,05x}}{0,05} = x^2-x +20\e^{0,05x}$.

\item La valeur moyenne $m$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$ est:

$m=\dfrac{1}{100-0} \ds\int_{0}^{100} g(x) \d x = \dfrac{1}{100} \left [G(100) - G(0) \strut\right ]
=\dfrac{1}{100}\left [ \left ( \np{9900} + 20\e^{5}\right ) - \left ( 20\right ) \right ]
= \np{9880} +20\e^{5}\\[3pt]
\phantom{m}
\approx \np{128,46}$

\item %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Le coût moyen d'un semoir est donc, en euro, $128,46 \times 100 = \np{12846}$.
\end{enumerate}
\end{document}