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% Tapuscrit Denis Vergès
% Corrigé François Hache
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\label{Polynesie}
\rfoot{\small 4 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L Polynésie~\decofourright\\[5pt]  4 septembre 2018}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une justification est attendue.
%
%\bigskip

\textbf{Affirmation A}

\medskip

Un objet subit trois augmentations successives de 10\,\%. Une baisse de 25\,\% suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}} |p{0.95\linewidth}}
Augmenter de 10\,\%, c'est multiplier par $1 + \dfrac{10}{100}=1,10$; donc trois augmentations successives de 10\,\% correspondent à une multiplication par $1,10^{3}=1,331$.\\[5pt]
Baisser de 25\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{25}{100}=0,75$.\\ [5pt]
Augmenter successivement trois fois de 10\,\% puis baisser de 26\,\% c'est multiplier par $1,331\times 0,75 = \np{0,99825}$; ce coefficient est inférieur à 1 donc il correspond à une baisse par rapport au prix initial.

\smallskip

\textbf{Affirmation A vraie}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Affirmation B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x - \dfrac{1}{x} + 2$ et 
$\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 passe par le point de coordonnées (2~;~3).

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}} |p{0.95\linewidth}}
La tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation \\
$y=f'(a)\left (x-a\right ) + f(a)$.

$f(x) = \ln x - \dfrac{1}{x} + 2$ donc $f'(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}$

\smallskip

Donc $f(1)=0-\dfrac{1}{1}+2 = 1$ et $f'(1) = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1}=2$.

\smallskip

La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 a pour équation
$y=2\left (x-1\right ) + 1$ c'est-à-dire $y=2x-1$.

Si $x=2$ alors $y=2\times 2-1=3$ donc la tangente passe par le point de coordonnées $(2\,;\,3)$.

\smallskip

\textbf{Affirmation B vraie}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Affirmation C}

\medskip

La valeur exacte de la somme des 12 premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $4$ et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[ 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}} |p{0.95\linewidth}}
La somme des premiers termes d'une suite géométrique est donnée par\\
$S= \text{premier terme}\times \dfrac{1- \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1- \text{raison}}$.

\smallskip

La somme des 12 premiers termes de $\left(u_n\right)$ est donc
$S=4\times \dfrac{1-\left (\frac{1}{3} \right ) ^{12}}{1-\frac{1}{3}}
= 6\times \left[ 1-\left (\dfrac{1}{3} \right ) ^{12} \right]$.

\smallskip

\textbf{Affirmation C fausse}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Affirmation D}

\medskip

Dans un hôtel, le petit déjeuner n'est servi que jusqu'à 10 heures 15 minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre 9 heures et 11 heures.

On admet que l'heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[9~;~11]$. La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit déjeuner est $0,425$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}} |p{0.95\linewidth}}
Soit $T$ la variable aléatoire qui donne l'heure du lever de Pierre. Pour que Pierre ne puisse pas prendre son petit déjeuner, il faut qu'il se lève entre 10h15 (soit $10,25$ h) et 11 heures.\\[5pt]
$P\left ( T\in [10,25\,;\,11] \right ).=\dfrac{11-10,25}{11-9} = 0,375$. 

\smallskip

\textbf{Affirmation D fausse}
\end{tabular}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\begin{center}

%\textbf{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.\\[5pt]
%Sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme approchée à \boldmath $0,001$\unboldmath près}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}
\end{center}

Une étude portant sur la recharge des véhicules électriques indique que 10\,\% des recharges sont effectuées sur des bornes publiques. Dans les autres cas, la recharge s'effectue chez des particuliers.

\smallskip

Il existe deux types de recharge: la recharge \og standard \fg{} et la recharge \og accélérée \fg.

Les recharges \og standard \fg{} représentent 25\,\% des recharges effectuées sur des bornes publiques et 95\,\% des recharges effectuées chez les particuliers.

On choisit au hasard un véhicule électrique qui vient d'être rechargé et on considère les
évènements suivants  :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$U$ : \og la recharge a été effectuée sur une borne publique\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$S$ : \og la recharge a été effectuée de façon standard \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

%On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux évènements, la probabilité de l'évènement $A$ est notée $P(A)$ et celle de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$. De plus, $\overline{A}$ désigne l'évènement contraire de $A$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre de probabilités.

\begin{center}
\medskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$U$} \naput{$0,10$}}
	{\TR{$S$}\naput{$0,25$}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\red $1-0,25=0,75$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{U}$} \nbput{\red $1-0,10=0,90$}}
	{\TR{$S$}\naput{$0,95$}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\red $1-0,95=0,05$}
	}
}
\bigskip
\end{center}

\item% Justifier que $P(S) = 0,88$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(S) = P\left ( U \cap S\right ) + P \left ( \overline{U}\cap S \right )
= P(U)\times P_{U}(S)  + P(\overline{U})\times P_{\overline{U}}(S) 
= 0,10\times 0,25 + 0,90 \times 0,95 = 0,88$

\item Sachant que le véhicule choisi a été rechargé de façon standard, la probabilité que la recharge ait été effectuée sur une borne publique est

$P_{S}(U) = \dfrac{P(S\cap U)}{P(U)} = \dfrac{0,10\times 0,25}{0,88} = \dfrac{0,025}{0,88} \approx 0,028$.

\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}


Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale de moyenne $6$ et d'écart type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait qu'environ 95\,\% des durées de charge sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h.%, justifier que l'on peut choisir $\sigma = 1,7$.

Cela signifie que $P(2,6 \leqslant T \leqslant 9,4) \approx 0,95$.

Or $2,6= 6-3,4$ et $9,4=6+3,4$, et $\mu=6$ donc $P(\mu-3,4 \leqslant T \leqslant \mu+3,4) \approx 0,95$.

D'après le cours, on sait que si $T$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, on a \\
$P(\mu-2\sigma \leqslant T \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$.

Donc on peut déduire que $2\sigma \approx 3,4$ donc prendre $1,7$ pour valeur de $\sigma$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item À la calculatrice, on trouve $P(T > 7)\approx 0,278$.
		
		\item Sachant que l'une des batteries mise en charge n'est pas rechargée complètement au bout de 7 heures, la probabilité qu'elle ne le soit toujours pas au bout de 9 heures est:
		
$P_{T>7}(T>9) = \dfrac{P\left ((T>9) \cap (T>7)\strut \right )}{P(T>7)}= \dfrac{P(T>9)}{P(T>7)}$.

À la calculatrice on trouve $P(T>9) \approx 0,039$ donc
$P_{T>7}(T>9) \approx \dfrac{0,039}{0,278} \approx 0,140$.

 	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}

Le fabriquant de batteries affirme que 80\,\% de ses batteries peuvent assurer $350$ cycles de rechargement complet sans perte significative de puissance.

Une association de consommateurs réalise une enquête sur $57$ batteries de cette marque.

Parmi celles-ci, seules 40 n'ont pas subi de perte de puissance significative. %Cette étude peut-elle remettre en cause l'affirmation du constructeur ? Justifier la réponse.

On va tester l'hypothèse du fabriquant ($p=0,8$) sur un échantillon de 57 batteries.

$n=57\geqslant 30$, $np=45,6 \geqslant 5$ et $n(1-p)=11,4$ donc on peut établir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de batteries qui n'ont pas subi de perte de puissance significative:

\smallskip

$I=\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]
=\left[ 0,8- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,8\left(1-0,8\right)}}{\ds \sqrt{57}}\:;\: 0,8 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,8\left(1-0,8\right)}}{\ds\sqrt{57}} \vphantom{\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}} \right]\\
\phantom{I}
\approx \left [ 0,696\,;\, 0,904\strut\right ]$

\smallskip

La fréquence dans l'échantillon test est $f=\dfrac{40}{57} \approx 0,702$.

$f\in I$ donc il n'y a pas de raison de remettre en cause l'affirmation du fabriquant, au risque de 5\,\% de se tromper.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\begin{center}\textbf{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}


Au 1\up{er} janvier 2018, madame DURAND dispose d'un capital de \np{16000}~\euro. Le 1\up{er} juillet de chaque année, elle prélève 15\,\% du capital disponible en prévision de ses vacances estivales.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On modélise le montant du capital de madame DURAND au 1\up{er} janvier par une suite  $\left(u_n\right)$. Plus précisément, si $n$ est un entier naturel, $u_n$ désigne le montant du capital de madame DURAND disponible le 1\up{er} janvier de l'année $2018+n$.
On a donc $u_0 =  \np{16000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Retirer 15\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{15}{100}$ soit $0,85$.

$u_1 = 0,85 u_0 = 0,8 \times \np{16000} = \np{13600}$ et $u_2=0,85 u_1 = 0,85 \times \np{13600} = \np{11560}$

\item% Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=\np{16000}$ donc, pour tout $n$, on a $u_n=u_0\times q^n = \np{16000}\times 0,85^n$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en justifiant votre réponse.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,85$; or $0<0,85 < 1$ donc la suite $(u_n)$ converge vers 0.		
		
		\item% Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.
Cela signifie que le capital de madame Durand va s'épuiser.		
				
	\end{enumerate}
	
\item  À l'aide d'un algorithme, madame DURAND souhaite déterminer le nombre d'années à
partir duquel son capital devient inférieur ou égal à \np{2000}~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le résultat attendu.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline	
$U \gets {\blue \np{16000}}$\\ 
$N \gets 0$\\
Tant que $U {\blue > \np{2000}}$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets {\blue N+1}$\\
\hspace{0.5cm}$U \gets {\blue 0,85\times U}$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item %Quelle est la valeur numérique contenue par la variable $N$ à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
La valeur numérique $n$ contenue dans la variable $N$ à la fin de l'exécution de cet algorithme est le plus petit entier solution de l'inéquation $u_n\leqslant \np{2000}$. \\
On résout cette inéquation.

$\begin{array}{l !{\iff} l !{\iff} l !{\iff} l}
u_n \leqslant \np{2000} & \np{16000}\times 0,85^n \leqslant \np{2000} & 0,85^n \leqslant \dfrac{2}{16}  & \ln\left ( 0,85^n \right ) \leqslant \ln\left ( \dfrac{1}{8}\right ) \\[5pt]
& n \times \ln\left ( 0,85\mathstrut\right ) \leqslant \ln\left ( \dfrac{1}{8}\right )
  & \multicolumn{2}{l}{n \geqslant \dfrac{\ln\left ( \frac{1}{8}\right )}{\ln(0,85)}}
\end{array}$
		
Or $\dfrac{\ln\left ( \frac{1}{8}\right )}{\ln(0,85)} \approx 12,8$ donc la valeur affichée en fin d'algorithme est 13.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Cherchant à anticiper la diminution de son capital disponible, madame DURAND décide d'ajouter à son capital disponible 300~\euro{} chaque 1\up{er} décembre.

On note $v_n$ la valeur du capital le 1\up{er} janvier de l'année $2018 + n$. On a ainsi $v_0 = \np{16000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_{n + 1} = 0,85 \times v_n + 300$.
On passe de $v_n$ à $v_{n+1}$ en retirant 15\,\%, donc en multipliant par $0,85$, puis en ajoutant 300; donc, pour tout $n$, $v_{n+1}=0,85 v_n +300$.

\item  On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n - \np{2000}$; on en déduit que pour tout $n$, $v_n=w_n+\np{2000}$.
	\begin{enumerate}
		\item $w_0 = v_0-\np{2000} = \np{16000} - \np{2000} = \np{14000}$
		\item %Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$.
$w_{n+1} = v_{n+1}-\np{2000} = 0,85v_n + 300 -\np{2000} = 0,85\left ( w_n+\np{2000}\strut\right ) - \np{1700} \\
\phantom{w_{n+1}}
= 0,85 w_n + \np{1700} - \np{1700} = 0,85 w_n$		
		
Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $0,85$.		
		
		\item %En déduire que, pour tout entier $n$,\: $v_n = \np{2000} + \np{14000} \times 0,85^n$.
La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $w_0=\np{14000}$ donc, pour tout $n$, $w_n=\np{14000} \times 0,85^{n}$.

Comme $v_n=w_n+\np{2000}$, on déduit que pour tout $n$, $v_n=\np{2000} + \np{14000} \times 0,85^{n}$.	
		
 	\end{enumerate}
\item%  En s'y prenant ainsi, madame DURAND espère toujours disposer d'un capital supérieur à \np{2500}~\euro. A-t-elle raison ?
On sait que $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,85^n=0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} v_n=\np{2000}$.
Donc, au bout d'un certain nombre d'années, $v_n$ sera inférieur à $\np{2500}$; madame Durand a donc tort.

\emph{Remarque}

À la calculatrice on trouve $v_{20} \approx \np{2542,63} > \np{2500}$ et $v_{21} \approx \np{2461,24} < \np{2500}$.


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

En vacances, Assan et Chloé projettent de visiter sept sites touristiques et se sont procurés le plan des sentiers reliant ces sites. 

Ci-dessous, ils ont représenté ce plan par un graphe connexe pondéré par les temps de parcours en minutes séparant les lieux de visites notés A, B, C, D, E, F et G.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,radius=5pt}
\begin{pspicture}(12,6)
%\rput(9.4,3.4){\circlenode{A}{A}}
\cnodeput(9.4,3.4){A}{A}
\cnodeput(9.7,1){B}{B}
\cnodeput(6.5,3.3){C}{C}
\cnodeput(4.2,0.5){D}{D}
\cnodeput(9.4,5.6){E}{E}
\cnodeput(2.5,5.2){F}{F}
\cnodeput(0.3,2){G}{G}
\ncline{B}{A}\ncput*{13}
\ncline{C}{A}\ncput*{17}
\ncline{C}{B}\ncput*{8}
\ncline{D}{B}\ncput*{10}
\ncarc[arcangle=-40]{B}{E}\ncput*{7}
\ncline{D}{C}\ncput*{5}
\ncline{C}{E}\ncput*{2}
\ncline{F}{C}\ncput*{12}
\ncline{F}{D}\ncput*{4}
\ncline{G}{D}\ncput*{22}
\ncline{F}{E}\ncput*{14}
\ncline{G}{F}\ncput*{15}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Est-il possible, pour Assan et Chloé, d'effectuer un trajet empruntant une et une seule fois tous les sentiers? Justifier votre réponse.
On détermine le degré de chacun des sommets du graphe:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
Sommet & A & B & C & D & E & F & G\\
\hline
Degré & 2 & 4 & 5 & 4 & 3 & 4 & 2 \\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Il y a exactement deux sommets de degrés impairs, C et E, donc, d'après le théorème d'Euler, il existe des trajets qui passent une fois et une seule par chacun des chemins; ces trajets peuvent partir de C pour arriver à E ou partir de E pour arriver à C.

\item% Déterminer, par la méthode de votre choix, le trajet le plus court leur permettant de relier la station A à la station G en précisant le temps de parcours.
On va déterminer le trajet le plus court partant de A pour arriver à G en utilisant l'algorithme de Dijkstra.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%                               cellule grisée
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
A &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   &   G   &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A \\
\hline
\cgr & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \sur{13 A} & 17 A &  &  &  &  &  B \\
\hline
\cgr & \cgr & \sur{17 A} & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \sout{21 B}& 23 B  & 20 B &  &  &  C \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & \sout{23 B} & \sout{20 B} & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr & 22 C             &   \sur{19 C}          & 29 C                &                & E   \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & \sur{22 C} & \cgr & 29 C & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &                   &  \cgr & \sout{33 E} &                & D   \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sout{29 C} & \sout{ $\infty$ } &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr &  \cgr & \sur{26 D} &   44 D             & F   \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sout{44 D} &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr &  \cgr & \cgr & \sur{41 F}    & G   \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le trajet le plus court est:
A $\stackrel{17}{\longrightarrow}$ 
C $\stackrel{5}{\longrightarrow}$
D $\stackrel{4}{\longrightarrow}$
F $\stackrel{15}{\longrightarrow}$ G;
il dure 41 minutes..

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur les sites B et G, l'office de tourisme loue des audio-guides que les visiteurs peuvent rendre sur l'un ou l'autre des deux sites à la fin de la journée. Une étude a mis en évidence que chaque jour :


\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]10\,\% des audio-guides loués sur le site B sont rendus sur le site G, les autres étant rendus sur le site B ;
\item[$\bullet~~$]15\,\% des audio-guides loués sur le site G sont rendus sur le site B, les autres étant rendus sur le site G.
\end{itemize}

On étudie l'évolution de la répartition des audio-guides sur les deux sites.

Pour tout entier naturel non nul $n$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] on note $b_n$ la probabilité qu'un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site B à la fin de la $n$-ième journée,
\item[$\bullet~~$] on note $g_n$ la probabilité qu'un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site G à la fin de la $n$-ième journée.
\end{itemize}

À l'ouverture de la saison, il y a autant d'audio-guides sur le site B que sur le site G.

\smallskip

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}b_n& g_n\end{pmatrix}$ la matrice de l'état probabiliste à la fin de la $n$-ième journée. On rappelle que $b_n + g_n = 1$. On pose $P_0= \begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le graphe probabiliste suivant:

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
%\begin{pspicture}(7,3.1)
%\cnodeput(1,2){B}{B}
%\cnodeput(6,2){G}{G}
%\nccircle[angleA=90]{<-}{B}{0.4cm}\Bput{\ldots}
%\nccircle[angleA=-90]{<-}{G}{0.4cm}\Bput{\ldots}
%\ncarc[arcangle=20]{<-}{B}{G}\Aput{\ldots}
%\ncarc[arcangle=20]{<-}{G}{B}\Aput{\ldots}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{0 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{B}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{G}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$0,15$} \def\valDG{$0,10$}
\def\valGG{$0,90$} \def\valDD{$0,85$}

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
           \psset{arrowsize=3pt 3}
\ncarc[linecolor=colorG,arcangle=40,ArrowInside=-<]{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc[arcangle=40,ArrowInside=-<]{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}


\item% Donner la matrice de transition $M$ associée au graphe.
D'après le texte, on a:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
b_{n+1} & 0,90 b_n + 0,15 g_n\\
g_{n+1} & 0,10 b_n + 0,15 g_n
\end{array}
\right .$

Ce qui s'écrit sous forme matricielle
$\begin{pmatrix}
b_{n+1} & g_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_n & g_n
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,90 & 0,10 \\ 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}$.

La matrice de transition est donc 
$M=
\begin{pmatrix}
0,90 & 0,10 \\ 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}$.

\item  On rappelle que, pour tout entier naturel $n$,\: $P_{n+1} = P_nM$.
	\begin{enumerate}
		\item $P_2 = P_1M = P_0M\times M = P_0 M^2
		= \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \end{pmatrix}
		\times
		\begin{pmatrix}
0,90 & 0,10 \\ 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}^2
\approx
\begin{pmatrix} 0,544 & 0,456 \end{pmatrix}$.
		\item% Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Cela signifie que le deuxième jour, il y a environ $54,4\,\%$ des audio-guides qui sont rendus sur le site B, et environ $45,6\,\%$ qui sont rendus sur le site G.		
				
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans la suite, on admettra que pour tout entier naturel $n$, on a  $b_{n+ 1} = 0,75 b_n+ 0,15$.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Parmi les quatre propositions suivantes, une seule fournit, pour tout entier $n$, l'expression de $b_n$ en fonction de $n$. %Préciser laquelle et justifier votre réponse :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $b_n = -0,1 \times 0,75^n + 0,6$&\textbf{b.~~}$b_n = - 0,6 \times 0,75^n + 0,1$\\
\textbf{c.~~} $b_n = 0,1 \times 0,75^n + 0,6$&\textbf{d.~~}$b_n= - 0,1 \times 0,75^n - 0,6$
\end{tabularx}
\end{center}

On calcule $b_0$ pour chacune des formules proposées:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $b_0 = -0,1 \times 0,75^0 + 0,6 =0,5$&\textbf{b.~~}$b_0 = - 0,6 \times 0,75^0 + 0,1=-0,5$\\
\textbf{c.~~} $b_0 = 0,1 \times 0,75^0 + 0,6=0,7$&\textbf{d.~~}$b_0= - 0,1 \times 0,75^0 - 0,6=-0,7$
\end{tabularx}
\end{center}

La seule formule qui donne $b_0=0,5$ est $b_n = -0,1 \times 0,75^n + 0,6$.

\item  La personne chargée de la gestion des audio-guides prétend que le site G accueillera un jour moins de 35\,\% des audio-guides. %Qu'en pensez-vous ? Justifier votre réponse.

Pour tout $n$, $b_n = -0,1 \times 0,75^n + 0,6$ donc $b_n \leqslant 0,6$. Or $b_n+g_n=1$. On en déduit donc que $g_n \geqslant 0,4$ donc le site G accueillera toujours plus de $40\,\%$ des audio-guides. \\
La personne chargée des audio-guides a donc tort.
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 6~;~4]$ et dont la courbe $\mathcal{C}$ est représentée ci-dessous.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.

\medskip

\begin{center}
%\scalebox{1}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-3.5)(6,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6.5,-3.5)(5.9,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2.2}{5.5}{1.5 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{4}{2 x mul 1 sub 2.71828 x 0.5 mul neg exp add}
\uput[r](-6,6.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[r](-1.8,-2.8){$\mathcal{D}$}
\psdots(4,6)\uput[r](4,6){B}
\end{pspicture*}
%}%fin du scalebox
\end{center}

On a représenté $\mathcal{D}$, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

La droite $\mathcal{D}$ passe par l'origine du repère et par le point B(4~;~6).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique:
	\begin{enumerate}
		\item on peut dire que $f(0)=0$ ;
		\item $f'(0) = \dfrac{y_{\text B} - y_{\text O}}{x_{\text B} - y_{\text O}} = \dfrac{6}{4}=1,5$ ;
		\item la courbe $\mathcal{C}$ semble rester au dessus de ses tangentes sur l'intervalle $[- 6~;~4]$ donc la fonction $f$ semble convexe sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[- 6~;~4]$ et que son expression est 
$f(x) = 2x - 1 + \e^{-\frac{1}{2}x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'intervalle $[- 6~;~4]$, $f'(x)=2-0+ \left (-\dfrac{1}{2} \right )\times \e^{-\frac{1}{2}x} = 2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}$.
		\item On résout sur l'intervalle $[-6\,;4]$ l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$:
		
$f'(x) \geqslant 0 \iff 2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x} \geqslant 0 \iff 2 \geqslant \dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x} \iff 4\geqslant \e^{-\frac{1}{2}x} \iff \ln(4) \geqslant -\dfrac{1}{2}x \\
\phantom{f'(x) \geqslant 0}
\iff -2\ln(4) \leqslant x$

Donc l'intervalle solution est $[-2\ln(4)\,;4]$.
		
		\item Pour établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 6\,;4]$ on calcule:

$f(-6) = -12-1+\e^{3} = \e^{3}-13 \approx 7,1$; $f(-2\ln(4))= -4\ln(4) -1 + \e^{\ln(4)}=3-4\ln(4) \approx -2,5$ et $f(4)= 8-1 +\e^{-2} = 7 + \e^{-2} \approx 7,1$.		
		
On en déduit le tableau des variations de $f$ sur $[-6\,;4]$:

 \begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -6 & \esp & -2\ln(4) & \esp & 4 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{\e^{3}-13}  &  &  &  & \Rnode{max2}{7+\e^{-2}}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{3-4\ln(4)} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
		
		\item% En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.
$f(-6)>0$, $f(-2\ln(4))<0$ et $f(4)>0$ donc, d'après le tableau de variations, l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions sur $[-6\,;4]$: une dans $[-6\,; -2\ln(4)]$ et l'autre dans $[-2\ln(4)\,; 4]$.


		
	\end{enumerate}
\item % Donner un encadrement au centième près de la solution non nulle de l'équation $f (x) = 0$ sur l'intervalle $[-6~;~4]$.
$f(0)=0-1+\e^{0} = 0$ et $0\in [-2\ln(4)\,; 4]$ donc $0$ est la solution de l'équation dans 	$[-2\ln(4)\,; 4]$.

La solution non nulle est donc dans l'intervalle $[-6\,; -2\ln(4)]$; on l'appelle $\alpha$.

À la calculatrice, on trouve successivement:

$f(-5)\approx 1,18 >0$ et $f(-4)\approx -1,6<0$ donc $\alpha \in [-5\,; -4]$.\\
$f(-4,7)\approx 0,086>0$ et $f(-4,6)\approx -0,226 <0$ donc $\alpha \in [-4,7\,; -4,6]$.\\
$f(-4,68)\approx 0,021>0$ et $f(-4,67)\approx -0,01$ donc $\alpha \in [-4,68\,; -4,67]$.

\item % Démontrer la conjecture émise dans la question 1. c.
$f'(x) = 2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}$ donc $f''(x)=0-\dfrac{1}{2}\times \left (-\dfrac{1}{2} \right )\e^{-\frac{1}{2}x} = \dfrac{1}{4}\e^{-\frac{1}{2}x}$.

Sur $[-6\,; 4]$, $f''(x)>0$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.

\item  Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par  $g(x) = x^2 - x - 2 \e^{-\frac{1}{2}x}$.
	
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur [0~;~4].
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $g$ est une primitive la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4] .
$g'(x)= 2x - 1 -2\times \left (-\dfrac{1}{2}\right )\e^{-\frac{1}{2}x} = 2x-1+\e^{-\frac{1}{2}x} = f(x)$ donc la fonction $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[-6\,; 4]$.		
				
		\item La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4] est
		
		$\dfrac{1}{4-0}\ds\int_{0}^{4} f(x) \d x = \dfrac{1}{4}\left [ g(4)-g(0\strut\right ]
		= \dfrac{1}{4}\left [ \left ( 4^2 -4 -2\e^{-2}\right ) - \left ( 0-0-2\e^{0} \right ) \right ]
		= \dfrac{1}{4}\left (14-2\e^{-2} \right )
		\approx 3,43$
		
%En donner une valeur approchée à $0,01$ près
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}