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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Thierry Petit
% Corrigé fait par François Hache 
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\arabic{enumiii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii)}}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\dc}{\Longrightarrow}
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Polynésie - 9 septembre 2015},
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\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{9 septembre  2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES -- Polynésie  9 septembre  2015~\decofourright}
}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}

\subsection*{Exercice 1 \hfill Commun à tous les candidats\hfill 5 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

À une roue de loterie dans une fête foraine, la probabilité annoncée de gagner une partie est égale à $0,12$. Un joueur a la possibilité de jouer plusieurs parties.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un joueur achète un carnet de tickets permettant de faire quatre parties. La valeur la plus approchée de la probabilité que le joueur gagne une seule fois sur les quatre parties
est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\textbf{a.} \np{0,3271}}& \textbf{b.} \np{0,0002} &\textbf{c.} \np{0,4824} &\textbf{d.} \np{0,1215}
\end{tabularx}
%\medskip

La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de parties gagnées suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,12$.
On cherche $P(X=1)$.


\item  Après avoir gagné une partie, le joueur a la possibilité d'emporter son lot ou de le remettre en jeu. La probabilité qu'un joueur emporte son lot sachant qu'il a gagné est 0,8. La valeur la plus approchée de la probabilité qu'il parte avec son lot après une seule partie est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} 0,024 &\textbf{b.} 0,12 &\fbox{\textbf{c.} 0,096} &\textbf{d.} 0,8
\end{tabularx}
%\medskip

En construisant un arbre pondéré, on suit le chemin: $0,12\times 0,8=0,096$

\item
On modélise le nombre de parties jouées par jour à cette loterie par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart-type $\sigma = 10$.

Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(140 < X < 160)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} 0,954 & \fbox{\textbf{b.} 0,683} &\textbf{c.} 0,997 &\textbf{d.} 0,841
\end{tabularx}
%\medskip

On connaît $P(\mu-\sigma < X < \mu + \sigma)\approx 0,68$.

\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item La fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x}$, a pour expression :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $(-x - 1)\text{e}^{-x}$ & \textbf{b.} $(- 2x - 3)\text{e}^{-x}$ & \textbf{c.} $(2x + 3)\text{e}^{-x}$ & \fbox{\textbf{d.} $(-2x + 1)\e^{-x}$}
\end{tabularx}

%\medskip
On applique la formule de dérivation d'un produit de fonctions.

\item Soit un nombre réel strictement positif $a$. 

Parmi ces suites d'inégalités quelle est l'inégalité correcte ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $a < \ln a < \text{e}^a$& \textbf{b.} $\text{e}^a < a < \ln a$
& \textbf{c.} $\ln a < \text{e}^a < a$& \fbox{\textbf{d.} $\ln a < a < \text{e}^a$}
\end{tabularx}
%\medskip

Il suffit de tracer les trois courbes d'équations $y=\ln x$, $y=x$ et $y=\e^{x}$ pour s'en convaincre.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\subsection*{Exercice 2 \hfill Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill  5 points}

%\textbf{}
%
%\medskip
%
%Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de réduire l'utilisation des automobiles en ville en instaurant une taxe pour les automobiles circulant dans une zone du centre ville appelée ZTL (Zone à Trafic Limité) et de développer un réseau de navettes.
%
%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip
%
%L'objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans
%la zone ZTL, dans les deux ans à venir.
%
%Initialement, 40\,\% des automobiles circulant dans la ville, circulaient dans cette zone ZTL.
%Suite à l'instauration de la taxe, l'évolution du trafic dans la ville a été suivie mois après mois.
%L'étude a révélé que, parmi les automobiles circulant dans la ville :
%
%\begin{itemize}
%\item[*] 3\,\% des automobiles circulant dans la zone ZTL n'y circulaient plus le mois suivant.
%\item[*] 0,2\,\% des automobiles qui ne circulaient pas dans la zone ZTL ont été amenés à y circuler le mois suivant.
%\end{itemize}
%
%On note $Z$ l'état: \og l'automobile a circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg et 
%$\overline{Z}$ l'état :
%\og l'automobile n'a pas circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg.
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note :
%
%\begin{itemize}
%\item[*] $a_n$ la proportion d'automobiles circulant dans la zone ZTL au cours du $n$-ième mois;
%\item[*] $b_n$ la proportion d'automobiles ne circulant pas dans la zone ZTL au cours du $n$-ième mois;
%\item[*] $P_n = \left(a_n\: b_n\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste après $n$ mois.
%\end{itemize}
%
%On a : $a_n + b_n; = 1$ et $P_0 = \begin{pmatrix}0,4& 0, 6\end{pmatrix}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $Z$ et $\overline{Z}$:

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{Z1}{$Z$} \hskip 4cm \Rnode{Z2}{$\overline{Z}$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{Z1}{Z2} \Aput{0,03}%  arc pondéré partant de Z
\ncarc{->}{Z2}{Z1} \Aput{0,002}% arc pondéré arrivant à Z
\nccircle[angleA=90]{->}{Z1}{4mm}   \Bput{0,97}%   boucle autour de Z
\nccircle[angleA=-90]{->}{Z2}{.4cm} \Bput{0,998}%  boucle autour de Z barre
\end{pspicture}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe (la première colonne concerne $Z$ et la deuxième concerne $\overline{Z}$).
D'après le texte, on a:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,97\,a_{n} + 0,002\,b_{n}\\
b_{n+1} & 0,03\,a_{n} + 0,998\,b_{n}
\end{array}
\right. $
		
Autrement dit:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998
\end{pmatrix}$

La matrice de transition de l'état $n$ à l'état $n+1$ est donc
$M=
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998
\end{pmatrix}$


		\item% Vérifier que $P_1 = \begin{pmatrix}\np{0,3892}& \np{0,6108}\end{pmatrix}$.
$P_1=P_0\times M = 
\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,4\times 0,97 + 0,6 \times 0,002 & 0,4\times 0,03 + 0,6 \times 0,998
\end{pmatrix}\\
\phantom{P_1}
=
\begin{pmatrix}
0,388 + \np{0,0012} & 0,012 + \np{5988}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\np{0,3892} & \np{0,6108}
\end{pmatrix}
$		
		
 	\end{enumerate}

\item%  L'objectif affiché par la municipalité sera-t-il atteint ?
Pour que l'objectif de la municipalité soit atteint, il faudrait que le pourcentage d'automobiles en ZTL soit ramené à la moitié de 40\,\% en deux ans, c'est-à-dire à 20\,\% en 24 mois.

D'après le cours, on sait que, pour tout entier $n\pg 1$, $P_n = P_0\times M^n$.

\`A la calculatrice on obtient 
$P_{24} 
=
\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998
\end{pmatrix}^{24}
\approx
\begin{pmatrix}
\np{0,2171} & \np{0,7829}
\end{pmatrix}$

Donc $a_{24}\approx \np{0,2171} > 0,20$ donc l'objectif affiché par la municipalité ne sera pas atteint.

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}

\parbox{0.4\linewidth}{Un réseau de navettes gratuites est mis en
place entre des parkings situés aux abords de la ville et les principaux sites de la ville.
 
Le graphe ci-contre indique les voies et les temps des liaisons, en minutes, entre ces différents sites.}
\hfill
\parbox{0.57\linewidth}{ \psset{unit=1.15cm}
\begin{pspicture}(6.5,5)
\cnodeput(2,4.5){A}{A}
\cnodeput(2,2.5){B}{B}
\cnodeput(2,0.5){C}{C}
\cnodeput(4,4.5){D}{D}
\cnodeput(4,0.5){E}{E}
\cnodeput(5.5,4.5){F}{F}
\cnodeput(6,2.5){G}{G}
\cnodeput(0.5,2.5){H}{P}
\ncline{A}{D}\ncput*{5}
\ncline{D}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\ncline{A}{H}\ncput*{9}
\ncline{A}{E}\ncput*{6}
\ncline{B}{H}\ncput*{8}
\ncline{B}{C}\ncput*{3}
\ncline{B}{E}\ncput*{5}
\ncline{C}{H}\ncput*{4}
\ncline{C}{E}\ncput*{9}
\ncline{D}{B}\ncput*{6}
\ncline{D}{E}\ncput*{4}
\ncline{D}{G}\ncput*{8}
\ncline{D}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\ncline{E}{G}\ncput*{10}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Peut-on envisager un itinéraire qui relierait le parking P à la gare G en desservant une et une seule fois tous les sites ?
Sur ce graphe, c'est assez facile de trouver un itinéraire reliant le parking P à la gare G en desservant une et une seule fois tous les sites:

\hfill P -- B -- C -- E -- A -- D -- F -- G\hfill{} 

\medskip

\emph{Note du correcteur}

\emph{Rechercher dans un graphe un trajet qui passe une et une seule fois par tous les sommets, c'est chercher un chemin hamiltonien; cette notion n'est pas au programme de la spécialité en ES mais dans le graphe proposé ici, il n'y avait guère de difficulté pour répondre à la question.}

\emph{Il n'existe pas -- à ma connaissance -- de condition nécessaire et suffisante pour qu'un graphe admette un chemin hamiltonien.}

\item% Peut-on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?
On cherche un chemin qui emprunte une et une seule fois toutes les voies et qui relie P à G, autrement dit un chemin eulérien.

Or, d'après le théorème d'Euler, il existe un chemin eulérien dans un graphe si et seulement si tous les sommets ou tous les sommets sauf 2 sont de degrés pairs. Tous les sommets de ce graphe sont de degrés impairs sauf F, donc il n'existe aucun itinéraire qui emprunte une et une seule fois toutes les voies.

\item On va déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G au moyen de l'algorithme de Dijkstra:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{9}{c|}}
\hline 
 P &  A  &  B  &  C  &  D   &   E   &   F   &   G  &{\small On garde} \\ 
\hline 
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & P \\
\hline
 & 9 P & 8 P & \sur{4 C} & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & C \\
\hline
 & 9 P & \sout{8 P} &  & $\infty$ &  & $\infty$ & $\infty$ &  \\[-3pt]
 &     & \sur{7 C} &  &  & 13 C &  &  & B \\
\hline
 & \sur{9 P} &  &  &      & 13 C  & $\infty$ & $\infty$ &  \\[-3pt]
 &     &  &  & 13 B &  &  &  & A \\
\hline
 &  &  &  & \sur{13 B} & 13 C        & $\infty$ & $\infty$ &  \\[-3pt]
 &  &  &  & \sout{14 A}& \sout{15 A} &  &  & D \\
\hline
 &  &  &  &  & \sur{13 C} &  &  &  \\[-3pt]
  &  &  &  &  &  & 18 D & 21 D & E \\
\hline
  &  &  &  &  &  & \sur{18 D} & 21 D        &  \\[-3pt]
  &  &  &  &  &  &            & \sout{23 E} & F \\
\hline
$\phantom{21 D}$  &  &  &  &  &  &  & \sur{21 D}  &  \\[-3pt]
  &  &  &  &  &  &  & \sout{25 F} & G \\
\hline
\end{tabular} }
\end{center} 

Le chemin le plus rapide de P vers G est d'une durée de 21 minutes:

\hfill{}
P $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ 
C $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{6}{\longrightarrow}$ 
D $\stackrel{8}{\longrightarrow}$ G
\hfill{}


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\subsection*{Exercice 3 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\medskip
 
\textbf{Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises}

%\medskip
%
%Un cabinet d'audit a été chargé d'étudier la répartition des salaires dans deux filiales d'une entreprise, appelées A et B. Pour l'étude, les salaires sont classés par ordre croissant.
%\medskip
%
%\parbox{0.47\linewidth}{Le cabinet d'audit a modélisé la répartition de
%salaires par la fonction $u$ pour la filiale A et par la fonction $v$ pour la filiale B.
%
%Les fonctions $u$ et $v$ sont définies sur l'intervalle [0~;~1] par :
%
%$u(x) = 0,6x^2 + 0, 4x$ et
%
%$v(x) = 0,7x^3 + 0,1x^2 + 0, 2x$.
%
%On a tracé ci-contre les courbes représentatives
%$\mathcal C$ et $\mathcal{C'}$ des fonctions $u$ et $v$.}
%\hfill
%\parbox{0.47\linewidth}{
%\psset{unit=5cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.02,1.1)
%\def\pshlabel#1{\small #1}
%\def\psvlabel#1{\small #1}
%
%\def\f{x}
%\def\u{x dup mul 0.6 mul 0.4 x mul add}
%\def\v{x 3 exp  0.7 mul x dup mul  0.1 mul add 0.2 x mul add}
%
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
%{
%\psplot{0}{1}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(1,0)\lineto(0,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=white,hatchangle=-45]
%{
%\psplot{0}{1}{\v} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(1,0)\lineto(0,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%
%\psgrid[linestyle=dashed,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.09,-0.09)(1.1,1.1)
%\psline(1,0)(1,1.1)
%\psdots(0.6,0.3072)\uput[dr](0.6,0.3072){E}
%\uput[dr](0.72,0.5){$\mathcal C$}
%\uput[ul](0.33,0.17){$\mathcal{C'}$}
%
%\psplot[linestyle=dashed]{0}{1}{\f}
%\rput{45}(0.75,0.8){$D\::\:y = x$}
%\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}{\u}
%\psplot[linewidth=1pt]{0}{1}{\v}
%
%\end{pspicture}
%}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la courbe représentative de la fonction $u$ en justifiant la réponse.
La courbe $\mathcal C$ passe par le point E d'abscisse 0,6; graphiquement on voit que son ordonnée est approximativement de 0,3.

$u(0,6)=0,6\times 0,6^2+0,4\times 0,6 = 0,456$
et
$v(0,6)=0,7\times 0,6^3 + 0,1\times 0,6^2 +0,2\times 0,6 = \np{0,3072}$

Donc la courbe $\mathcal C$ est la représentation de la fonction $v$, et donc la courbe représentative de la fonction $u$ est $\mathcal{C'}$.

On a alors:
\hfill
\begin{tabular}[t]{|l |c |c|}
\hline
Filiale & A & B\\
\hline
Fonction & $u$ & $v$ \\
\hline
Courbe & $\mathcal{C'}$ & $\mathcal{C}$\\
\hline
\end{tabular}
\hfill{}

\item % Lorsque $x$ représente un pourcentage de salariés, $u(x)$ et $v(x)$ représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives.

%Exemple : pour la courbe $C$, le point E(0,60~;~0,3072) signifie que 60\,\% des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 30,72\,\% de la masse salariale.

	\begin{enumerate}

		\item% Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50\,\% des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires.
Pour avoir le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50\,\% des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires, on calcule $u(0,5)$ que l'on exprimera en pourcentage.

$u(0,5)=0,6\times 0,5^2+0,4\times 0,5 = 0,35$ donc 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires dans la filiale A se partagent 35\,\% de la masse salariale.

		\item% Pour les 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale ?
$v(0,5) = 0,7\times 0,5^3 + 0,1\times 0,5^2 +0,2\times 0,5 = \np{0,2125}$;
donc 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires dans la filiale B se partagent 21,25\,\% de la masse salariale.

Donc pour les 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires, c'est la filiale A qui distribue la plus grande part de la masse salariale.

		\item%  Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire ?
D'après la question précédente, c'est la filière B qui semble avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire.		
		
 	\end{enumerate}
 	
\item  Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une fonction $f$ modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule :
	
\[c_f = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x\right)\]
	
	\begin{enumerate}
	
		\item% Montrer que $c_u = 0,2$.
$c_u = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 u(x)\d x \right)$

Une primitive $U$ de la fonction $u$ sur $\cd 0\,;\,1 \cg$ est définie par:

$U(x)=0,6 \dfrac{x^3}{3} + 0,4 \dfrac{x^2}{2}= 0,2x^3+0,2x^2$;
$\ds\int_{0}^1 u(x) \d x = U(1) - U(0) = 0,4$

Donc $c_u= 2(0,5-0,4)=0,2$
	
		\item% En observant que $\dfrac{c_v}{2} = \displaystyle\int_0^1x\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^1v(x)\:\text{d}x$, donner une interprétation graphique de $\dfrac{c_v}{2}$ en termes d' aires.

\begin{multicols}{2}
$c_v = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 v(x) \d x \right)$
 donc 
 
 $\dfrac{c_v}{2} = \dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 v(x) \d x$
 
De plus, $\dfrac{1}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ est la moitié de l'aire du carré de côté 1, donc c'est l'aire du domaine compris entre la droite d'équation $y=x$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$; autrement dit $\dfrac{1}{2} = \ds\int_0^1 x \d x$. 

$\ds\int_0^1 v(x) \d x$ représente l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

\columnbreak

\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.02,1.1)
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}

\def\f{x}
\def\u{x dup mul 0.6 mul 0.4 x mul add}
\def\v{x 3 exp  0.7 mul x dup mul  0.1 mul add 0.2 x mul add}

\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{1}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}
\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=white,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{1}{\v} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}

\psgrid[linestyle=dashed,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,1.1)
\psdots(0.6,0.3072)\uput[dr](0.6,0.3072){E}
\uput[dr](0.72,0.5){$\mathcal C$}
\uput[ul](0.33,0.17){$\mathcal{C'}$}
\psplot[linestyle=dashed]{0}{1}{\f}
\rput{45}(0.75,0.8){$D\::\:y = x$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}{\u}
\psplot[linewidth=1pt]{0}{1}{\v}
\end{pspicture}
\end{multicols}

Donc $\dfrac{c_v}{2}$ représente l'aire du domaine hachuré sur le graphique ci-dessus.

		\item% En déduire que $c_v$ est compris entre 0 et 1.
L'aire du domaine hachuré est plus petite que 0,5 donc $c_v \pp 1$.

De plus, $c_v$ représente une aire donc est positive: $0 \pp c_v \pp 1$

		\item% Justifier l'inégalité $c_u \leqslant c_v$.
\begin{multicols}{2}
De la même manière, on prouverait que $\dfrac{c_u}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ est égal à l'aire du domaine hachuré dans le graphique ci-contre.\\\\
En comparant les aires, on en déduit que\\[10pt]
\hspace*{2cm}$\dfrac{c_u}{2} \pp \dfrac{c_v}{2}$\\[10pt]
et donc que $c_u \pp c_v$

\columnbreak

\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.02,1.1)
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}

\def\f{x}
\def\u{x dup mul 0.6 mul 0.4 x mul add}
\def\v{x 3 exp  0.7 mul x dup mul  0.1 mul add 0.2 x mul add}

\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{1}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}
\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=white,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{1}{\u} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}

\psgrid[linestyle=dashed,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,1.1)
\psdots(0.6,0.3072)\uput[dr](0.6,0.3072){E}
\uput[dr](0.72,0.5){$\mathcal C$}
\uput[ul](0.33,0.17){$\mathcal{C'}$}

\psplot[linestyle=dashed]{0}{1}{\f}
\rput{45}(0.75,0.8){$D\::\:y = x$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}{\u}
\psplot[linewidth=1pt]{0}{1}{\v}

\end{pspicture}

\end{multicols}

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

On considère une fonction $P$ définie et dérivable sur l'intervalle \cd{}0~;~60\cg.

On donne, ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal C$ de la fonction $P$.

%\medskip

\begin{center}
%\begin{figure}[t]
%\centering
\psset{xunit=0.21cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(62,18)
\psgrid[gridwidth=0.15pt,subgriddiv=1,subgriddots=5,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(62,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2](0,0)(62,18)
\def\f{2.71828 0.1 x mul 5 sub exp 60 x sub mul 6 add}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{60}{\f}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{60}{10}
\psplot[linewidth=0.8pt]{28}{50}{0.368 x mul 1.358 sub}
\psline{<->}(28,9)(50,17)
\psline[linestyle=dashed](40,0)(40,13.358)(0,13.358)
\uput[u](32,11){\blue $\mathcal C$}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{10}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(10,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}
\end{pspicture}
%\end{figure}
\end{center}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

%À partir d'une lecture graphique répondre aux questions qui suivent :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% En argumentant la réponse, donner le signe de $P'(54)$, où $P'$ est la fonction dérivée de $P$.
Autour de $x = 54$, la fonction $P$ est décroissante donc le nombre dérivé $P'(54)$ est négatif.

\item% Donner un intervalle sur lequel la fonction $P$ est convexe.
D'après le graphique, la courbe $\mathcal{C}$ traverse sa tangente au point d'abscisse 40. Ce point est donc un point d'inflexion. La fonction $P$ est convexe sur l'intervalle $\cd{}0\,;\,40\cg$.

\item% Donner, à l'unité près, les solutions de l'équation $P(x) = 10$.
Pour déterminer graphiquement les solutions de l'équation $P(x) = 10$, on trace la droite d'équation $y = 10$. 
 
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de cette droite et de la courbe $\mathcal C$.

Les solutions de l'équation $P(x) = 10$ sont, à l'unité près, 30 et 58.

\item On note $A$ le nombre $\displaystyle\int_0^{10}  P(x)\:\text{d}x$; il correspond à l'aire du domaine hachuré sur le graphique.

Donc $60 < A < 70$

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}
 
%\medskip
 
La fonction $P$ est définie sur l'intervalle \cd{}0~;~60\cg{} par : 
$P(x) = 6 + (60 - x )\e^{0,1x-5}$
 
%À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu les résultats suivants :
% 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.85\linewidth} {|*{2}{X|}}\hline
%\textbf{Actions}&\textbf{Résultats}\\ \hline\hline
%definir(P(x)=6+(60-x)*exp(0,1*x-5))	& x $\mapsto$ 6+(60-x)*exp(0.1*x-5)\\ \hline
%deriver(P(x),x)						&(-0.1*x+5)exp(0.1*x-5)\\\hline
%deriver(deriver(P(x),x),x)			&(-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5)\\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Étudier le signe de $P'(x)$ sur l'intervalle [0~;~60] où $P'$ est la fonction dérivée de $P$.
D'après les résultats donnés par le logiciel de calcul formel, 
$P'(x)=(-0,1x+5)\e^{0,1x-5}$

\begin{list}{\textbullet}{Pour tout $x$, $\e^{0,1x-5} >0$ donc $P'(x)$ est du signe de $-0,1x+5$ c'est-à-dire:}
\item strictement positif si $-0,1x+5>0$ soit sur $\cd{}0\,;\,50\cd$;

\item strictement négatif si $-0,1x+5<0$ soit sur $\cg{}50\,;\,60\cg$.

\end{list}

		\item% En déduire les variations de la fonction $P$ sur l'intervalle [0~;~60] et vérifier que la fonction $P$ admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.

\begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente, on peut dire que:}

\item la fonction $P$ est strictement croissante sur $\cd{}0\,;\,50\cg$;

\item la fonction $P$ est strictement décroissante sur $\cd{}50\,;\,60\cg$;

\item la fonction $P$ admet un maximum en $x=50$ qui vaut $P(50)=16$.
\end{list}
		
	\end{enumerate}
	
\item% Montrer que l'équation $P(x) = 10$ a une solution unique $x_0$ sur l'intervalle [0~;~40].
$P(0)\approx 6,4 < 10$ et $P(60)=6$

On peut établir le tableau de variations de la fonction $P$ sur $\cd{}0\,;\,60\cg$:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 50 & \hspace*{\esp} & 60 \\ 
\hline
%P'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{16}  &  &   \\  
P(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{\approx 6,4} &   &  &  &   \Rnode{min2}{6} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \rput*(-5.7,0.87){\Rnode{zero}{\blue 10}}
\rput(-5.7,2.4){\Rnode{alpha}{\blue x_0}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
%\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

D'après ce tableau de variations, on peut dire que l'équation $P(x)=10$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cd{}0\,;\,50\cg$.
	
%Donner une valeur approchée de $x_0$ à 0,1 près.
$\left. 
\begin{array}{l !{\approx} r}
P(29) & 9,8\\
P(30) & 10,1
\end{array}
\right\rbrace
\dc
x_0 \in \cd{}29\,;\,30 \cg$ 
\hfill
$\left. 
\begin{array}{l !{\approx} r}
P(29,7) & 9,98\\
P(29,8) & 10,01
\end{array}
\right\rbrace
\dc
x_0 \in \cd{}29,7\,;\,29,8 \cg$ 

\medskip

Donc $29,7$ est une valeur approchée de $x_0$ à 0,1 près.


\item% En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction $P$.
La fonction $P$ est convexe sur les intervalles sur lesquels sa courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes, ce qui correspond  aux intervalles sur lesquels la fonction dérivée est croissante, ce qui correspond aux intervalles sur lesquels la fonction dérivée seconde est positive.

D'après les résultats donnés par le logiciel de calcul formel, $P''(x)=(-0,01x+0,4)\e^{0,1x-5}$.

$P''(x)>0 \iff -0,01x+0,4 >0 \iff 0,4 > 0,01x \iff 40 >x$

Donc la fonction $P$ est convexe sur $\cd{}0\,;\,40\cd{}$ et concave sur $\cg{}40\,;\,60\cg{}$. 

\end{enumerate}

\end{document}