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% Merci à Marc Incamps du lycée de Raiatea
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Polynésie~\decofourright\\11 juin 2010}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{{Exercice 1 \hfill 3 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.}

\bigskip
 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.
%
%Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip
% 
%\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,5$ point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.}
%
%\medskip
% 
\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 4~;~6]$ dont la courbe est représentée sur la figure ci-dessous dans un repère orthonormé.
% 
%Les points A$(- 1~;~0)$, B (1~;~4), et C(3~;~0) appartiennent à la représentation graphique de $f$.

%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(-4,-7)(6,5.5)
%
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-2.2}{4.2}{2 x mul 3 add x dup mul sub}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-4,-7)(6,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-7)(6,5)
%\uput[ul](-1,0){A} \uput[u](1,4){B} \uput[ur](3,0){C} \uput[dl](0,0){O} 
%\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,4.9){$y$}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Parmi les trois courbes suivantes, laquelle est la représentation graphique d'une primitive de la fonction $f$ ? 
%
%\psset{unit=0.3cm}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\begin{pspicture}(-4,-4)(6,12)
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-4}{5.4}{x 4 exp 4 div x dup mul 7.2 mul sub 4.8 add neg 0.24 mul}
%\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,12){$y$}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-4,-4)(6,12)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-4)(6,12)
%\end{pspicture}&
%\begin{pspicture}(-4,-10)(6,6)
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3}{5.1}{3 x mul x dup mul add x 3 exp 3 div sub neg }
%\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,6){$y$}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-4,-10)(6,6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-10)(6,6)
%\end{pspicture}&
%\begin{pspicture}(-4,-3)(6,13)
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3}{5.1}{3 x mul x dup mul add x 3 exp 3 div sub}
%\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,13){$y$}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-4,-3)(6,13)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-3)(6,13)
%\end{pspicture}\\
%Courbe $\mathcal{C}_{1}$&Courbe $\mathcal{C}_{2}$&Courbe $\mathcal{C}_{3}$
%\end{tabularx}
%
%\medskip
Si l'une des courbes est la représentation d'une primitive $F$ de $f$, on a $F'(x) = f(x)$, donc le signe de $f$ est celui de la dérivée de $F$ qui donne la croissance ou la décroissance de $F$.

Du signe de $f(x)$ on déduit que la fonction $F$ doit être décroissante sauf sur $[- 1~;~3]$ ce qui élimine $\mathcal{C}_{1},\:\mathcal{C}_{2}$. Il reste donc $\mathcal{C}_{3}$.
\item %Une primitive de la fonction $g$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $g(x) = x\text{e}^x$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet{}$ $G(x) = \dfrac{x^2}{2}\text{e}^x$&$\bullet{}$ $G(x) = (x + 1)\text{e}^x$& $
%G(x) = (x - 1)\text{e}^x$\\
%\end{tabularx}
On a sur $\R,\: \left((x - 1)\text{e}^x \right)' = \text{e}^x + (x - 1)\text{e}^x = \text{e}^x(1 + x - 1) = x\text{e}^x$.
\medskip

\item %La fonction $h$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $h(x) = 0,8^x$ est égale à la fonction $k$ définie sur $\R$ par :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet{}$ $k(x) = \text{e}^{x\ln (0,8)}$&$\bullet{}$ $k(x) = \text{e}^{0,8\ln (x)}$& $k(x) = 0,8\text{e}^x$\\
%\end{tabularx}
Réponse 1. 
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%Dans le service informatique d'une société, chaque informaticien a le choix entre deux logiciels de gestion : d'une part le logiciel Bestmath, leader du marché, et d'autre part le logiciel Aurora, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des utilisateurs.
%Lors de l'enquête de janvier 2009, la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora est $0,32$.
%
%Lors de l'enquête suivante en janvier 2010, il a été constaté que 20\,\% des utilisateurs d'Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Bestmath, tandis que 25\,\% des utilisateurs de Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.
%
%\medskip
%
%On interroge un informaticien au hasard et on définit les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item A$_{1}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la première année \fg{ ;}
%\item B$_{1}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la première année \fg{ ;}
%\item A$_{2}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la deuxième année \fg{ ;}
%\item B$_{2}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la deuxième année \fg{ ;}
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré illustrant la situation.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_1$~}\taput{0,32}}
	{\TR{$A_2$}\taput{0,8}
	\TR{$B_2$}\tbput{0,2}
	}
\pstree{\TR{$B_1$~}\tbput{0,68}}
	{\TR{$A_2$}\taput{0,25}
	\TR{$B_2$}\tbput{0,75}
	}

}
\end{center}
\medskip

\item %Calculer la probabilité qu'un informaticien utilise le logiciel Bestmath la première et la deuxième année.
Il faut trouver $p\left(B_1 \cap  B_2\right) = p\left(B_1 \right) \times p_{B_1}\left(B_2 \right) = 0,68 \times 0,75 = 0,51$.
\item %Vérifier que la probabilité de l'évènement B$_{2}$ est $p\left(B_{2}\right) : 0,574$.
On a $p\left(A_1 \cap  B_2\right) = p\left(A_1 \right) \times p_{A_1}\left(B_2 \right) = 0,32 \times 0,2 = 0,064$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p\left(B_2 \right) = p\left(A_1 \cap  B_2\right) + p\left(B_1 \cap  B_2\right) = 0,064 + 0,51 = 0,574$.
\item %Calculer la probabilité qu'un informaticien ait utilisé le logiciel Bestmath la première année, sachant qu'il l'utilise la deuxième année (on donnera le résultat arrondi au millième).
On calcule $p_{B_2}\left(B_1\right) = \dfrac{p\left(B_1 \cap B_2\right)}{p\left(B_2 \right)} = \dfrac{0,68 \times 0,25}{0,574}= \dfrac{0,17}{0,574} \approx 0,296$.
\item %On interroge   au hasard et de façon indépendante trois informaticiens du service.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité qu'au moins un des trois informaticiens ait utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près).
On calcule le probabilité qu'aucun des trois n'utilise Aurora la deuxième année, donc que les trois utilisent Bestmath. On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p\left(B_2 \right) = 0,574$.

La probabilité est égale à $0,574^3$, donc la probabilité demandée est égale à $1 - 0,574^3 \approx 0,811$.
		\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
%Calculer la probabilité qu'exactement deux des trois informaticiens aient utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près).
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p\left(A_2 \right) = 1 - p\left(B_2 \right) = 1 - 0,574 = 0,426$.

Les cas favorables sont AAB, ABA et BAA donc en nombre égal à 3 et chacun de ces évènements a une probabilité de $0,426^2 \times 0,574$.

La probabilité demandée est donc égale à :
$3 \times 0,426^2 \times 0,574 \approx 0,313$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%Dans une société, le service informatique utilise deux logiciels de gestion : d'une part, le logiciel Aurora, leader du marché, et d'autre part le logiciel Bestmath, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier et en juillet, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des  utilisateurs.
% 
%Lors de l'enquête de janvier 2009, le chef de réseau a constaté que 32\:\% des informaticiens utilisait le logiciel Aurora, les autres informaticiens utilisaient le logiciel Bestmath.
% 
%Lors de chaque relevé suivant (juillet 2009, janvier 2010, ... ), le chef du réseau informatique a constaté que 20\,\% des utilisateurs du logiciel Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient  désormais le logiciel Bestmath, tandis que 25\:\% des utilisateurs du logiciel Bestmath avaient 
%changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.
% 
%Les semestres sont comptés à partir de janvier 2009, que l'on appellera semestre $0$ (juillet 2009 est donc le semestre 1).
% 
%Pour tout entier naturel $n$, on désigne par :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{enumerate}
%\item[$\bullet{}$] $a_{n}$ la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora le  semestre $n$ ;
%\item[$\bullet{}$] $b_{n}$ la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Bestmath le  semestre $n$. 
%\end{enumerate}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Traduire les données l'énoncé par un graphe probabiliste.
		\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(-0.15,1){0,8} \rput(5.2,1){0,75}
\rput(2.5,2){0,2} \rput(2.5,0){0,25}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
		\item %Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
		La matrice de transition est $M = \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,25&0,75 \end{pmatrix}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On note P$_{0} = \left(a_{0}\quad b_{0}\right)$ l'état initial de ce graphe en janvier 2009. Déterminer P$_{0}$.
On a P$_0 = \begin{pmatrix}0,32&0,68 \end{pmatrix}$. 
		\item %On appelle P$_{1}$ l'état de la société en juillet 2009. Vérifier que 
		
%P$_{1} = (0,426 \quad  0,574)$.
P$_1 = \text{P}_0 \times M = \begin{pmatrix}0,32&0,68 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,25&0,75 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,426&0,574 \end{pmatrix}$.
		\item %On appelle P$_{2}$ l'état en janvier 2010. Déterminer P$_{2}$ (les résultats seront arrondis à $10^{-3}$).
P$_2 = \text{P}_0 \times M^2 = \begin{pmatrix}0,32&0,68 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,25&0,75 \end{pmatrix}^2 =  \begin{pmatrix}0,484&0,516 \end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item  %Dans cette partie on étudie la suite $\left(a_{n}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $a_{n+1} = 0,55a_{n} + 0,25$.
De P$_{n+1} = \text{P}_n \times M$ on déduit que :

$\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{n}&b_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,25&0,75 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8a_{n} + 0,25b_n&0,2a_n + 0,75b_{n} \end{pmatrix}$, d'où en particulier :

$a_{n+1} = 0,8a_{n} + 0,25b_n$, mais comme $a_n + b_n = 1 \iff b_n = 1 - a_n$, on obtient :

$a_{n+1} = 0,8a_{n} + 0,25\left(1 - a_n \right) = 0,55a_n + 0,25$. 

Pour tout naturel $n$, \: $a_{n+1} = 0,55a_n + 0,25$.
		\item %On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
		
%$U_{n} = \dfrac{5}{9} - a_{n}$.
		
%Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique, déterminer sa raison ainsi que le premier terme.
On a $U_{n+1} =  \dfrac{5}{9} - a_{n+1} = \dfrac{5}{9} - \left(0,55a_n + 0,25 \right) =  \dfrac{5}{9} - \dfrac{1}{4} - 0,55a_n = \dfrac{20 - 9}{36} - 0,55a_n = \dfrac{11}{36} - 0,55a_n = \dfrac{11}{36} - \dfrac{55}{100}a_n =   \dfrac{11}{36} - \dfrac{11}{20}a_n = \dfrac{11}{20}\left(\dfrac{20}{36} - a_n \right) = \dfrac{11}{20}\left(\dfrac{5}{9} - a_n \right) = \dfrac{11}{20}U_n$.

L'égalité $U_{n+1} = \dfrac{11}{20}U_n$ montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{11}{20}$ de premier terme $U_0 = \dfrac{5}{9} - a_0 = \dfrac{5}{9} - 0,32 = \dfrac{5}{9} - \dfrac{8}{25} = \dfrac{125 - 72}{225} = \dfrac{53}{225}$.
		\item %En déduire l'expression de $U_{n}$ puis de $a_{n}$ en fonction de $n$.
		On sait que quel que soit le naturel $n$, \: $U_{n} = \dfrac{53}{225}\times \left(\dfrac{11}{20} \right)^n$.
		
D'autre part $U_n = \dfrac{5}{9} - a_{n} \iff a_n = \dfrac{5}{9} - U_n = \dfrac{5}{9} - \dfrac{53}{225}\times \left(\dfrac{11}{20} \right)^n$.  
	\end{enumerate}
\item %Soit P $ = (x \quad y)$ l'état probabiliste stable.

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $x$ et $y$.
Les termes de $M$ étant non nuls il y a un état stable $P = \begin{pmatrix}x&y \end{pmatrix}$ 

 (avec $x + y = 1$) tel que :

$P = P \times M \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x		&=		&0,8x + 0,25y\\
y		&=		&0,2x + 0,75y\\
x + y	&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,2x - 0,25y	&=&0\\
- 0,2x + 0,25y	&=&0\\
x + y			&=&1
\end{array}\right.\iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
0,2x - 0,25y&=&0\\
x + y		&=&1
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,8x - y&=&0\\
x + y	&=&1
\end{array}\right. \Rightarrow (\text{par somme}) \: 1,8x = 1 \iff x = \dfrac{1}{1,8}  = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}$ et par conséquent $y = \dfrac{4}{9}$.

On a donc $P = \begin{pmatrix} \dfrac{5}{9}&\dfrac{4}{9}\end{pmatrix}$.
		\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans dans l'évaluation.}
		
%On suppose que l'utilisation du logiciel Aurora dans l'entreprise progresse régulièrement de la même façon. Le distributeur du logiciel Aurora peut-il espérer que son logiciel soit utilisé un jour par plus de 60\:\% des informaticiens de l'entreprise ? 
On a $a_n = \dfrac{5}{9} - \dfrac{53}{225}\times \left(\dfrac{11}{20} \right)^n$.

Comme $0 < \dfrac{11}{20} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{11}{20} \right)^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = \dfrac{5}{9}$.

Or 	$\dfrac{5}{9} = \dfrac{5\times 12}{9\times 12} = \dfrac{60}{108} < \dfrac{60}{100}$.

La proportion de ceux qui utilisent le logiciel Aurora n'atteindra jamais les 60\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%Dans le cadre de son action en faveur du développement durable, le conseil Régional d'une région A de France métropolitaine rassemble et analyse des données sur la circulation des déchets valorisables par le recyclage. Depuis 2000, le ministère de l'Environnement fournit des données statistiques sur les quantités de déchets exportés de la région A en vue de leur valorisation.
% 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année&2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}~1 \leqslant i \leqslant 7$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
%Déchets exportés $y_{i}$ (en tonnes)  $1 \leqslant i \leqslant 7$&797 &816 &\np{1140}
% &\np{1921} &\np{2199} &\np{3165} &\np{4195}\\ \hline
%\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : Ministère de l'Environnement (MEEDDAT)}}\\
%\end{tabularx} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sur la feuille de papier millimétré jointe, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right){} (1 \leqslant i \leqslant 7)$, le plan étant rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 200~tonnes sur l'axe des ordonnées.
Voir à la fin. 
\item %On considère qu'un ajustement exponentiel est adapté à l'analyse. Pour 

%$1 \leqslant i \leqslant 7$ on pose alors $z_{i} = \ln y_{i}$.

	\begin{enumerate}
		\item ~%Recopier sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter avec les valeurs de $z_{i}$ arrondies au centième : 
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_{i}$ de l'année,{}  $1 \leqslant i \leqslant 7$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i},~{}~1 \leqslant i \leqslant 7$&6,68&6,70&7,04&7,56&7,7&8,06&8,34\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item %À l'aide de la calculatrice, et en utilisant les données du tableau ci-dessus, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = ax + b$ (les coefficients seront arrondis au millième).
		La calculatrice donne $z = 0,299x + 6,246$ (les coefficients ont été arrondis au millième près).
		\item %En déduire une approximation de la quantité de déchets exportés $y_{i}$, exprimée en tonnes, en fonction du rang de l'année $x$ sous la forme
		
%\[y = \alpha \text{e}^{\beta x}\]
Comme $z = \ln y = 0,299x + 6,246 \iff y = \text{e}^{0,299x + 6,246} = \text{e}^{0,299x} \times \text{e}^{6,246}$.

Or $\text{e}^{6,246} \approx 515,9$, donc en arrondissant à l'unité $\alpha$ et $\beta$ au centième on obtient finalement :

$y = 516\text{e}^{0,30x}$.
	\end{enumerate}
\item %Selon cet ajustement, quelle quantité de déchets,	arrondie à une centaine de tonnes, peut être exportée de la région A en vue d'une valorisation à l'horizon 2011 ? 
2011 correspond à $x = 10$, d'où $y = 516\text{e}^{0,30 \times 10} = 516\text{e}^{3} \approx \np{10364}$ soit à la centaine de tonnes près \np{10400}~tonnes.
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 4 \hfill 7 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~10] par 
%
%\[f(x) = - 0,25x^2 + 2x  + 3\ln (x + 1) - 1,75 - 3\ln 2.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
$f(0) = - 0,25\times 0^2 + 2\times 0  + 3\ln (0 + 1) - 1,75 - 3\ln 2 = - 1,75 - 3\ln 2$.

$f(1) = - 0,25\times 1^2 + 2\times 1  + 3\ln (1 + 1) - 1,75 - 3\ln 2 = 0$.
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable  sur [0~;~10] ; on note $f'$ sa fonction dérivée sur cet intervalle. 

%Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10],

%\[f'(x) =  \dfrac{-0,5(x + 2)(x - 5)}{x + 1}.\]
Sur [0~;~10], $f'(x) = - 2 \times 0,25x + 2 + 3\dfrac{1}{x + 1} = 2 - 0,5x + \dfrac{3}{x + 1} = \dfrac{(2 - 0,5x)(x + 1) + 3}{x + 1} = $

$\dfrac{2x + 2 - 0,5x^2 - 0,5x + 3}{x+1} = \dfrac{- 0,5x^2 + 1,5x + 5}{x + 1}$.

Or $-0,5(x + 2)(x - 5) = - 0,5\left(x^2 - 5x + 2x - 10 \right) = - 0,5\left(x^2 - 3x - 10 \right) = - 0,5x^2 + 1,5x + 5$.

On a donc bien sur [0~;~10], \: $f'(x) =  \dfrac{-0,5(x + 2)(x - 5)}{x + 1}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~10].
$f'(x) = 0,5(x + 2)(5 - x)$ est du signe du trinôme $(x + 2)(5 - x)$  donc négatif sauf entre les racines $- 2$ et 5.
		\item %Déterminer les variations de la fonction $f$ sur [0~;~10].
Donc sur $]- 2~;~5[,\:\: f'(x) > 0$ : la fonction est donc croissante sur [0~;~5] de $f(0) = - 1,75 - 3\ln 2$ à $f(5) = - 0,25\times 5^2 + 2\times 5  + 3\ln (5 + 1) - 1,75 - 3\ln 2 = 2 + 3\ln 6 - 3\ln 2 = 2 + 3(\ln 6 - \ln 2) = 2 + 3\ln \frac{6}{2} = 2 + 3\ln 3$ ;
		
Sur [5~;~10] la fonction est décroissante de $f(5) = 2 + 3\ln 3$ à $f(10) = - 0,25\times 10^2 + 2\times 10  + 3\ln (10 + 1) - 1,75 - 3\ln 2 = -6,75 + 3\ln 11 - 3\ln 2 = 3\ln \frac{11}{2} - 6,75 \approx - 1,6$.
		\item %Calculer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au dixième du maximum de la fonction $f$ sur [0~;~10].
On a vu que le maximum est $f(5) =  2 + 3\ln 3 \approx 5,3$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle [5~;~10] une solution unique $x_{0}$.
Sur l'intervalle [5~;~10], la fonction $f$ :

-- est décroissante de $2 + 3\ln 3 > 0$ à $3\ln \frac{11}{2} - 6,75 < 0$

-- continue car dérivable ;

donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe un réel unique $x_0 \in [5~;~10]$ tel que $f\left(x_0 \right) = 0$.
		\item %Donner, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée par défaut à $10^{-1}$ de $x_{0}$.
La calculatrice donne :
		
$f(9) \approx 0,8$ ; $f(10) \approx -1,6$, donc $x_0 \in [9~;~10]$.

$f(9,3) \approx 0,1$ ; $f(9,4) \approx - 0,09$, donc $x_0 \in [9,3~;~9,4]$.

$f(9,36) \approx 0,002$ ; $f(9,37) \approx - 0,02$, donc $x_0 \in [9,36~;~9,37]$.

On a donc au dixième près $x_0 \approx 	9,4$.	
	\end{enumerate}
\item  %On admet qu'une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~10] est la fonction $F$ définie par :

%\[F(x) = - \dfrac{1}{12}x^3 + x^2 - (4,75 + 3\ln 2)x + 3(x + 1)\ln (x + 1).\] 

%Montrer que la valeur décimale arrondie au dixième de $\dfrac{1}{10}\displaystyle\int_{0}^{10} f(x)\:\text{d}x$ est $2,8$.
On a donc :

$\dfrac{1}{10}\displaystyle\int_{0}^{10} f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{10}[F(x)]_1^{10} = \dfrac{1}{10}(F(10) - F(1)) =$

$ \dfrac{1}{10}\left[- \dfrac{1}{12}\times 10^3 + 10^2 - (4,75 + 3\ln 2)\times 10 + 3(10 + 1)\ln (10 + 1)\right] - $

$\dfrac{1}{10}\left(\left[- \dfrac{1}{12}\times 1^3 + 1^2 - (4,75 + 3\ln 2)\times 1 + 3(1 + 1)\ln (1 + 1)  \right]\right) =$

$ \dfrac{1}{10}\left(- \dfrac{25}{3} + 10 - 4,75 - 3\ln 2 + \dfrac{1}{120} - 0,11 + 0,475 - 0,33\ln 2 - 0,6\ln 2\right) =$

$ 3,3\ln \frac{11}{2} - 2,7 \approx 2,925$ soit au dixième près 2,9 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%À l'approche des fêtes de fin d'année, un supermarché souhaite commercialiser des guirlandes de Noël.
% 
%On note $x$ le nombre de guirlandes qu'il souhaite vendre (en milliers de guirlandes). On  suppose que $x$ est un réel compris entre $0$ et $10$.
% 
%Le bénéfice réalisé pour la vente de $x$ milliers de guirlandes, exprimé en milliers d'euros, est donné par la fonction $f$ définie sur [0~;~10] par : 
%
%\[f(x)= - 0,25x^2 + 2x + 3\ln (x + 1) - 1,75 -  3\ln 2.\] 
%
%Déduire de la \textbf{partie A} les réponses aux questions suivantes (les réponses seront données à la centaine de guirlandes vendues près). On explicitera la méthode utilisée.
 
\begin{enumerate}
\item %Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice sur ce produit ?
On a vu que $f(1) = 0$ et la fonction est croissante sur [1~;~5], donc sur cet intervalle $f(x) \geqslant 0$.

On a également vu que sur $[5~;~x_0]$, $f(x) \geqslant 0$.

La fonction est positive sur $[1~;~x_0]$ et on a vu que $f(9,36) > 0$, donc pour réaliser un bénéfice le supermarché doit vendre entre \np{1000} et \np{9360} guirlandes. 
\item %Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ? (à $100$~ euros près).
On a vu quelle le maximum de $f$ est obtenu pour $x = 5$.

Le bénéfice est maximal lorsque le supermarché vend\np{5000}~guirlandes pour un bénéfice de \np{5300}~\euro. 
\item %Quel bénéfice moyen peut espérer le supermarché en vendant entre 0 et \np{10000}~guirlandes ?
Le bénéfice moyen est $b_m = \dfrac{1}{10}\displaystyle\int_{0}^{10} f(x)\:\text{d}x$ qui est le résultat de la partie A.

Le bénéfice moyen est d'environ \np{2900}~\euro.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.004cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(7,4200)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,4200)}
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\psdots(1,797)(2,816)(3,1140)(4,1921)(5,2199)(6,3165)(7,4195)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}