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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES  juin 2006}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large  \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Polynésie  juin 2006~\decofourright}}
 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Pour chacune des quatre questions de ce Q.C.M., une seule des trois propositions est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la bonne affirmation. Aucune justification n'est demandée.
%
%\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à} $0$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Si la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ alors l'équation $f(x) = 0$ admet : au plus une solution

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Au moins une solution.
%\item[$\bullet~$] Au plus une solution.
%\item[$\bullet~$] Exactement une solution.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\item Si la fonction $f$ est continue sur $[a~ ;~ b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Au moins une solution.
%\item[$\bullet~$] Au plus une solution.
%\item[$\bullet~$] Exactement une solution.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\item Si la fonction $f$ est continue et positive sur $[a~;~b]$ et 
$\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal, alors  l'aire, en unités d'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =  a$ et $x = b$ est donnée par la formule : 
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{b}^a f(x)\:\text{d}x$.
%\item[$\bullet~$] $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.
%\item[$\bullet~$] $\mathcal{A} = f(b) - f(a)$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\item Un produit coûte initialement 500 euros. Son prix augmente de 20\,\%. Si l'on veut revenir au prix initial, il faut diminuer le prix de $100$~euros.

Le prix est passé de 500 à $500 \times 1,20 = 600$~(\euro).

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Diminuer le prix de 20\,\%.
%\item[$\bullet~$] Diminuer le prix de $\dfrac{1}{20}\,\%$.
%\item[$\bullet~$] Diminuer le prix de $100$~euros.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement obligatoire}

\medskip
 
%On sait que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction numérique $f$ définie sur $]-2~;~+~\infty[$, passe par les points O(0~;~0) et A$(-1~;~0)$, que la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ en O a pour coefficient directeur $\ln (2)$ et la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ en A a pour équation $y = x + 1$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide des données ci-dessus, donner la valeur de $f(0)$, de $f'(0)$, de $f(- 1)$ et de $f'(- 1)$.
		$\bullet~~$O(0~;~0)  $ \in \mathcal{C}_{f}$, donc $f(0) = 0$ ;

$\bullet~~$La tangente à $\mathcal{C}_{f}$ en O a pour coefficient directeur $\ln (2)$, donc le nombre dérivé $f'(0) = \ln 2$ ;

$\bullet~~$A$(-1~;~0) \in \mathcal{C}_{f}$, donc $f(- 1) = 0$ ;

$\bullet~~$La tangente à $\mathcal{C}_{f}$ en A a pour équation $y = x + 1$, donc le nombre dérivé $f'(- 1) = 1$.
		\item %Donner une équation de la tangente en O à $\mathcal{C}_{f}$.
Une équation de la tangente en O à $\mathcal{C}_{f}$ est 

$y - f(0) = f'(0)(x  - 0)$, soit d'après les résultats précédents :

$y - 0 = \ln 2(x - 0)$, soit $y = x\ln 2$.
	\end{enumerate}
\item %Nous savons qu'il existe des réels $a,~ b$ et $c$ tels que pour tout $x > -2$ :

\[ f(x) = \left(ax^2 + bx + c\right) \ln (x + 2).\]

	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer  $f(0)$ à l'aide de $a,~ b$ et $c$.
On a donc $f(0)  = c\ln 2$.
		\item %Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $a,~ b$ et $c$.
La fonction $f$ produit de fonctions dérivables sur $]- 2~;~+ \infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = (2ax +b) \ln (x + 2) +  \left(ax^2 + bx + c\right)\times\dfrac{1}{x+ 2}$.
		\item %En déduire $f'(0)$ et $f'(-1)$ à l'aide de $a,~ b$ et $c$.
On a donc :
		
$f'(0) = b \ln 2  + \dfrac{c}{2}$ ;

$f'(- 1) = (- 2a + b)\ln 1 + \dfrac{a - b + c}{1} = a - b + c$.
		\item %En déduire les valeurs de $a,~ b$ et $c$.
En utilisant les résultats de la question 1, on a donc :

$\left\{\begin{array}{l c r}
f'(0) = \ln 2&=&b\ln 2 + \dfrac{c}{2}\\
f'(- 1)=0&=&a - b + c\\
f(0) = 0&=&c\ln 2
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
\ln 2&=&b\ln 2\\
0&=&a-b\\
0&=&c\\
\end{array}\right.
 \iff \left\{\begin{array}{l c r}
1&=&b\\
0&=&c\\
b&=& a
\end{array}\right.
 $
 
On a donc $f(x) = \left(x^2 + x\right)\ln (x +2)$.

On peut vérifier ce résultat avec le tracé de la courbe représentative de $f$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2)(23,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.2,-2)(3,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.75}{1.17}{x dup mul x add x 2 add ln mul}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{<->}(-1.5,0)(-0.5,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.5}{1}{x 2 ln mul}
\uput[l](0,0.69){$\ln 2$}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed](0,0.69)(1,0.69)(1,0)
\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une compagnie aérienne propose des vols directs entre certaines villes, notées A, B, C, D, E, F et G. Cela conduit au graphe $\mathcal{G}$ suivant, dont les sommets sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes :
 
\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(5.2,4)
%\psgrid
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20}
\cnodeput(3,0){A}{A}  \cnodeput(5,2){B}{B} 
\cnodeput(4.6,3){C}{C}  \cnodeput(3.5,3.5){D}{D}
\cnodeput(0.8,2.5){E}{E} \cnodeput(0.5,1){F}{F} 
\cnodeput(1.5,0.3){G}{G} 
\ncarc{B}{A} \ncarc{A}{D}  \ncarc{A}{C}
\ncarc{C}{B} \ncarc{B}{D}  \ncarc{B}{E}  
\ncarc{B}{G}  \ncarc{D}{C} \ncarc{C}{E}  
\ncarc{E}{D}  \ncarc{E}{F} \ncarc{E}{G}
\ncarc{F}{G}  
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le graphe $\mathcal{G}$ est-il complet ? Quel est l'ordre de $\mathcal{G}$ ?
Il n'y a pas d'arête entre A et G : le graphe n'est pas complet.

L'ordre de $\mathcal{G}$ est égal au nombre des sommets : 7.
\item \begin{enumerate}
\item ~%Sur les cartes d'embarquement, la compagnie attribue à chaque aéroport une couleur, de sorte que deux aéroports liés par un vol direct aient des couleurs différentes.
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommet	&B	&E	&C	&D	&A	&G	&F\\ \hline
Ordre	&5	&5	&4	&4	&3	&3	&2\\ \hline
Couleur	&R	&B	&V	&J	&B	&V	&R \\ \hline
\end{tabularx}
%Proposer un coloriage adapté à cette condition.

On prend une couleur (Rouge), on prend le premier sommet d'ordre la plus élevé (B) et on colorie avec la même couleur  en descendant les ordres le ou les sommets non adjacents : ici il n'y a que F.

On recommence avec E en bleu et on colorie en bleu également A, etc. 
\item %Que peut-on en déduire sur le nombre chromatique de $\mathcal{G}$ ?
Il faut 4 couleurs, donc le nombre chromatique est inférieur ou égal à 4.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature du sous graphe formé par les sommets A, B, C et D ?
Le sous graphe formé par les sommets A, B, C et D est lui complet.
		\item %Quel est le nombre minimal de couleurs que la compagnie doit utiliser pour pouvoir attribuer une couleur à chaque aéroport en respectant les conditions du 2. ?
		Si $\gamma$ est le nombre chromatique du graphe, comme celui-ci a 5 sommets, on a $\gamma \leqslant 6$.
		
Comme le sous graphe formé par les sommets A, B, C et D est  complet, on a $\gamma \geqslant 4$, donc $4 \leqslant \gamma \leqslant 6$.

Mais on a vu à la question 2 que le nombre chromatique est inférieur ou égal à 4.

Finalement le nombre minimal de couleurs est 4.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, construire la matrice $M$ associée à $\mathcal{G}$.
La matrice associée au graphe est $M = \begin{pmatrix}
0&1&1&1&0&0&0\\1&0&1&1&1&0&1\\1&1&0&1&1&0&0\\
1&1&1&0&1&0&0\\
0&1&1&1&0&1&1\\
0&0&0&0&1&0&1\\
0&1&0&0&1&1&0
\end{pmatrix}$.
		\item  %On donne : 
		
%\[M^8 = \begin{pmatrix}
%\np{6945}&\np{9924}& \np{8764}& \np{8764}& \np{9358}& \np{3766}& \np{5786}\\
%\np{9924}&\np{14345}& \np{12636}& \np{12636}& \np{13390}& \np{5486}& \np{8310}\\
%\np{8764}&\np{12636}&\np{11178}&\np{11177}&\np{11807}&\np{4829}&\np{7369}\\
%\np{8764}&\np{12636}&\np{11177}&\np{11178}&\np{11807}&\np{4829}&\np{7369}\\
%\np{9358}&\np{13390}&\np{11807}&\np{11807}& \np{12634}&\np{5095}&\np{7807}\\
%\np{3766}&\np{5486}&\np{4829}&\np{4829}& \np{5095}&\np{2116}&\np{3181}\\
%\np{5786}&\np{8310}&\np{7369}&\np{7369}&\np{7807}&\np{3181}&\np{4890}
%\end{pmatrix}\]
%
%Combien y a-t-il de chemins de longueurs 8 qui relient B à D ?
Le nombre de chemins de longueurs 8 qui relient B à D est dans la matrice $M^8$  le terme situé à la ligne 2 et à la colonne 4, soit \np{2636}.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Pourquoi est-il impossible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
Il y a deux sommets de degré 5 et deux sommets de degré 3, soit quatre sommets de degré impair ; d'après le théorème d'Euler il n'existe pas de chaîne eulérienne, donc pas d'itinéraire utilisant chaque liaison une et une seule fois.
		\item %Montrer qu'il est possible de construire un tel itinéraire en ajoutant une seule liaison qui n'existe pas déjà et que l'on précisera.
		Tous les termes de $M^8$ sont positifs, donc le graphe est connexe. Pour avoir une chaîne eulérienne, il suffit de rajouter une liaison de façon à n'avoir que deux sommets de degré impair. B et E sont de degré impair mais adjacents, alors que A et G de degré impair ne le sont pas : il suffit donc de rajouter une liaison entre A et G. On aura ainsi la liaison : A--B--C--D--E--F--G.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

%Une enquête est réalisée auprès des clients d'une compagnie aérienne. Elle révèle que 40\,\% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que 35\,\% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons. Sur l'ensemble de la clientèle, 40\,\%  choisissent de voyager en première classe et le reste en seconde classe. En fait, 60\,\%  des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe, alors que seulement 20\,\% des clients pour raisons touristiques voyagent en première classe.
%
%On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque client à la même probabilité d'être choisi. On note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  $A$ l'évènement \og le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles \fg 
%\item  $T$ l'évènement \og le client interrogé voyage pour des raisons touristiques \fg 
%\item  $D$ l'évènement \og le client interrogé voyage pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques \fg
%\item  $V$ l'évènement \og le client interrogé voyage en première classe \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%    
%\medskip
%    
%Si $E$ et $F$ sont deux évènements, on note $p(E)$ la probabilité que $E$ soit réalisé, et $p_F(E)$ la probabilité que $E$ soit réalisé sachant que $F$ est réalisé. D'autre part, on notera $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.
%
%\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{0,40}}
	{\TR{$V$}\taput{0,60}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{0,40}
	}
\pstree{\TR{$T$}\taput{0,35}}
	{\TR{$V$}\taput{0,20}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{0,80}
	}
	\pstree{\TR{$D$}\tbput{\red 0,25}}
	{\TR{$V$}
	\TR{$\overline{V}$}
	}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer : $p(A), \: p(T),\: p(V), \:p_{A}(V)$ et $p_{T}(V)$.
D’après l’énoncé : $ p(A) = 0,40, \:p(T) = 0,35,\: p(V) = 0,40,\:p_A(V) = 0,60$ et $p_T(V) = 0,20$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles.
On a $p(V \cap A) = p(A \cap V) = p(A) \times p_A(V) = 0,4 \times 0,6 = 0,24$.
		\item %Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques.
On a $p(V \cap T) = p(A \cap V) = p(T) \times p_T(V) = 0,35 \times 0,2 = 0,07$.
		\item %En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques.
		D’après la loi des probabilités totales :
		
$p(V) = p(A \cap V) + p(A \cap V) + p(D \cap V)$, soit :

$0,40 = 0,24 + 0,07 + p(D \cap V) \iff p(D \cap V) = 0,40 - (0,24 + 0,07) = 0,09$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe.
Il faut trouver $p_V(A) = \dfrac{p(V \cap A)}{p(V)} = \dfrac{0,24}{0,40} = \dfrac{24}{40} = \dfrac{6}{10} = 0,60$.
\item %Soit un entier $n$ supérieur ou égal à 2. On choisit $n$ clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante.

%On note $p_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe.
	\begin{enumerate}
		\item %Prouver que : $p_{n} = 1 - 0,4^n$.
La probabilité qu’un voyageur voyage en seconde classe est égale à $1 - 0,60 = 0,40$.

La probabilité que $n$ voyageurs voyagent en seconde classe est égale à $0,4^n$, donc  la probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe est égale à $p_{n} = 1 - 0,4^n$.
		\item %Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel $p_{n} > \np{0,9999}$.
Il faut résoudre l’inéquation :

$p_{n} > \np{0,9999} \iff   1 - 0,4^n > \np{0,9999} \iff 0,4^n < 1 - \np{0,9999} \iff 0,4^n < \np{0,0001} \iff n \ln 0,4 < \ln \np{0,0001}$ (par croissance de la fonction ln) $\iff n > \dfrac{\ln \np{0,0001}}{\ln 0,4}$ (car $\ln 0,4 < 0$).

Or $\dfrac{\ln \np{0,0001}}{\ln 0,4} \approx 10,05$.

Il faut donc prendre au moins 11 voyageurs.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in \R$ par :

\[ f(x) = \left(x^2 + x + 1\right) \text{e}^x.\]
 
%Dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2 cm sur chaque axe, on note $\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique et $\mathcal{C}_{\text{exp}}$	la représentation graphique de la fonction exponentielle.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item
	  \begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 + x + 1 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty$, d’où par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Donner les valeurs de $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  x^2\text{e}^x$  et de $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  x\text{e}^x$.
On sait que quel que soit le naturel $n$, \: $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n\text{e}^x = 0$, donc en particulier 
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2\text{e}^x = 0$ et 
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\text{e}^x = 0$.

		\item %En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  f(x) = 0$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$, donc par somme de limites  de la question précédente : 

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)  = 0$.

Graphiquement ce résultat signifie que l’axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de moins l’infini.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$, montrer que 
La fonction $f$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur cet ensemble et :

$f'(x) = (2x + 1)\text{e}^x + 	\left(x^2 + x + 1\right) \text{e}^x = 	\text{e}^x\left(2x + 1  +  x^2 + x + 1 \right) = \text{e}^x\left( x^2 + 3x + 2 \right)$.

Or $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$, donc 

\[f'(x) = (x + 1)(x + 2)\text{e}^x.\]

		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $(x + 1)(x + 2)$. 
		
Ce produit est positif si $x < - 2$ ou si $x > - 1$ et négatif sur $]- 2~;~- 1[$, nul en $- 2$ et en $- 1$.
		\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
		On en déduit le tableau de variations de $f$ , avec $f(- 2) = 3\text{e}^{-2}$ et $f(- 1) = \text{e}^{-1}$ :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
%\psgrid
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(0,3)(8,3)\psline(0,3.5)(8,3.5)
\psline(2,0)(2,4)\psline(4,2)(4,3.5)\psline(6,2)(6,3.5)
\uput[u](1,3.4){$x$}\uput[u](2.5,3.4){$- \infty$}\uput[u](4,3.4){$- 2$}\uput[u](6,3.4){$- 1$}\uput[u](7.5,3.4){$+ \infty$}
\uput[u](1,2.9){$x + 1$}\uput[u](3,2.9){$-$}\uput[u](5,2.9){$-$}\uput[u](6,2.9){$0$}\uput[u](7,2.9){$+$}
\uput[u](1,2.4){$x + 2$}\uput[u](3,2.4){$-$}
\uput[u](4,2.4){$0$}\uput[u](5,2.4){$+$}\uput[u](7,2.4){$+$}
\uput[u](1,1.9){$(x + 1)(x + 2)$}\uput[u](3,1.9){$+$}\uput[u](4,1.9){$0$}
\uput[u](5,1.9){$-$}\uput[u](6,1.9){$0$}
\uput[u](7,1.9){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(3.5,1.5)
\psline{->}(4.5,1.5)(5.5,0.5)
\psline{->}(6.5,0.5)(7.5,1.5)
\uput[u](2.5,0){$0$}\uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\uput[d](4,2){$3\text{e}^{-2}$}\uput[u](6,0){$\text{e}^{-1}$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Déterminer le signe de $f$ sur $\R$.
D’après le tableau de variations $f(x) \geqslant \text{e}^{-1} > 0$ : la fonction $f$ est strictement positive sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Préciser les positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et de $\mathcal{C}_{\text{exp}}$.
Soit la fonction $d$ définie sur $\R$ par :

$d(x) =  \left(x^2 + x + 1\right) \text{e}^x - \text{e}^x =\text{e}^x \left(x^2 + x \right) = x(x+1)\text{e}^x$.

Cette fonction a le signe de $x(x + 1)$, soit :

$d(x) > 0$ si $x < - 1$ ou $x > 0$ ;

$d(x) < 0$ si $- 1 < x < 0$ ;

$d(- 1) = d(0) = 0$.

Géométriquement :

$\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{\text{exp}}$ sur $]- \infty~;~- 1[ \cup ]0~;~+ \infty[$ ;

$\mathcal{C}_{f}$ est au dessous de $\mathcal{C}_{\text{exp}}$ sur $]- 1~;~0[$ ;

$\mathcal{C}_{f}$ et  $\mathcal{C}_{\text{exp}}$ ont deux points communs de coordonnées $(\left(- 1~;~\text{e}^{-1} \right)$ et $(\left(0~;~1\right)$.
		\item %Construire ces deux courbes dans le repère \Oij.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6,-1)(3,6)
\psgrid[gridlabels=0pt](-6,0)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5.9,0)(3,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{3}{2.71828 x exp}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{3}{2.71828 x exp x dup mul x add 1 add mul}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Soit $F$ la fonction définie pour tout $x \in  \R$ par : 
$F(x) = \left(x^2 - x + 2\right)\text{e}^x$.

%Prouver que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
Sur $\R$, \: $F$ est dérivable et sur cet intervalle :

$F’(x) = (2x - 1)\text{e}^x + \left(x^2 - x + 2\right)\text{e}^x = \text{e}^x\left(2x - 1 + x^2 - x + 2\right) =  \text{e}^x\left(x^2 + x + 1\right) = f(x)$ : $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm$^2$ du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$.
On a vu que sur l’intervalle $[- 1~;~0]$, \: $f(x) > 0$, donc $f$ étant continue sur cet intervalle, la valeur exacte de l'aire en cm$^2$ du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$ est égale à l’intégrale ;

$\displaystyle\int_{- 1}^0 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{- 1}^0 = F(0) - F(- 1) =$

$ \left(0^2 - 0 + 2\right)\text{e}^0 - \left(\left((- 1)^2 - (- 1) + 2\right)\text{e}^{- 1} \right) = 2 - 4\text{e}^{- 1} \approx 0,53$.
		\item %Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm$^2$ du domaine $\mathcal{D}'$ délimité par les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{\text{exp}}$, et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$.
La fonction $x \longmapsto \text{e}^x$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \text{e}^x$, donc la valeur exacte de l'aire en cm$^2$ du domaine $\mathcal{D}'$ délimité par les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{\text{exp}}$, et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$ est égale à l’intégrale :

$\displaystyle\int_{- 1}^0 \left[\text{e}^x - f(x) \right]\:\text{d}x = \left[\text{e}^x - F(x)\right]_{- 1}^0 = \text{e}^0 - F(0) - \left( \text{e}^{- 1} - F(- 1)\right) =$

$ 1 -  \text{e}^{- 1}  - (F(0) - F(- 1)) = 1 -  \text{e}^{- 1}  - (2 - 4\text{e}^{- 1}) = 3\text{e}^{- 1} - 1 \approx 0,10$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}  