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% Tapuscrit Denis Vergès et pour l'exercice de spécialité Philippe Camus que nous remercions 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Polynésie juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
%
%\textbf{ Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.}
%
%\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.}
%\par
 
\begin{enumerate}
\item  %Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~6[.

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-.5,-0.5)(7,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(7,5)
%\pscurve[linecolor=blue](0,4)(1,2.2)(2,1.8)(3,1.9)(4,2)(5,1.75)(6,0)
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt, linecolor=blue]{0}{6}{(6-x)*(x^2-3*x+6)/9}
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%Sur l'intervalle [0~;~6[, la fonction composée $x \longmapsto \ln [f(x)]$ :
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  est strictement croissante.
%\item[$\bullet~$] a les mêmes variations que $f$.
%\item[$\bullet~$] a les variations contraires de celles de $f$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{5mm}
La fonction ln étant strictement croissante pour des nombres positifs, la fonction composée a les mêmes variations que $f$.
\item  %Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = 4x -2 \ln x$.

%Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $y = 2x + 2$.
%\item[$\bullet~$] $y= 4x - 2$.
%\item[$\bullet~$] $y= 2x + 6$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
On a $g'(x) = 4 - \dfrac{2}{x}$, d'où $g'(1) = 4 - 2 = 2$.

$g(1) = 4 - 2\times \ln 1 = 4$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est :

$y - g(1) : g'(1)(x - 1) \iff y - 4 = 2(x - 1) \iff y = 2x - 2 + 4\iff y = 2x + 2$.
\item  %L'ensemble des solutions de l'équation $2 \ln x = \ln (2x + 3)$ est :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] l'ensemble vide.
%\item[$\bullet~$] $\{-1~;~3\}$.
%\item[$\bullet~$] $\{3\}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Il faut que $x > 0$ et que $2x + 3 > 0 \iff x > - \frac{3}{2}$. Les solutions sont donc à trouver dans les réels supérieurs à zéro.

$2 \ln x = \ln (2x + 3) \iff  \ln x^2 = \ln (2x + 3) \iff x^2 = 2x + 3 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff $

$(x + 1)(x - 3) = 0\iff x = - 1$ ou $x = 3$.

Seule la solution 3 est à retenir.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.
%\par
%
%150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20\,\% des adultes
%\item[$\bullet~$] 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10\,\% des enfants.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  ~%Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&Magie	&Théâtre	&Photo numérique&	Total\\ \hline
Adultes	&18		&45			&27				&90 \\  \hline	
Enfants	&30		&24			&6				&60 \\ \hline	
Total	&48		&69			&33				&150\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] A l'évènement \og la personne appelée est un adulte \fg{};
%\item[$\bullet~$] M l'évènement \og la personne appelée a choisi la magie \fg{};
%\item[$\bullet~$] T l'évènement \og la personne appelée a choisi le théâtre \fg{};
%\item[$\bullet~$] N l'évènement \og la personne appelée a choisi la photo numérique \fg{}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ? 
Il y a 90 adultes donc 60 enfants. La probabilité que la personne appelée soit un enfant est donc égale à $\dfrac{60}{150} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} = 0,4$.
		\item  %Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ?
$p_A(N) = \dfrac{p(A \cap N)}{p(A)} = \dfrac{\frac{27}{150}}{\frac{90}{150}}   = \dfrac{27}{90} = \dfrac{3}{10} = 0,3$.
		\item  %Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre.
Sur les 150 personnes 45 sont des adultes ayant choisi le théâtre, d'où :

$p(A \cap T) = \dfrac{45}{150} = \dfrac{3}{10} = 0,3$.
	\end{enumerate}
\item %Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est $0,32$.
Par différence on trouve que 48 personnes sur 150 ont choisi la magie. La probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est $\dfrac{48}{150} = \dfrac{6 \times 8}{6 \times 25} = \dfrac{8}{25} = \dfrac{32}{100} = 0,32$.
\item %Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
On a $p_M\left(\overline{A}\right) = \dfrac{30}{48} = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}$.

Or $\dfrac{5}{8} \ne \dfrac{2}{3}$ (car $5 \times 3 \ne 8 \times 2$).
\item %On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.

%Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie (\emph{on donnera une valeur arrondie au centième}) ?
On a une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et de probabilité $p = p(M) = 0,32$.

La probabilité qu'une seule personne sur les trois ait choisi la magie est égale à :

$3 \times 0,32 \times (1 - 0,32)^2 = 0,96 \times 0,68^2 = \np{0,443904}$ soit au centième près 0,44.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités
%respectives $x$ et $y$ exprimées en tonnes.
%
%Le coût total de production $z$, exprimé en milliers d'euros, est
%donné par la relation $z = 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + 18$ avec $x \in \left[0~;~6\right]$ et $y \in \left[0~;~8\right]$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %La surface $\mathcal{S}$ représentant le coût en fonction de $x$ et $y$ dans un repère orthogonal \Oijk{} est donnée sur la feuille annexe 1, figure 1.

%\begin{center}
%\textbf{\textsl{L'annexe $1$ sera rendue complétée avec la copie.}}
%\par\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  %Le point A(3~;~2~;~3) appartient-il à la surface $\mathcal{S}$ ? Justifier. 
On a $2 \times 3^{2} - 8 \times 3 + 2^{2} - 6 \times 2 + 18 = 18 - 24 + 4 - 12 + 18  = 4 \ne 3$, donc le point A n'appartient pas à la surface.
\medskip

		\item  %Placer sur la figure 1 le point $B$ d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à \mathcal{S}$.
La cote de $B$ est $z_B = 2 \times 5^2 - 8\times 5  + 2^2 - 6\times 2 + 18 = 50 - 40  + 4 - 12 + 18 = 20$

\medskip

		\item  %Soit $y = 2$. Exprimer alors $z$ sous la forme $z=f\left(x\right)$ puis donner la nature de la section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $y=2$ en justifiant.

Avec $y = 2$ l'équation devient $z = 2x^{2} - 8x + 4 - 12 + 18 \iff $

$z = 2x^2 - 8x + 10$ : on reconnait l'équation d'une parabole qui est donc la section de la surface par le plan vertical $y = 2$.
\end{enumerate}

		\item  %La fabrication de $x$ tonnes de savons et de
%$y$ tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte $x + y = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient $x + y = 5$ ?
L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient $x + y = 5$ est le plan vertical dont la trace sur le plan $x$O$y$ est la droite d'équation $y = 5 - x$.
\medskip

\item  %Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 5$, $z$ peut s'écrire sous la forme $z =g (x)$ avec $g(x) = 3x^{2} -12x + 13$.
On a : $\left\{\begin{array}{l c l}
z &=& 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + 18\\
x + y&=&5
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z &=& 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + 18\\
y&=&5 - x
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
z &=& 2x^{2} - 8x + (5 - x)^{2} - 6(5 - x) + 18\\
y&=&5 - x
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
z &=& 2x^{2} - 8x + 25 + x^2 - 10x - 30 + 6x  + 18\\
y&=&5 - x
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z &=& 3x^{2} - 12x + 13\\
y&=&5 - x
\end{array}\right.$ 

L'ensemble des points est donc une parabole située dans le plan vertical dont la trace sur le plan $x$O$y$ est la droite d'équation $y = 5 - x$.
\medskip

\item  %Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g$ admet un minimum puis la valeur de $y$ et le coût de production $z$ qui correspondent. On note $C$ le point de la surface $\mathcal{S}$ qui correspond à ce coût minimum.
$3x^{2} - 12x + 13$ est un trinôme qui admet un minimum (car $a = 3 > 0$) pour $x = - \dfrac{b}{2a} = - \dfrac{- 12}{2 \times 3} = 2$.

On a donc $y = 5 - x = 5  - 2 = 3$ et $z = 3 \times 2^2 - 12 \times 2 + 13 = 1$.

Le coût minimum est donc de \np{1000}~\euro.

\medskip

\item  %On donne, sur la feuille annexe 1, figure 2, la projection orthogonale de la surface $\mathcal{S}$ sur le plan $\left(x\text{O}y\right)$ (\og vue de dessus de la surface $\mathcal{S}$ \fg{}).

%Construire sur cette figure 2 la projection orthogonale sur le plan $\left(x\text{O}y\right)$ des points dont les coordonnées vérifient $x+y=5$.
On a vu que la trace du plan d'équation $x+y=5$ est la droite d'équation $y = 5 - x$.

%Placer sur cette figure 2 le point $C_{1}$, projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\left(x\text{O}y\right)$.
Le point $C_{1}$ a pour coordonnées (2~;~3).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{\textcolor{black}{ANNEXE 1 : Exercice 2 (spécialité)}}
\par\end{center}

\begin{center}
\textbf{\textcolor{black}{À rendre avec la copie}}
\par\end{center}

\textbf{\textcolor{black}{Figure 1}}

%\begin{center}
\hspace{-2cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(15,9)

\psset{Beta=30,Alpha=170}
%\psset{Beta=85,Alpha=160} pour tests
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=8,yMax=6,zMax=60,drawing=false]
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,6)(0,6,6)(8,6,6)(8,6,0)(8,0,0)(0,0,0)
\pstThreeDPut(-0.5,0,1){10}
\pstThreeDPut(-0.5,0,3){30}
\pstThreeDPut(-0.5,0,5){50}  
\pstThreeDPut(-0.5,0,2){20}
\pstThreeDPut(-0.5,0,4){40}
\pstThreeDPut(-0.5,0,6){60}
\pstThreeDPut(-0.5,0,0){0}
\pstThreeDPut(3,0,-1){$y$}
\pstThreeDPut(9,3,0){$x$}
\pstThreeDPut(-1,0,3){$z$}
\pstThreeDLine(0,6,0)(0,6,6)
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}}
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDPut(8.5,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,6,\n)(8,6,\n)}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,6,0)}
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDLine(8,\n,0)(0,\n,0)}
%z est divisé par 10
%z=0-10
\newgray{gris}{0.85}
\parametricplotThreeD(-70.529,250.529){t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add  1}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-70.529,250.529){t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2,4){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}}
 %z=10-20
\newgray{gris}{0.7}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](250.529,-70.529){t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4,6.317){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-40.458,133.492){t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.236,0){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,2){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}
}
%z=20-30
\newgray{gris}{0.55}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-31.683,-21.801){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0.586,3.414){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](21.801,123.8545){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.162,4.236){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](133.492,-40.458){t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](6.317,7.582){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}}

%z=30-40
\newgray{gris}{0.4}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](7.582,8){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0,0.586){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-21.801,-31.683){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](21.801,123.8545){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.162,5.873){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](118.7105,115.066){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0.354,5.646){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](64.934,36.809){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](4.646,3.414){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}}

%z=40-50
\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](36.809,64.934){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.646,7.123){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](53.913,44.415){t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.448,4.646){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}}

\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](115.066,118.7105){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.873,6){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0,0.354){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}}

%z=50-60
\newgray{gris}{0.1}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](53.913,44.415){t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.448,6){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](8,7.123){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}}

%la surface...
\psplotThreeD[xPlotpoints=8,yPlotpoints=6,drawStyle=xyLines,linecolor=blue,plotstyle=curve](0,8)(0,6){%
y 2 exp 2 mul x 2 exp add y 8 mul sub x 6 mul sub 18 add 10 div}
% le bord de la surface :
\parametricplotThreeD[linecolor=blue](0,8){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0,6){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](9.5,0)(12,6)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,0.5)(9.9,0.8)  \rput[l](10.5,0.65){0-10}
\newgray{gris}{0.7}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,1.5)(9.9,1.8)  \rput[l](10.5,1.65){10-20}
\newgray{gris}{0.55}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,2.5)(9.9,2.8)  \rput[l](10.5,2.65){20-30}
\newgray{gris}{0.4}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,3.5)(9.9,3.8)  \rput[l](10.5,3.65){30-40}
\newgray{gris}{0.25}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,4.5)(9.9,4.8)  \rput[l](10.5,4.65){40-50}
\newgray{gris}{0.1}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,5.5)(9.9,5.8)  \rput[l](10.5,5.65){50-60}
%\psgrid
\psdots(2.83,4)(5.45,1.64)\uput[ur](2.83,4){\blue A}\uput[ur](5.45,1.64){\blue B}
\end{pspicture*}
\par
%\end{center}

\textbf{\textcolor{black}{Figure 2}}

\begin{center}
%Polynésie 2007, figure 2

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(-1,-1)(14,7)

\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{-70.529}{250.529}{t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add }
\psline(2,0)(4,0)}

\newgray{gris}{0.7}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{-70.529}{250.529}{t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add }
\psline(2,0)(0,0)(0,4.236)
\parametricplot{133.492}{-40.458}{t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add }
\psline(6.317,0)(4,0)}

\newgray{gris}{0.55}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{-40.458}{133.492}{t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add }
\psline(0,4.236)(0,5.162)
\parametricplot{123.8545}{21.801}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }
\psline(8,3.414)(8,0.586)
\parametricplot{-21.801}{-31.683}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }
\psline(7.582,0)(6.317,0)}

\newgray{gris}{0.4}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\psline(7.582,0)(8,0)(8,0.586)
\parametricplot{-21.801}{-31.683}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{123.8545}{21.801}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }
\psline(8,3.414)(8,4.646)
\parametricplot{36.809}{64.934}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(5.646,6)(0.354,6)
\parametricplot{115.066}{118.7105}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(0,5.873)(0,5.162)}

\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{36.809}{64.934}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(5.646,6)(7.123,6)
\parametricplot{53.913}{44.415}{t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add }
\psline(8,5.448)(8,4.646)}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{115.066}{118.7105}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(0,5.873)(0,6)(0.354,6)}

\newgray{gris}{0.1}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{53.913}{44.415}{t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add }
\psline(8,5.448)(8,6)(7.123,6)}
\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=black,gridwidth=0.6pt](0,0)(8,6)
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](10,0)(12.8,6)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,0.5)(10.5,0.8)  \rput[l](11,0.65){0-10}
\newgray{gris}{0.7}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,1.5)(10.5,1.8)  \rput[l](11,1.65){10-20}
\newgray{gris}{0.55}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,2.5)(10.5,2.8)  \rput[l](11,2.65){20-30}
\newgray{gris}{0.4}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,3.5)(10.5,3.8)  \rput[l](11,3.65){30-40}
\newgray{gris}{0.25}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,4.5)(10.5,4.8)  \rput[l](11,4.65){40-50}
\newgray{gris}{0.1}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,5.5)(10.5,5.8)  \rput[l](11,5.65){50-60}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,5)(5,0)
\rput{-45}(4,1.2){\blue $x + y = 5$}
\psdots(2,3) \uput[ur](2,3){\blue $C_1$}
\end{pspicture}
\par\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne l'évolution du montant des ventes d'appareils photos numériques en France, en milliers d'euros, entre 1999 et 2004.\\
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année					&1999	&2000	&2001	&2002		&2003		&2004\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$	&1		&2		&3		&4			&5			&6\\ \hline
%Montant des ventes $y_{i}$&179	&332	&584	&\np{1092}	&\np{2675}	&\np{4164}\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer l'augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.
$\bullet~~$De 1999 à 2000, l'augmentation est égale à $\dfrac{332-179}{179}\times 100 = \dfrac{153}{179}\times 100 \approx 85,47$ soit à l'unité près 85\,\%.

$\bullet~~$De 2000 à 2001, l'augmentation est égale à $\dfrac{584-332}{332}\times 100 = \dfrac{252}{332}\times 100 \approx 75,9$ soit à l'unité près 76\,\%.

%Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001 ? Justifier.
$\bullet~~$De 1999 à 2001, l'augmentation est égale à $\dfrac{584-179}{179}\times 100 = \dfrac{405}{332}\times 100 \approx 226,2$ soit à l'unité près 226\,\%.

Or $226 \ne 85 + 76$ : on ne peut pas ajouter ces augmentations.
\item  %La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose : $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Présenter la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un tableau en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au centième.
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année							&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	&2004\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$			&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
$z_{i}= \ln \left(y_{i}\right)$ &5,19	&5,81	&6,37	&7,00	&7,89	&8,33\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  %Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.
La calculatrice donne après arrondis au centième des coefficients : $z = 0,64x + 4,51$.
		\item  %En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie au millier d'euros.
2008 correspond au rang $x = 10$, d'où $z = 0,64 \times 10 + 4,51 = 6,4 + 4,51 = 10,91$.
Or $z = \ln y = 10,91 \iff y = \text{e}^{10,91} \approx \np{54720,8}$ soit au millier d'euros près \np{54720}~milliers d'euros.
	\end{enumerate}
\item %Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes, avec un montant de \nombre{5027} milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10\,\%  en 2006.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006.
Le montant des ventes en 2006 est donc $\np{5027}(1 - 0,10) = \np{5027} \times 0,9 = \np{4524,3}$ soit au millier d'euros près \np{4524}~milliers d'euros.
		\item  %En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10\,\% par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ? (On arrondira le montant au millier d 'euros)
En 2008 après trois années de baisse de 10\,\% chaque année le montant des ventes devrait être de :

$\np{5027} \times 0,9^3 = \np{3664,68}$ soit à l'unité près \np{3665}~milliers d'euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ centaines d'appareils par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
% 
%\[f(x) = - 2x + \left(\text{e}^2 - 1\right)\ln x + 2.\]
%
%La courbe de la fonction $f$ est donnée sur la figure ci-dessous :
% 
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-2,-3)(10,4)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\psplot{1}{7.38906}{2.71828 2 exp 1 sub x ln mul 2 add x 2 mul sub} 
%\psline(1,0)(7.38906,0)
%}
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-3)(10,4)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-2,-3)(10,4)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0.54}{9.8}{2.71828 2 exp 1 sub x ln mul 2 add x 2 mul sub}
%\psline[linestyle=dashed](3.1945,0)(3.1945,3)
%\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(2.1945,3.05)(4.1945,3.05)
%\end{pspicture}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Vérifier par le calcul que $f(1) = 0$ et $f\left(\text{e}^2\right) = 0$.
$\bullet~~$$f(1) = - 2 \times 1 + \left(\text{e}^2 - 1\right)\ln 1 + 2 = - 2 + 0 + 2 = 0$.

$\bullet~~$$f\left(\text{e}^2\right) = - 2\times \text{e}^2 + \left(\text{e}^2 - 1\right)\ln \left(\text{e}^2 \right) + 2 = - 2\text{e}^2 + \left(\text{e}^2 - 1\right)\times 2 + 2 = - 2\text{e}^2 +  2\text{e}^2 - 2 + 2 = 0$.
\item À l'aide du graphique, déterminer approximativement :
	\begin{enumerate}
		\item  %le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ;
On lit approximativement que le bénéfice maximum \np{3000}~\euro est obtenu pour la vente de 320 appareils. 
		\item  %les valeurs de $x$ pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul,
On lit que le bénéfice est positif quand la vente va de 100 à 740 appareils. 
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Sur $]0~;~+ \infty[$, la fonction est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = - 2 + \left(\text{e}^2 - 1\right)\times \dfrac{1}{x} : \dfrac{- 2x + \text{e}^2 - 1}{x}$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$.
Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur  : $- 2x + \text{e}^2 - 1$ :
		
$\bullet~~$$f'(x) > 0 \iff - 2x + \text{e}^2 - 1 > 0 \iff 2x < \text{e}^2 - 1 \iff x < \dfrac{\text{e}^2 - 1}{2}$  : sur $\left]0~;~\frac{\text{e}^2 - 1}{2}\right[$ la fonction est strictement croissante ;
		
$\bullet~~$$f'(x) < 0 \iff - 2x + \text{e}^2 - 1 < 0 \iff 2x > \text{e}^2 - 1 \iff x > \dfrac{\text{e}^2 - 1}{2}$  : sur $\left]\frac{\text{e}^2 - 1}{2}~;~+ \infty\right[$ la fonction est strictement décroissante.

$\bullet~~$$f'(x) = 0 \iff x = \dfrac{\text{e}^2 - 1}{2}$ en ce point la fonction a un maximum $f\left(\frac{\text{e}^2 - 1}{2} \right)$.
		\item %En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l'unité).
D'après la question précédente le bénéfice est maximal pour $x = \frac{\text{e}^2 - 1}{2}\approx 3,194$ soit environ 319~appareils vendus.
	\end{enumerate}
\item %Parmi les courbes données en annexe, une seule correspond à celle d'une primitive de $f$. Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de $f(x)$).
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$, alors $F'(x) = f(x)$ : le signe de $f$ est donc celui de $F'$.

Donc $F_1$ est à éliminer car sur [1~;~2]$f$ est positive et $F$ est décroissante, donc $F'(x)  < 0$ ;

Même chose pour $F_3$ : sur [6~;~7], $f(x) > 0$ et $F'(x) < 0$.

Il reste donc $F_2$.
\item %En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure ci-dessus.
En utilisant la primitive $F_2$, on a donc :

$\displaystyle\int_1^{\text{e}^2} f(x)\:\text{d}x = F_2(x)]_1^{\text{e}^2} = F\left(\text{e}^2 \right) - F(1) \approx 9,3 - (- 3,3) \approx 12,6$~unités d'aire
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$ par :

%\[F(x) = -x^2 + \left(3 - \text{e}^2\right)x + \left(\text{e}^2 - 1\right)x\ln x~~ \text{est une primitive de}~f.\]
$F$ est dérivable sur $]0 ~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = - 2x + 3 - \text{e}^2 + \left(\text{e}^2 - 1\right)\ln x + \left(\text{e}^2 - 1\right)x\times \dfrac{1}{x} = - 2x + 3 - \text{e}^2 + \left(\text{e}^2 - 1\right)\ln x + \text{e}^2 - 1 =$

$ - 2x + 2 + \left(\text{e}^2 - 1\right)\ln x = f(x)$, donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$.

\emph{Rem :} On peut donc vérifier la question précédente : 

$F\left(\text{e}^2 \right) - F(1) = - \left(\text{e}^2\right)^2 + \left(3 - \text{e}^2\right)\times \text{e}^2 + \left(\text{e}^2 - 1\right)\text{e}^2\ln \text{e}^2 - \left[- 1^2 + \left(3 - \text{e}^2\right) + \left(\text{e}^2 - 1\right)1\ln 1  \right] =$

$ - \text{e}^4 + 3\text{e}^2 - \text{e}^4 + 2\text{e}^4 - 2 +  1 - 3  + \text{e}^2 = 2\text{e}^2 - 2 \approx 12,78$~unités d'aire.
		\item %Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle où ce bénéfice est positif ou nul.
		La valeur moyenne du bénéfice sur intervalle $\left[1~;~\text{e}^2\right]$ est égal à :
		
		$m = \dfrac{1}{\text{e}^2 - 1}\displaystyle\int_1^{\text{e}^2} f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{\text{e}^2 - 1}\left[F(x) \right]_1^{\text{e}^2} = \dfrac{1}{\text{e}^2 - 1}\left( 2\text{e}^2 - 2 \right) = \dfrac{2\left(\text{e}^2 - 1 \right)}{\text{e}^2 - 1} = 2$ soit \np{2000}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE : exercice 4}
\medskip

\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(10,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-3,-5)(10,5)
%\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-3,-4.2)(-2.5,-4.5)(-2.15,-5)
%\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.9,5)(2,1.18)(3,0.15)(4,-0.45)(5,-0.75)(6,-0.95)(8,-1.2)(10,-1.35)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{-2}{6.389 x div 2 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.9}{10}{6.389 x div 2 sub}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-5)(10,5)
\rput(12,0){Courbe de $F_{1}$}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(14,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(14,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{12}{6.389 x mul x ln mul x 4.389 mul sub x 2 exp sub 2 add}
\rput(17,0){Courbe de $F_{2}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-4)(14,10)
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(10,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(10,10)
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.25,10)(0.45,4)(1,2.5)(2,4)(3,5.9)(4,7)(5,7.25)(6,6.7)(7,5)(8,2.6)(9,-1)(9.2,-2)
\rput(12,0){Courbe de $F_{3}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(10,10)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}