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% Tapuscrit Jean-Paul Goualard que nous remercions 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Polynésie juin 2008~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,15cm}

\subsection*{{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.} 

\medskip

%\parbox{0.35\textwidth}{Le plan est muni d'un repère orthonormal. Soient $f$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels et $\mathscr{C}$ sa courbe tracée ci-contre. La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.\\
%On appelle B, A et E les points de coordonnées respectives $(4~;~0)$, $\left(4~;~\dfrac{179}{75}\right)$ et $\left(0~;~\dfrac{179}{75}\right)$. Ces trois points n'appartiennent pas à la  courbe $\mathscr{C}$. }\hfill
%\parbox{0.6\textwidth}{\psset{unit=0.72,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-3,-5)(7,6)
%
%\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.6}{4.9}{-17*x^3/50+203*x^2/100-3*x+3}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot{0}{4}{-17*x^3/50+203*x^2/100-3*x+3},\psline(4,0)(0,0)}
%\psplot[linewidth=1.5pt]{-1}{2}{-3*x+3}
%\uput[l](0,2.387){E}\uput[r](4,2.387){A}\uput[dl](4,0){B}\uput[r](5,-2){$\mathscr{C}$}\uput[r](1.8,-2){$\mathcal{D}$}
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,6)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-3,-3)(7,6)%grille
%\uput[d](6.8,0){$x$}\uput[l](0,5.8){$y$}
%\psdots(0,2.387)(4,2.387)(4,0)
%\end{pspicture}}
%
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.\\
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}
%
%\bigskip
%
%\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}
%
%\bigskip

\begin{enumerate}
\item  %L'ordonnée à l'origine de la droite $\mathcal{D}$ est égale à :
L'ordonnée à l'origine de la droite $\mathcal{D}$ est égale à 3.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
%0& 1& 3\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\item  %Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal à :
Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$ soit $\dfrac{0 - 3}{1 - 0} = - 3$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
%$\dfrac{-1}{3}$& 5&$-3$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\item %Sachant que l'aire grisée sur la figure est égale à l'aire du rectangle OBAE, la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~4]$ est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
%$\dfrac{179}{75}$&$\dfrac{716}{75}$&$-\dfrac{179}{75}$.
%\end{tabularx}
%
%\medskip
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~4]$ est égale à la hauteur du rectangle OBAE donc à $\dfrac{179}{75}$ (le repère est orthonormé).
\item %Sur l'intervalle $[0~;~4]$, l'équation $f'(x) = 0$
%	\begin{enumerate}
%		\item[$\bullet$] possède deux solutions distinctes
%		\item[$\bullet$] ne possède pas de solution.
%		\item[$\bullet$] possède une unique solution. 
%	\end{enumerate}
On voit qu'il y a deux tangentes horizontales à la courbe $\mathscr{C}$ sur l'intervalle $[0~;~4]$, donc deux solutions pour l'équation $f'(x) = 0$.
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\emph{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

%Un site Internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères.Pour chaque objet, la durée des enchères dure une semaine. Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l'objet est obligatoire à 1a fin des enchères et ce, même si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé.
%
%Sur ce site une étude statistique a montré que :
%\begin{enumerate}
%\item[$\bullet$] $\dfrac{3}{5}$ des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur parution ; dans  ce cas, 75\,\% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final ;
%\item[$\bullet$] $\dfrac{1}{3}$ des annonces reçoit une première enchère au bout de trois jours et, dans ce cas, 57\,\% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final de leur objet ;
%
%\item[$\bullet$] les autres annonces ne reçoivent aucune enchère et le vendeur retire alors son objet de la vente. 
%\end{enumerate}
%On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note :\begin{enumerate}
%\item[$\bullet$] $L$ : l'évènement \og l'annonce reçoit une première enchère le lendemain de sa parution \fg ; 
%\item[$\bullet$] $T$ : l'évènement \og  l'annonce reçoit une première enchère au bout de trois jours \fg ; 
%\item[$\bullet$] $A$ : l'évènement \og l'annonce ne reçoit aucune enchère \fg ; 
%\item[$\bullet$]  $S$ : l'évènement \og le vendeur est satisfait du prix de vente final de son objet \fg{} et $\overline{S}$ son évènement contraire. 
%\end{enumerate}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Traduire la situation par un arbre de probabilité.
On a $p(A) = 1 - p(L) - p(T) = 1 - \frac{3}{5} - \frac{1}{3} = \frac{15 - 9 - 5}{15} = \frac{1}{15}$.

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$L$~}\taput{$\frac{3}{5}$}}
	{\TR{$S$}\taput{$\frac{3}{4}$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	}
\pstree{\TR{$T$~}\taput{$\frac{1}{3}$}}
	{\TR{$S$}\taput{0,57}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,43}
	}
\pstree{\TR{$A$~}\tbput{$\frac{1}{15}$}}
	{\Tn
	\Tn
	}
}
\end{center} 
\item %Calculer la probabilité que l'annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final. 
$p(L \cap S) = p(L) \times p_L(S) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{20}$.
\item %Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64.
D'après la loi des probabilités totales, on a :

$p(S) =  p(L \cap S) + p(T \cap S)$.

Or $p(T \cap S) = p(T) \times p_T(S) = \dfrac{1}{3} \times 0,57 = 0,19$.

Donc $p(S) =  p(L \cap S) + p(T \cap S) = \dfrac{9}{20} + 0,19 = 0,45 + 0,19 = 0,64$.
\item %Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l'annonce (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième) ?
Il faut trouver :

$p_S(L) = \dfrac{p(S \cap L)}{p(S)} = \dfrac{0,45}{0,64} = \np{0,703125} \approx 0,70$. 
\item %Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements des enchères sont indépendants les uns des autres.

%Calculer la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit  satisfait du prix de vente d'au moins deux de ces jeux vidéo (\emph{le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième}).
On a une loi binomiale avec $n = 3$ et $p = p(S) = 0,64$.

La probabilité que Marc ne soit satisfait du prix de vente d'aucun des trois objets est : 

$(1 - 0,64)^3$.

La probabilité que Marc ne soit satisfait du prix de vente que d'un seul des trois objets est :

$3 \times 0,64 \times (1 - 64)^2$.

Donc la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit  satisfait du prix de vente d'au moins deux de ces jeux vidéo est égale à :
$1 - (1 - 0,64)^3 - 3 \times 0,64 \times (1 - 64)^2 = \np{0,704512} \approx 0,70$.
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\emph{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre service. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n'importe quelle station de son choix. la ville comporte sept stations de location nommées A, B,  C, D, E, F et G.
%
%Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-contre.
%\begin{center}
%\begin{psmatrix}[mnode=circle,rowsep=0.8cm,colsep=0.8cm]
% &  &  & B \\
%A &  &  &  &  & C \\
% & E \\
% &  &  &  &  &  &  & D \\
% & F \\
% &  &  &  & G
%\end{psmatrix}
%\psset{arrows=-,shortput=nab}
%\ncline{2,1}{1,4}^{7}
%\ncline{2,1}{2,6}\ncput*{11}
%\ncline{2,1}{5,2}\ncput*{13}
%\ncline{1,4}{2,6}^{10}
%\ncline{1,4}{4,8}\ncput*{15}
%\ncline{3,2}{1,4}^{14}
%\ncline{2,6}{3,2}^{9}
%\ncline{2,6}{5,2}^{18}
%\ncline{4,8}{3,2}\ncput*{5}
%\ncline{4,8}{6,5}^{5}
%\ncline{3,2}{5,2}^{8}
%\ncline{5,2}{6,5}^{18}
%\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Philippe, cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n'empruntant que des pistes cyclables. 
	\begin{enumerate}
		\item %A-t-il la possibilité d'effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables. Justifier la réponse. 
On regarde s'il existe une chaîne eulérienne.

La chaîne A--B--C--E--D--G--F contient tous les sommets : pour toute paire de sommets différents il existe donc une chaîne démarrant à l'un et se terminant à l'autre.

Les sommets ont dans l'ordre alphabétique pour ordre : 3,  4, 4, 3, 4, 4, 2.

Dans ce graphe connexe il y a deux sommets de degré impair : il existe donc une chaîne eulérienne commençant par A ou D et finissant par D ou A.		
		\item %À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.
Comme il y a deux sommets de degré impair il n'existe pas de cycle eulérien ; il est donc impossible d'emprunter une seule fois chaque voie en revenant au point de départ. 
	\end{enumerate}
\item %On appelle $M$ la matrice associée à ce graphe. on donne deux matrices $N$ et $T$ :
%\begin{center}
%$N=\begin{pmatrix}4&9&8&5&5&9&2\\
%9&6&10&7&10&6&4\\
%8&10&8&5&10&9&4\\
%5&7&5&2&8&4&5\\
%5&10&10&8&6&11&2\\
%9&6&9&4&11&4&6\\
%2&4&4&5&2&6&0
%\end{pmatrix}~\text{et}~T=\begin{pmatrix}
%4&9&8&4&5&9&1\\
%9&6&10&6&10&6&4\\
%8&10&8&4&10&9&4\\
%5&7&5&2&8&4&5\\
%5&8&10&8&6&11&0\\
%9&6&9&4&11&4&6\\
%1&4&4&5&0&6&0
%\end{pmatrix}$
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Une des deux matrices $N$ ou $T$ est la matrice $M^3$. Sans calcul, indiquer quelle est la matrice $M^3$. Justifier la réponse.

Les sommeront rangés dans l'ordre alphabétique. , $M^3$ est la matrice  dont les termes donnent le nombre de chaînes de longueur 3 reliant deux sommets.

Ainsi il y a deux chaînes de longueur 3 reliant E et G. Or les termes de $T$ à la cinquième ligne septième colonne ou septième ligne cinquième colonne sont nuls, donc $T$ ne peut être égale à $M^3$. C'est donc $M^3 = N$.
\item %Philippe a loué une bicyclette à la station F et l'a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.
De F à E en passant par deux sommets exactement est un chemin de longueur 3 : le nombre de chemins est situé dans $M^3$ à la cinquième ligne, sixième colonne, soit 11 chemins différents.
\end{enumerate}

\item %Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. À l'aide d'un algorithme, déterminer un tel parcours et donner le temps nécessaire pour l'effectuer.
Pour trouver le chemin le plus court reliant A à G on utilise l'algorithme de Dijska :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1.5cm}|}\hline
A&B&C&D&E&F&G&Sommet choisi\\ \hline
0&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&A 0\\ \hline
&A 7&A 11&$\infty$&$\infty$&A 13&$\infty$&B 7\\ \hline
&&A 11&B 23&B 21&A 13&$\infty$&C 11\\ \hline
&&&B 23&C 20&A 3&$\infty$&F 13\\ \hline
&&&B 23&C 20&&F 31&E 20\\ \hline
&&&B 23&&&F 31&D 23\\ \hline
&&&&&&D 28&G 28\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À partir de G marqué on remonte D, B et A.

Le chemin le plus court est A--B--D--G  ; il prendra 28 minutes.
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 3 \hfill 4 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.}

\medskip

%Le tableau ci-dessous présente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Île de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000).
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\hline
%Année& 2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006 \\
%\hline
%Rang $x_{i}$ de l'année& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
%\hline
%Indice $y_{i}$ des prix&100 &106,3&114,3&126,1&143,6&166,3& 181,5\\
%\hline
%\multicolumn{8}{r}{(Source : INSEE)}
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix $y$ en fonction du rang de $x$ de l'année.
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.
De 2000 à 2006 l'indice est passé de 100 à 181,5 a donc été multiplié par 1,815, soit une augmentation de 81,5\,\%.
\item ~%Représenter le nuage de points $M_{i}(x_{i}~;~y_{i})$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal, d'unités graphiques :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 2~cm pour un an ; 
%\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 1~cm pour $10$ (en pla\c cant $100$ à l'origine). 
%\end{itemize}
\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.09cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-8)(6,85)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(6,85)
\psdots(0,0)(1,6.3)(2,14.3)(3,26.1)(4,43.6)(5,66.3)(6,81.5)
\uput[u](5,0){rang de l'année}\uput[r](0,84){taux d'évolution de l'indice}
\end{pspicture}
\end{center}

%L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel.\\
%On pose $z = \ln y$.
\item %Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au millième) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_{i}$		& 0		&1		&2		&3		&4		&5		&6\\\hline
$z_{i}= \ln y_{i}$	&4,605 	&4,606	&4,739	&4,837	&4,967	&5,114	&5,201\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item %Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis au millième}).
		Après arrondi au millième des coefficients trouvés avec la calculatrice on a : $z = 0,104x + 4,564$. 
		\item %En déduire une approximation de l'indice des prix $y$ en fonction du rang $x$ de l'année.
On a $z = \ln y = 0,104x + 4,564 \iff y = \text{e}^{0,104x + 4,564} \iff y = \text{e}^{4,564} \times \text{e}^{0,104x}$.

Or $\text{e}^{4,564} \approx 95,967$, d'où $y \approx 	95,967\text{e}^{0,104x}$.	 
	\end{enumerate}
\item %On prend l'approximation : $y = 96\mathrm{e}^{0,104x}$ et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $96\mathrm{e}^{0,104n}\geqslant 250$.
$96\mathrm{e}^{0,104n}\geqslant 250 \iff \text{e}^{0,104n} \geqslant \dfrac{250}{96} \iff \text{e}^{0,104n} \geqslant \dfrac{125}{48}  \iff 0,104n \geqslant \ln \left( \dfrac{125}{48}\right) \iff n \geqslant \dfrac{1}{0,104}\ln \left( \dfrac{125}{48}\right)$.

Or $\dfrac{1}{0,104}\ln \left( \dfrac{125}{48}\right) \approx 9,2$. Le plus petit naturel est donc $n = 10$ donc en 2010.
		\item %Donner une interprétation du résultat obtenu. 
Le résultat précédent signifie qu'à partir de 2010 l'indice des prix dépassera les 250.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 4 \hfill 7 points}}

\emph{ Commun à tous les candidats.}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$  par :
 
%\[g(x) =\ln x + 2x^2 - 3.\]

%Le tableau de variations de la fonction $g$ est donné ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,2.5)
%\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2) \psline(2.2,0)(2.2,2) \psline(2.3,0)(2.3,2)
%\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.25,2){$0$} \uput[u](4.5,2){$\alpha$} \uput[u](6.6,2){$+ \infty$}
%\rput(1,1){$g$} \rput(2.6,0.2){$- \infty$} \rput(4.5,1){$0$} \rput(6.7,1.8){$+ \infty$} \psline{->}(2.5,0.3)(6.5,1.7)
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%En utilisant une calculatrice, on a obtenu $\alpha\approx1,19$.
%
%Dresser le tableau donnant le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$.
On a :

$\bullet~~$$g(x) < 0$ sur $]0~;~\alpha[$ ;

$\bullet~~$$g(\alpha) = 0$ ;

$\bullet~~$$g(x) > 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$.
\item %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par :
 
\[f(x) = \dfrac{2}{x}- \dfrac{\ln x}{x} +2x - 5.\]

%On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2}{x} = + \infty$, \:$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} -\dfrac{\ln x}{x} = + \infty$ et enfin par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{2}{x} = 0$, \:$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}2x = + \infty$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0~;~+\infty[$, on a : 
		
%\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.\]
La fonction $f$ est dérivable sur $] 0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = - \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{\frac{1}{x} \times x - 1\ln x}{x^2} + 2 = - \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1 - \ln x}{x^2} + 2 = 2 + \dfrac{\ln x - 3}{x^2} =$

$ \dfrac{\ln x + 2x^2 - 3}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item %En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
		Comme $x^2 > 0$ sur $]0~;~+\infty[$, le signe de $f'(x)$ est donc celui de $g(x)$ trouvé à la question \textbf{1.}, donc 
		
$\bullet~~$$f'(x) < 0$ sur $]0~;~\alpha[$ : la fonction $f$ est décroissante sur $]0~;~\alpha[$

$\bullet~~$$f'(\alpha) = 0$ ;

$\bullet~~$$f'(x) > 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$ : la fonction $f$ est croissante sur $]\alpha~;~+ \infty[$.

On a $g(\alpha) = \ln \alpha  + 2\alpha^2 - 3 = 0 \iff \ln \alpha = 3 - 2\alpha^2$.

Donc $f(\alpha) = \dfrac{2}{\alpha}- \dfrac{\ln \alpha}{\alpha} + 2\alpha - 5 = \dfrac{2}{\alpha}- \dfrac{3 - 2\alpha}{\alpha} + 2\alpha - 5 = \dfrac{3 - \alpha}{\alpha} + 2\alpha - 5 = \dfrac{3 }{\alpha} + 2\alpha - 6 \approx - 1,08$.

D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$$} \uput[u](1.1,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$\alpha$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(2.5,2.25){$-$}\rput(4,02.25){0} \rput(5.5,2.25){$+$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](4,0){$\approx - 1,08$} \uput[d](6.5,2){$+ \infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Déterminer le signe de $f(x)$ pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $\mathrm{e}$.
On a $f(\text{e}) = \dfrac{2}{\text{e}}- \dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}} + 2\text{e} - 5 = \dfrac{2}{\text{e}} - \dfrac{1}{\text{e}} +  2\text{e} - 5 = 2\text{e}  + \dfrac{1}{\text{e}} - 5 \approx 0,804 > 0$.

Donc pour $x > \text{e},\: f(x) > 0$.
%\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\end{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = \left(\ln x\right)^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la dérivée $h'$ de $h$.
La fonction $h$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$h'(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x = \dfrac{2\ln x}{x}$.
		\item %En remarquant que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$, on a : 
		
%$f(x) = \dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{2}h'(x) + 2x - 5$, trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Une primitive de $x \longmapsto \dfrac{2}{x}$ est $x \longmapsto 2\ln x$ ;

Une primitive de  $x \longmapsto -\dfrac{1}{2}h'(x)$ est $x \longmapsto -\dfrac{1}{2}h(x)$ ;

Une primitive de $x \longmapsto 2x$ est $x \longmapsto x^2$ ;

Une primitive de $x \longmapsto - 5$ est  $x \longmapsto - 5x$.

Donc une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est la fonction $F$ définie par :

$F(x) = 2\ln x -\dfrac{1}{2}h(x) + x^2 - 5x = 2\ln x -\dfrac{1}{2}\left(\ln x\right)^2 + x^2 - 5x$.
		\item %Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \mathrm{e}$ et $x =\mathrm{e}^{2}$ (\emph{on donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième}).
		
On a vu que sur $]\text{e}~;~+ \infty[, \: f(x) > 0$, donc  l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \mathrm{e}$ et $x =\mathrm{e}^{2}$ est égale à l'intégrale :
		
$\displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{\text{e}}^{\text{e}^2} = F\left(\text{e}^2 \right) - F(\text{e}) = 
2\ln \text{e}^2 -\dfrac{1}{2}\left(\ln \text{e}^2\right)^2 + \left(\text{e}^2\right)^2 - 5\text{e}^2 - \left[2\ln \text{e} -\dfrac{1}{2}\left(\ln \text{e}\right)^2 + \text{e}^2 - 5\text{e} \right] =
4  - 2 + \text{e}^4 - 5\text{e}^2 - 2 + \dfrac{1}{2} - \text{e}^2 + 5\text{e} =
\dfrac{1}{2} + \text{e}^4 - 6\text{e}^2 + 5\text{e} \approx 24,355 \approx 24,4$~unités d'aire.

On peut vérifier approximativement ce résultat sur la figure ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(9,11)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,0)(9,11)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.2}{8}{2 x div x ln x div sub x 2 mul add 5 sub}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.71828}{7.3891}{2 x div x ln x div sub x 2 mul add 5 sub}
\psline(7.3891,0)(2.71828,0)
}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,-2)(9,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(9,11)
\uput[d](2.71828,0){$\text{e}$}\uput[d](7.3891,0){$\text{e}^2$}
\uput[dl](1,-1){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}