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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES  }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large  \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES (obligatoire) Polynésie~\decofourright\\[4pt]septembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une buvette, située en bordure de plage, est ouverte de 12 heures à 18 heures. Elle propose des crêpes salées et des crêpes sucrées.
%
%Chaque client achète une seule crêpe.
% 
%60\,\% des clients se présentent à l'heure du déjeuner (entre 12 heures et 14 heures).
%
%Parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi (à partir de 14 heures), 80\,\% choisissent une crêpe sucrée.
%
%On appelle :
%
%D l'évènement : \og le client est venu à l'heure du déjeuner \fg.
%
%A l'évènement : \og le client achète une crêpe salée \fg.
%
%On sait que la probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à $0,62$.
%
%\emph{On pourra représenter les différentes situations par des arbres pondérés.}
%
%\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale.}
%
%\medskip
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=0pt,nodesep=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~}\taput{0,6}}
	{\TR{$A$} \taput{\red 0,9}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\red 0,1}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~}\tbput{0,4}}
	{\TR{$A$} \taput{0,2}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{0,8}
	}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les probabilités des évènements D et $\overline{\text{D}}$.
On a $p(D) = 0,6$, d'où $p\left(\overline{D} \right) = 1 - 0,6 = 0,4$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Un client est venu l'après-midi. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une crêpe salée ?
80\,\% de ces clients choisissent une crêpe sucrée, donc 

$p_{\overline{D}}(A) = 1 - 0,8 = 0,2$.
		\item 	%Calculer $P\left(A \cap \overline{D}\right)$.
$P\left(A \cap \overline{D}\right) = P\left(\overline{D} \cap A\right) = P\left(\overline{D}\right) \times P_{\overline{D}}(A) = 0,4 \times 0,2 = 0,08$.
		\item 	%En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P\left(A \cap  D\right)$.
D'après la formule des probabilités totales :

$p(A) = P\left(A \cap  D\right) + P\left(A \cap \overline{D}\right)$ soit :

$P\left(A \cap  D\right) = p(A) -  P\left(A \cap \overline{D}\right) = 0,62 - 0,08 = 0,54$.
		\item 	%Un client vient à l'heure du déjeuner ; montrer que la probabilité qu'il achète une crêpe salée est égale à $0,9$.
D'après la formule des probabilités totales :

$P_{D}(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0,54}{0,6} = 0,9$.
	\end{enumerate}
\item 	%Un client a acheté une crêpe salée ; quelle est la probabilité, à $0,01$ près, qu'il soit venu l'après-midi ?
$P_{A}\left(\overline{D} \right) = \dfrac{P\left(A \cap \overline{D} \right)}{P(A)} = \dfrac{0,08}{0,62} = \dfrac{4}{31} \approx \np{0,1290} \approx 0,129$ au millième près.
\item 	%On vend 3~euros une crêpe salée et 2 euros une crêpe sucrée. La buvette reçoit 250~clients par jour. Quelle est l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes ?
La probabilité de vendre une crêpe sucrée est égale à : $P\left(\overline{A}\right) = 1 - 0,62 = 0,38$.

La variable aléatoire, recette prend deux valeurs 2 et 3 de probabilités respectives 0,38 et 0,62. L'espérance mathématique de cette recette est : 

$2 \times 0,38 + 3 \times 0,62 = 0,76 + 1,86 = 2,62$~\euro{} par crêpe vendue, soit pour 250 crêpes : $250 \times 2,62 = 655$~\euro.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Pour chacune des cinq propositions ci-dessous, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %La fonction $x \mapsto  \text{e} + \dfrac{1}{5}$ est la fonction dérivée de la fonction $x \mapsto  \text{e}x + \ln 5$.
Fausse : la dérivée de la fonction est la fonction $x \longmapsto \text{e}$.
\item  %L'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $\left(\text{e}^x - 1\right)\left(\text{e}^x + 4\right) = 0$ est : $S = \{0\}$.
Vraie. Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, $\text{e}^x + 4 > 4 > 0$, l'équation est donc équivalente à $\text{e}^x - 1 = 0$ qui a bien pour seule solution $0$.
\item %Si $\left(1 - \dfrac{1}{100}\right)^n \leqslant  0,7$ alors  $n \geqslant \dfrac{\ln 0,7}{\ln 0,99}$.
Vraie. $\left(1 - \dfrac{1}{100}\right)^n \leqslant  0,7 \iff \left(\dfrac{99}{100}\right)^n \leqslant  0,7 \iff n \ln \left(\dfrac{99}{100} \right) \leqslant \ln 0,7 \iff n \ln 0,99 \leqslant \ln 0,7 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,7}{\ln 0,99}$ car $\ln 0,99 < 1$.
\item %L'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $\ln \left(x^2 + 4x + 3\right) = \ln(5x+ 9)$ est $S = \{-2 ~;~3\}$.
Fausse. Il faut que $x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) > 0$ : le trinôme est positif sauf sur l'intervalle $]-3~;~- 1[$.

Il faut aussi que $5x + 9 > 0 \iff x > - \dfrac{-9}{5}$.

Finalement il faut que $x > - 1$.

Dans ces conditions : $\ln \left(x^2 + 4x + 3\right) = \ln(5x + 9) \iff x^2 + 4x + 3 = 5x + 9 \iff x^2 - x - 6 = 0$. On a $\Delta = 1 + 24 = 25 = 5^2$, d'où deux solutions :

$x_1 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{1 - 5}{2} = - 2$ : $x_2$ ne peut être solution.
\item %La limite quand $x$ tend vers 1, $x < 1$, de la fonction $x \mapsto \ln \left(\dfrac{\sqrt{1 - x}}{2}\right)$ est $0$.
Fausse. Avec $x < 1$, on a $\displaystyle\lim_{x \to 1}\sqrt{1 - x} = 0$, d'où par composition de limites 
$\displaystyle\lim_{x \to 1}\ln \left(\dfrac{\sqrt{1 - x}}{2}\right) = - \infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
%
% On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty [$ et on note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.
% 
% \medskip
  
\begin{enumerate}
\item  %On sait que $(\mathcal{C})$ passe par le point E(0 ; 1) et qu'elle admet au point d'abscisse $0$ une tangente horizontale. En déduire $f(0)$ et $f'(0)$.
E(0 ; 1) $\in (\mathcal{C})$, donc $f(0) = 1$.

La tangente en E est horizontale donc $f'(0) = 0$.
\item  %Vérifier que $f'(x) = (- ax + a - b)\text{e}^{-x}$.
$f'(x) = a\text{e}^{-x} - (ax + b) \text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(a - ax - b)$.
\item  %En utilisant les résultats précédents, déterminer $a$ et $b$.
E(0 ; 1) $\in (\mathcal{C}) \iff b\text{e}^0 = 1 \iff b = 1$ ;

$f'(x) = 0 \iff \text{e}^{0}(a - 0 - b) = 0 \iff a - b = 0 \iff a = b = 1$.

Finalement : $f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$ sur $[0 ~;~ +\infty[$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Pour la suite, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par : 
%
%\[f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~ f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{1}{\text{e}^x}$.
On a $f(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x}(x + 1) = \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{1}{\text{e}^x}$.
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$ et 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\text{e}^x} = 0$, d'où par suite des limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
		\item  %En déduire que $(\mathcal{C})$ possède une asymptote dont on précisera une équation.
Géométriquement le résultat précédent montre que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $f'(x)$.
On a vu que $f'(x) = \text{e}^{-x}(a - ax - b) = -x\text{e}^{-x}$.


		\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$ puis dresser le tableau de variations complet de $f$.
Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit $x$, $f'(x)$ est du signe de $- x$ donc $f'(x) \leqslant 0$ sur $[0~;~+ \infty[$.

La fonction est donc strictement décroissante de $f(0) = 1$ à $0$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $f(x) =  0,5$ possède une unique solution $\alpha$ dans 	l'intervalle [0~;~4].
Sur l'intervalle la fonction $f$ est continue, car dérivable, strictement décroissante de $f(0) = 1 > 0,5$ à $f(4) = 5\text{e}^{-4}\approx 0,091 < 0,5$ ; d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe donc un réel unique $\alpha \in [0~;~4]$ tel que $f(\alpha) = 0,5$.
		\item  %Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
La calculatrice donne successivement :

$f(1)\approx 0,73$ et $f(2) \approx 0,40$, donc $1 < \alpha < 2$ ;

$f(1,6) \approx 0,52$ et $f(1,) \approx 0,49$, donc $1,6 < \alpha < 1,7$ ;

$f(1,67) \approx 0,502$ et $f(1,68) \approx 0,499$, donc $1,67 < \alpha < 1,68$ ;

$f(1,678) \approx \np{0,5001}$ et $f(1,679) \approx \np{0,4998}$, donc $1,678 < \alpha < 1,679$.
	\end{enumerate}
\item  %On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = - (x + 2)\text{e}^{-x}$.

%Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
On a $g'(x) = - 1\text{e}^{-x} - [-(x + 2)\text{e}^{-x}] = \text{e}^{-x}(- 1 + x + 2) = (x + 1)\text{e}^{-x} = f(x)$ : $g$ est donc une primitive de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
\item  %Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0 ; 4]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième du résultat.

%(Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est égale à $\left.\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b  f(x)\:\text{d}x.\right)$

On a donc $m = \dfrac{1}{4 - 0}\displaystyle\int_0^4 f(x)\:\text{d}x  = \dfrac{1}{4}[g(x)]_0^4 = \dfrac{1}{4}[g(4) - g(0)] =$

$ \dfrac{1}{4}\left[- (4 + 2)\text{e}^{-4} \right] - \dfrac{1}{4}\left[- (0 + 2)\text{e}^{-0} \right] = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}\text{e}^{-4} \approx \np{0,4725}$ soit au millième près 0,473.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%Une entreprise produit $q$ milliers de pièces par jour, $q$ étant un réel de [0~;~4].
%
%Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de $q$ et est donné par l'expression :
%
%\[f(q) = (q + 1)\text{e}^{-q}.\]
	
\begin{enumerate}
\item  %Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de \np{4000} pièces ?
\np{4000} pièces correspondent à $q = 4$.

Le prix de revient d'une pièce est donc égal à $f(4) = 5\text{e}^{-4} \approx \np{0,091578}$~\euro.

La coût de production de \np{4000} pièces  est donc égal à :

$\np{4000} \times \np{0,091578} \approx  366,3$ soit 366~\euro{} à l'euro près.
\item  %À partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d'une pièce est-il inférieur à $0,5$~euro ?
Il faut trouver le plus petit entier $q$ tel que $f(q) < 0,5$ :

Or on a vu que $f(\alpha) = 0,5$ et que $\alpha \approx 1,679$.

Le coût de revient sera inférieur au demi-euro à partir de \np{1679}~pièces produites.
\end{enumerate}
\end{document}