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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Polynésie septembre 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%Un nom de domaine, sur Internet, est constitué de deux éléments :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] un nom (celui d'une société, d'une marque, d'une association, d'un particulier. .. ) ; 
%\item[$\bullet~$] une extension (appelée aussi suffixe) : .fr, .de, .ca, .jp, .net, .com, .org, etc.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Le tableau ci-dessous donne, en milliers, le nombre de domaines en \og .fr \fg{}  gérés par l'AFNIC (\emph{Association Française pour le Nommage Internet en Coopération}), organisme qui centralise les noms de domaine Internet, pour les mois de juin des années 2001 à 2008 :
%
%\medskip
%
%{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
%Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
%Rang $x_{i}$ de l'année $1 \leqslant i \leqslant 8$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
%Nombre $y_{i}$ des domaines en \og .fr \fg,  en milliers, $1 \leqslant i \leqslant 8$&\footnotesize 105,045 &\footnotesize 128,927 &\footnotesize  143,741 &\footnotesize 224,452 &\footnotesize 344,465 &\footnotesize 463,729 &\footnotesize  811,674 &\footnotesize \np{1125,161}\\ \hline
%\multicolumn{9}{r}{\emph{(Source : AFNIC, 2009)}}\\
%\end{tabularx}}
%
%\bigskip 
% 
%Le nuage de points associé à cette série statistique est donné ci-dessous.
%
%\bigskip 
% 
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0075cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-3,-50)(11,1200)
%\uput[u](9.5,0){rang de l'année}
%\rput(3.6,1230){nombre de domaines en .fr en milliers}
%\uput[dl](0,0){O}
%\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8](1,105.045)(2,128.927)(3,143.741)(4,224.452)(5,344.465)(6,463.729)(7,811.674)(8,1125.161)
%\multido{\n=0.0+0.5}{23}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1200)}
%\multido{\n=0+50}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt,linecolor=orange](0,\n)(11,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,-50)(11,1200)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer, en pourcentage, l'augmentation du nombre de domaines en \og .fr\fg{}  entre juin 2001 et juin 2002, arrondi à 1\,\%.
On a $\dfrac{128,927 - 105,045}{105,45}\times 100 \approx 22,6 $ donc 23\,\% à 1\,\% près. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Expliquer pourquoi un ajustement affine de $y$ en $x$ ne semble pas justifié.
Les points ne sont manifestement pas  \og alignés \fg.		
\medskip
 
On cherche alors un ajustement exponentiel. 
		\item %Pour tout $1 \leqslant i \leqslant 8$, on pose $z_{i} = \ln y_{i}$.
		 
%Recopier sur votre copie et compléter le tableau ci-dessous avec les valeurs de $z_{i}$ arrondies au centième :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de l'année $x_{i},$ \; $1 \leqslant i \leqslant 8$&1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8 \\ \hline
\begin{tabular}{l}$z_{i}= \ln y_{i}$\\ \end{tabular}&4,65&4,86&4,97&5,41&5,84&6,14&6,7&7,03\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item %À l'aide de la calculatrice et en utilisant les données du tableau précédent, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $z = ax + b$ (les coefficients seront arrondis au centième).
En arrondissant les coefficients donnés par la calculatrice au centième, on obtient $z = 0,35x + 4,10$.
		\item %En déduire que $y = 60,34 \text{e}^{0,35x}$ où les coefficients sont arrondis au centième, est une ajustement exponentiel possible.
		On a $z = \ln y = 0,35x + 4,10 \iff y = \text{e}^{0,35x + 4,1} \iff y = \text{e}^{4,1}\text{e}^{0,35x}$.
		
Or $\text{e}^{4,1} \approx 60,340$, donc en arrondissant les coefficients au centième :

$y =  60,34 \text{e}^{0,35x}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., quel est le nombre estimé de domaines en \og .fr \fg en juin 2009 ? (le résultat sera arrondi au millier).
2009 correspond à $x = 9$, d'où $y = 60,34\text{e}^{0,35 \times 9} =  60,34\text{e}^{3,15} \approx \np{1408,1}$.

D'après ce modèle exponentiel le nombre de domaines sera en 2009de \np{1408}~milliers.
		\item %Si l'erreur commise en utilisant le modèle proposé est inférieure à 1\:\%, on considère que le modèle est pertinent.
		 
%En réalité, le relevé de juin 2009 de l'AFNIC indiquait \np{1412652} domaines en \og .fr \fg. Le modèle proposé est-il pertinent ?
On a donc en 2009, \np{1412,652}~milliers de domaines au lieu de \np{1408} prévus soit une erreur de :

$\dfrac{\np{1412,652} - \np{1408}}{\np{1412,652} } \approx 0,0033 < 0,01$ soit 1\,\% : Donc pour 2009 ce modèle était pertinent.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'inéquation $60,34 \text{e}^{0,35x} \geqslant \np{10000}$ (le résultat sera arrondi au dixième).
$60,34 \text{e}^{0,35x} \geqslant \np{10000} \iff \text{e}^{0,35x} \geqslant \dfrac{\np{10000}}{60,34} \iff 0,35x \geqslant \ln \left(\dfrac{\np{10000}}{60,34} \right) \iff x \geqslant \dfrac{\ln \left(\frac{\np{10000}}{60,34} \right)}{0,35}$.
Or $\dfrac{\ln \left(\frac{\np{10000}}{60,34} \right)}{0,35} \approx 14,601$.

L'ensemble des réels solutions est l'intervalle $[14,6~;~+ \infty[$. 
		\item %En déduire, en utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., à partir du mois de juin de quelle année le nombre de \og domaines en .fr \fg{} dépassera 10~millions.
10~millions de domaines correspondent à \np{10000}~milliers domaines.

Le résultat précédent permet de dire que d'après le modèle exponentiel le nombre de domaines dépassera 10 millions à partir de 2015.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%\og Un geste qui sauve : en France, chaque année, \np{55000}~personnes sont victimes d'un accident cardio-vasculaire. Sept fois sur dix, ces accidents surviennent devant témoin.\fg{} (\emph{Source: TNS / Fédération Française de Cardiologie, 2009}).
%
% 
%En 2009, environ 36\,\% de la population française a appris à accomplir les gestes qui sauvent.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%Lors d'un accident cardio-vasculaire devant témoins, on admet que la proportion de témoins formés aux gestes qui sauvent suit la proportion nationale.
% 
%La probabilité qu'un accident cardio-vasculaire se produise devant un témoin formé aux gestes qui sauvent est de 0,25.
% 
%Lorsque l'accident cardio-vasculaire s'est produit devant un témoin formé aux gestes qui  sauvent, la probabilité que le malade survive est 0,1.
% 
%Sinon, la probabilité que le malade survive est de 0,007. 
%
%\medskip
%
%On appelle T l'évènement : \og L'arrêt cardiaque s'est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent \fg.
% 
%On appelle S l'évènement: \og Le malade survit à l'arrêt cardiaque \fg.
% 
%On appelle $\overline{\text{T}}$ et $\overline{\text{S}}$ les évènements contraires à T et à S.
%
%\medskip
% 
%\textbf{Rappel de notation :} si A et B sont deux évènements donnés, $p$(A) désigne la probabilité que l'évènement A se réalise et $p_{\text{B}}(\text{A})$ désigne la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé.
% 
%\emph{On pourra s'aider d'un arbre pondéré. Les résultats seront arrondis au centième.}
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer, d'après l'énoncé, $p$(T), $p_{\text{T}}(\text{S})$ et $p_{\overline{\text{T}}}(\text{S})~;~$.
$p(T) = 0,25 ;  p_{T}(S) = 0,1~;~p_{\overline{T}}(S) = 0,007$.
\item %En déduire $p(\text{T} \cap  \text{S})$.
$p(T \cap  S) = p(T) \times p_{T}(S) = 0,25 \times 0,1 = 0,025$. 
\item %Vérifier que la valeur arrondie au centième de $p$(S) est 0,03.
On a de même $p\left(\overline{T} \cap S \right) = p\left(\overline{T}\right) \times  p_{\overline{T}}(S) = (1 - 0,25) \times 0,007 = \np{0,00525}$.

D'où $p(S) = p(T \cap  S) + p\left(\overline{T} \cap S \right)$ (loi des probabilités totales) $ = 0,025 + \np{0,00525} = \np{0,03025} \approx 0,03$ arrondie au centième. 
\item %Interpréter ces deux derniers résultats.
La probabilité que l'accident se soit produit devant un témoin formé et que le malade survive est égale à 0,025.

Dans ce cas la probabilité que le malade survive est égale à 0,03 (au centième près). 
\item %Justifier que le nombre de victimes d'accidents cardiaques survivant à cet accident peut s'estimer à environ \np{1650}.
Sur \np{55000} accidents il y a donc en moyenne $\np{55000} \times 0,03 = \np{1650}$ survivants.

À noter que si on prend la probabilité exacte on obtient $\np{55000} \times \np{0,03025} \approx  \np{1664}$ soit 14 survivants supplémentaires !
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%En 2015 tous les lieux publics (stades, centres commerciaux, ... ) seront équipés en défibrillateurs. Par ailleurs, un sondage montre qu'environ 71\:\% de la population souhaite se former à accomplir les gestes qui sauvent. Si ce taux de formation est atteint :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] la probabilité que l'accident cardiaque survienne devant un témoin formé aux gestes qui sauvent serait de $0,5$ ; 
%\item[$\bullet~$] la probabilité de survie en cas d'intervention d'un témoin formé aux gestes qui sauvent serait augmentée à $0,25$, et $0,046$ sinon.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Déterminer combien de vies supplémentaires pourraient être sauvées si ces conditions étaient satisfaites. 
On a donc :

$p(S) = 0,5~;~p\left(\overline{T} \right) = 0,5~;~p_T(S) = 0,25~;~p_{\overline{T}}(S) = 0,046$.

On en déduit : $p(T \cap S) = 0,25 \times 0,5 = 0,125$ ; $p\left(\overline{T} \cap S \right) = 0,046 \times 0,5 = 0,023$.

D'où : $p(S) = p(T \cap S) + p\left(\overline{T} \cap S \right) = 0,125 + 0,023 = 0,148$.

D'où pour \np{55000} accidents annuels un nombre de survivants égal à $\np{55000} \times 0,148 \approx \np{8140}$, soit $\np{8140} - \np{1650} = \np{6490}$ survivants supplémentaires. (12\,\% de plus).
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip 

%On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$.
% 
%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé. 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8.6,3.5)
%%\psgrid
%\psframe(8.6,3.5)\psline(0,3)(8.6,3)\psline(0,2.5)(8.6,2.5)
%\psline(2.5,0)(2.5,3.5)\psline(2.6,0)(2.6,3)\psline(2.65,0)(2.65,3)
%\rput(1.25,1.25){Variations de $f$}
%\uput[u](1.25,2.4){Signe de $f'(x)$}
%\uput[u](1.25,3.){$x$} \uput[u](2.6,3.){2} \uput[u](4.5,3.){3} \uput[u](6.5,3.){10} \uput[u](8.2,3.){$+ \infty$} 
%\uput[u](3.5,2.4){$+$} \uput[u](4.5,2.4){$0$} \uput[u](5.5,2.4){$-$} \uput[u](6.5,2.4){0} \uput[u](7.5,2.4){$+$}
%\uput[u](2.9,0){$- \infty$} \uput[d](4.5,2.5){6} \uput[u](6.5,0){$- 5$} \uput[d](8.4,2.5){4}
%\psline{->}(3.25,0.5)(4.3,2.2) \psline{->}(4.7,2.2)(6.2,0.5)\psline{->}(6.8,0.3)(8.2,2.2)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%On suppose de plus que $f(5) = 0$ et que $f'(5) = - 2$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide du tableau, répondre aux questions suivantes. \textbf{Aucune justification n'est demandée.} 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition ?
Quand $x$ tend vers 2, $f(x)$ tend vers moins l'infini  : la droite $x = 2$ est donc asymptote verticale à $\mathcal{C}$.

Quand $x$ tend vers plus l'infini, $f(x)$ tend vers 4  : l'axe des abscisses est donc asymptote horizontale à $\mathcal{C}$.		 
%Interpréter graphiquement les résultats. 
		\item %Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 3.
Une équation de la tangente est $y - f(3) = f'(3)(x - 3)$.
		
$f(3) = 6$ ; $f'(3) = 0$, d'où :

$y - 6 = 0(x - 3) \iff y = 6$. (tangente horizontale) 
		\item  %Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 4$ sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ ?
Sur [2~;~3], la fonction est continue car dérivable, croissante de moins l'infini à 6 : d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe un réel unique $x_0 \in [2~;~3[$ tel que $f\left(x_0 \right) = 4$.

Pour les mêmes raisons il existe $x_1 \in ]3~;~10[$ tel que $f\left(x_1 \right) = 4$.

Par contre sur $[10~;~+ \infty[, \:f(x) < 4$ : pas de solution.

Conclusion : Sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ l'équation $f(x) = 4$ a deux solutions.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ par : $g (x) = \text{e}^{f(x)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $g(5)$.
$g(5) = \text{e}^{f(5)} = \text{e}^{0} = 1$ 
		\item %Calculer la limite de la fonction $g$ en $2$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = - \infty$ et on sait que  $\displaystyle\lim_{X \to - \infty} \text{e}^{X} = 0$, donc par composition de limites $\displaystyle\lim_{x \to 2} g(x) = 0$.
		\item %Déterminer le sens de variations de $g$ sur l'intervalle $[3~;~ 10]$, en justifiant la réponse.
La fonction exponentielle étant croissante sur $\R$, les variations de $g$ sont celles de $f$.

$g$ est donc croissante sur ]2~;~3[ et sur $]10~;~+ \infty[$ et décroissante sur ]3~;~10[. 
		\item %Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $5$.
Une équation de la tangente est : $y - g(5) = g'(5)(x - 5)$.
		
$g(5) = 1$ et $g'(x) = f'(x) \text{e}^{f(x)}$, d'où $g'(5) = f'(5) \text{e}^{f(5)} = - 2 \times 1 = - 2$.

D'où l'équation : $y - 1 = - 2(x - 5) \iff y = 2x + 10 + 1\iff y = 2x + 11$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip 
 
%Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~4] par 
%
%\[f(x) = - x^2 - x + 4 + \ln (x + 1).\]
% 
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal, donnée en annexe.
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~4].
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$.
Sur  [0~;~4], $x + 1\geqslant 1$, donc $\ln (x + 1)$ existe : la fonction $f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables et sur cet intervalle :

$f'(x) = - 2x - 1 + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{(x + 1)(- 2x - 1) + 1}{x + 1} = \dfrac{- 2x^2 - x - 2x - 1 + 1}{x + 1} = \dfrac{- 2x^2 - 3x}{x + 1} $

$f'(x) = - \dfrac{x(2x + 3)}{x + 1}$.
\item %Justifier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~ 4].
Sur [0~;~4], $x \geqslant 0, x + 1 > 0$ et $2x + 3 > 0$, donc $f'(x) \leqslant 0$ et ne s'annule qu'en 0. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur [0~;~4]. 
\item %Montrer que sur l'intervalle [0~;~4], l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$.
$f$ décroit de $f(0) = 4 + \ln 1 = 4$ à $f(4) = - 16 - 4 + 4 + \ln 5 = \ln 5 - 16 \approx - 14,4$.

Sur l'intervalle [0~;~4], $f$ est continue car dérivable, strictement décroissante d'une valeur positive à une valeur négative ; d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe un réel unique $\alpha \in [0~;~4]$ tel que $f(\alpha) = 0$.
 
%Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01. En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~4].
La calculatrice donne :

$f(1) \approx 2,69 $ et $f(2) \approx - 0,9$, d'où $1 < \alpha < 2$ ;

$f(1,7) \approx 0,4$ et $f(1,8) \approx - 0,01$ d'où $1,7 < \alpha < 1,8$ ;

$f(1,79) \approx 0,03$ et $f(1,80) \approx - 0,01$ d'où $1,79 < \alpha < 1,80$. 
\item  %On définit la fonction $F$ dérivable sur l'intervalle [0~;~4] par :
  
%\[F(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 -\dfrac{1}{2}x^2 + 3x + (x + 1) \ln(x + 1).\] 

%Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].
$F'(x) =  -\dfrac{1}{3} \times 3 x^2 - \dfrac{1}{2}\times 2x + 3 + 1\times \ln (x + 1) + (x + 1) \times \dfrac{1}{x + 1} =$

$ - x^2 - x + 3 +\ln (x + 1) +  1 = - x^2 - x  + \ln (x + 1) + 4 = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~4].
\item %Soit $\mathcal{A}$ l' aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur la figure fournie en annexe.
Voir à la fin. 
		\item %Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $\mathcal{A}$.
On voit sur la figure que  $3 < \mathcal{A} < 4$.
		\item %Calculer la valeur exacte en unités d'aire de $\mathcal{A}$. Vérifier la cohérence de vos résultats.
Sur l'intervalle [0~;~1], la fonction $f$ est positive car elle décroit de $f(0) = 4$ à $f(\alpha) = 0$ car $\alpha > 1$.

Donc  $\mathcal{A}$ l' aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_0^1 = F(1) - F(0) = -\dfrac{1}{3}\times 1^3 -\dfrac{1}{2}\times 1^2 + 3\times 1 + (1 + 1) \ln(1 + 1) - \left(-\dfrac{1}{3}\times 0^3 -\dfrac{1}{2}\times 0^2 + 3 \times 0  + (0 + 1) \ln(0 + 1) \right) = - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + 3 + 2\ln 2 =$

$ \dfrac{- 2 - 3 + 18}{6} + 2\ln 2 = \dfrac{13}{6} + 2\ln 2 \approx 3,552$~unités d'aire. Ceci correspond bien à la lecture graphique.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à rendre avec la copie\\
Exercice 4}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=2.7cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-16)(4.5,4.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-16)(4.1,4.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 x sub x dup mul sub x 1 add ln add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4.1,0){$x$}\uput[l](0,4.5){$y$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,-16)(4,4)
\uput[l](4,-14.4){\blue $\mathcal{C}$}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{4 x sub x dup mul sub x 1 add ln add}
\psline(1,0)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}