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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
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\hyphenpenalty 10000 % empêche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}}~;~\vec i,~\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}}~;~\vec i,~\vec j ,~\vec k} \right)$}
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\begin{minipage}{\linewidth}{#1}\end{minipage}}}
\DecimalMathComma

\newcounter{nact}    % déclaration du numéro de l'activité
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  \stepcounter{nact} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{\Large activité  \arabic{nact}}}}}}}
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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

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\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
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\rput(0,0){$\mathtt{#1}$}
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% en-téte
%\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers--Pondichéry 13 juin 2019}}}}} %centre
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%Procédure pour avoir la correction sous l'énoncé
\newtheorem{Exc}{\blue Exercice}
\Newassociation{correction}{Soln}{mycor}
\renewcommand{\Solnlabel}[1]{\blue \bf \emph{Corrigé de l'exercice #1}}
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\def\MaybeOptArgmyexoo{\ifx[\testchar \let\next\OptArgmyexoo
\else \let\next\NoOptArgmyexoo \fi \next}
\def\OptArgmyexoo[#1]{\begin{Exc}[#1]\normalfont}
\def\NoOptArgmyexoo{\begin{Exc}\normalfont}
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\newcommand{\flag}[1]{}
\newcommand{\entete}[1]

%Algorithme et procédure pour avoir les instructions en français
\usepackage{algorithmic}
\renewcommand{\algorithmicrequire}{\textbf{Entrée(s)}}
\renewcommand{\algorithmicensure}{\textbf{Sortie(s)}}
\renewcommand{\algorithmicwhile}{\textbf{Tant que}}
\renewcommand{\algorithmicdo}{\textbf{faire}}
\renewcommand{\algorithmicendwhile}{\textbf{Fin du tant que}}
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\renewcommand{\algorithmicif}{\textbf{Si}}
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\renewcommand{\algorithmicfor}{\textbf{Pour}}
\renewcommand{\algorithmicforall}{\textbf{Pour tout}}
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\renewcommand{\algorithmicendfor}{\textbf{Fin du pour}}
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\renewcommand{\algorithmicendloop}{\textbf{Fin de la boucle}}
\renewcommand{\algorithmicrepeat}{\textbf{répéter}}
\renewcommand{\algorithmicuntil}{\textbf{jusqu'à}}
\renewcommand{\algorithmicprint}{\textbf{Afficher}}

\begin{document}

\textbf{ Exercice 1 : }

\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{\textsc{Partie A}}
\medskip

\begin{enumerate}
\item L'arbre pondéré modélisant la situation est :\medskip

\psset{unit=1cm}
 \begin{center}
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\pstree[treemode=R,nodesep=5pt,
levelsep=2.5cm,nrot=:U]{\Tp}{%
\pstree{\TR{$B$}\naput{0,7}}{%
\TR{$A$}\naput{0,35}
\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,65}}
\pstree{\TR{$\overline{B}$}\nbput{0,3}}{%
\TR{$A$}\naput{0,55}
\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,45}}
}
\end{center}
\item Les événements $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de l'ensemble des visiteurs, donc :

$p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)=0,7 \times 0,35 + 0,3 \times 0,55 = 0,41$.
\item On recherche $p_A(B)$ :

$p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}=\dfrac{0,7 \times 0,35}{0,41}\approx 0,598> 0,5$.

Le directeur va proposer la location des audio-guides par Internet.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{\textsc{Partie B}}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On cherche $p(T\leqslant 6)$ :

$p(T \leqslant 6)=0,5-p(6 \leqslant T \leqslant 10) \approx 0,023$ à la calculatrice.
\item $p(6 \leqslant T \leqslant 14)=p(10-2 \times 2 \leqslant T \leqslant 10 + 2 \times 2) \approx 0,954$ selon le cours.
\item $p(T \geqslant a)=0,25 \iff 1-p(T<a)=0,25 \iff p(T<a)=0,75$.

\`A la calculatrice, on trouve $a \approx 11,3$.\medskip

Sur un grand nombre de visiteurs, 25 \% restent plus de 11 minutes et 18 secondes.
\item Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% de la proportion $p=0,25$ :

	\begin{itemize}
	\item $n=720 \geqslant 30$ ; $n\times p=180 \geqslant 5$ ; $n(1-p)=540 \geqslant 5$
	
	Les conditions de validité du calcul de l'intervalle de fluctuation sont réunies.
	\item Borne inférieure :
	
	$p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}=0,25-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,25 \times 0,75}}{\ds\sqrt{720}} \approx 0,218$ par défaut.
	
	\item Borne supérieure :
	
	$p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}=0,25+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,25 \times 0,75}}{\ds\sqrt{720}} \approx 0,282$ par excès.
	\end{itemize}
	
	L'intervalle cherché est $I_{720}=[0,218~;~0,282]$.
	
	Par ailleurs, la fréquence observée dans cet échantillon de visiteurs passant plus de 15 minutes dans la boutique est :
	\[f_{\text{obs}}=\dfrac{161}{720}\approx 0,224\]
	$f\in I_{720}$ donc on accepte l'hypothèse selon laquelle 25 \% des visiteurs passent plus de 15 minutes dans la boutique, au risque d'erreur de 5 \%.
\end{enumerate}
\newpage

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Réponse D}.

Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 \% d'une fréquence $f$ donnée pour un échantillon de taille $n$ est : \[I_c=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\]

Borne inférieure : $\dfrac{817}{\np{3000}}-\dfrac{1}{\sqrt{\np{3000}}}\approx 0,254$ par défaut.

Borne supérieure : $\dfrac{817}{\np{3000}}+\dfrac{1}{\sqrt{\np{3000}}}\approx 0,291$ par excès.

Donc $I_c=[0,254~;~0,291]$.
\item \textbf{Réponse B}.

36 \% de \np{4200} est $\np{4200} \times 0,36= \np{1512}$.
\item \textbf{Réponse B}.
	\begin{itemize}
	\item Algorithme A : $N$ n'est pas itéré dans la boucle \og Tant Que \fg{} mais seulement à la fin de l'algorithme.
	\item Algorithme C : il n'y a pas d'itération sur $N$.
	\item Algorithme D : la condition sur $A$ est fausse, il faut effectuer la boucle \og Tant Que \fg , tant que $A<\np{30000}$. Si on fait tourner cet algorithme, il n'exécutera pas les instructions contenues dans la boucle.
	\end{itemize}
\item \textbf{Réponse C}.

Soit $T$ la variable aléatoire associée au temps d'attente, $T \sim \mathscr{U}\left([1~;~10]\strut\right)$.

$p(T \geqslant 5)=p(5\leqslant T \leqslant 10)=\dfrac{10-5}{10-1}=\dfrac{5}{9}$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 3 : }

\medskip

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L.}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Le 1\up{er} juillet 2019, le loueur ce sera séparé de 20 \% de son parc, il lui restera donc 80 \% des $150$ vélos au départ, soit 120 vélos.
	
Mais il faut rajouter les $35$ nouveaux vélos.
	
Le 1\up{er} juillet 2019, il y aura $155$ vélos à la location.
	\item Le nombre de vélos de l'année $n+1$ est obtenu en conservant 80\,\% des vélos de l'année $n$, soit $0,8\times u_n$ auxquels on rajoute les $35$ nouveaux vélos.
	
D'où, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}= 0,8u_n + 35$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item La formule qu'il faut inscrire dans la cellule B3 est :
	\begin{center}
	=0,8 * B2 + 35
	\end{center}
	\item Au vu des données du tableur, il semble que $\ds\lim_{n\to +\infty}u_n=175$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$,\: $v_n = u_n-175$.
	\begin{align*}
	v_{n+1}	&	=	u_{n+1}-175 \\
			&	=	0,8u_n+35-175 \\
			&	=	0,8u_n-140 \\
			&	=	0,8\left(u_n-\dfrac{140}{0,8}\right)	\\
			&	=	0,8(u_n-175)	\\
			&	=	0,8v_n
	\end{align*}
	Par définition, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0~=~u_0~-~175~=~-25$.
	\item Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique, son terme général en fonction de $n$ s'écrit :
	\[v_n=v_0\times q^n=-25\times 0,8^n\]
	Or, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n=u_n-175$ soit $u_n=175+v_n$. En remplaçant $v_n$ par son expression, on obtient :
	\[\text{Pour tout }n \in \mathbb{N},~u_n=175-25\times 0,8^n\]
	\item $0< 0,8 < 1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty}0,8^n=0$ et en ajoutant 175 à chaque membre, on obtient :
	
	$\ds\lim_{n\to +\infty}0,8^n+175=0+175$, soit $\ds\lim_{n\to +\infty}u_n=175$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{itemize}
	\item On peut utiliser le tableur de la calculatrice, et on obtient le tableau suivant :
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|l|r|}
	\hline
	6	&	\np{168,4464}	\\
	\hline
	7	&	\np{169,75712}	\\
	\hline
	8	&	\np{170,805696}	\\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	C'est donc pour $n\geqslant 8$ que le nombre de vélos dépassera 170, c'est à dire à partir du 1\up{er} juillet 2026.
	\item On résout l'inéquation :
	\begin{align*}
	u_n	&	\geqslant 170 \\
	175-25\times 0,8^n 	&	\geqslant 170	\\
	-25\times 0,8^n 	&	\geqslant \underbrace{170-175}_{=-5}	\\
	0,8^n	&	\leqslant \underbrace{\dfrac{-5}{-25}}_{=0,2} \\
	\intertext{la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$}
	\ln (0,8^n)	&	\leqslant \ln(0,2)	\\
	n\times \ln (0,8)	&	\leqslant \ln(0,2)	\\
	\intertext{$0,8<1$ donc $\ln(0,8)<0$}
	n	&	\geqslant \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)}
	\end{align*}
	$\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \approx 7,2$.\medskip
	
	Finalement, $u_n\geqslant 170$ dès que l'entier $n \geqslant 8$.
	
	\`A partir du 1\up{er} juillet 2026, le nombre de vélos à la location dépassera 170 selon ce modèle.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 3 :}

\textbf{Candidats de la série ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Le graphe n'est pas complet car tous les sommets ne sont pas adjacents 2 à 2, par exemple M et P.
	\item La chaîne M - E - F - P - V - R passe par tous les sommets du graphe donc deux sommets quelconques peuvent toujours être reliés par une chaîne. Le graphe est connexe.
	\end{enumerate}
\item Construisons le tableau indiquant le degré de chaque sommet :\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Sommet	&	E	&	F	&	M	&	R	&	V	&	P	\\
\hline
Degré	&	4	&	4	&	2	&	3	&	3	&	4	\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le graphe est connexe et possède deux sommets de degré impair et deux seulement, selon le théorème d'Euler, le graphe possède une chaîne eulérienne dont les extrémités sont les sommets R et V.

Le restaurateur pourra donc organiser une visite de tous ses producteurs en empruntant une et une seule fois chaque route. Il devra partir de chez lui et arrivera en fin de circuit chez le vigneron.

Un exemple d'un tel parcours est :
\begin{center}
R - E - P - F - M - E - F - V - P - R - V
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
	\item La matrice d'adjacence $N$ est :
	\[N=\begin{pmatrix}	
	0	&	1	&	1	&	1	&	1	&	0	\\
	1	&	0	&	1	&	1	&	0	&	1	\\
	1	&	1	&	0	&	0	&	0	&	0	\\
	1	&	1	&	0	&	0	&	1	&	1	\\
	1	&	0	&	0	&	1	&	0	&	1	\\
	0	&	1	&	0	&	1	&	1	&	0	\\
	\end{pmatrix}\]
	\item Le nombre de chaînes de longueur 3 reliant deux sommets du graphe est donné par les c\oe fficients de la matrice $N^3$.
	
	On cherche donc le c\oe fficient $m_{1,6}$ de $N^3$, on trouve $m_{1,6}=5$.
	
	Il existe donc 5 chemins de longueur 3 reliant l'éleveur au vigneron.
	\end{enumerate}
\item Construisons l'algorithme de Dijkstra pour déterminer le plus court chemin allant de chez le restaurateur au maraîcher.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
R	&	E	&	P	&	V	&	F	&	M	\\
\hline
0	&	5R	&	4R	&	10R	&	$\infty$	&	$\infty$	\\
\hline
\vrule width 2pt	&	5R	&	4R	&	9P	&	11P	&	$\infty$	\\
\hline
\vrule width 2pt	&	5R	&	\vrule width 2pt	&	9P	&	11E P	&	13E	\\
\hline
\vrule width 2pt	&	\vrule width 2pt	&	\vrule width 2pt	&	9P	&	10V	&	13E	\\
\hline
\vrule width 2pt	&	\vrule width 2pt	&	\vrule width 2pt	&	\vrule width 2pt	&	10V	&	12F	\\
\hline
\vrule width 2pt	&	\vrule width 2pt	&	\vrule width 2pt	&	\vrule width 2pt	&	\vrule width 2pt	&	12F	\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le chemin le plus court entre le restaurateur et le maraîcher est de 12 km et il faut passer par :
\begin{center}
R $\longrightarrow$ P $\longrightarrow$ V $\longrightarrow$ F $\longrightarrow$ M
\end{center}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 4 :}

\medskip

\textbf{Commun  à tous les candidats}
\medskip

\textbf{\textsc{Partie A}}
\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(0)=2$ car $A~(0~;~2) \in \mathscr{C}_f$.

$f(2)=0$ car $B~(2~;~0) \in \mathscr{C}_f$.
\item $f'(1)=0$ car la tangente au point d'abscisse 1 à $\mathscr{C}_f$ est horizontale.
\item D'après l'énoncé, la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $A$ est la droite $(AC)$ donc son c\oe fficient directeur $m$ est donné par :

$m=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{0-2}{-2-0}=1$.

Donc $(AC)$ a pour équation réduite $y=x+p$, où $p$ est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse $0$. Soit $p=2$.

Finalement, $(AC) : y=x+2$.
\item On trace la droite d'équation $y=1$ et on cherche le nombre de points d'intersection entre cette droite et la courbe $\mathscr{C}_f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$.

$f(x)=1$ possède 2 solutions.
\item Par lecture graphique, il semble que :
	\begin{itemize}
	\item $f$ soit croissante sur $[-10~;~1]$ ;
	\item $f$ soit décroissante sur $[1~;~2]$.
	\end{itemize}
\item Par lecture graphique, il semble que :
	\begin{itemize}
	\item $f$ soit convexe sur $[-10~;~0]$ ;
	\item $f$ soit concave sur $[0~;~2]$.
	\end{itemize}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item \hfill
	
	\begin{center}
	\newrgbcolor{wqwqwq}{0.3764705882352941 0.3764705882352941 0.3764705882352941}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11.,-1.)(3.,4.)
\multips(0,-1)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=wqwqwq]{c-c}(-11.,0)(3.,0)}
\multips(-11,0)(1.0,0){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=wqwqwq]{c-c}(0,-1.)(0,4.)}
\psaxes[linewidth=1.4pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(-10.99,-0.99)(3.,4.)[x,140] [y,-40]
\pscustom[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq,hatchcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.23943427255862115]{\psplot{0.}{2.}{(2.0-x)*EXP(x)}\lineto(2.,0)\lineto(0.,0)\closepath}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-10.0}{2.0}{(2.0-x)*EXP(x)}
\psplot[linewidth=0.8pt,linecolor=blue]{-11.}{3.}{(--4.--2.*x)/2.}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue](-0.5811523055069586,2.7182818284590455)(2.403794959057192,2.7182818284590455)
\rput[tl](1.765303565567534,2.5928660615097705){$\qqwuqq{\mathscr{C}_f}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](0.,2.)
\rput[bl](0.2009996515178723,1.9384123831828708){$A$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](-2.,0.)
\rput[bl](-2.3210413527662763,0.13467419657458612){$C$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](2.,0.)
\rput[bl](2.0685869774751215,0.10274962690010321){$B$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
	\end{center}
	\item Le polygone ci-dessous minore l'aire du domaine cherché (chaque carreau valant 0,25 UA) :
	
	\begin{center}
	\newrgbcolor{wqwqwq}{0.376 0.376 0.376}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.392 0.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-0.5)(2.5,3.)
\multips(0,0)(0,0.5){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=wqwqwq]{c-c}(-1.,0)(2.5,0)}
\multips(-1,0)(0.5,0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=wqwqwq]{c-c}(0,-0.5)(0,3.)}
\psaxes[linewidth=1.4pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(-0.99,-0.49)(2.5,3.)[x,140] [y,-40]
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(0.,2.)(0.5,2.5)(1.,2.5)(1.5,2.)(1.5,2.)(2.,0.)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-1.0}{2.5}{(2.0-x)*EXP(x)}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](0.,0.)(0.,2.)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](0.,2.)(0.5,2.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](0.5,2.5)(1.,2.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](1.,2.5)(1.5,2.)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](1.5,2.)(1.5,2.)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](1.5,2.)(2.,0.)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](2.,0.)(0.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](0.,0.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](0.,2.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](0.5,2.5)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](1.,2.5)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](1.5,2.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](1.5,2.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](2.,0.)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
	\end{center}

Il y a 16 carreaux donc l'aire du domaine est minorée par 4.	
	\bigskip
	
	Le polygone ci-dessous majore l'aire du domaine cherché (chaque carreau valant 0,25 UA) :
	
	\begin{center}
	\newrgbcolor{wqwqwq}{0.376 0.3764 0.376}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.392 0.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(2.5,3.5)
\multips(0,0)(0,0.5){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=wqwqwq]{c-c}(-0.5,0)(2.5,0)}
\multips(0,0)(0.5,0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=wqwqwq]{c-c}(0,-0.5)(0,3.5)}
\psaxes[linewidth=1.4pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(2.5,3.5)[x,140] [y,-40]
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(0.,2.)(0.5,2.5)(1.,3.)(1.5,2.5)(2.,2.)(2.,0.)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-0.5}{2.5}{(2.0-x)*EXP(x)}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](0.,0.)(0.,2.)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](0.,2.)(0.5,2.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](0.5,2.5)(1.,3.)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](1.,3.)(1.5,2.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](1.5,2.5)(2.,2.)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](2.,2.)(2.,0.)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=zzttqq](2.,0.)(0.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](0.,0.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](0.,2.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](1.,3.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](2.,2.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](2.,0.)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
	\end{center}
	Il y a 20 carreaux, soit 5 UA.\medskip
	
	Finalement, l'aire du domaine est encadrée par les entiers 4 et 5 : $4\leqslant \mathscr{A} \leqslant 5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{\textsc{Partie B}}
\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(0)=2\times \e^0=2$ et $f(2)=(2-2)\e^2=0$.
\item
	\begin{enumerate}
	\item $f'(x)=-\e^x+(2-x)\e^x=\e^x(1-x)$.
	\item $f'(1)=\e^1(1-1)=0$
	\end{enumerate}
\item L'équation réduite de la tangente en 0 à la courbe $\mathscr{C}_f$ est donnée par :
\[y=f'(0)(x-0)+f(0)\]
$f'(0)=\e^0(1-0)=1$ et $f(0)=2$, d'où :
\[T_A : y=x+2\]
\item
	\begin{enumerate}
	\item Pour tout $x\in [-10~;~2]$, $\e^x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de la fonction affine $x\mapsto 1-x$. On en déduit le tableau de variation :
	\medskip
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture} 
	\tkzTabInit{$x$/1,$f'(x)$/1,$f(x)$/2}{$-10$,$1$,$2$}
	\tkzTabLine{,+,z,-}
	\tkzTabVar{+/\tiny $1\e^{-10}$,-/$\e$,+/$0$}
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item Sur $[-10~;~1]$ :
	
	$f$ est continue et strictement croissante.
	
	$\left.\begin{array}{l}
	f(-10)=12\e^{-10}<1\\
	f(1)=\e>1
	\end{array}
	\right\}$ donc 1 est compris entre $f(-10)$ et $f(1)$.
	
	D'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[-10~;~1]$.
	
	\`A la calculatrice, on trouve $\alpha \approx -1,15$.
	\medskip
	
	Sur $[1~;~2]$ :
	
	$f$ est continue et strictement décroissante.
	
	$\left.\begin{array}{l}
	f(1)=\e>1\\
	f(2)=0<1
	\end{array}
	\right\}$ donc 1 est compris entre $f(1)$ et $f(2)$.
	
	D'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\beta$ dans $[1~;~2]$.
	
	\`A la calculatrice, on trouve $\beta \approx 1,84$.
	\end{enumerate}
\item Le logiciel de calcul formel nous fournit que : $f''(x)=-x\e^x$.

Or, pour tout $x\in [-10~;~2]$, $\e^x> 0$ donc $f''(x)$ est du signe de $-x$. D'où le tableau de signes de $f''(x)$ :\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit{$x$/1,$f''(x)$/1,$f$/1}{$-10$,$0$,$2$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabLine{,\text{convexe},t,\text{concave}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
	\item Pour tout $x\in [-10~;~2]$, $F'(x)=-\e^x+(3-x)\e^x=\e^x(2-x)=f(x)$.
	
	$F$ est une primitive de $f$ sur $[-10~;~2]$.
	\item $I=\ds\int_{0}^{2}f(x) \dd x=F(2)-F(0)=\e^2-3 \approx 4,39 $ UA.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\label{Lastpage}
\newpage
\end{document}