\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache, Christophe Rouault et René Roux pour l'exercice de spécialité
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 26 avril 2017} 
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\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Pondichéry~\decofourright\\[4pt]26 avril 2017}} 
\end{center}

\section*{Exercice 1 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. \\Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}
%
%\medskip
%
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cg$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous dans un repère d'origine O :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(11,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{10}{x ln x mul x dup mul 4 div sub  0.8 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre de solutions sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cg$ de l'équation $f'(x) = 0$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 1 &\textbf{b.~~} \fbox{2} &\textbf{c.~~} 3
\end{tabularx}

\medskip

La courbe$\mathcal{C}_f$ admet deux tangentes horizontales sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cg$.

\medskip

\item Le nombre réel $f'(7)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} nul &\textbf{b.~~} strictement positif &\textbf{c.~~} \fbox{strictement négatif}
\end{tabularx}

\medskip

Le coefficient directeur de la tangente en $x=7$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ est négatif donc $f'(7) < 0$.

\medskip

\item La fonction $f'$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} croissante sur \cg 0~;~10\cg &\textbf{b.~~} croissante sur \cd 4~;~7\cg &\textbf{c.~~} \fbox{décroissante sur \cd4~;~7\cg}
\end{tabularx}
\medskip

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ pour $x$ variant de 4 à 7 est décroissant.

\medskip

\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle \cg 0~;~10]\cg{} on a: $f'(x) = \ln x - \dfrac{x}{2} + 1$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet sur cet intervalle un point d'inflexion:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} d'abscisse 2,1 &\textbf{b.~~} d'abscisse 0,9 &\textbf{c.~~} \fbox{d'abscisse 2}
\end{tabularx}
\medskip

$f''(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}$ s'annule et change de signe pour $x=2$.

\medskip

\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.

%Dans cet exercice, tous les résultats approchés seront donnés à $10^{-3}$ près.
%
%Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

\subsection*{\centering Partie A}

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 34\,\% des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes;
\item[$\bullet~~$] parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5\,\% ont plus de 60 ans;
\item[$\bullet~~$] parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84\,\% ont moins de 60 ans.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og le coureur a terminé le marathon en moins de 234 minutes \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og le coureur a moins de 60 ans \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, la probabilité de l'évènement $E$ est notée 
$P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$. De plus $\overline{E}$ désigne l'évènement contraire de $E$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l'exercice :
\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$A$}\naput{0,34}}
	{\TR{$B$}\naput{\red $1-0,05=0,95$}
	\Tr{$\overline{B}$}\nbput{\red $0,05$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\red $1-0,34=0,66$}}
	{\TR{$B$}\naput{\red $0,84$}
	\Tr{$\overline{B}$}\nbput{\red $1-0,84=0,16$}
	}
} 
\bigskip
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item \og La personne choisie a terminé le marathon en moins de 234 minutes et est âgée de plus de 60 ans \fg{} correspond à l'événement $A\cap \overline{B}$:
$P\left ( A\cap \overline{B}\right ) = 0,34\times 0,05 = 0,017$.

		\item% Vérifier que $P\left(\overline{B}\right) \approx 0,123$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P\left ( \overline{B}\right ) = P\left ( A\cap \overline{B}\right )  + P\left ( \overline A\cap \overline{B}\right ) 
= 0,017 + 0,66 \times 0,16
= \np{0,1226}
\approx 0,123$
		
		\item% Calculer $P_{\overline{B}}(A)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.
$P_{\overline{B}}(A) = \dfrac{P\left ( A \cap \overline{B} \right )}{P\left ( \overline{B}\right )}
= \dfrac{0,017}{0,123} \approx 0,138$

On peut donc considérer qu'il y a 13,8\,\% de coureurs qui ont terminé le marathon parmi les plus de 60 ans.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\medskip

\subsection*{\centering Partie B}

\medskip

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville
est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart type $\sigma = 39$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À la calculatrice, on trouve:  $P(210 \leqslant T \leqslant 270)\approx \np{0,543}$.

\item Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre $210$ minutes et $270$ minutes pour finir le marathon.

La probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de $240$ minutes est:

$P_{(210\pp T\pp 270)}(T\pp 240)
= \dfrac{P\left (  (210\pp T\pp 270) \cap (T\pp 240) \right )}{P\left ( 210\pp T \pp 270 \right )}
= \dfrac{P\left ( 210\pp T \pp 240 \right )}{P\left ( 210\pp T \pp 270 \right )}
\approx \dfrac{0,246}{0,543} \approx 0,453$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item À la calculatrice, on trouve: $P (T \leqslant 300)\approx 0,900$.
		
		\item% Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $t$, arrondi à l'unité, vérifiant $P(T \geqslant t) = 0,9$.
Pour des raisons de symétrie, si la variable aléatoire $T$ suit une loi normale de moyenne $\mu$, alors pour tout réel $a$, $P(T \pp \mu+a) = P(T \pg \mu-a)$.

Donc $0,9 = P(T \pp 300) = P(T \pp 250 + 50) = P(T \pg 250-50) = P(T \pg 200)$. 

		\item% Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.
On peut donc conclure que 90\,\% des marathoniens ont fini le marathon en plus de 200 minutes.
		

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill \normalsize{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité, candidats L} \hfill5 points}

%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité, candidats L}
%
%\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par 
$u_0 = 150$ et, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1} = 0,8 u_n + 45.$

\begin{enumerate}
\item $u_1 = 0,8 u_0 + 45 = 0,8 \times 150 + 45 = 165$; $u_2 = 0,8 u_1 + 45 = 0,8 \times 165 + 45 = 177$
\item Voici deux propositions d'algorithmes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$N$ est un entier naturel&&$N$ est un entier naturel\\
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation:}&&\textbf{Initialisation:}\\
$U$ prend la valeur 150&&$U$ prend la valeur 150\\
$N$ prend la valeur 0&&$N$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}&&\textbf{Traitement :}\\
Tant que $U \geqslant 220$&&Tant que $U < 220$\\
$U$ prend la valeur $0,8 \times U + 45$&&$U$ prend la valeur $0,8 \times U + 45$\\
$N$ prend la valeur $N + 1$&&$N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que&&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}&&\textbf{Sortie :}\\
Afficher $N$&&Afficher $N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 1}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 2}}
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 220$.
		
%Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.


Dans l'algorithme 1, la condition pour entrer dans la boucle est \og Tant que $U \pg 200$\fg{}; la valeur de $U$ est initialisée à 150 qui est inférieur à 220 donc on n'entre jamais dans la boucle \og Tant que\fg. 

Le bon algorithme est le 2.

		\item% Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme choisi à la question précédente ?
On calcule les premiers termes de la suite $(u_n)$ à la calculatrice et on trouve:

$u_{12}\approx 219,8$ et $u_{13}\approx 220,9$ donc l'algorithme 2 affiche 13 pour valeur de $n$.
				
	\end{enumerate}
	
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
$v_n = u_n - 225$; donc $u_n=v_n+225$.

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1}=u_{n+1} -225 = 0,8u_n + 45 -225 = 0,8\left ( v_n + 225\right ) -180 = 0,8 v_n +180 - 180 = 0,8 v_n$

\item $v_0 = u_0 -225 = 150 - 225 = -75$
\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=-75$.

		\item% En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 225 - 75 \times  0,8^n$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=-75$ donc, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = -75 \times 0,8^n$.

On a vu que $u_n=v_n+225$ donc, pour tout $n$, $u_n=225-75\times 0,8^n$.


	\end{enumerate}
\item Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son
centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de $150$.
		
On fait l'hypothèse que d'une année sur l'autre :

\setlength\parindent{25mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20 \,\% des participants ne reviennent pas l'année suivante;
\item[$\bullet~~$] 45 nouveaux participants s'inscrivent à la course.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le
nombre de participants à 250.

D'une année $n$ à une année $n+1$, 20\,\% des participants ne reviennent pas donc 80\,\% reviennent et de plus, 45 nouveaux participants s'inscrivent chaque année; on multipliera donc le nombre de participants de l'année $n$ par 0,8 et on ajoutera 45 pour obtenir le nombre de participants de l'année $n+1$.

Le nombre de participants l'année 2015 est de 150 donc le nombre de participants peut être modélisé par la suite $(u_n)$ précédemment définie où $u_n$ représente le nombre de participants l'année $2015+n$.

Pour l'année $2015+n$, le nombre de participants est donc $u_n=225-75\times 0,8^n$.

Pour tout $n$, $225- 75\times 0,8^n<225$ donc le nombre de 250 participants ne sera jamais atteint; il n'y aura donc pas lieu de refuser des inscriptions dans les années à venir.

%Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill  \normalsize{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Alexis part en voyage dans l'Est des États-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes :
\begin{center}
Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).\end{center}

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,9.5)
%\psgrid
\rput(1,8.5){\circlenode{C}{C}}
\rput(11,9){\circlenode{B}{B}}
\rput(10.5,7){\circlenode{N}{N}}
\rput(8,6){\circlenode{W}{W}}
\rput(3,0.5){\circlenode{A}{A}}
\rput(9,0.5){\circlenode{M}{M}}
\ncarc{C}{B}\ncput*[nrot=:U]{130}
\ncarc{N}{B}\ncput*[nrot=:U]{170}
\ncarc{W}{N}\ncput*[nrot=:U]{140}
\ncarc{C}{W}\ncput*[nrot=:U]{120}
\ncarc{C}{A}\ncput*[nrot=:U]{100} 
\ncarc{C}{M}\ncput*[nrot=:U]{150}
\ncarc{M}{W}\ncput*[nrot=:U]{160}
\ncarc{M}{N}\ncput*[nrot=:U]{250}
\ncarc{A}{W}\ncput*[nrot=:U]{130}
\end{pspicture}
\end{center}

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ce graphe est connexe, car on peut relier n'importe quelle paire de sommets par une chaîne.\\
		Cherchons les degré de chaque sommet.\\

		\begin{center}
		{%\footnotesize
\begin{tabular}{*7{c}}
\hline 
Sommet & A &B &C &M &N &W  \\ \hline 
Degré  & 2 	& 2 			& 4 		& 3 			& 3 		& 4 			\\ \hline 
\end{tabular}
}
	\end{center}
D'après le théorème d'Euler, un graphe connexe contient une chaîne eulérienne si et seulement si il possède 0 ou 2 sommets de degrés impairs. Ce graphe a exactement deux sommets de degrés impairs, N et M; il existe donc un trajet qui permet à Alexis d'emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois, en partant de N et en arrivant à M, ou le contraire.
					
		\item Un exemple d'un tel trajet : NB -- BC -- CW -- WN -- NM -- MW -- WA -- AC -- CM.
	\end{enumerate}
\item Utilisons l'algorithme de Dijkstra pour relier Boston à Miami par le chemin le moins cher.
%\newpage
%\begin{center}
%\begin{tabular}{*6{c}}
%\hline 
%														& $A$ 	&$C$ 		&$M$ 		&$M$ 		&$W$   \\ \hline 
%$B$  												& $\infty$	 		& \textbf{130B} 		& $\infty$ 		& $170B$ 		& $\infty$ 		\\ \hline 
%$C(130B)$										& $230C$	 		& $\times$ 		& $280C$ 		& \textbf{170B} 		& $250C$ 		\\ \hline 
%$N(170B)$										& \textbf{230C}	 		& $\times$ 		& $280C$ 		& $\times$		& $250C$ 		\\ \hline 
%$A(230C)$										& $\times$	 		& $\times$ 		& $280C$ 		& $\times$		& \textbf{250C} 		\\ \hline 
%$W(250C)$										& $\times$	 		& $\times$ 		& \textbf{280C} 		& $\times$		&  $\times$		\\ \hline 
%
%\end{tabular}
%\end{center}
%Le chemin le moins cher sera donc $ B-C-M$ pour un prix de 280 dollars

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommets 	&A 				&B 	&C 			&M 			&N 			&W\\ \hline
Départ 		&$\infty$		&0 	&$\infty$	& $\infty$	& $\infty$	&$\infty$\\ \hline
B(0) 		&$\infty$		& 	&$130 - $B 	&$\infty$	&$170 -$B 	&$\infty$\\ \hline
C(130) 		&\footnotesize 130 + 100\:230-C&	&		&\footnotesize 130 + 150\: 280 - C	& 170 -B&\footnotesize 130 + 120\:250 - C\\ \hline
N(170)		&230-C 			&	&			&280 - C	&			&250 - C\\ \hline
A(230)		&				&	&			&280 - C	&			&250 - C\\ \hline
W(250)		&				&	&			&280 - C	&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Le trajet le moins cher pour aller de Boston à Miami coûte 280~\euro{} et c'est 
B -- C -- M.


\item  
	\begin{enumerate}
		\item La matrice d'adjacence du graphe est:

\[P =\begin{pmatrix} 
0	& 0	& 1 &0 	&0 	&1\\
0	&0	& 1 &0	&1 	&0\\
1	& 1 &0	&1	&0	&1\\
0 	&0 	&1 	&0 	&1	&1\\
0 	&1 	&0 	&1 	&0 	&1\\
1	&0 	&1 	&1	&1	&0\end{pmatrix}\]

		\item Alexis veut aller de A à B en, au plus, 3 étapes; on regarde donc successivement les coefficients de la première ligne (sommet A) et deuxième colonne (sommet B) pour les matrices $P$, $P^2$ et $P^3$ :
		
\[P^2 = \begin{pmatrix}
2 &1 &1 &2 &1 &1\\
1 &2 &0 &2 &0 &2\\
1 &0 &4 &1 &3 &2\\
2 &2 &1 &3 &1 &2\\
1 &0 &3 &1 &3 &1\\
1 &2 &2 &2 &1 &4
\end{pmatrix}\qquad P^3 = \begin{pmatrix}
2 &2 &6 &3 &4 &6\\
2 &0 &7 &2 &6 &3\\
6 &7 &4 &9 &3 &9\\
3 &2 &9 &4 &7 &7\\
4 &6 &3 &7 &2 &8\\
6 &3 &9 &7 &8 &6
\end{pmatrix}\]


$\bullet~~$ $p_{12} = 0$ ; il n'y a donc pas de vol direct entre A et B ;

$\bullet~~$ $p_{12}^{(2)} = 1$ ; il y a donc exactement 1 trajet en 2 vols entre A et B: A -- C -- B

$\bullet~~$ $p_{12}^{(3)} = 2$ ; il y a donc exactement 2 trajets en 3 vols entre A et B : A -- W -- C -- B et A -- W -- N -- B.

\smallskip

Il y a donc 3 trajets possibles pour relier A à B; ce sont A -- C -- B, A -- W -- C -- B et A -- W -- N -- B.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

\medskip

%Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
%
%\medskip

\subsection*{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe
.
Celui-ci présente dans un repère d'origine O la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\cd 0~;~7\cg$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l'équation $f(x) = 10$ sur
l'intervalle [0~;~7].
L'équation $f(x)=10$ admet deux solutions dans $\cd 0~;~7\cg$: l'une se trouve dans l'intervalle $\cd 0~;~1\cg$; l'autre dans l'intervalle $\cd 2~;~3\cg$.

\item% Donner le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~7] et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
Le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd 0~;~7\cg$ est d'environ $14,8$ et il semble atteint pour $x=1$.

\item Soit $I$ la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x$.% appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} [9~;~17]&\textbf{b.~~} [18~;~26] &\textbf{c.~~} [27~;~35]
%\end{tabularx}
%\medskip

La fonction $f$ est positive sur $[0~;~7]$ donc l'intégrale $I$ est égale à l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=1$ et $x=3$ (domaine hachuré en gris sur le graphique.

Ce domaine contient le polygone hachuré en rouge dont l'aire est de 17 donc $I > 17$.

Ce domaine est contenu dans le polygone dessiné en noir dont l'aire est de 26 donc $I< 26$.

Le seul intervalle qui convienne est $\cd 18~;~26\cg$.

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie B}

\medskip

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\cd 0~;~7\cg$ d'expression:
$f(x) = 2x \e^{- x + 3}$.

%On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~7], $f'(x) = (- 2x + 2)\e^{-x + 3}$.
$f'(x)=2 \times \e^{-x+3} + 2x\times (-1)\e^{-x+3}= (2-2x)\e^{-x+3}=(-2x+2)\e^{-x+3}$

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~7] puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
Pour tout réel $x$, $\e^{-x+3}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-2x+2$ qui s'annule et change de signe pour $x=1$.

$f(0) = 0$; $f(1)=2\e^2\approx 14,78$ et $f(7) = 14\e^{-4}\approx 0,26$

On établit le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~7\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 1 & \esp\esp & 7 \\ 
\hline
-2x+2 &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{2\e^{2}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{14\e^{-4}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	


		\item Le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd 0~;~7\cg$ est $f(1)=2\e^{2}\approx 14,78$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que l'équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l'intervalle [0~;~7] que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
On complète le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 1 & \esp \esp & 7 \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{2\e^{2}\approx 14,78}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{14\e^{-4} \approx 0,26} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \rput*(-11.3,0.65){\Rnode{zero}{\blue 10}}
\rput(-11.3,2.4){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
\rput*(-3.4,0.65){\Rnode{zero2}{\red 10}}
\rput(-3.4,2.4){\Rnode{beta}{\red \beta}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

D'après le tableau de variation de $f$, on peut déduire que l'équation $f(x)=10$ admet deux solutions dans $\cd 0~;~7\cg$.

		\item On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près. On vérifie que $f(0,36) > 10$.
		
%Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.

$\left.
\begin{array}{l}
f(2)\approx 10,9 > 10\\
f(3) =6<10
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\beta \in [2~;~3]$
\hfill
$\left.
\begin{array}{l}
f(2,1)\approx 10,3 > 10\\
f(2,2) \approx 9,8 < 10
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\beta \in [2,1~;~2,2]$
\hfill
$\left.
\begin{array}{l}
f(2,16)\approx 10,01 > 10\\
f(2,17) \approx 9,95 < 10
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\beta \in [2,16~;~2,17]$

Donc $2,16$ est une valeur approchée au centième de $\beta$.
	\end{enumerate}
	
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $\cd 0~;~7\cg$ par:
$F(x) = (- 2x - 2)\text{e}^{-x + 3}$.	
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~7].
$F(x)= (-2)\times \e^{-x+3} + (-2x-2)\times (-1)\e^{-x+3} = (-2+2x+2)\e^{-x+3} = 2x\e^{-x+3} = f(x)$

donc  $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $\cd 0~;~7\cg$.

		\item La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $\cd 0~;~7\cg$ donc la valeur de l'aire, en unités d'aire, du domaine  délimité par les droites d'équation $x = 1$,\: $x = 3$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}_f$ est 
		$\ds\int_{1}^{3}f(x) \d x$.
		
$\ds\int_{1}^{3}f(x) \d x = \left [F(x) \rule{0pt}{10pt}\right ]_{1}^{3} = F(3)- F(1) = \left ( -8\right ) - \left ( -4\e^{2}\right )
= 4\e^{2}-8$ unités d'aire.
		
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d'objets ($x$ compris entre $0$ et $7$).
	\begin{enumerate}
		\item La valeur moyenne du bénéfice lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets, donc entre 1 et 3 centaines d'objets, est:
		
		$\dfrac{1}{3-1} \ds\int_{1}^{3} f(x) \d x = \dfrac{4\e^{2}-8}{2} = 2\e^{2} - 4$ milliers d'euros, soit environ \np{10778} euros.		
		\item L'entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à \np{10000} euros, ce qui revient à déterminer $x$ pour que $f(x)>10$.
		
D'après les questions précédentes, le nombre d'objets que l'entreprise devra vendre pour atteindre son objectif doit aller de $\alpha$ à $\beta$ centaines, donc de $\alpha\times 100$ à $\beta\times 100$, et donc de  36 à 216 objets.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE}

\bigskip

%\textbf{\large N'est pas à rendre avec la copie}
%
%\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,16)

\def\f{2 x mul 2.71828 3 x sub exp mul}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{1}{3}{\f}
\psplot[plotpoints=4000]{3}{1}{0}
\closepath
}

\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{\f}
\uput[d](7.5,0){$x$}\uput[l](0,15.5){$y$}

\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,0)(8,16)


\pspolygon[linecolor=red,linewidth=1.3pt,fillstyle=hlines,hatchcolor=red](1,0)(3,0)(3,5)(2.5,5)(2.5,7)(2,7)(2,10)(1.5,10)(1.5,12)(1,12)
\psline[linewidth=1.3pt](1,0)(3,0)(3,11)(2,12)(2,14)(1,15)(1,0)

\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(8,16)

\end{pspicture}
\end{center}
\vfill
\end{document}