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%Tapuscrit : 
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 4 mai 2018} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Pondichéry 4 mai 2018~\decofourright}} 
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\%
%\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). \\
%Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~5] par :
$f(x) = \dfrac{5 + 5\ln x}{x}$.

Sa représentation graphique est la courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d'origine O. On
admet que le point A placé sur le graphique est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur
l'intervalle [0,5~;~5]. On note B le point de cette courbe d'abscisse e.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,7)
\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(-.25,-0.5)(5.5,6.5)[$x$,-45][$y$,45]
\psaxes[linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{5 5 x ln mul add x div}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=1000]{1}{4}{\f}
\psplot[plotpoints=1000]{4}{1}{0}
\closepath
}
\pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=red,fillstyle=hlines,hatchcolor=red](1,0)(1,4)(2,4)(2.5,3)(3.5,3)(4,2)(4,0)
\pspolygon[linestyle=dashed,fillstyle=vlines,hatchcolor=gray](1,0)(1,5)(4,5)(4,3)(4,0)
\psgrid[unit=0.8cm,gridwidth=0.1pt,gridcolor=black,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(12,7)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0.5}{5}{\f}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=blue](1.649,4.549)(2.718,3.679)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.718,3.679)(2.718,0)
\uput[30](1.649,4.549){\blue A} \uput[ur](2.718,3.679){\blue B}
\uput[d](2.718,0){\blue e}
\uput[u](3.75,3.1){\blue \Large $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

On admet que pour tout $x$ de l'intervalle $[0,5~;~5]$ on a :
$f'(x) = \dfrac{- 5\ln x}{x^2}$ et $f''(x) = \dfrac{10\ln x - 5}{x^3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f'$ est:
	\begin{enumerate}
		\item positive ou nulle sur l'intervalle $[0,5~;~5]$
		\item négative ou nulle sur l'intervalle $[1~;~5]$
		\item négative ou nulle sur l'intervalle $[0,5~;~1]$
	\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Réponse b}

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.8\linewidth}}
Sur l'intervalle $[0,5~;~5]$, la fonction $f'$ a le même signe que $-5\ln x$. \\
Or $x\geqslant 1 \iff \ln x \geqslant 0$, donc $f'$ est négative sur $[1~;~5]$.
\end{tabular}

\medskip
	
\item  Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est égal à :
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~}$- \dfrac{5}{\text{e}^2}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{10}{\text{e}}$&\textbf{c.~~}$ \dfrac{5}{\text{e}^3}$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Réponse a}

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.85\linewidth}}
D'après la courbe tracée, le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point B est négatif; la seule réponse possible est la réponse a.

On peut aussi calculer ce coefficient directeur qui vaut $f'(\e) = -\dfrac{5\ln \text{e}}{\e^{2}} = -\dfrac{5}{\e^{2}}$.
\end{tabular}

\medskip

\item  La fonction $f$' est:
	\begin{enumerate}
		\item croissante sur l'intervalle [0,5~;~1]
		\item décroissante sur l'intervalle [1~;~5]
		\item croissante sur l'intervalle [2~;~5]
	\end{enumerate}
	
\textbf{Réponse c}

\medskip	

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.85\linewidth}}
Le sens de variation de la fonction $f'$ sur l'intervalle $[0,5~;~5]$ dépend du signe de la fonction $f''$ sur cet intervalle, c'est-à-dire du signe de $10 \ln x - 5$.

$10 \ln x - 5\geqslant 0 \iff 10\ln x \geqslant 5 \iff \ln x \geqslant 0,5 \iff x \geqslant \e^{0,5}$

Donc $f''(x)\geqslant 0$ sur $\left [\e^{0,5}~;~5\right ]$ donc sur $[2~;~5]$ car $\e^{0,5}\approx 1,65 < 2$.
\end{tabular}

\medskip	
	
\item  La valeur exacte de l'abscisse du point A de la courbe $\mathcal{C}$ est égale à :
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} 1,65 &\textbf{b.~~} 1,6 &\textbf{c.~~} $\e^{0,5}$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Réponse c}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.85\linewidth}}
Le point A est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle étudié donc l'abscisse de A est l'unique solution de l'équation $f''(x) = 0$ sur $[0,5~;~5]$.

$f''(x)=0 \iff \dfrac{10 \ln x - 5}{x^3}=0 \iff 10\ln x-5 = 0 \iff \ln x = 0,5 \iff x=\e^{0,5}$; \\
donc $x_{\text A}=\e^{0,5}$ ou $\sqrt{\text{e}}$. 
\end{tabular}

\medskip

\item  On note $\mathcal{A}$ l'aire, mesurée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 4$. Cette aire vérifie :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} $20 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 30$&\textbf{b.~~} $10\leqslant \mathcal{A} \leqslant 15$&\textbf{c.~~} $5 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 8$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Réponse b.}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.85\linewidth}}
Le domaine plan a été grisé sur le graphique; en comptant le nombre de carreaux du polygone hachuré en rouge et du rectangle hachuré en gris, on obtient le bon encadrement de l'aire du domaine grisé.\\
Attention: chaque carreau a une aire égale à $0,5$ unité d'aire.
\end{tabular}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

%Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à $0,01$ près.

%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent
régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de
la transaction est inférieur ou égal à 30~\euro) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant
de la transaction).

Il remarque que :

$\bullet~~$ 80\,\% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30~\euro. Parmi eux :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item 40\,\% paient en espèces;
\item 40\,\% paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
\item les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}
$\bullet~~$ 20\,\% de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30~\euro. Parmi eux :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item 70\,\% paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
\item les autres paient en espèces.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.

\smallskip

On considère les évènements suivants :

$\bullet~~$ $V$ : \og pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30~\euro \fg ;

$\bullet~~$ $E$ : \og pour son achat, le client a réglé en espèces\fg ;

$\bullet~~$ $C$ : \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret\fg ;

$\bullet~~$ $S$ : \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la probabilité de l'évènement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant $V$ notée $P_V(S)$.
D'après le texte, 80\,\% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30~\euro, donc $P(V)=0,8$.

D'après le texte, parmi ces 80\,\% qui règlent des sommes inférieures ou égales à 30~\euro, 40\,\% paient avec une carte bancaire en mode sans contact ; donc $P_V(S)=0,4$.


		\item On traduit la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré:
		
\begin{center}
\bigskip
{%\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=10mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V$}\naput{$0,8$}}
	                        {
	                        \TR{$E$}\naput{$0,4$}
			                \TR{$S$}\naput{$0,4$}
		                    \TR{$C$} \nbput{\red $1-0,4-0,4=0,2$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{V}$}\nbput{\red $1-0,8=0,2$}}
                            {
	                        \TR{$E$}\naput{\red $1-0,7=0,3$}
	                        \TR{$S$}\naput{$0$}
	                        \TR{$C$} \nbput{$0,7$}
	                        }
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}		
		
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30~\euro{} et il a utilisé sa carte bancaire en mode sans contact est l'événement $V \cap S$:
		
$P(V \cap S) = P(V) \times P_V(S)=0,8\times 0,4=0,32$.		
		
		
		\item Pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes, est l'événement $C\cup S$; les événements $C$ et $S$ étant incompatibles, $P( C\cup S) = P(C)+P(S)$.
		
D'après la formule des probabilités totales:

$P(C)= P(V \cap C) + P\left(\overline V \cap C\right) = P(V)\times P_V(C) + P\left(\overline V\right)\times P_{\overline{V}}(C) = 0,8\times 0,2 + 0,2 \times 0,7 = 0,3$

$P(S)= P(V \cap S) + P\left(\overline V \cap S\right) = P(V)\times P_V(S) + P\left(\overline V\right)\times P_{\overline{V}}(S) = 0,8\times 0,4 + 0,2\times 0 = 0,32$

On a donc  $P( C\cup S) = P(C) + P(S) = 0,3 + 0,32 = 0,62$.

\smallskip

\emph{Remarque} - On aurait pu obtenir la probabilité demandée en passant par l'événement contraire: \og payer en espèces \fg{}. 	

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d'un client suite à un achat chez ce commerçant.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $27,5$ et d'écart-type $3$.
On interroge au hasard un client qui vient d'effectuer un achat dans la boutique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que ce client ait dépensé moins de 30~\euro{} est $P(X \leqslant 30) \approx 0,80$ à $0,01$ près (obtenu à la calculatrice).
\item La probabilité que ce client ait dépensé entre $24,50$~\euro{} et $30,50$~\euro{} est $P(24,5 \leqslant X \leqslant 30,5) \approx 0,68$ à $0,01$ près.

C'est un résultat du cours: $P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma)\approx 0,68$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d'un échantillon de $200$ clients de cette boutique.

Parmi eux, 175 trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique, ce qui fait une fréquence dans l'échantillon de $f=\dfrac{175}{200}=0,875$.

\smallskip

$n=200 \geqslant 30$, $nf=200\times 0,875 = 175 \geqslant 5$ et $n(1-f)=200\times 0,125=25 \geqslant 5$, donc on peut déterminer, avec un niveau de confiance de $0,95$, l'intervalle de confiance de la proportion $p$ de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique:

\[I= \left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \,,\, f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ] 
= \left [ 0,875-\dfrac{1}{\sqrt{200}} ~;~ 0,875+\dfrac{1}{\sqrt{200}}\right ]
\approx \left [ 0,80~;~0,95\right ]\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 65$ et pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1} = 0,8u_n + 18$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_1 = 0,8 u_0 + 18 = 0,8\times 65 + 18 = 52 + 18 = 70$ et
$u_2 = 0,8 u_1 + 18 = 0,8\times 70 + 18 = 56 + 18 = 74$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = u_n - 90$; donc $u_n=v_n+90$.
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,8$.
$v_{n+1}=u_{n+1}-90 = 0,8 u_n + 18 - 90 = 0,8 \left ( v_n+90\right ) - 72 = 0,8 v_n + 72-72=0,8v_n$

$v_0=u_0-90 = 65- 90 = -25$.

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=-25$.
%On précisera la valeur de $v_0$.

		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n = 90 - 25 \times  0,8^n.$
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=-25$ donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times q^n = -25\times 0,8^{n}$.

Or $u_n=v_n+90$ donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=90-25\times 0,8^{n}$. 		
	\end{enumerate}

\item  On considère l'algorithme ci-dessous :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
ligne 1&$u \gets 65$\\
ligne 2&$n \gets 0$\\
ligne 3&Tant que .........\\
ligne 4&\hspace{1cm}$n \gets n+1$\\
ligne 5&\hspace{1cm}$u \gets 0,8 \times u + 18$\\
ligne 6&Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Pour que l'algorithme détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 85$, il faut le faire tourner tant que $u_n$ est strictement inférieur à 85; la ligne 3 est donc:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|X|}
\hline
ligne 3&Tant que $\red u<85$\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
		\item% Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
En calculant à la calculatrice les termes successifs de la suite $(u_n)$, on trouve (valeurs arrondies au dixième):

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*9{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
\hline
65 & 70 & 74 & 77,2 & 79,8 & 81,8 & 83,4 & 84,8 & 85,8\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
La valeur de $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme est donc 8.	
		
		\item% Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l'inéquation $u_n \geqslant 85$.
On résout l'inéquation $u_n \geqslant 85$:

$u_n \geqslant 85 \iff 90-25\times 0,8^{n} \geqslant 85 \iff 5 \geqslant 25\times 0,8^{n}
\iff 0,2 \geqslant 0,8^{n}\\[5pt]
\phantom{u_n \geqslant 85}
\iff \ln 0,2 \geqslant \ln \left ( 0,8^{n} \right )
\iff \ln 0,2 \geqslant n \times \ln 0,8
\iff \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \leqslant n$  car $\ln 0,8 < 0$.

$\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \approx 7,21$ donc on retrouve $n=8$ comme première valeur pour laquelle $u_n$ dépasse 85.

 	\end{enumerate}

\item  La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d'un panier bio qui contient des fruits
et des légumes de saison issus de l'agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de
souscrire un abonnement de $52$~\euro{} par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier
bio.
En juillet 2017, $65$ particuliers ont souscrit cet abonnement.

\smallskip
	
Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :
	
$\bullet~~$ d'un mois à l'autre, environ 20\,\% des abonnements sont résiliés ;
	
$\bullet~~$ chaque mois, $18$ particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le $n$-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
En juillet 2017, il y avait 65 particuliers qui avaient souscrit l'abonnement, ce qui correspond au terme de rang 0 de la suite $(u_n)$.

Chaque mois, 20\,\% des abonnements sont résiliés, donc il en reste 80\,\%.

Prendre 80\,\%, c'est multiplier par $0,8$; il faudra donc multiplier par $0,8$.

Comme 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement, il faudra ensuite ajouter 18.

On passe d'un mois $n$ au mois suivant $n+1$ en multipliant par $0,8$ puis en ajoutant 18 donc la suite $(u_n)$ définie par $u_0=65$ et, pour tout $n$, par $u_{n+1}=0,8 u_n + 18$ modélise le nombre d'abonnés au panier bio.
		
		\item% Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser \np{4420}~\euro{} durant l'année 2018 ? Justifier la réponse.
Chaque abonnement coûte 52~\euro{} par mois; le recette mensuelle le mois $n$ est donc en euro de $52 u_n$.

On cherche donc $n$ pour que $52 u_n$ dépasse \np{4420}~\euro. On résout l'inéquation:

$52 u_n > \np{4420} \iff u_n > 85 \iff n \geqslant 8$ (voir questions précédentes).

La recette mensuelle dépassera \np{4420}~\euro{} à partir de $n=8$.

Sachant que $n=0$ correspond au mois de juillet 2017, c'est donc à partir de mars 2018 que la recette mensuelle dépassera \np{4420}~\euro.

		\item %Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette?  Argumenter la réponse.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,8$; or $0<0,8<1$ donc la suite $(v_n)$ est convergente et a pour limite 0.

Pour tout $n$, $u_n=v_n+90$ donc la suite $(u_n)$ a pour limite 90.

La recette étant de $52u_n$ pour le mois $n$, la recette mensuelle tend vers $52\times 90= \np{4680}$~\euro.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents lieux A, B, C, D, E, F{}, G et H dans lesquels
Louis est susceptible de se rendre chaque jour. Le lieu A désigne son domicile et G le lieu de son
site de travail. 

Le poids de chaque arête représente la distance, en kilomètres, entre les deux lieux
reliés par l'arête.


\begin{center}
{\small
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture}(15,10.5)
%\psgrid
\rput(2.3,9.7){\circlenode{C}{C}}
\rput(3.5,6.4){\circlenode{B}{B}}
\rput(10.2,8.3){\circlenode{D}{D}}
\rput(8,5){\circlenode{E}{E}}
\rput(1.4,1.5){\circlenode{A}{A}}
\rput(7,0.5){\circlenode{F}{F}}
\rput(14,6){\circlenode{G}{G}}
\rput(12.5,1.8){\circlenode{H}{H}}
\ncarc[arcangle=-30]{C}{A}\ncput*[nrot=:U]{56}
\ncarc[arcangle=20]{A}{B}\ncput*[nrot=:U]{47}
\ncarc[arcangle=20]{A}{E}\ncput*[nrot=:U]{23}
\ncarc[arcangle=20]{A}{F}\ncput*[nrot=:U]{30}
\ncarc[arcangle=20]{C}{B}\ncput*[nrot=:U]{10}
\ncarc[arcangle=20]{B}{E}\ncput*[nrot=:U]{20}
\ncarc[arcangle=20]{C}{D}\ncput*[nrot=:U]{15}
\ncarc[arcangle=20]{E}{D}\ncput*[nrot=:U]{42}
\ncarc[arcangle=20]{D}{G}\ncput*[nrot=:U]{15}
\ncarc[arcangle=20]{E}{F}\ncput*[nrot=:U]{28}
\ncarc[arcangle=20]{E}{H}\ncput*[nrot=:U]{40}
\ncarc[arcangle=20]{F}{H}\ncput*[nrot=:U]{28}
\ncarc[arcangle=20]{G}{H}\ncput*[nrot=:U]{23}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\medskip

On détermine le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail en utilisant l'algorithme de Dijkstra:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%                               cellule grisée
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
A &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   &   G   &  H     &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A \\
\hline
\cgr & 47 A & 56 A &  $\infty$ & \sur{23 A} & 30 A & $\infty$ & $\infty$ &  E \\
\hline
\cgr &\sout{47 A }& 56 A &                & \cgr  & \sur{30 A} & $\infty$ &           &   \\[-3pt]
\cgr & 43 E            &          &  65 E       & \cgr & \sout{51 E}&                 & 63 E  &  F \\
\hline
\cgr & \sur{43 E} & 56 A &  65 E &  \cgr   & \cgr   & $\infty$ & \sout{63 E} &   \\[-3pt]
\cgr &                    &         &           & \cgr    &   \cgr &                 & 58 F             &  B \\
\hline
\cgr & \cgr & \sout{56 A} &  65 E &  \cgr   & \cgr   & $\infty$ & 58 F &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &\sur{53 B}    &           & \cgr    &   \cgr &                 &             &  C \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr   &  65 E              &  \cgr   & \cgr   & $\infty$ & \sur{58 F} &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &\cgr    & \sout{68 C}  & \cgr    &   \cgr &                 &                   &  H \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr   &  \sur{65 E} &  \cgr   & \cgr   &              & \cgr &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &\cgr    &                    & \cgr    &   \cgr &   81 H   &  \cgr &  D \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr   &  \cgr &  \cgr   & \cgr   &   \sout{81 H}  & \cgr &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &\cgr    &  \cgr & \cgr    &   \cgr &   \sur{80 D}   &  \cgr &  G \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le chemin le plus court pour aller de A à G  est:
A $\stackrel{23}{\longrightarrow}$ 
E $\stackrel{42}{\longrightarrow}$
D $\stackrel{15}{\longrightarrow}$
G;
sa longueur est de 80 km.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.9\linewidth}}
\emph{Remarque: pour la cohérence de cette partie, il convient de considérer que Louis ne fait qu'un trajet par jour ou qu'il garde le même mode de transport tout au long d'une journée.}
\end{tabular}

\medskip

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d'utiliser lors de ses trajets quotidiens
soit les transports en commun, soit le covoiturage.

\smallskip

$\bullet~~$ s'il a utilisé les transports en commun lors d'un trajet, il utilisera le covoiturage lors de son
prochain déplacement avec une probabilité de $0,53$ ;

$\bullet~~$ s'il a utilisé le covoiturage lors d'un trajet, il effectuera le prochain déplacement en transport en commun avec une probabilité de $0,78$.

Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1\up{er} janvier 2018.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$\bullet~~$ $c_n$ la probabilité que Louis utilise le covoiturage $n$ jour(s) après le 1\up{er} janvier 2018;

$\bullet~~$ $t_n$ la probabilité que Louis utilise les transports en commun $n$ jour(s) après le 1\up{er} janvier 2018 ;

La matrice ligne $P_n = \left(c_n \quad t_n\right)$ traduit l'état probabiliste $n$ jour(s) après le 1\up{er}  janvier 2018.

Le 1\up{er} janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Préciser l'état probabiliste initial $P_0$.
Le 1\up{er} janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage, donc $c_0=1$, $t_0=0$ et 
$P_0= \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}	$.
		
		\item On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et T:
				
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{C}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{T}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$0,78$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$0,53$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$0,22$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$0,47$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}



 	\end{enumerate}
\item%  Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l'ordre alphabétique.
Le graphe précédent est équivalent au système:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
c_{n+1} & 0,22\,c_n + 0,53\,t_n\\
t_{n+1} & 0,78\,c_n + 0,47\,t_n
\end{array}
\right .$


qui s'écrit sous forme matricielle:
$\begin{pmatrix}
c_{n+1} & t_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c_{n} & t_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,22 & 0,78 \\ 0,53 & 0,47
\end{pmatrix}$ 

La matrice de transition du graphe probabiliste est donc
$M=\begin{pmatrix} 0,22 & 0,78 \\ 0,53 & 0,47 \end{pmatrix}$.

\item%  Calculer l'état probabiliste $P_2$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
$P_1=P_0\times M = 
\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 0,22 & 0,78 \\ 0,53 & 0,47 \end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix} 0,22 & 0,78 \end{pmatrix}$

$P_2=P_1\times M = 
\begin{pmatrix} 0,22 & 0,78 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 0,22 & 0,78 \\ 0,53 & 0,47 \end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix} \np{0,4618} & \np{0,5387} \end{pmatrix}$

On peut donc dire qu'au bout de 2 jours, la probabilité que Louis a d'utiliser le covoiturage est de \np{0,4618} soit $46,18$\,\%, et celle d'utiliser les transports en commun de \np{0,5387} soit $53,87$\,\%.

\item  Soit la matrice ligne $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ associée à l'état stable du graphe probabiliste.
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer les valeurs exactes de $x$ et de $y$ puis en donner une valeur approchée à $0,01$ près.
L'état stable $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ vérifie d'une part $P\times M = P$, et d'autre part $x+y=1$.	
		
$P\times M = P
\iff
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 0,22 & 0,78 \\ 0,53 & 0,47 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
0,22\,x + 0,53\,y & x\\
0,78\,x + 0,47\,y & y
\end{array}
\right .\\[7pt]
\phantom{P\times M = P}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
-0,78\,x + 0,53\,y & 0\\
0,78\,x -0,53\,y & 0
\end{array}
\right .
\iff
0,78\,x - 0,53\,y = 0
\iff
78x -53y=0$

On résout le système:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
78 x - 53 y & 0\\
x + y & 1
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
78 x - 53 (1-x) & 0\\
x + y & 1
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
131x & 53\\
y & 1-x
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & \dfrac{53}{131}\\[7pt]
y & \dfrac{78}{131}
\end{array}
\right .$

L'état stable est donc 
$P=\begin{pmatrix}
\dfrac{53}{131} & \dfrac{78}{131}
\end{pmatrix}$.

		\item Selon ce modèle, à long terme, Louis utilisera le covoiturage avec une probabilité de $\dfrac{53}{131}$ soit environ 40\,\% du temps, donc moins souvent que les transports en commun.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à $0,01$ près}.

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par:
$f(x) = (3,6x + 2,4)\e^{-0,6x}- 1,4$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~4] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~4] on a:

$f'(x) = 3,6 \e^{-0,6x} + (3,6x+2,4)\times (-0,6)\e^{-0,6x}
= (3,6 - 2,16x - 1,44)\e^{-0,6x} = (-2,16x + 2,16)\e^{-0,6x}$

\item  
	\begin{enumerate}

		\item% Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~4].
Pour tout $x$, $\e^{-0,6x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-2,16x + 2,16$ sur $[0~;~4]$:
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f'(x)>0$ pour $x\in [0~;~1[$;
\item $f'(1)=0$;
\item $f'(x)<0$ pour $x\in ]1~;~4]$.
\end{list}

		\item% Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
		
%On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.
$f(0)=2,4\e^{0}-1,4 = 1$, $f(1) = 6\e^{-0,6}-1,4\approx 1,89$ et $f(4)= 16,8\e^{-2,4}-1,4\approx 0,12$

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 1 & \esp\esp & 4 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{1,89}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{1} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0,12} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

 	\end{enumerate}
\item  On admet que la fonction $F$ définie par: $F(x) = (- 6x - 14)\e^{-0,6x} - 1,4x$
	est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].
	
D'après le cours, la valeur exacte de $\displaystyle\int_0^4  f(x)\d x$ est égale à

$F(4)-F(0) = \left ( (-24-14)\e^{-2,4}-5,6 \right ) - \left ( (-14)\e^{0} - 0  \right ) 
=8,4 -38\e^{-2,4} \approx 4,95$.

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].

On considère la fonction $g$ définie par : $g(x) = 4x^2 - 4x + 1$.

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle [0~;~0,5].

On a tracé ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère d'origine O et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ par rapport à l'axe des abscisses :

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0.5}{0}{x dup mul 4 mul 4 x mul sub 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{4}{3.6 x mul 2.4 add 2.71828 0.6 x mul exp div 1.4 sub}
\psline(4,0.124)(4,-0.124)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{4}{0}{3.6 x mul 2.4 add 2.71828 0.6 x mul exp div 1.4 sub neg}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{0.5}{x dup mul 4 mul 4 x mul sub 1 add neg}
}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-3)(5,3)

\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{3.6 x mul 2.4 add 2.71828 0.6 x mul exp div 1.4 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{0.5}{x dup mul 4 mul 4 x mul sub 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0}{4}{3.6 x mul 2.4 add 2.71828 0.6 x mul exp div 1.4 sub neg}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{0.5}{x dup mul 4 mul 4 x mul sub 1 add neg}
\uput[ur](2,1.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[l](0.1,0.5){\red $\mathcal{C}_g$}
\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que $\displaystyle\int_0^{0,5}g(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{6}$.
La fonction $g$  a pour primitive la fonction $G$ définie par
$G(x)=\dfrac{4x^3}{3} - 2x^2 + x$.

Donc 
$\displaystyle\int_0^{0,5}g(x)\d x = G(0,5) - G(0) = \left ( \dfrac{4\times 0,125}{3} - 2\times 0,25 + 0,5\right ) - 0 = \dfrac{0,5}{3} = \dfrac{1}{6}$.

\item On considère le domaine plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$, \:$\mathcal{C}_g$, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d'équation $x = 4$.

Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci-dessus.

%Calculer une valeur approchée de l'aire, en unités d'aire, de ce domaine.

La partie du domaine grisé située au-dessus de l'axe des abscisses a pour aire, en unités d'aire:

$\displaystyle\int_0^4 f(x) \d x - \displaystyle\int_{0}^{0,5} g(x) \d x
= 8,4-38\e^{-2,4}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{247}{30}-38\e^{-2,4}$.

C'est la moitié de l'aire du domaine grisé complet qui a donc pour aire, en unité d'aire:\\
$2\times \left ( \dfrac{247}{30}-38\e^{-2,4}\right ) = \dfrac{247}{15}-76\e^{-2,4} \approx 9,57$.
\end{enumerate}
\end{document}