\documentclass[11pt,a4paper,answers,fancyhdr]{exam} 
% remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions
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%\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
%\rhead{#3}
%\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat S  #1 du #2}}
%\lfoot{Baccalauréat 2018}
%\rfoot{A. Detant}
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%\cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}}
           % \rfoot{#3}
%\newgeometry{left=1.5cm, right=1.5cm , top=2cm , bottom=2.5cm}             
%                  }

 %** surlignage en jaune, rouge, vert ***
 \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
 \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}}
 \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}}
 
 % % % % % % % % % % % % % %
 % COMMANDES MATHÉMATIQUES %
 % % % % % % % % % % % % % %
 
 %\input{tabvar} %** permet d'utiliser Pst+ pour les tableaux de variation et arbres (ATTENTION tabvar.tex doit être dans le répertoire de compilation du document)
 
 %** écrire un repère (hors environnement math)
 
 \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
  
 %** écrire une équivalence, une implication (dans un environnement math)
 
 \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow}
 \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} 
 %** écrire une relation d'ordre (dans un environnement math)
 \newcommand{\pp}{\leqslant}
 \newcommand{\pg}{\geqslant}
 %*** Ensembles de nombres ***
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
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 %**** écrire un vecteur (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\,\,}}
 %**** écrire une variable aléatoire (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) }
 \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) }
 \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }
 %**** écrire un angle géométrique (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\anglg}[1]{$\widehat{#1\,\,}$}
 %**** écrire un angle orienté de vecteurs *****
 \newcommand{\anglor}[2]{$\left( ~\vect{#1}~;~\vect{#2}~\right) $}
 %***** Écrire un repère (en dehors de l'environnement math) *******
 \def\Oij{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O};~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
 %*** écrire i (dans un environnement mathématique)****
 \newcommand{\im}{\text{i}}
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 %*** écrire une exponentielle (dans un environnement mathématique)****
 \renewcommand{\exp}[1]{\text{e}^{#1}}
 %*** écrire le symbole multiplié (dans un environnement mathématique)
 \newcommand{\x}{\times}
 %**** écrire un module (en dehors de l'environnement math)*****
 \renewcommand{\mod}[1]{$\left| #1\right| ~$}
 %**** écrire un conjugué (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\conj}[1]{$\overline{~#1~}~$}
 %**** écrire une intégrale (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\integ}[4]{\displaystyle \int_{#1}^{#2}~ #3~\text{d}#4}
 %**** écrire une somme (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\somme}[4]{\displaystyle \sum_{#1=#2}^{#1=#3} \left(#4\right) ~}
 %**** écrire des limites (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
 \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
 \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}
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\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
%\SetWatermarkScale{0.6}
%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
%\entetecor{Pondichéry}{4 mai 2018}{TS}{}

\titlespacing*{\subsubsection}
{0pt}%␣retrait␣à␣gauche
{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat E.S. --  A. Detant}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{4 mai 2018}}
%\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat E.S. Pondichéry  4 mai 2018~\decofourright}}
\end{center}


\label{exercice 1}
\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,7)
\pspolygon[linecolor=green,fillstyle=solid,fillcolor=green,opacity=0.8](1.,0.)(4.,0.)(4.,5.)(1.,5.)

\pspolygon[linecolor=red,hatchcolor=red,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.1](1.,0.)(4.,0.)(4,2.)(3.5,3)(2.5,3)(2,4)(1.,4)

\psgrid[unit=1cm,gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(12,7)
\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(0,0)(5.5,6.5)[$x$,-45][$y$,45]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0.5}{5}{5 5 x ln mul add x div}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=blue](1.649,4.549)(2.718,3.679)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.718,3.679)(2.718,0)
\uput[dl](1.649,4.549){\blue A} \uput[dl](2.718,3.679){\blue B}
\uput[d](2.718,0){\blue e}
\uput[u](3.5,3.3){\blue \Large $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f'$ est:
	\begin{enumerate}
		\item positive ou nulle sur l'intervalle [0,5~;~5]
		\item \surj{négative ou nulle sur l'intervalle [1~;~5]}
		\item négative ou nulle sur l'intervalle [0,5~;~1]
	\end{enumerate}
	
	
	\begin{solution}{\red explication donnée à titre indicatif}
	
Sur [0,5~;~5], $x^2 > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $- 5 \ln x$, donc de $- \ln x$.

Comme sur [1~;~5], $\ln x \geqslant 0$, $f'(x)  \leqslant 0$ : $f$ est décroissante sur [1~;~5]
	\end{solution}
	
\item  Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est égal à :
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~}\surj{$- \dfrac{5}{\text{e}^2}$}&\textbf{b.~~}$\dfrac{10}{\text{e}}$&\textbf{c.~~}$ \dfrac{5}{\text{e}^3}$
\end{tabularx}

\begin{solution}{\red explication donnée à titre indicatif}
	
%$f'$ est négative sur [1~;~5] donc $f'(\text{e})<0$ or il s'agit du coefficient directeur évoqué. 
%	
%	Il n'y a que la proposition \textbf{a.} donnant un nombre négatif
B a pour abscisse e. On a $f'(\text{e}) = \dfrac{- 5\ln \text{e}}{\text{e}^2} = - \dfrac{5}{\text{e}^2}$.
	\end{solution}
\medskip

\item  La fonction $f$' est:
	\begin{enumerate}
		\item croissante sur l'intervalle [0,5~;~1]
		\item décroissante sur l'intervalle [1~;~5]
		\item \surj{croissante sur l'intervalle [2~;~5]}
	\end{enumerate}
	
\begin{solution}{\red explication donnée à titre indicatif}

sur [0,5~;~5]~,~$f''(x)\pg 0 \equi 10\ln(x)-5\pg0 \equi \ln(x)\pg0,5 \equi x \pg \sqrt{\text{e}}$

on en déduit que $f'$ est décroissante sur $\left[0,5~;~\sqrt{\text{e}}\right]$ et croissante sur $\left[\sqrt{\text{e}}~;~5 \right]$ or $\sqrt{\text{e}}\approx 1,6$ 

\end{solution}

\item  La valeur exacte de l'abscisse du point A de la courbe $\mathcal{C}$ est égale à :
	
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} 1,65 &\textbf{b.~~} 1,6 &\textbf{c.~~} \surj{$\text{e}^{0,5}$}
\end{tabularx}
\medskip

\begin{solution}{\red explication donnée à titre indicatif}

$f''$ s'annule et change de signe en $\sqrt{\text{e}}=\text{e}^{0,5}$ d'après l'explication précédente

\end{solution}

\item  On note $\mathcal{A}$ l'aire, mesurée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 4$. Cette aire vérifie :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} $20 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 30$&\textbf{b.~~} \surj{$10\leqslant \mathcal{A} \leqslant 15$}&\textbf{c.~~} $5 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 8$
\end{tabularx}

\begin{solution}{\red explication donnée à titre indicatif}

La surface est totalement contenue dans un rectangle d'aire 15 u.a. (en vert)
et contient entièrement polygone d'aire 10 u.a. (en rouge)
donc $10 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 15$.
\end{solution}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\label{exercice 2}
\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		
\begin{solution}

\og \textit{$80$\,\% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à } $30$~\euro. \fg{} donc $P(V)=0,8$

\og \textit{$40$\,\% paient avec une carte bancaire en mode sans contact} \fg{} donc $P_V(S)=0,4$
\end{solution}

		\item 
		
		\begin{solution}
		
		\begin{center}
		\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
		\pstree[treemode=R]{\Tdot}
		{
		\pstree
		{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{\small $0,8$}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{\small $0.4$}
		\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $0,4$}
		\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\tbput{\small $0,2$}
		}
		\pstree
		{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{V}$}\tbput{\small $0,2$}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{\small $0,3$}
		\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\tbput{\small $0,7$}
		}
		}
		\end{center}
		
		
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item 

\begin{solution}
on cherche $P(V\cap S)$

$P(V\cap S)=P(V)\x P_V(S)=0,8\x 0,4=0,32$

\end{solution}

\item 

\begin{solution}
On cherche $P\left(\overline{E} \right)$

$P\left(\overline{E} \right)=1-P(E)$

$V$ et $\overline{V}$ forment une partition de l'univers donc d'après la loi des probabilités totales on a :

$P(E) = P(E\cap V)+P\left(E \cap \overline{V} \right)$

$\hphantom{P(E)}=P(V)\x P_V(E)+P\left(\overline{V} \right) \x P_{\overline{V}}(E)$

$\hphantom{P(E)}=0,8\x 0,4+0,2 \x 0,3=0,38$

on a donc bien $P\left(\overline{E} \right)=1-P(E)=1-0,38=0,62$

\end{solution}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item 

\begin{solution}
On cherche $P(0\pp X\pp 30)$

d'après la calculatrice on a $P(0\pp X\pp 30)\approx 0,80$

\end{solution}

\item 

\begin{solution}
On cherche $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu-\sigma)$ car $\mu=27,5$ et $\sigma=3$ donc $\mu-\sigma=24,5$ et $\mu+\sigma=30,5$.

D'après le cours on sait que $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu-\sigma)\approx 0,68$

\vspace{0.3cm}
\emph{remarque: si on ne connait pas ce point de cours, on calcule évidemment comme dans la question précédente}
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\begin{solution}
l'échantillon est de taille $n=200$, la fréquence observée de clients satisfaits du mode sans contact est $f=\dfrac{175}{200}=0,875$

On a $n\geqslant 30~~,~~nf=175\geqslant 5~~\text{et}~~n(1-f)=25\geqslant 5$.
	
On peut donc bâtir l'intervalle de confiance.
	
On peut affirmer avec une confiance à 95\% que la proportion $p$ de clients satisfaits du mode sans contact devrait appartenir à l'intervalle $I=\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}  ; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}  \right]$.
	
	$f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \approx 0,804$ et $f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \approx 0,946$
	
	Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\% est donc environ $I=[0,80~;~0,95]$. 

\end{solution}

\vspace{0,5cm}

\label{exercice 3-obli}
\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{solution}
$u_{1} = 0,8u_0 + 18=70$ et $u_{2} = 0,8u_1 + 18=74$

\end{solution}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{solution}

$\forall n \in \N~,~v_{n+1}=u_{n+1}-90=0,8u_n+18-90=0,8u_n-72=0,8\x\left(u_n-90 \right)=0,8v_n$.

On en déduit que  $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-90=-25$
\end{solution}

		\item 		
		\begin{solution}
		$\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-90=-25$. 
		
Donc $\forall n \in \N~,~v_{n}=v_0\x q^n=-25\x\left(0,8 \right)^n$ or $\forall n \in \N~,~v_{n}=u_n-90$
		
		Finalement on a bien $\forall n \in \N~,~u_n = 90 - 25 \times  0,8^n$ 
				
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item  

	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{solution}

\og Tant que \surj{$u < 85$}\fg

\end{solution}

		\item 
		\begin{solution}
		en programmant la suite $\left( u_n\right) $ sur la calculatrice, on obtient 
		
		$u_7\approx 84,8<85$ et $u_8\approx 85,8$. 
		L'algorithme affichera $n=8$
		
On peut aussi programmer l'algorithme sur la machine
		
		\end{solution}
		
		\item 
\begin{solution}
$u_n \geqslant 85 \equi 90 - 25 \times  0,8^n \pg 85$

$\hphantom{u_n \geqslant 85} \equi 0,8^n \pp 0,2$

$\hphantom{u_n \geqslant 85} \equi \ln(0,8^n) \pp \ln(0,2)$

$\hphantom{u_n \geqslant 85} \equi n\ln(0,8) \pp \ln(0,2)$

$\hphantom{u_n \geqslant 85} \equi n \pg \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)}$\qquad car $\ln(0,8)<0$

or $\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)}\approx 7,2$
donc le premier entier supérieur à ce résultat est bien $n=8$
\end{solution}

 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{solution}
		
Chaque mois 20\% des abonnements sont résiliés donc leur nombre est multiplié par $1-\dfrac{20}{100}=0,8$ de plus, chaque mois on compte 18 nouveaux abonnements on a donc bien,
		
		$\forall n\in \N~,~u_{n+1}=0,8u_n+18$ et comme il y a 65 abonnés en juillet 2017, on a $u_0=65$ :
		la suite définie dans la partie A permet donc de modéliser la situation
		\end{solution}
		
		\item 		
		\begin{solution}
		
L'abonnement est vendu $52$~\euro~donc une recette de \np{4420}~\euro{} correspond à $\dfrac{4420}{52}=85$ abonnements souscrits
		
On cherche donc si $u_n \pg 85$ à partir d'un certain rang or on a vu dans la partie A que ceci était réalisé à partir de $n=8$ . Donc la recette mensuelle dépassera \np{4420}~\euro{} à partir de mars 2018. 
		
		\end{solution}
		
		\item 
\begin{solution}

\Lim{n}{+\infty}{0,8^n}=~0\quad car $-1< 0,8 < 1$ donc par opération sur les limites on a \Lim{n}{+\infty}{u_n}=~90.

La recette mensuelle de la société Biocagette va donc tendre vers 

$90 \times 52 = \np{4680}$~\euro.
\end{solution}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\label{exercice 3-spé}
\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}


\bigskip

\textbf{Partie A}


\begin{solution}
On applique l'algorithme de DIJKSTRA

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Départ-Sommet & A & B & C & D & E & F & G & H \\ \hline
%0&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&A
%A &0 &47,A &56,A &$+\infty$ &23,A & 30,A &$+\infty$ &$+\infty$ \\ \hline
%  &  & \sout{47,A} & 56,A & \sout{$+\infty$} &\surj{23,A} &30,A &\sout{$+\infty$} &$+\infty$ \\ 
%E &  &43,E & \sout{$+\infty$} &65,E &  &\sout{51,E} & 63,E & $+\infty$ \\  \hline
%  &  &43,E & 56,A & 65,E &  & \surj{30,A} &\sout{63,E} & $+\infty$ \\ 
%F &  &\sout{$+\infty$} &\sout{$+\infty$}  &\sout{$+\infty$} &  &  & 58,F & $+\infty$ \\ \hline
%  &  &\surj{43,E} & \sout{56,A} &65,E &  &  &58,F & $+\infty$  \\ 
%B &  &  &53,B & \sout{$+\infty$} &  &  & \sout{$+\infty$}  & $+\infty$ \\ \hline
%  &  &  & \surj{53,B} & 65,E &  &  & 58,F  & $+\infty$  \\ 
%C &  &  &  & \sout{68,C} &  &  & $+\infty$ & $+\infty$ \\ \hline  &  &  &  & 65,E &  &  & \surj{58,F}  & \sout{$+\infty$}  \\ 
%H  &  &  &  & \sout{$+\infty$} &  &  &  & 81,H\\ \hline  &  &  &  & \surj{65,E} &  &  &   & \sout{81,H}  \\ 
%D  &  &  &  &  &  &  &  & 80,D\\ \hline 
%D  &  &  &  &  &  &  &  & 80,D\\ \hline 
%\end{tabular}
%
%\end{center} 
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%                               cellule grisée
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
A &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   &   G   &  H     &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A \\
\hline
\cgr & 47 A & 56 A &  $\infty$ & \sur{23 A} & 30 A & $\infty$ & $\infty$ &  E \\
\hline
\cgr &\sout{47 A }& 56 A &                & \cgr  & \sur{30 A} & $\infty$ &           &   \\[-3pt]
\cgr & 43 E            &          &  65 E       & \cgr & \sout{51 E}&                 & 63 E  &  F \\
\hline
\cgr & \sur{43 E} & 56 A &  65 E &  \cgr   & \cgr   & $\infty$ & \sout{63 E} &   \\[-3pt]
\cgr &                    &         &           & \cgr    &   \cgr &                 & 58 F             &  B \\
\hline
\cgr & \cgr & \sout{56 A} &  65 E &  \cgr   & \cgr   & $\infty$ & 58 F &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &\sur{53 B}    &           & \cgr    &   \cgr &                 &             &  C \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr   &  65 E              &  \cgr   & \cgr   & $\infty$ & \sur{58 F} &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &\cgr    & \sout{68 C}  & \cgr    &   \cgr &                 &                   &  H \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr   &  \sur{65 E} &  \cgr   & \cgr   &              & \cgr &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &\cgr    &                    & \cgr    &   \cgr &   81 H   &  \cgr &  D \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr   &  \cgr &  \cgr   & \cgr   &   \sout{81 H}  & \cgr &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr &\cgr    &  \cgr & \cgr    &   \cgr &   \sur{80 D}   &  \cgr &  G \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 
\vspace{0.5cm}
Le chemin le plus court est donc A-E-D-G pour une longueur de 80 km
\end{solution}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{solution}
		L'état probabiliste initial est $P_0=(1\quad 0)$ car Le 1\up{er} janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage
		
		\end{solution}
		
		\item 

\begin{solution}

L'énoncé donne $P_{T_n}\left( C_{n+1}\right) =0,53\quad\text{et}\quad P_{C_n}\left( T_{n+1}\right)=0,78$ 

on en déduit $P_{T_n}\left( T_{n+1}\right)=0,47\quad\text{et}\quad P_{T_n}\left( T_{n+1}\right)=0,22$ 

\hspace*{3cm}
		\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2)
		\Rnode{C}{$C$} \hskip 4cm \Rnode{T}{$T$}%définition des sommets
		\psset{nodesep=4pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%   paramètres
		\ncarc{->}{C}{T} \Aput{0,78}%                    arc
		\ncarc{->}{T}{C} \Aput{0,53}%                    arc
		\nccircle[angleA=90]{->}{C}{4mm}   \Bput{0,22}%     boucle
		\nccircle[angleA=-90]{<-}{T}{.4cm} \Bput{0,47}%  boucle 
		\end{pspicture}
		
\end{solution}

 	\end{enumerate}
\item  

\begin{solution}

$M=\begin{pmatrix}
0,22&0,78\\0,53&0,47
\end{pmatrix}$
\end{solution}

\item  

\begin{solution}

$P_2=P_0\x M^2=(0,4618\quad 0,5382)$

on en déduit que le 3 janvier 2018, la probabilité que Louis décide d'utiliser le covoiturage est d'environ 0,4618

\end{solution}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{solution}
		$P = (x \quad y)$ est l'état stable si et seulement si $PM=P$ et $x+y=1$
		
		$PM=P \equi \begin{cases}
		0,22x+0,53y=x\\0,78x+0,47y=y
		\end{cases} \equi 0,78x-0,53y=0 \equi 78x-53y=0$
		
		$P = (x \quad y)$ est l'état stable si et seulement si $\begin{cases}
				78x-53y=0\\\phantom{78}x+\phantom{53}y=1
				\end{cases}$
				
				$\begin{cases}
				78x-53y=0\\\phantom{78}x+\phantom{53}y=1
				\end{cases}\equi 
				\begin{cases}
				78x-53(1-x)=0\\y=1-x
				\end{cases} \equi 
				\begin{cases}
				x=\frac{53}{131}\\y=\frac{78}{131}
				\end{cases} $
		
		L'état stable est donc $P = \left( \dfrac{53}{131} \quad \dfrac{78}{131}\right) \approx \left(0,40\quad 0,60 \right) $
		\end{solution}
		
		\item 

\begin{solution}

À long terme, Louis utilisera plus souvent les transport en commun avec une probabilité se stabilisant aux alentours de 0,60
\end{solution}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\label{exercice 4}
\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
\begin{enumerate}
\item 
\begin{solution}
$f$ est dérivable sur $[0~;~4]$ 

on a $f=u\exp{v}-1,4$ donc $f'=u'\exp{v}+uv'\exp{v}=(u'+uv')\exp{v}$

avec $\begin{cases}
u(x)=3,6x+2,4\\v(x)=-0,6x
\end{cases}\imp
\begin{cases}
u'(x)=3,6\\v'(x)=-0,6
\end{cases}$

finalement, $\forall x \in [0~;~4]~,~f'(x)=(3,6-0,6(3,6x+2,4))\exp{-0,6x}=(-2,16x+2,16)\exp{-0,6x}$

\end{solution}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{solution}
		
		$\exp{-0,6x}>0$ sur $\R$ donc $f'(x)$ est du signe de $(-2,16x+2,16)=2,16(1-x)$ donc du signe de $(1-x)$
		
		 \begin{center}
			\psset{unit=1cm}
			\begin{pspicture}(9,1)
			\psframe(9,1)
			\psline(0,.5)(9,.5)\psline(1,0)(1,1)
			\uput[u](0.5,.4){$x$} \uput[u](1.4,.4){$0$} \uput[u](5,.4){$1$} \uput[u](8.5,.4){$4$} 
			\rput(0.5,.25){$f'(x)$}\rput(2.5,.25){+} \rput(5,.25){0}\rput(7,.25){-}
			\end{pspicture}
		\end{center} 
		\end{solution}
		
		\item 

\begin{solution}

 \begin{center}
			\psset{unit=1cm}
			\begin{pspicture}(9,3.5)
			\psframe(9,3.5)
			\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(0,3)(9,3)\psline(1,0)(1,3.5)
			\uput[u](0.5,2.9){$x$} \uput[u](1.4,2.9){$0$} \uput[u](5,2.9){$1$} \uput[u](8.5,2.9){$4$} 
			\rput(0.5,2.75){$f'(x)$}\rput(2.5,2.75){+} \rput(5,2.75){0}\rput(7,2.75){-}
			\uput[u](1.5,0){$1 $}
			\uput[u](5,1.5){$f(1) $}
			\uput[u](8.5,0){$f(4) $}
			\rput(0.5,1){$f(x)$}
			\psline{->}(2,0.3)(4.7,1.7)
			\psline{->}(5.3,1.7)(8,0.3)
			\end{pspicture}
		\end{center} 
		
		\vspace{0.4cm}
		$f(1)=6\exp{-0,6}-1,4\approx 1,89$\quad et \quad $f(4)=16,8\exp{-2,4}-1,4\approx 0,12$
\end{solution}

 	\end{enumerate}
 
\item  
\begin{solution}

$\integ{0}{4}{f(x)}{x}=\left[F(x) \right]_{_0}^{^4}=F(4)-F(0)=\left(-38\exp{-2,4}-5,6 \right)-\left(-14 \right) =8,4-38\exp{-2,4}\approx 4,95$ 
\end{solution}

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{solution}

$\integ{0}{0,5}{g(x)}{x}=\integ{0}{0,5}{4x^2-4x+1}{x}=\left[\dfrac{4}{3}x^3-2x^2+x \right]_{_0}^{^{0,5}}=\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} \right) -0=\dfrac{1}{6}$


\end{solution}

\item 
\begin{solution}
L'aire située au dessus de l'axe des abscisses est donnée par

 $\integ{0}{4}{f(x)}{x}-\integ{0}{0,5}{g(x)}{x}\approx 4,95-\dfrac{1}{6}\approx 4,8$

L'aire totale grisée est donc d'environ 9,6 unités d'aire soit environ 10 u.a.
\end{solution}

\end{enumerate}



\end{document}