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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
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}     
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 3 avril 2006} 
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 3 avril 2006~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\parbox{0.35\textwidth}{La courbe ci-contre $\mathcal{C}_{f}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie, continue et  dérivable sur $\left]-\infty~;~\frac{5}{2}\right]$.
%
%On note $f'$ sa fonction dérivée et $F$ la primitive de $f$ qui vérifie : $F(1) = 2\text{e}$.
%
%On précise :
%
%$\bullet~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ et pour tout \\$x < 0,~f(x) > 0$.\\
%$\bullet~$  La tangente à la courbe au point A(2~;~0) passe par le point B 
%$\left(1~;~\text{e}^2\right)$.
%
%$\bullet~ F(- 3) = \frac{6}{\text{e}^3}$.}\hfill
%\parbox{0.63\textwidth}{\psset{unit=0.69cm,linecolor=black}
%\begin{pspicture}(-6,-6)(5,8)
%\def\pshlabel#1{\small #1}
%\def\psvlabel#1{\small #1}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-6)(5,8)
%\uput[u](-2,0.5){$\mathcal{C}_{f}$}
%\psline[linewidth=1pt,linestyle=dotted](1,0)(1,7.389)(0,7.389)
%\uput[ur](2,0){A} \uput[r](1,7.389){B} \uput[l](0,7.389){exp(2)}
%\uput[dl](0,0){\small O}
%\psline(0.92,7.98)(2.81,-5.985)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{2.495}{2.71828 x exp 2 x sub mul}
%\psline{<->}(0.5,2.71828)(1.5,2.71828)
%\end{pspicture}
%}
%
%\medskip
%
%Pour chacune des huit affirmations, précisez sur votre copie si elle est vraie ou fausse (aucune justification n'est demandée et il n'est pas nécessaire de recopier l'énoncé).
%
%\emph{Barème : À chaque question est attribué} 0,5 \emph{point. Une réponse inexacte enlève } 0,25 \emph{point Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif il est ramené à zéro.}
%
%\bigskip

%{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6.5cm}|X|}\hline
%\textbf{Affirmation 1}								&	\textbf{Affirmation 5}\\
%Pour tout $x \in ]-\infty ~;~2],~f'(x) \geqslant 0$.&	$\displaystyle\int_{0}^2 f'(x)\,\text{d}x = - 2$\\  \hline
%\textbf{Affirmation 2}								&	\textbf{Affirmation 6}\\
%Le nombre dérivé en 2 de la fonction $f$ est égal à e$^2$. & La fonction  $\dfrac{1}{f}$est définie sur $]-\infty ~;~ 2]$.\\ \hline
%\textbf{Affirmation 3}								&	\textbf{Affirmation 7}\\
%La fonction $F$ présente un maximum en 2.				& La limite de la fonction $\dfrac{1}{f}$ en $- \infty$ est $+ \infty$.\\ \hline
%\textbf{Affirmation 4}								&	\textbf{Affirmation 8}\\
%L'aire de la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x =  - 3$  et $x = 1$ est égale (en unité d'aire) à $\dfrac{2\text{e}^4 - 6}{\text{e}^3}$&La courbe représentative de la fonction  $\dfrac{1}{f}$ présente une asymptote d'équation $x =2$.\\\hline
%\end{tabularx}}
\textbf{Affirmation 1} Fausse. Sur [1~;~2] la fonction est décroissante dons sur cet intervalle $f'(x) \leqslant 0$. 

\textbf{Affirmation 2} Fausse. Le nombre dérivé $f'(2)$ est égal au coefficient directeur de la droite (BA) soit : $\dfrac{0 - \text{e}^2}{2 - 1} = - \text{e}^2$

\textbf{Affirmation 3} Vraie. Sur $]- \infty~;~2[,\: F'(x) = f(x) > 0$, donc $F$ est croissante et sur $\left]2~;~\frac{5}{2}\right], \: F'(x) = f(x) < 0$, donc $F$ est décroissante. $F(2)$ est donc bien un maximum.

\textbf{Affirmation 4} Vraie. Sur $[- 3~;~1]$, la fonction $f$ est positive, donc l'aire demandée est égale à 

$\displaystyle\int_{-3}^1 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{-3}^1 = F(1) - F(- 3) = 2\text{e} - \frac{6}{\text{e}^3} = \dfrac{2\text{e}^4 - 6}{\text{e}^3}$

\textbf{Affirmation 5} Vraie. $\displaystyle\int_{0}^2 f'(x)\,\text{d}x = [f(x)]_0^2 = f(2) - f(0) = 0 - 2 = - 2$.

\textbf{Affirmation 6} Fausse. La fonction n'est pas définie en 2.

\textbf{Affirmation 7} Vraie. La fonction tend vers 0 en moins l'infini en restant positive, donc son inverse devient infiniment grand positif. 

\textbf{Affirmation 8} Vraie. Quand $x$ tend vers 2 par valeurs inférieures $\dfrac{1}{f(x)}$ tend vers plus l'infini et quand $x$ tend vers 2 par valeurs supérieures $\dfrac{1}{f(x)}$ tend vers moins l'infini.

\emph{Rem.} Une fonction plausible est la fonction définie par $x \longmapsto f(x) = (2 - x)\text{e}^x$, qui a pour primitive $x \longmapsto F(x) = (3 - x)\text{e}^x$.

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Pour passer le temps, Chloé et Margaux inventent un jeu avec leur paquet de 32 cartes à jouer et un paquet de bonbons.
%
%On rappelle que, dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleurs (pique, trèfle, cour, carreau) et, dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).
%
%\medskip
%
%Margaux propose la règle suivante :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] On tire une carte, on regarde si c'est un roi. Sans remettre la carte dans le paquet, on tire une seconde carte et on regarde si c'est un roi.
%\item[$\bullet~$] Si, sur les deux cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons ; si on a tiré deux rois, on gagne 20 bonbons ; sinon, on a perdu !
%\end{itemize}
%On note :
%
%\medskip
%
%$R_{1}$ l'évènement \og tirer un roi au premier tirage \fg{} et $\overline{R_{1}}$ son évènement contraire,
%
%$R_{2}$ l'évènement \og tirer un roi au deuxième tirage \fg{} et $\overline{R_{2}}$ son évènement contraire.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Justifier les valeurs des probabilités suivantes :

%\[P(R_{1}) = \dfrac{1}{8}\qquad P_{R_{1}}(R_{2}) = \dfrac{3}{31} \qquad P_{\overline{R_{1}}}(R_{2}) = \dfrac{4}{31}.\]
Sur les 32 cartes il y a 4 rois. Donc $P(R_{1}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.

Si on a tiré un roi il reste 31 cartes et parmi celle-ci restent 3 rois, donc 

$P_{R_{1}}(R_{2}) = \dfrac{3}{31}$.

Si l'on n'a pas tiré de roi il reste 4 rois dans les 31 cartes restantes, donc $P_{\overline{R_{1}}}(R_{2}) = \dfrac{4}{31}$.
\item ~%On traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l'arbre ci-dessous en inscrivant les probabilités, en écriture fractionnaire sur chaque branche.

\medskip

\begin{center}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$R_{1}$}\taput{$\frac{1}{8}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$R_{2}$}\taput{$\frac{3}{31}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R_{2}}$}\tbput{$\frac{28}{31}$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{R_{1}}$}\tbput{$\frac{7}{8}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$R_{2}$}\taput{$\frac{4}{31}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R_{2}}$}\tbput{$\frac{27}{31}$}
 		}
}		
		 \end{center}

\medskip

%\emph{Dans ce qui suit, les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.}
\item %Calculer la probabilité des évènements :

%A \og tirer un roi au premier tirage et au deuxième tirage \fg{} ;
$P(\text{A}) = P\left(R_1 \cap R_2 \right) = P\left(R_1 \right) \times P_{R_1}\left(R_2 \right) = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{3}{31} = \dfrac{3}{248}\approx 0,012$.
%B \og tirer un roi à un seul des deux tirages \fg{}

$P(\text{B})  = P\left(R_1 \cap \overline{R_2} \right) + P\left(\overline{R_1} \cap R_2 \right) = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{28}{31} + \dfrac{7}{8} \times \dfrac{4}{31} = \dfrac{28 + 28}{8 \times 31} = \dfrac{7}{31} \approx 0,226$.
\item ~%On s'intéresse au nombre $X$ de bonbons gagnés après deux tirages.

%Recopier et compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de $X$.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.75}
\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de bonbons $x_{i}$&0					&10					&20\\ \hline
$P\left(X = x_{i}\right)$&$\frac{189}{248}$ &$\frac{56}{248}$	&$\frac{3}{248}$ \\ \hline
\end{tabularx}\]

\medskip 
 
\item %Calculer l'espérance mathématique E de cette loi, arrondie au dixième.
On a E$(X) = 0 \times \frac{189}{248} + 10 \times \frac{56}{248} + 20 \times \frac{3}{248} = \frac{560 + 60}{248} = \frac{620}{248} = \frac{155}{62} = \frac{5\times 31}{2 \times 31} = \frac{5}{2} = 2,5$~(bonbons)

Ceci signifie qu'en moyenne sur 10 parties on gagnera environ 25 bonbons.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l'exclusivité de l'acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que le nombre de touristes transportés pendant chaque saison est stable.
%
%La société \og Alizés \fg{} a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005 afin de prévoir l'évolution de la capacité d'accueil de ses navires.
%
%L'analyse des résultats a conduit au modèle suivant : d'une année sur l'autre, la société \og Alizés \fg, notée A, conserve 80\,\% de sa clientèle et récupère 15\,\% des clients de la société concurrente, notée B.
% 
%\medskip
% 
%Pour tout entier naturel $n$, on note pour la saison $(2005 + n)$ :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $a_{n}$ la probabilité qu'un touriste ait choisi la société Alizés (A),
%\item[$\bullet~$] $b_{n}$ la probabilité qu'un touriste ait choisi l'autre société de transport (B),
%\item[$\bullet~$] $P_{n}	= \left(a_{n}~~ b_{n}\right)$, la matrice traduisant l'état probabiliste, avec $a_{n }+ b_{n}  = 1$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%\emph{Les résultats pour les probabilités seront arrondies à} $10^{-4}$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Modéliser le changement de situation par un graphe probabiliste de sommets nommés A et B.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(5,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(0,1){$0,8$} \rput(5.2,1){$0,85$}
\rput(2.5,2.2){$0,2$} \rput(2.5,-0.2){$0,15$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %On note $M$ la matrice de transition de ce graphe. Recopier et compléter sur la copie la matrice suivante : 
$M = \begin{pmatrix}0,8		& 0,2\\0,15 	& 0,85\\\end{pmatrix}$
	\end{enumerate}
\item %En 2005, la société \og Alizés \fg{} a transporté 45\,\% des touristes. On a donc $a_{0} = 0,45$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité qu'un touriste choisisse la société \og Alizés \fg{} en 2006.
On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,45&0,55\end{pmatrix}$ et on sait que :

$P_1 = P_0 \times M = \begin{pmatrix}0,45&0,55\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,15 	&0,85\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\np{0,4425}&\np{0,5575} \end{pmatrix}$.

		\item %Déterminer la matrice $P_{2}$ et interpréter ces résultats.
De même $P_2 = P_1 \times M = \begin{pmatrix}\np{0,4425}&\np{0,5575}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,15 	&0,85\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\np{0,437625}&\np{0,562375} \end{pmatrix}$.

Cela signifie que la deuxième année et la troisième année la société A sera choisie à 44,25\,\% et respectivement 43,76\,\%.
	\end{enumerate}
\item %Soit $P = (a \quad b)$ avec $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a+b =1$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $a$ et $b$ tels que $P = P \times M$.
On a $P = P \times M \iff \begin{pmatrix}a&b \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}a&b \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,15 	&0,85\end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&0,8a + 0,15b\\
b&=&0,2a + 0,85b\\
a + b&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,2a - 0,15b&=&0\\
0,2a - 0,15b&=&0\\
 b&=&1 - a
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,2a - 0,15(1 - a)&=&0\\
b&=&1 - a
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,35a &=&0,15\\
b&=&1 - a
\end{array}\right.$

$ \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a &=&\frac{15}{35}\\
b&=&1 - a
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a &=&\frac{3}{7}\\
b&=&\frac{4}{7}
\end{array}\right.$

Donc $P = \begin{pmatrix}\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{pmatrix}$.
		\item %En déduire $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} a_{n}$.
Comme il n'y a pas de terme nul dans $M$ l'état $P_n$ tend vers un état stable $P$ indépendant de l'état initial tel que  $P = P \times M $.
		
Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = \dfrac{3}{7}$.
		\item %Interpréter ce résultat.
Le dernier résultat montre qu'à terme 3 touristes sur 7 choisiront la société A.
	\end{enumerate}
\item %On admet qu'en 2015, la probabilité qu'un touriste choisisse la société A est $\dfrac{3}{7}$. On interroge quatre touristes choisis au hasard ; les choix des touristes sont indépendants les uns des autres.

%Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société \og Alizés \fg{} pour ses vacances en 2015.
La probabilité qu'aucun des quatre ne choisisse la société A ; la probabilité de cet évènement est $\left(1 - \dfrac{3}{7}\right)^4 = \left(\dfrac{4}{7}\right)^4$.

Donc la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société \og Alizés \fg{} pour ses vacances en 2015 est égale à :

$1 - \left(\dfrac{4}{7}\right)^4  = 1 - \dfrac{256}{\np{2401}} = \dfrac{\np{2145}}{\np{2401}} \approx \np{0,89337}$, soit \np{0,8934} à $10^{- 4}$ près.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété algébrique fondamentale de la fonction
%logarithme népérien notée $\ln$.
%
%\textbf{Propriété fondamentale :}
%
%\medskip
%
%\emph{Pour tous réels strictement positifs} $a$ \emph{et} $b,~\ln (ab) = \ln a + \ln b$.
%
%\begin{center}  \textbf{Rappels} \end{center}
%
%On rappelle les résultats de cours suivants, auxquels le candidat fera clairement référence pour justifier chacune de ses affirmations au cours des étapes de la démonstration (on pourra en rappeler le numéro).
%
%\textbf{Théorème 1 :} Sur un intervalle I, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
%
%\textbf{Théorème 2 :}  Soit $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction composée définie par $x \mapsto \ln[u(x)]$ est dérivable sur I, de fonction dérivée $x \mapsto \dfrac{u'(x)}{ u(x)}$.
%
%\textbf{Théorème 3 :}  La somme $f$ de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ sur un même intervalle I est dérivable sur I et $f' = u' + v'$.
%
%\textbf{Définition} $\ln 1 = 0$.
%
%\medskip
%
%\begin{center}  \textbf{Énoncé de l'exercice} \end{center}
%
%Soit $a$ un réel constant strictement positif.
%
%On considère les fonctions $f$ et $g$, de la  variable $x$, définies sur $0 ~;~+\infty[$ par : 
%
%\[f(x) = \ln (ax) \quad  \text{et} \quad   g(x) = \ln a + \ln x.\]
%
%\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

%Dans le cas où $a = 2$, donner les fonctions dérivées de $f~:~x\mapsto \ln (2x)$ et
Sur $0 ~;~+\infty[$ :

$f'(x) = \dfrac{2}{2x} = \dfrac{1}{x}$ ;\: %$g~:~x \mapsto \ln 2 + \ln x$.
$g'(x) = 0 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}$.
\medskip

\textbf{Partie 2 :  démonstration de la propriété}

\begin{enumerate}
\item %Calculer et comparer les dérivées de $f$ et de $g$ dans le cas général où $a$ est un réel constant strictement positif.
sur $0 ~;~+\infty[$ :

$\bullet~~f'(x) = \dfrac{a}{ax} = \dfrac{1}{x}$ car $a \ne 0$ ;

$\bullet~~g'(x) = 0 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}$
\item %Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe un réel $k$ tel que, pour tout 

%$x \in ]0~;~+\infty[,~f(x) = g(x) + k$ ?
On remarque que $f'(x) = g'(x) \iff f'(x) - g'(x) = 0 \Rightarrow f(x) - g(x) = k \iff f(x) = g(x) + k$ avec $k \in \R$.
\item %En posant $x = 1$, déterminer la valeur de $k$.
On a donc $f(x) = g(x) + k \Rightarrow f(1) = g(1) + k \iff \ln a = \ln a  + \ln 1 + k \iff 0 = k$
\item %Justifier la propriété fondamentale de la fonction $\ln$ énoncée en début d'exercice.
On a donc finalement $f(x) = g(x) \iff \ln ax = \ln a + \ln x$ (le logarithme népérien transforme le produit en une somme).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

%Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur [0 ; 9] par 
%
%\[f(x) = \dfrac{10}{1 + x} - 1 \quad\text{et}\quad g(x) = \dfrac{x}{2}.\]

\begin{enumerate}
\item %Résoudre algébriquement l'équation : $f(x) = g(x)$.
Sur [0~;~9], $f(x) = g(x) \iff \dfrac{10}{1 + x} - 1 =  \dfrac{x}{2} \iff 10 - (1 + x) = \dfrac{1}{2}x(1 + x) \iff  $

$20 - 2 - 2x = x + x^2 \iff x^2 + 3x  - 18 = 0$.

On a $\Delta = (- 3)^2 - 4\times 1 \times (- 18) = 9 + 72 = 81 > 0$. L'équation a donc deux solutions dans $\R$ :

\[x_1 = \dfrac{- 3 + \sqrt{81}}{2} = 3  \quad \text{et} \quad x_1 = \dfrac{- 3 - 9}{2} = - 6.\]

Dans [0~;~9] il n'y a que la solution $3$.

\item %Calculer l'intégrale : I $ = \displaystyle\int_{3}^9 f(x)\,\text{d}x$ ;
%on donnera la valeur exacte de I.
I = $\displaystyle\int_{3}^9 \left(\dfrac{10}{1 + x} - 1\right)\,\text{d}x = \left[10\ln (1 + x) - x  \right]_3^9 = 10\ln (1 + 9) - 9   - \left[ 10\ln (1 + 3) - 3   \right] =$

$ 10\ln 10 - 10\ln 4 - 6 = 10(\ln 10 - \ln 4) - 6 = 10\ln \left(\frac{10}{4}\right) - 6 = 10\ln \left(\frac{5}{2}\right) - 6$.
\end{enumerate}

\bigskip

%\parbox{0.36\textwidth}{Partie 2

%\medskip

%Un produit conditionné en boite est mis sur le marché. On désigne par $x$ le prix d'une boîte de ce produit en dizaines d'euros.
%
%On admet que la quantité achetée par les consommateurs, en fonction du prix $x$ appliqué sur le marché, est donnée par $f(x)$ en centaines de boîtes.
% 
%On admet que la quantité proposée sur le marché par les producteurs, en fonction du prix de vente $x$ auquel les producteurs sont disposés à vendre, est donnée par $g(x)$ en centaines de boîtes.
%
%Sur le graphique ci-contre, sont tracées dans un repère orthonormal les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.} \hfill
%\parbox{0.58\textwidth}{\psset{unit=0.68cm} \begin{pspicture}(10,10)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(10,10)
%\psline(0,0)(10,5)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{10 1 x add div 1 sub}
%\uput[ul](3,0){A} \uput[u](3,1.5){E} \uput[u](1.65,4){$y = f(x)$}
%\uput[u](8,4){$y = g(x)$}
%\uput[u](9,0){prix} \uput[r](0,9){quantités}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{9}{10 1 x add div 1 sub}
%\psline(9,0)(3,0)}
%\psline(3,0)(3,1.5)
%\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item %On pourra utiliser le graphique pour conjecturer les réponses aux questions suivantes, puis on les justifiera algébriquement.
	\begin{enumerate}
		\item %Combien de boîtes seront achetées par les consommateurs si le prix de vente est de $40$~euros la boite ?
On voit sur le graphique que pour $x = 4$, soit 40~\euro{} 1 boîte sa achetée.

Par le calcul : $f(4) = \dfrac{10}{1 + 4} - 1 = 2 - 1 = 1$, soit 100~boîtes. 
		\item %Lorsque l'offre est égale à la demande, le marché a atteint son équilibre. Donner le prix d'équilibre, en euros, et le nombre de boîtes correspondant.
On voit sur le graphique que le prix d'équilibre est égal à $x = 3$ soit 30~\euro.

La résolution algébrique de l'équation $f(x) = g(x)$  a été faite dans la partie 1, on a trouvé la solution $x = 3$ soit 30~\euro{} pour une production de 150~boîtes.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %D'après le graphique, les producteurs étaient disposés à vendre les boîtes à un prix inférieur au prix d'équilibre. On appelle surplus des producteurs le gain réalisé en vendant les boîtes au prix d'équilibre. Ce gain est donné en milliers d'euros par l'aire du triangle OAE (1 unité d'aire = 1~millier d'euros). Calculer ce surplus en euros.
L'aire du triangle OAE est égale à $\dfrac{\text{OA} \times \text{AE}}{2} = \dfrac{3\times 1,5}{2} = 2,25$~unité d'aire soit $2,5 \times \np{1000} = \np{2250}$~\euro.
		
Le surplus des producteurs est égal à \np{2250}~\euro.
		\item %Le surplus des consommateurs est l'économie réalisée par les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher que le prix d'équilibre. Ce surplus est donné, en milliers d'euros, par l'aire de la partie grisée du plan sur le graphique $(3 \leqslant  x \leqslant 9)$. Préciser quelle intégrale permet de calculer ce surplus et en donner l'arrondi à l'euro.
Sur l'intervalle [3~;~9], la fonction $f$ est positive, donc l'aire de la surface, en unité d'aire, limitée par la courbe l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 3$ et $x = 9$ est égale à l'intégrale :

I$ = \displaystyle\int_{3}^9 f(x)\,\text{d}x$, intégrale calculée dans la partie 1, égale à $10\ln \frac{5}{2} - 6 \approx \np{3,1629}$, soit à l'euro près \np{3163}~\euro.

Le surplus des consommateurs est à l'euro près \np{3163}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}