\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}  
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{pifont} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
\setlength{\voffset}{-1,5cm} 
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Pondichéry 16 avril 2008},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}     
\usepackage[frenchb]{babel} 
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 16 avril 2008} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 16 avril 2008 ~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. 
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}
%
%\medskip
%
%\emph{Barème : une bonne réponse rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le prix d'un produit dérivé du pétrole a augmenté de 60\,\% durant l'année 2005. Pour revenir à sa valeur initiale, ce prix doit baisser de
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 70\,\%.
%\item[$\bullet~$] 60\,\%.
%\item[$\bullet~$] 40\,\%.
%\item[$\bullet~$] 37,5\,\%.
%\end{itemize}
Si $t$ est le pourcentage de baisse, on doit avoir :

$(1 + 0,6) \times (1 - t) = 1 \iff 1 - t = \dfrac{1}{1,6} \iff t = 1 - \dfrac{1}{1,6} = 0,375$ soit une baisse de 37,5\,\%.
\item %Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux évènements indépendants A et B qui vérifient P(A) = $0,3$ et P(B) = $0,5$. On a alors:
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] P(A ~$\cup$~B) = $0,65$.
%\item[$\bullet~$] P(A~$\cup$~B) = $0,8$.
%\item[$\bullet~$] P(A~$\cup$~B) = $0,15$.
%\item[$\bullet~$] Les données ne permettent pas de calculer P(A ~$\cup$~ B).
% \end{itemize}
On a P(A~$\cup$~B) = $p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A}) \times p(\text{B})$ car les évènements sont indépendants.

Donc P(A~$\cup$~B) = $0,3 + 0,5 - 0,15 = 0,65$.
\item %$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0~;+\infty[$ par $f(x) = 2x - 1+ \dfrac{1}{x}$.

%La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan admet pour
%asymptote la droite d'équation :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $y=0$.
%\item[$\bullet~$] $y=2x - 1$.
%\item[$\bullet~$] $x =  2$
%\item[$\bullet~$] $y = -x + 1$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
On a $f(x) - (2x - 1) = \dfrac{1}{x}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - (2x - 1) = 0$, ce qui signifie que la droite dont une équation est $y = 2x - 1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de plus l'infini.
\item %Le nombre A $= 2\ln \left(\dfrac{\text{e}}{4}\right) + 5\ln 2 + \ln\left(\dfrac{8}{\text{e}} \right)$ est égal à :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $1+4\ln 2$.
%\item[$\bullet~$] $4\ln 2 + 3$.
%\item[$\bullet~$] $2\ln 5 + 1$.
%\item[$\bullet~$] $8\ln 2$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
A $ = 2\ln \text{e} - 2\ln 4 + 5\ln 2 + \ln 8 - \ln \text{e} = \ln \text{e} - 2 \ln 2^2 + 5\ln 2 + \ln 2^3 =$

$ 1 - 4\ln 2 + 5\ln 2 + 3\ln 2 = 1 + 4\ln 2$.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations : la destination A, la destination G et la destination M.
%
%50\,\% des clients choisissent la destination A ;
% 
%30\,\% des clients choisissent la destination G ;
% 
%20\,\% des clients choisissent la destination M.
%
%\medskip
%  
%Au retour de leur voyage, tous les clients de l'agence répondent à une enquête de satisfaction.
%
%Le dépouillement des réponses à ce questionnaire permet de dire que 90\,\% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80\,\% des clients ayant choisi la destination G.
%  
%On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis.
%
%On note les évènements :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] A : \og le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination A \fg{};
%\item[$\bullet~$] G : \og le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination G \fg{};
%\item[$\bullet~$] M : \og le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination M \fg{};
%\item[$\bullet~$] $\overline{\text{S}}$ :  \og le questionnaire est celui d'un client satisfait \fg{};
%\item[$\bullet~$] S \og  le questionnaire est celui d'un client insatisfait \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  ~%Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,5}}
	{\TR{$S$}\taput{\red 0,6}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{\red 0,4}
	}
\pstree{\TR{$G$~}\taput{0,3}}
	{\TR{$S$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,2}
	}
\pstree{\TR{$M$~}\tbput{0,2}}
	{\TR{$S$}\taput{0,9}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,1}
	}
}
\end{center}
\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Traduire par une phrase les évènements G ~$\cap~$S  et M ~$\cap~$ S puis calculer les probabilités P(G~$\cap~$S) et P(M~$\cap~$S).
$G \cap S$ : \og le client a choisi la destination G et a été satisfait \fg{};

$M \cap S$ : \og le client a choisi la destination M et a été satisfait \fg{};

$p(G \cap S) = p(G) \times p_G(S) = 0,3 \times 0,8 = 0,24$ ;

$p(M \cap S) = p(M) \times p_M(S) = 0,2 \times 0,9 = 0,18$.
		\item %L'enquête montre que 72\,\% des clients de l'agence sont satisfaits. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer P(A ~$\cap~$ S).
On a donc $p(S) = 0,72$. D'après la loi des probabilités totales on a :

$p(S) = p(A \cap S)  + p(G \cap S) + p(M \cap S) \iff$

$ p(A \cap S) = p(S) - p(G \cap S) - p(M \cap S) = 0,72 - 0,24 - 0,18 = 0,3$.
		\item %En déduire P$_{\text{A}}$(S), probabilité de l'évènement S sachant que l'évènement A est réalisé.
$p_A(S) = \dfrac{p(A \cap S)}{p_A} = \dfrac{0,3}{0,5} = 0,6$.
	\end{enumerate}
\item %Le questionnaire prélevé est celui d'un client qui est satisfait.

%Le client a omis de préciser quelle destination il avait choisie.

%Déterminer la probabilité qu'il ait choisi la destination G (\emph{on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible}).
Il faut trouver $p_S(G) = \dfrac{p(S \cap G)}{p(S)} = \dfrac{0,24}{0,72} = \dfrac{1}{3}$.
\item %On prélève successivement au hasard trois questionnaires dans la pile d'enquêtes. On suppose que le nombre de questionnaires est suffisamment élevé pour considérer que les tirages successifs sont indépendants.

%Calculer la probabilité de l'évènement : \og  les trois questionnaires sont ceux de clients insatisfaits \fg{} (\emph{on donnera le résultat arrondi au millième}).
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = p\left(\overline{S} \right) = 1 - 0,72 = 0,28$.

La probabilité que les trois soient insatisfaits est $0,28^3 = \np{0,021952} \approx 0,022$ au millième près.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 	
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Un centre d'appel comptait en 2001 soixante-six employés. Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre d'employés en fonction du rang de l'année.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année					&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}	$	&	 1&	2&	3&	4&	5&	6&	7\\ \hline
%Nombre d'employés	 $y_{i}$&66&104&130&207&290&345&428\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On cherche à étudier l'évolution du nombre $y$ d'employés en fonction du rang $x$ de l'année.
%
%Une étude graphique montre qu'un ajustement affine ne convient pas.
% 
%\medskip
%
%On pose alors $z = \sqrt{y} - 3$.

\begin{enumerate}
\item  ~%Recopier et compléter le tableau suivant (\emph{on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième})

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année $x_{i}$	&1 		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
$z_{i}$					&5,12	&7,20 	&8,40  	&11,39 	&14,03  &15,57  &17,69\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item ~%Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ associé à cette série statistique, dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm.

%Un ajustement affine vous paraît-il approprié ? Justifier la réponse.
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,0)(8,13)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=5,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(8,13)
\psdots(1,0.12)(2,2.2)(3,3.4)(4,6.39)(5,9.03)(6,10.57)(7,12.69)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{7}{2.15 x mul 2.24 sub}
\uput[d](7.9,0){$x$}
\uput[l](0,12.9){$z$}
\end{pspicture}
\end{center}

Un ajustement affine  paraît approprié car les points sont pratiquement alignés.
\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (\emph{on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis au centième}).
La calculatrice donne avec des coefficients arrondis au centième : 

$z = 2,15x + 2,76$
%Tracer cette droite sur le graphique précédent.
\item 	%En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l'effectif de ce centre d'appel dépassera $900$~employés ?
$x = 900$ correspond à $z = \sqrt{900} - 3 = 30 - 3 = 27$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$2,15x + 2,76 > 27 \iff 2,15x > 24,24 \iff x > \dfrac{24,24}{2,15} \approx 11,3$.

Il faut donc attendre  2012 qui correspond à $x = 12$ selon cet ajustement pour que  l'effectif de ce centre d'appel dépasse $900$~employés.
\end{enumerate}

\newpage 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\textbf{Les trois parties sont indépendantes}
%
%\medskip
%
%On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par
% 
%\[f(x) = (ax +  b) \text{e}^{x - 1} + c,\]
%
%où $a,\,b$ et $c$ sont trois réels que l'on se propose de déterminer dans la partie A.
% 
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
%  
%La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal est représentée ci-dessous.
%   
%La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(1 ; 5), elle admet la droite $\mathcal{D}$ comme tangente en ce point.
%    
%Le point B(0 ; 2) appartient à la droite $\mathcal{D}$.
%
%La courbe $\mathcal{C}$ admet également une tangente horizontale au point d'abscisse $- \dfrac{1}{2}.$
%
%\medskip
%
\begin{center}\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-0.667)(2.667,8)

\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=3,gridwidth=0.3pt,griddots=8,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-5,0)(2.667,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,0)(2.667,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1pt]{-0.8}{2.}{x 3 mul 2 add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.6}{2.71828 x 1 sub exp 2 x mul 1 sub mul 4 add}
\psline{<->}(-1.333,3.5537)(0.333,3.5537)
\uput[r](1,5){A} \uput[r](0,2){B} \uput[u](-3.5,4){\blue $\mathcal{C}$} \uput[r](1.5,6.66){$\mathcal{D}$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp 2 x mul 1 sub mul 4 add}
\psline(1,0)(0,0)} 
\end{pspicture}
\end{center}
% 
%\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie  A} \end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Préciser les valeurs de $f(1)$ et $f'\left(- \dfrac{1}{2}\right)$.
On lit $f(1) = 5$ et $f'\left(- \dfrac{1}{2}\right) = 0$.
		\item  %Déterminer le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$. En déduire $f'(1)$.
Coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$ : $\dfrac{y_{\text{A}} - y_{\text{B}}}{x_{\text{A}} - x_{\text{B}}} = \dfrac{5 - 2}{1 - 0} = 3$.

Ce coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(1) = 3$.
	\end{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = (ax + a + b)\text{e}^{x-1}$.
De $f(x) = (ax +  b) \text{e}^{x - 1} + c$, on déduit que :

$f'(x) = a\text{e}^{x - 1} + (ax +  b) \times 1 \text{e}^{x - 1} =  \text{e}^{x - 1}(a + ax + b) =  \text{e}^{x - 1}(ax + a + b)$.
\item %Montrer que $a,~b$ et $c$ vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l cl}
%a+b+c &=&5\\
%a+2b&=&0\\
%2a+b&=&3\\
%\end{array}\right.$.
%
%Déterminer les valeurs de $a,\: b$ et $c$.
Les trois données $f(1) = 5,\:f'\left(- \dfrac{1}{2}\right) = 0$ et $f'(1) = 3$ se traduisent par le système :

$\left\{\begin{array}{l cl}
\text{e}^0(a  + b) + c&=&5\\
\text{e}^{- \frac{1}{2} - 1}(a\times \left(- \frac{1}{2}  \right) + a + b)&=&0\\
\text{e}^{0}(a\times 1 + a + b)&=&3
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l cl}
a + b + c&=&5\\
\text{e}^{- \frac{3}{2}}\left(\frac{a}{2} + b \right) &=& 0\\
2a + b&=&3\\
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l cl}
a + b + c&=&5\\
\frac{a}{2} + b&=&0\\
2a + b&=&3
\end{array}\right. $

$\iff
\left\{\begin{array}{l cl}
a + b + c&=&5\\
a + 2b&=&0\\
2a + b&=&3
\end{array}\right.
\iff 
\left\{\begin{array}{l cl}
a + b + c&=&5\\
2a + 4b&=&0\\
2a + b&=&3
\end{array}\right. \Rightarrow 
\left\{\begin{array}{l cl}
a + b + c&=&5\\
3b&=&- 3\\
a + 2b&=&0
\end{array}\right.$

On en déduit $b = - 1$ puis $a = - 2b = + 2$ et enfin $c = 5 - (a + b) = 5 - (2 - 1) = 4$.

Finalement  : $f(x) = (2x - 1)\text{e}^{x - 1} + 4$.
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{Partie  B} \end{center}
On admet pour la suite de l'exercice que, pour tout réel $x, ~f(x) = (2x - 1)\text{e}^{x-1} +4$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (2x - 1) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{X \to + \infty}\text{e}^X = + \infty$ (avec $X = x - 1$), donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = + \infty$.
		\item %Vérifier que, pour tout réel $x,~f(x) = \dfrac{2}{\text{e}}x\text{e}^x - \dfrac{1}{\text{e}}\text{e}^x +4$.\\
$f(x) = (2x - 1)\text{e}^{x - 1} + 4 = f(x) = (2x - 1)\text{e}^{x}\times \text{e}^{- 1} + 4 = 2x\text{e}^{x}\times \text{e}^{- 1} - \text{e}^{x}\times \text{e}^{- 1} + 4 = \dfrac{2}{\text{e}} x\text{e}^{x} - \dfrac{1}{\text{e}}\text{e}^{x} + 4$.
		 
%En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^x = 0$).
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$ d'où par somme de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 4$.

%Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
Graphiquement ce résultat montre que la droite dont une équation est $y = 4$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$.
Sur $\R$, on a $f'(x) = 2\text{e}^{x - 1} + (2x - 1)\times 1\text{e}^{x - 1} = \text{e}^{x - 1}(2x - 1 + 2) = \text{e}^{x - 1}(2x + 1)$.
		\item %Établir le tableau de variations de $f$.
Comme $\text{e}^{x - 1} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x) $ est celui de $2x + 1$.

Si $x < - \frac{1}{2}$, \:$f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur $\left]- \infty~;~- \frac{1}{2}\right[$.

Si $x > - \frac{1}{2}$, \:$f'(x) > 0$ : la fonction est croissante sur $\left]- \frac{1}{2} ~;~+ \infty\right[$.

La fonction décroit de 4 (non atteinte) à $f\left(- \frac{1}{2} \right) = - 2\text{e}^{-\frac{3}{2}} + 4 \approx 3,55$, puis croit de $f\left(- \frac{1}{2} \right) > 0$ à plus l'infini.

Le minimum de la fonction est supérieure à zéro : la fonction est strictement positive sur $\R$.
		
Déterminer le signe de $f(x)$ pour tout réel $x$.
		\item %Montrer que l'équation $f(x) =  6$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~2]. On donnera un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1$.
On a vu que pour $x < - \frac{1}{2},\:\: f(x) < 4$ : il n'y a donc pas de solution sur $\left]- \infty~;~- \frac{1}{2}\right[$.

Par contre sur 	$\left]- \frac{1}{2} ~;~+ \infty\right[$ la fonction est continue car dérivable et strictement croissante d'une valeur à peu près égale à $3,55 < 6$ à plus l'infini : d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un réel unique $\alpha$ de cet intervalle tel que $f(\alpha) = 6$.

La calculatrice donne :

$f(1) = 5$ et $f(2) \approx 12,2$, donc $1 < \alpha < 2$ ;

$f(1,2) \approx 5,7$ et $f(1,3) \approx 6,2$, donc $1,2 < \alpha < 1,3$.	
\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie  C} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  %On considère la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ par

%\[F(x) = (2x -3)\text{e}^{x-1} + 4x\]

%Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
$F$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = 2\text{e}^{x-1} + (2x - 3)\text{e}^{x-1} + 4 = \text{e}^{x-1}(2x - 3 + 2) + 4 = (2x + 1)\text{e}^{x-1} + 4 = f(x)$ : $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\R$.
\item  %Soit $\Delta$ la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

%Calculer l'aire de la partie $\Delta$ exprimée en unités d'aire ; on donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au dixième.
Sur l'intervalle [0~;~1], la fonction est positive, donc l'aire de la surface est égale à :

$\displaystyle\int_0^1 f(x) \:\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0) = (2\times 1 - 3)\text{e}^{1-1} + 4\times 1 - \left[(2\times 0 - 3)\text{e}^{0-1} + 4\times 0  \right] = - 1 + 4 + 3\text{e}^{-1} = 3 + 3\text{e}^{-1} = 3 \left(1 + \dfrac{1}{\text{e}} \right) \approx 4,1$~unités d'aire (ce que l'on vérifie visuellement sur la figure ci-dessus).
\end{enumerate}
\end{document}