\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}  
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{pifont}
\usepackage{array} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
\setlength{\voffset}{-1,5cm} 
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel} 
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 13 avril 2011}  
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry  13 avril 2011~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip

%Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] un assortiment de macarons, choisi par 50\,\% des clients; 
%\item[$\bullet~$] une part de tarte tatin, choisie par 30\,\% des clients.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%20\,\% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.
%
%\medskip
% 
%Le restaurateur a remarqué que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80\,\% prennent un café ; 
%\item[$\bullet~$] parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60\,\% prennent un café; 
%\item[$\bullet~$] parmi les clients n'ayant pas pris de dessert, 90\,\% prennent un café.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note $p$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
%
%\medskip
% 
%On note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $M$ l'évènement : \og Le client prend un assortiment de macarons \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] $T$ l'évènement : \og Le client prend une part de tarte tatin \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] $P$ l'évènement : \og Le client ne prend pas de dessert \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] $C$ l'évènement : \og Le client prend un café \fg{} et $\overline{C}$ l'évènement contraire de $C$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %En utilisant les données de l'énoncé, préciser la valeur de $p(T)$ et celle de $P_{T}(C)$, probabilité de l'évènement $C$ sachant que $T$ est réalisé.
On a $p(T) = 0,3$ et  $P_{T}(C)  = 0,6$.
\item Recopier et compléter l'arbre ci-dessous: 

\medskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$}\taput{0,5}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,2}	   
	  }
	\pstree{\TR{$T$}\taput{0,3}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{0,6}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,4}
	  }
	\pstree{\TR{$P$}\tbput{0,2}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{0,9}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,1}
	  }	
}
\end{center}

\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer par une phrase ce que représente l'évènement $M \cap C$ puis calculer $p(M \cap C)$.
$M \cap C$ représente l'évènement \og le client a pris un macaron \textbf{et} un café \fg.

On a  $p(M \cap C) = p(M) \times p_M(C) = 0,5 \times 0,8 = 0,4$.
		\item %Montrer que $p(C) = 0,76$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(C) = p(M \cap C) + p(T \cap C) + p(P \cap C)$.

$p(T \cap C) = p(T) \times p_T(C) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$ ;

$p(P \cap C) = p(P) \times p_P(C) = 0,2 \times 0,9 = 0,18$ ;

Donc $p(C) = 0,4 + 0,18 + 0,18 = 0,76$.
	\end{enumerate} 
\item %Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café? (\emph{On donnera le résultat arrondi au centième}).
Il faut trouver $p_C (M) = \dfrac{p(C \cap M)}{p(C)} = \dfrac{0,4}{0,76} = \dfrac{40}{76} = \dfrac{10}{19} \approx 0,53$ à 0,01 près.
\item %Un assortiment de macarons est vendu 6~\euro, une part de tarte tatin est vendue 7~\euro, et un café est vendu 2~\euro.
 
%Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18~\euro, ne prend pas plus d'un dessert ni plus d'un café.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ? 
$P + M + C$ : 18 + 6 + 2 = 26~\euro ;

$P + M$ : 18 + 6 = 24~\euro ;

$P + T + C$ : 18 + 7 + 2 = 27~\euro ;

$P + T$ : 18 + 7 = 25~\euro ;

$P + C$  : 18 + 2 = 20~\euro ;

$P$ : 18~\euro
		\item %Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Sommes $s_{i}$			& 18 &20 	&24		&25		&26		&27\\ \hline
$p\left(s_{i}\right)$	&0,02&0,18	&0,1	&0,12	&0,4	&0,18\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
		\item  %Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.
E $ = 18 \times 0,02 + 20 \times0,18 + 24 \times0,1 + 25 \times0,12 + 26 \times 0,4 + 27 \times 0,18 = 24,62$~(\euro).

Sur un grand nombre de repas la recette par client s'élève à 24,62~\euro. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip

%La courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] La tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A(0 ; 3) passe par le point B(1~;~5). 
%\item[$\bullet~$] La droite D d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $+ \infty$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1.25cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-2,-1)(5.5,5.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-2,-1)(5.5,5.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(5.5,5.5)
%\psline[linewidth=1.5pt](-2,1)(5.5,1)
%\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{1.25}{2 x mul 3 add}
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{-2}{5.2}{4 x mul 2 add 2.71828 x exp div 1 add}
%
%\uput[dl](0,0){O}\uput[u](4.8,1.2){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[d](4.8,1){D}
%\uput[dr](0,3){A}\uput[r](1,5){B}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données et le graphique, préciser : 
	\begin{enumerate}
		\item %La valeur du réel $f(0)$ et la valeur du réel $f'(0)$.
On lit $f(0) = 3$ et $f'(0) = \dfrac{2}{1} = 2$. 
		\item %La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
Il semble que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$. 
	\end{enumerate}
\item %Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A.
$M(x~;~y) \in \text{T} \iff y - f(0) = f'(0) (x - 0) \iff y - 3 = 2x \iff y = 2x + 3$. 
\item %Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
On voit que l'aire est comprise entre 3 et 4 unités d'aire. 
\item %On admet que la fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$, par une expression de la forme $f(x) = 1 + \dfrac{ax + b}{\text{e}^x}$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$, de $b$ et de $x$.
$f'(x)  = \dfrac{a \text{e}^x - \text{e}^x(ax + b)}{\left(\text{e}^x\right)^2} = \dfrac{\text{e}^x(a - b - ax)}{\left(\text{e}^x\right)^2} = \dfrac{a - b - ax}{\text{e}^x}$ ;


		\item %À l'aide des résultats de la question 1. a., démontrer que l'on a, pour tout réel $x$ : 
$f(0) = 3 \iff 1 + \dfrac{b}{\text{e}^0} = 3 \iff 1 + b = 3 \iff b = 2$ ;

$f'(0) = 2 \iff \dfrac{a - b }{\text{e}^0} = 2 \iff a - 2 = 2 \iff a = 4$. Finalement :

\[f(x) = 1 +  \dfrac{4x + 2}{\text{e}^x}.\] 
 
	\end{enumerate}
\item %Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $F(x) = x + \dfrac{- 4x -6}{\text{e}^x}$. On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
 
%Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
La fonction étant positive sur l'intervalle [0~;~1], l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$ est égale à :

$\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x)\right]_0^1 = F(1) - F(0) = 1 + \dfrac{- 4\times 1 - 6}{\text{e}^1} - \left[0 + \dfrac{- 4\times 0 - 6}{\text{e}^0} \right] =$

$ 1 - \dfrac{10}{\text{e}} + 6   = 7 - \dfrac{10}{\text{e}}$~(u. a.).
 
%Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 3. ?
On a $7 - \dfrac{10}{\text{e}} \approx 3,3$ : le  résultat est cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 3.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\bigskip
 
%Le responsable d'un site Internet s'intéresse au nombre de pages visitées sur son site chaque semaine.
%
%\medskip
 
\begin{center}\textbf{PARTIE A} \end{center} 

%Le tableau ci-dessous donne le nombre de pages visitées, exprimé en milliers, durant chacune des quatre semaines suivant l'ouverture du site.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Semaine $x_{i}, \,\,1 \leqslant i \leqslant 4$& 1 &2 &3 &4\\ \hline% 
%Nombre de pages visitées en milliers : $y_{i},\,\,1 \leqslant i \leqslant 4$& 40 &45 &55 &70\\ \hline%  
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Ainsi, au cours de la deuxième semaine après l'ouverture du site, \np{45000} ~pages ont été visitées. 
\begin{enumerate}
\item %Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique est représenté en annexe 1 dans un repère orthogonal. L'allure de ce nuage suggère un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage puis placer ce point sur le graphique de \textbf{l'annexe 1}. 
$x_{\text{G}} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = 2,5$ et 	$y_{\text{G}} = \dfrac{40 + 45 + 55 + 70}{4} 52,5$	
		\item %On appelle $(d)$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Parmi les deux propositions ci-dessous, une seule correspond à l'équation réduite de la droite $(d)$. Préciser laquelle, en utilisant le point moyen G :
		 
%\[y = 9x + 29 \qquad  y = 10x + 27,5\]
Les coordonnées du point G doivent vérifier l'équation de la droite d'ajustement ; or 

$9 \times 2,5 + 29 = 51,5 \ne 52,5$, alors que $10 \times 2,5 + 27,5 = 52,5$.

Seule l'équation $y = 10x + 27,5$ peut convenir. 
		\item %Tracer la droite $(d)$ sur le graphique de l'annexe 1.
Voir sur l'annexe.
	\end{enumerate} 
\item %En supposant que cet ajustement reste valable pendant les deux mois qui suivent l'ouverture du site, donner une estimation du nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site.
$\bullet~~$ Par le calcul : pour $x = 8$, on obtient $y = 10 \times 8 + 27,5 = 107,5$.

$\bullet~~$ Graphiquement : on obtient sensiblement le même résultat.
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{PARTIE B}\end{center}
 
%Le responsable décide de mettre en place, au cours de la quatrième semaine suivant l'ouverture du site, une vaste campagne publicitaire afin d'augmenter le nombre de visiteurs du site.
% 
%Il étudie ensuite l'évolution du nombre de pages du site visitées au cours des trois semaines suivant cette opération publicitaire. 
%
%Le tableau ci-dessous donne le nombre de pages visitées au cours des sept semaines suivant l'ouverture du site.
%
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Semaine $x_{i}, \,\,1 \leqslant i \leqslant 7$& 1 &2 &3 &4&5&6&7\\ \hline%
%Nombre de pages visitées en milliers : $y_{i},\,\,1 \leqslant i \leqslant 7$& 40 &45 &55 &70&95&125&175\\ \hline%  
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Compléter le nuage de points fourni dans \textbf{l'annexe 1} par les trois nouveaux points définis dans le tableau précédent.
Voir l'annexe.
 
Compte tenu de l'allure du nuage, un ajustement exponentiel semble approprié.

%Pour cela on pose $z = \ln y$.
\item %On donne ci-dessous les valeurs de $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$ pour $1 \leqslant i \leqslant 7$, les résultats étant arrondis au centième.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Semaine $x_{i},\,1 \leqslant i \leqslant 7$&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline%
%$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right),\, 1 \leqslant i \leqslant 7$&3,69&3,81&4,01&4,25&4,55&4,83&5,16\\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\medskip
  
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		 
%On donnera la réponse sous la forme $z = ax + b$, en arrondissant les coefficients $a$ et $b$ au centième.
La calculatrice donne avec des coefficients arrondis au centième :

$z = 0,25x + 3,33$. 
		\item %En déduire la relation $y = \alpha\text{e}^{\beta x}$, où $27,94$ et $0,25$ sont des valeurs approchées au centième des réels $\alpha$ et $\beta$ respectivement.
On a  $z = \ln y = 0,25x + 3,33 \iff y = \text{e}^{0,25x + 3,33} = \text{e}^{3,33} \times \text{e}^{0,25x} \approx 27,94\text{e}^{0,25x}$.

Au centième près on a donc $y = 27,94\text{e}^{0,25x}$.
		\item %À l'aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation du nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site.
Avec $x = 8$,avec cet ajustement on a donc $y = 27,94\text{e}^{0,25 \times 8} = 27,94\text{e}^{2} \approx 206,45$.

Le nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine sera de \np{206450} à peu près.		 
%Combien de semaines auraient été nécessaires pour atteindre ce résultat sans campagne publicitaire ? (on utilisera l'ajustement obtenu dans la \textbf{partie A}).

Avec l'ajustement affine il faut trouver $x$ tel que :

$10x + 27,5 = 206,45 \iff 10x = 178,95 \iff x = 17,895$.

Il faudra attendre le 18\up{e} jour.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\bigskip

%Un orchestre doit effectuer une tournée passant par les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier.
%
%\medskip
% 
%Le graphe $\Gamma$ ci-dessous représente les différentes villes de la tournée et les autoroutes reliant ces villes (une ville est représentée par un point, une autoroute par une arête) :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.cm}
%\begin{pspicture}(5,7)
%\uput[ul](0.5,6.5){A} \uput[r](2.3,5.5){B} \uput[l](1,4.8){C} \uput[ur](2.5,3.4){D} 
%\uput[l](0.5,3.3){E} \uput[r](4.8,3){F} \uput[dl](2,0.6){G} \uput[d](3.6,0.2){H}
%\pspolygon(0.5,6.5)(2.3,5.5)(2.5,3.4)(4.8,3)(3.6,0.2)(2,0.6)(0.5,3.3)(3.6,0.2)(2.5,3.4)(1,4.8)
%\psline(2.3,5.5)(1,4.8)(0.5,3.3) 
%\psdots(0.5,6.5)(2.3,5.5)(2.5,3.4)(4.8,3)(3.6,0.2)(2,0.6)(0.5,3.3)(1,4.8)
%\end{pspicture}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %Est-il possible d'organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d'autoroute? (la réponse sera justifiée).
 
%Si oui citer un trajet de ce type.

On cherche s'il existe une chaîne eulérienne.

La chaîne A-B-D-F-H-G-E-C contient tous les sommets du graphe.

Donc pour toute paire de sommets il existe un chemin les reliant : le graphe est connexe.

Les sommets B et E sont les seuls de degré impair : il existe donc une chaîne eulérienne partant de l'un d'eux et finissant à l'autre ; par exemple : B-A-C-D-F-H-G-E (ou inversement). 
\item %On appelle $M$ la matrice associée au graphe $\Gamma$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique). 

%On donne la matrice $M^3$ :
%
%\[M^3 = \begin{pmatrix} 
%
%2	&5	& 6& 2& 1& 2& 1& 3\\ 
%5	&4	& 6& 7& 3& 2& 2& 3\\ 
%6	& 6	& 4& 9& 7& 3& 2& 3\\  
%2	&7	& 9& 4& 3& 5& 3& 8\\ 
%1	& 3	& 7& 3& 2& 3& 4& 7\\ 
%2	& 2	& 3& 5& 3& 2& 2& 5\\ 
%1	& 2	& 2& 3& 4& 2& 2& 5\\ 
%3	& 3	& 3& 8& 7& 5& 5& 4\\
%\end{pmatrix}\] 

%Combien existe-t-il de chemins de longueur 3 reliant B à H ? (la réponse devra être justifiée).
 
%Préciser ces chemins.
Le terme situé à la deuxième ligne et à la huitième colonne est 3 : il donne le nombre de chemins de longueur 3 partant de B et arrivant en H
 :  B-C-E-H ; B-C-D-H ; B-D-F-H.
\item  %Des contraintes de calendrier imposent en fait d'organiser un concert dans la ville F immédiatement après un concert dans la ville A.
 
%Le graphe $\Gamma$ est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètres de chaque tronçon (les longueurs des segments ne sont pas proportionnelles aux distances). 

%\begin{center}
%\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,7)
%\uput[ul](0.5,6.5){A} \uput[r](2.3,5.5){B} \uput[l](1,4.8){C} \uput[ur](2.5,3.4){D} 
%\uput[l](0.5,3.3){E} \uput[r](4.8,3){F} \uput[dl](2,0.6){G} \uput[d](3.6,0.2){H}
%\pspolygon(0.5,6.5)(2.3,5.5)(2.5,3.4)(4.8,3)(3.6,0.2)(2,0.6)(0.5,3.3)(3.6,0.2)(2.5,3.4)(1,4.8)
%\psline(2.3,5.5)(1,4.8)(0.5,3.3) 
%\psdots(0.5,6.5)(2.3,5.5)(2.5,3.4)(4.8,3)(3.6,0.2)(2,0.6)(0.5,3.3)(1,4.8)
%%\psgrid
%\rput(1.5,6.2){300} \rput(0.5,5.6){500} \rput(1.6,4.9){400} \rput(2.7,4.5){400} 
%\rput(1.5,4){100} \rput(0.5,4.1){200} \rput(3.6,3.4){700} \rput(4.5,1.6){200} 
%\rput(3.3,2){700} \rput(2.7,0.2){200} \rput(2.1,2.1){300} \rput(1.,1.8){200} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
 
%Déterminer, en utilisant un algorithme dont on citera le nom, le trajet autoroutier le plus court (en kilomètres) pour aller de A à F.
 
%Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet. 
On utilise l'algorithme de Dijkstra :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}m{2cm}|}\hline
A	&B&C&D&E&F&G&H&Sommet sélectionné\\ \hline
0	&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$	&$\infty$	&A 0\\ \hline
	&300 A	&500 A&$\infty$c&$\infty$&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&B 300\\ \hline
	&		&500 A	&700 B	&$\infty$&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&C 500\\ \hline
	&		&		&600 C	&700 C	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&D 600\\ \hline
	&		&		&		&700 C	&300 D		&$\infty$	&1300 D		&E 700\\ \hline
	&		&		&		&		&1300 D		&900 E		&1000 E		&G 900\\ \hline
	&		&		&		&		&1300 D		&			&1000 E		&H 1000\\ \hline
	&		&		&		&		&1200 H		&			&			&F 1200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En partant de F on remonte ses prédécesseurs : F - H - E - C - A.

le trajet le plus court A - C- E - H - F a une longueur de \np{1200}~km.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip
 
%Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu'il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre $25$ et $500$~litres, et on suppose que toute la production est commercialisée.
% 
%Dans tout l'exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d'euros, les quantités en centaines de litres.
%\medskip
% 
%Si $x$ désigne la quantité journalière produite, on appelle $C_{\text{T}}(x)$, pour $x$ variant de $0,25$ à $5$, le coût total de production correspondant.
% 
%La courbe $\Gamma_{1}$ fournie en \textbf{annexe 2} est la représentation graphique de la fonction $C_{\text{T}}$ sur l'intervalle [0,25~;~5].
% 
%La tangente à $\Gamma_{1}$ au point A(1~;~1) est horizontale.
%
%\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On admet que la recette $R(x)$ (en milliers d'euros) résultant de la vente de $x$ centaines de litres de médicament, est définie sur [0,25~;~5] par 
		
%$R(x) = 1,5 x$.
 
%Quelle est la recette (en euros) pour $200$~litres de médicament vendus ?
On a $R(2) = 3$, donc pour 200~litres la recette est de \np{3000}~\euro. 
		\item %Tracer, sur le graphique fourni en \textbf{annexe 2}, le segment représentant graphiquement la fonction $R$.
		Voir l'annexe 2.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Lectures graphiques}

\medskip
 
%\emph{Les questions a., b., c. suivantes seront résolues à l'aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique en annexe $2$.\\ 
%Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la \og plage de rentabilité \fg, c'est-à-dire de l'intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif.
Il y a bénéfice quand la recette est supérieure au coût total soit environ entre 65 et 450 litres vendus. 
		\item %Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque $200$~litres de médicament sont commercialisés.
Pour 200 litres, soit $x = 2$ on trouve une différence entre la courbe et la droite d'environ 1,75 soit \np{1750}~\euro.
 
		\item %Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal ? 
Il faut trouver graphiquement le segment vertical le plus long entre un point de la courbe et un point de la droite pour la même abscisse.

On voit que ceci est réalisé pour $x = 2,75$ environ ce qui correspond à un bénéfice maximal de \np{2150}~\euro.

Cette abscisse correspond au point de la courbe qui correspond à un coût marginal égal au prix de vente, et comme ce coût marginal est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe,il faut donc trouver un point de la courbe où la tangente est parallèle à la droite (recette). Voir la figure.		
%À combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
%Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction coût total $C_{\text{T}}$ est définie sur l'intervalle [0,25~;~5] par 
%
%\[C_{\text{T}}(x) = x^2 - 2x \ln (x).\]
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par le laboratoire pour $x$ centaines de litres commercialisés, est donné par : 

%\[B(x) = 1,5x - x^2 + 2x \ln (x).\]
On a  $B(x) = R(x) - C_{\text{T}}(x) = 1,5x - \left(x^2 - 2x \ln (x) \right) = 1,5x - x^2 + 2x \ln (x).$

%Calculer $B(2)$, et comparer au résultat obtenu à la question 2. b. de la \textbf{partie A}.
$B(2) =   1,5 \times 2  - 2^2 + 2 \times 2 \ln (2) = 4\ln (2) - 1 \approx 1,773$.

Pour 200 litres de médicaments commercialisés le bénéfice est de \np{1773}~\euro. C'est à peu près le résultat trouvé graphiquement.
\item %On suppose que la fonction $B$ est dérivable sur l'intervalle [0,25~;~5] et on note $B'$ sa fonction dérivée. Montrer que $B'(x) = 2\ln (x) - 2x + 3,5$.
Sur [0,25~;~5], on a $B'(x) = 1,5 - 2x + \left(2\ln x + 2x \times \frac{1}{x} \right) = 2\ln x - 2x + 3,5$. 
\item ~%On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $B'$, dérivée de la fonction $B$, sur l'intervalle [0,25~;~5] :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2)
\psline(2,0)(2,2.5) 
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[u](1,1.9){$x$}  \uput[u](2.35,1.9){$0,25$}  \uput[u](5,1.9){$1$}  \uput[u](7.8,1.9){$5$}
\rput(1,1){$B'(x)$}  \uput[u](2.2,0){$y_{1}$}\uput[d](5,2){1,5} \uput[u](7.8,0){$y_{2}$} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

On précise les encadrements : $0,22 < y_{1} < 0,23$ \quad  
et $- 3,29 < y_{2} < - 3,28$.  
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0,25~;~5].
Sur [0,25~;~5], $B'$ est croissante, donc si $0,25\leqslant x \leqslant 1$,\: $B'(x) \geqslant y_1$, donc en particulier $B'(x) > 0$.

Sur [1~;~5], $B'$ est continue, décroissante de 1,5 à   $y_2 < 0$, donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un réel unique $\alpha$ de [1~;~5] tel que $B'(\alpha) = 0$.

Donc l'équation $B'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0,25~;~5]		 
%\emph{Pour la suite de l'exercice, on prendra $2,77$ pour valeur approchée de } $\alpha$. 
		\item %Dresser le tableau précisant le signe de $B'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0,25~;~5].
		 
%En déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0,25~;~5].
D'après la question précédente  :

$B'(x) > 0$ sur $[0,25~;~\alpha[$ ; la fonction $B$ est croissante sur cet intervalle ;

$B'(\alpha) = 0$, avec $\alpha \approx 2,77$ ;

$B'(x) < 0$ sur $]\alpha~;~5]$ ; la fonction $B$ est décroissante sur cet intervalle.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal ? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres). Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal.
Le maximum de la fonction $B$ est atteint en $\alpha$ et ce maximum est égal à :

\[B(\alpha) \approx 1,5 \times 2,77 - 2,77^2 + 5,54\ln (2,77) \approx 2,127.\]

Pour à peu près 277 litres de médicaments, le bénéfice maximal est de \np{2127}~\euro.
		\item %Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2. c. de la partie A ?
Ces résultats sont cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2. c. de la partie A	 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\textbf{Exercice 3}

 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,7cm}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(8.5,190)
\multido{\n=0.0+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,190)}
\multido{\n=0+5}{39}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(8.5,\n)}
\multido{\n=10+20}{9}{\uput[l](0,\n){\n}}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2](1,40)(2,45)(3,55)(4,70)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2,linecolor=red](2.5,52.5)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2,linecolor=green](5,95)(6,125)(7,175)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=1000](0,0)(-0.5,0)(8.5,190)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{10 x mul 27.5 add}
\uput[r](0,193){$y_{i}$ : nombre de pages visitées (en milliers)}
\uput[u](7,0){$x_{i}$ : rang de la semaine}\uput[ul](2.5,52.5){\textcolor{red} G}
\psline[linestyle=dashed]{->}(8,0)(8,107.5)(0,107.5)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture} 

\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2}

\textbf{Exercice 4}

\textbf{À rendre avec la copie} 

\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.5)(6.75,9.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](6,10)
\uput[r](0,9.5){Coût total (en millier d'euros)}
\uput[u](4.5,0.3){\small Volume du médicament produit}
\uput[u](4.5,0){\small(en centaines de litres)}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{5}{x dup mul x ln x mul 2 mul sub}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0,1)(2,1)
\psdots(1,1)(5,8.905) \uput[r](4.75,7.75){$\Gamma_{1}$}\uput[u](1,1){A}
\uput[d](6.7,0){$x$}\uput[l](0,9.5){$y$}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6.75,9.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6}{1.5 x mul}
\psline(2,0.8924)(4,3.846) \uput[d](2.75,0){2,75}
\psline[linestyle=dashed](2.75,0)(2.75,2)
\psline[linewidth=1.5pt](2.75,2)(2.75,4.125)
\rput{90}(2.6,3.05){bénéfice maximum}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}