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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{11 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers 11 juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
%\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses \textbf{a,~ b} ou \textbf{c} est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le nombre réel $\text{e}^{\frac{3x}{2}}$  est égal à : 
$\left(\sqrt{\text{e}^{x}}\right)^3$
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~$\dfrac{\text{e}^{3x}}{\text{e}^2}$&\textbf{b.}~~$\text{e}^{3x} - \text{e}^2$&\textbf{c.}$\left(\sqrt{\text{e}^{x}}\right)^3$\\
%\end{tabularx}

\medskip
 
\item %L'équation $\ln \left(x^2 + x + 1\right) = 0$ admet sur $\R$ :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~Aucune solution&\textbf{b.}~~Une seule solution &\textbf{c.}~~
%Deux solutions
%\end{tabularx}
$\ln \left(x^2 + x + 1\right) = 0 \iff \ln \left(x^2 + x + 1\right) = \ln 1 \iff $

$x^2 + x + 1 = 1 \iff x^2 + x = 0 \iff x(x + 1) = 0 \iff x = 0 \quad \text{ou}\quad  x = - 1$.

Ces deux nombres sont bien solution.

\medskip
  
\item %L'équation $\text{e}^x = \text{e}^{-x}$ admet sur $\R$ : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ Aucune solution& \textbf{b.}~~ Une seule solution& 
%\textbf{c.}~~ Deux solutions \\
%\end{tabularx}

$\text{e}^x = \text{e}^{-x} \iff x = - x \iff 2x = 0 \iff x = 0$, donc une seule solution.

\medskip

\item %On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~ +\infty[$ vérifiant la propriété suivante :
 
%Pour tout $x \in  [1~;~+\infty[,\quad \dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant 1$. 

%On peut alors affirmer que :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$&\textbf{b.}~~$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$&\textbf{c.}~~$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = + \infty$\\ 
%\end{tabularx}
Pour tout $x \in  [1~;~+\infty[,\quad \dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant 1 \iff \dfrac{1}{x^2} \leqslant \dfrac{f(x)}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$.

Comme la limite des deux termes extrême est nulle, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$.
\medskip
 
\item %On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur un intervalle I, telles que $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur I. On suppose que la fonction $g$ est croissante sur I. Alors on peut affirmer que :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ La fonction $g$ est positive sur I.& 
%\textbf{b.}~~ La fonction $f$ est positive sur I.& 
%\textbf{c.}~~ La fonction $f$ est croissante sur I.\\
%\end{tabularx}
Si $g$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $g'(x) = f(x)$ ; or $g$ est croissante sur $I$, donc $g'(x) = f(x) > 0$ : la fonction $f$ est positive sur $I$.
\medskip
\end{enumerate}
%\end{document} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

%Le tableau ci-dessous indique l'évolution de la dette en milliards d'euros de l'État français entre 1990 et 2004 :
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année& 1990 &1992 &1994 &1996 &1998 &2000 &2002 &2004\\ \hline 
%Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
%Dette $y_{i}$ en milliards d'euros& 271,7 &321,4 &443 &540,1 &613,1 &683,5 &773,4 &872,6\\ \hline 
%\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : INSEE}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%\textbf{Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au dixième.}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude statistique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la dette moyenne de l'État entre 1990 et 2004.
La dette moyenne (ce qui n'apporte aucune information) est égale à 478,8. 
\item %En prenant l'année 1990 comme référence (indice 100), calculer les indices correspondant à la dette de l'État de 1992 à 2004. Donner la réponse sous forme d'un tableau.
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 1990 &1992 &1994 &1996 &1998 &2000 &2002 &2004\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Dette $y_{i}$ en milliards d'euros& 271,7 &321,4 &443 &540,1 &613,1 &683,5 &773,4 &872,6\\ \hline 
Indice&100&118,3&163&198,8&225,7&251,6&284,7&321,2\\ \hline
\end{tabularx} 
\item %Déterminer le taux global d'évolution de la dette de l'État entre 1990 et 2004.
En utilisant la question précédente (calcul de l'indice) on obtient un taux global d'évolution de $321,2 - 100 = 221,2$\,\% 
\item %Déterminer le taux moyen d'évolution de la dette de l'État sur une période de deux ans. 
De1990 à 2004 la dette a été multipliée par 3,212.

Si $t$ est taux en pourcentage d'augmentation de cette dette on a :

$(1 + t)^7 = 3,212 \iff 1 + t = 3,212^{\frac{1}{7}} \iff t = 3,212^{\frac{1}{7}} - 1 \approx 0,1814$.

De 1990 à 2014 la dette a augmenté en moyenne de 18,1\,\% tous les deux ans.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Interpolation et extrapolation de données}

\medskip
 
%On donne ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.007cm}
%\begin{pspicture}(-1,-200)(8,1300)
%\psframe(-1,-200)(8.5,1250)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=200](0,0)(8,1200)
%\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](0,271.7)(1,321.4)(2,443) (3,540.1)(4,613.1)(5,683.5)(6,773.4)(7,872.6)
%\rput(4,1100){\Large Dette}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%La forme du nuage permet d'envisager un ajustement affine.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne $y = 86,4x + 262,3$ (coefficients arrondis au dixième).
\item  %Selon cet ajustement, à partir de quelle année peut-on estimer que l'État aurait dépassé les \np{1000}~milliards de dette ? 
On résout l'inéquation :

$86,4x + 262,3 > \np{1000} \iff 86,4x > 837,7 \iff x > \dfrac{737,7}{86,4}$.

Or $\dfrac{737,7}{86,4} \approx 8,5$, donc il faut prendre $x = 9$ soit attendre 2008.
\item  %Selon cet ajustement, déterminer l'année à partir de laquelle la dette de l'État sera le double de la dette de l'an 2000.
On résout de même l'inéquation :

$86,4x + 262,3 > 2 \times 683,5 \iff 86,4x > \np{1104,7} \iff x > \dfrac{\np{1104,7}}{86,4}$.

Or $\dfrac{\np{1104,7}}{86,4} \approx 12,7$.

Il faut prendre $x = 13$ c'est-à-dire attendre 2016. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip 
 
%Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2010 + n)$. En 2010, la forêt possède \np{50000}~arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\:\% des arbres existants et de replanter \np{3000}~arbres.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que la situation peut être modélisée par :
On a bien $u_{0} = 50$ et chaque année $n$ s'il y a $u_n$ milliers d'arbres on en abat $0,05u_n$ : il en reste donc $u_n - 0,05u_n = 0,95u_n$ et on en plante $3$ milliers, donc 

$u_{n+1} = 0,95u_n + 3$.  
%\[u_{0} = 50~\text{et pour tout entier naturel}~n~\text{par la relation :}~ u_{n + 1} = 0,95u_{n} + 3.\]
 
\item  %On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 60 - u_{n}$· 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$.
Quel que soit le naturel $n$,

$v_{n+1} = 60 - u_{n+1} = 60 - \left(0,95u_{n} + 3 \right) = 57 - 0,95u_n = 0,95\left(\frac{57}{0,95} - u_n \right) = 0,95\left(60 - u_n\right) = 0,95v_n$.

L'égalité $v_{n+1} = 0,95v_n$ montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison 0,9.    
		\item %Calculer $v_{0}$. Déterminer l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
Le premier terme $v_0 = 60 - u_0  = 60 - 50 = 10$.

On sait que $v_n = v_0 \times 0,95^n = 10 \times 0,95^n$ 
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n,~u_{n} = 60 - 10 \times (0,95)^n$·
		On a $v_n = 60 - u_n  \iff u_n = 60 - v_n = 60 - 10 \times 0,95^n$ pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité.
2015 correspond à $n = 5$, d'où $u_{5} =  60 - 10 \times 0,95^{5} \approx 52,262$, donc \np{52262}~arbres.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité 
		
%\[u_{n + 1}  - u_{n} = 0,5 \times  (0,95)^n.\]
$u_{n + 1}  - u_{n} =  60 - 10 \times 0,95^{n+1} - \left(60 - 10 \times 0,95^n \right) = - 10 \times 0,95^{n+1} + 10 \times 0,95^n = 10 \times 0,95^n(1 - 0,95) = 0,5 \times 0,9^n$.
		\item  %En déduire la monotonie de la suite.
		Comme $0,5 > 0$ et $0,95^n > $ quel que soit le naturel $n$ le résultat précédent montre que $u_{n + 1}  - u_{n} > 0$ quel que soit $n$ : la suite est donc croissante.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10\,\% le nombre d'arbres de la forêt en 2010.
10\,\% de 50 représentent $0,1 \times 50 = 5$. Il faut donc résoudre l'inéquation :

$60 - 10 \times 0,95^n > 55 \iff 10 \times 0,95^n < 5 \iff 0,95^n < 0,5 \iff n \ln 0,95 < \ln 0,5 \iff n > \dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,95}$.

Or $\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,95} \approx 13,5$ : il faudra donc attendre 14 ans, soit en 2024. 
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter.
Comme $0 < 0,95 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,95^n = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 10 \times 0,95^n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = 60$~soit \np{60000}~arbres.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip 

%Pour une marque de téléphone portable donnée, on s'intéresse à deux options de dernière technologie proposées, le GPS et le Wifi. Sur l'ensemble des téléphones portables, 40\,\% possèdent l'option GPS. Parmi les téléphones avec l'option GPS, 60\,\% ont l'option Wifi.
%
%\medskip
% 
%On choisit au hasard un téléphone portable de cette marque et on suppose que tous les téléphones ont la même probabilité d'être choisis.
% 
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] G : \og  le téléphone possède l'option GPS \fg.
%\item[] W : \og  le téléphone possède l'option Wifi \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%\textbf{Dans tout l'exercice, le candidat donnera des valeurs exactes.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Traduire les données chiffrées de l'énoncé en termes de probabilité.
$p(G) = 0,4$ et $p_G(W) = 0,6$. 
\item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l'exercice.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G$~}\taput{0,4}}
	{\TR{$W$}\taput{0,6}
	\TR{$\overline{W}$}\tbput{0,4}	
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}$~}\tbput{0,6}}
	{\TR{$W$}\taput{$\frac{23}{30}$}
	\TR{$\overline{W}$}\tbput{$\frac{7}{30}$}	
	}
}
\end{center}
\medskip
 
On suppose que la probabilité de W est : $p(W) = \dfrac{7}{10}$.
 
\item %Déterminer la probabilité de l'évènement \og le téléphone possède les deux options \fg.
$p(G \cap W) = p(G) \times p_G(W) = 0,4 \times 0,6 = 0,24$. 
\item %Démontrer que $p_{\overline{\text{G}}}(\text{W}) = \dfrac{23}{30}$. Compléter l'arbre du \textbf{2.}
On a d'après la loi des probabilités totales :

$p(W) = p(G \cap W) + p\left(\overline{G} \cap W\right)$, soit :

$p\left(\overline{G} \cap W\right) = p(W) - p(G \cap W) = 0,70 - 0,24 = 0,46$. 
\item %On choisit un téléphone avec l'option Wifi. Quelle est la probabilité qu'il ne possède pas l'option GPS ? 
$p_W\left(\overline{G} \right) = \dfrac{p\left(W \cap \overline{G} \right)}{p(W)} = \dfrac{0,46}{0,7} = \dfrac{46}{70} = \dfrac{23}{35}$.
%Le coût de revient par téléphone d'une option, pour le fabricant de téléphones, est de 12~euros pour l'option GPS et de 6~euros pour l'option Wifi. 
\item %Déterminer la loi de probabilité du coût de revient de ces deux options. 
Tableau de la loi de probabilités du coût de revient des deux options.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Évènement&$G \cap W$&$G \cap \overline{W}$&$\overline{G} \cap W$&$\overline{G} \cap \overline{W}$\\ \hline
$p(X = )$&0,24&0,16&0,46 &0,14\\ \hline
Coût&18&12&6&0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Interpréter ce résultat.

E$(X) = 18 \times 0,24 + 12 \times 0,16 + 6 \times 0,46 + 0 \times 0,14 = 9$

En moyenne le coût de revient par téléphone toutes options confondues est de $9$ euros. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
  
%On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
%
%\[f(x) = 1 + \ln(x).\]
%
%On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.
% 
%Le point A(e~;~2) appartient à $\mathcal{C}_{f}$ et on note T$_{\text{e}}$ la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point A.
% 
%Le point C est le point d'intersection de la tangente T$_{\text{e}}$ et de l'axe des abscisses. Le point E a pour coordonnées (e~;~0).
% 
%On admettra que sur $]0~;~+\infty[$,~ $\mathcal{C}_{f}$ reste en dessous de T$_{\text{e}}$. 
%
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(6.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-1.5)(6.5,4)
\psplot{-4}{6.5}{x 2.71828 div 1 add}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{0.3679}{2.71828}{x 2.71828 div 1 add}
\psplot{2.71828}{0.3679}{x ln 1 add}}
\psline(0.3679,0)(0.3679,1.135)
\uput[d](6,2.75){$\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](6,3.15){T$_{\text{e}}$}
\uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,3.9){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,2)
\uput[ur](2.71828,0){E}\uput[u](2.71828,2){A} \uput[dr](0.3679,0){B}
\uput[u](0.3679,1.15){D}\uput[u](-2.718,0){C}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0.1}{6.5}{x ln 1 add}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Le point B est le point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et de l'axe des abscisses.
Le point B a une ordonnée nulle, donc $1 + \ln (x) = 0 \iff \ln (x) = - 1 \iff \text{e}^{\ln (x)} = \text{e}^{- 1 } \iff x = \text{e}^{- 1 } = \frac{1}{\text{e}}$.

B$\left(\text{e}^{- 1 }~;~0\right)$.		 
%Calculer les coordonnées du point B. 
		\item %Démontrer que, pour $x \geqslant \dfrac{1}{\text{e}},~ f(x) \geqslant  0$.
Si $x \geqslant \dfrac{1}{\text{e}}$ alors 

$x \geqslant \text{e}^{- 1 } \iff \ln (x) \geqslant \ln \left[\text{e}^{- 1 } \right] \iff \ln (x) \geqslant - 1 \iff \ln (x) + 1\geqslant 0 \iff f(x) \geqslant 0$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de T$_{\text{e}}$.
Une équation de T$_{\text{e}}$ est : $y - f(\text{e}) = f'(\text{e})(x- \text{e})$.

On sait que $f(\text{e}) = 2$.

$f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{1}{x}$, donc $f'(x) = \dfrac{1}{\text{e}} = \text{e}^{- 1}$.

Une équation de la tangente est donc :

$y -  2 = \text{e}^{- 1}(x - \text{e}) \iff y = \text{e}^{- 1}x - 1 + 2 \iff y = \text{e}^{- 1}x + 1$.
		\item %En déduire les coordonnées du point C.
Les coordonnées de C vérifient l'équation de la tangente et son ordonnée est nulle, d'où :

$\text{e}^{- 1}x + 1 = 0 \iff \text{e}^{- 1}x = - 1 \iff x = - \text{e}$ (en multipliant chaque membre par e).

C$(- \text{e}~;~0)$. 
		\item %Vérifier que les points E et C sont symétriques par rapport à O, origine du repère.
		On vérifie bien que le milieu de [EC] a pour coordonnées $\left(\dfrac{- \text{e} + \text{e}}{2} ~;~\dfrac{0 + 0}{2}\right) = (0~;~0)$.
		
Le milieu de [EC] est l'origine : les deux points E et C sont symétriques autour de O.
	\end{enumerate}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = x \ln x$.
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
$g$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et sur intervalle :
		
$g'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 = f(x)$.
		
$G$ est donc une primitive de $g$ sur $]0~;~ +\infty[$.
		\item %En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}} (1 + \ln x)\:\text{d}x$. Interpréter ce nombre.
On a vu que si $x \geqslant \dfrac{1}{\text{e}},~f(x) \geqslant  0$, donc l'aire du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \frac{1}{\text{e}}$ et $x = \text{e}$ est égal à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}} (1 + \ln x)\:\text{d}x = [ G(x)]_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}} = G(\text{e}) - G\left(\frac{1}{\text{e}} \right) = \text{e}\ln (\text{e})  - \frac{1}{\text{e}} \ln \frac{1}{\text{e}} = \text{e} + \text{e}^{- 1}\ln (\text{e}) = \text{e} + \text{e}^{-1}$. (environ 3,086 unités d'aire)
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.}

%Déterminer la valeur exacte de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par $\mathcal{C}_{f}$, T$_{\text{e}}$ et les droites parallèles à l'axe des ordonnées passant par B et E. Ce domaine est grisé sur le graphique. Donner une valeur approchée arrondie au millième de cette aire.
Soit D le point de la tangente T$_{\text{e}}$ d'abscisse $\frac{1}{\text{e}}$ ; son ordonnée est donc : 

$y =  \text{e}^{- 1}\times \frac{1}{\text{e}} + 1 = 1 + \text{e}^{-2}$.

L'aire de la surface grisée est égale à la différence de l'aire du trapèze BDAE et de l'aire du domaine calculé à la question précédente.

Or l'aire du trapèze est égale à $\dfrac{(\text{BD} + \text{AH}) \times \text{BE}}{2} = \dfrac{\left(\text{e} - \text{e}^{- 1}\right)\left(1 + \text{e}^{-2} + 2 \right)}{2} = \dfrac{\left(\text{e} - \text{e}^{- 1} \right)\left(3 + \text{e}^{-2}\right)}{2} =$

$ \dfrac{3\text{e} - 2\text{e}^{-1} - \text{e}^{-3}}{2}$.

Donc l'aire de la surface grisée est égale à :

$\dfrac{3\text{e} - 2\text{e}^{-1} - \text{e}^{-3}}{2} - \left(\text{e} + \text{e}^{-1} \right) = \dfrac{\text{e} - 4\text{e}^{-1} - \text{e}^{-3}}{2} \approx \np{0,5984}$

soit au millième près $0,598$~unité d'aire.
\end{enumerate}
\end{document}