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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : René Roux
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 16 juin 2017}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Métropole 16 juin 2017~\decofourright}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}}

\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats } 

\medskip 

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item La variable$T_1$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~12]$. 

Donc 
$P(T_1\geqslant 5) = P(5 \leqslant T_1 \leqslant 12) = \dfrac{12 - 5}{12 - 0}=\dfrac{7}{12}$.

\item Le temps moyen se calcule avec l'espérance. 

L'espérance d'une loi uniforme sur un intervalle $[a~;~b]$ est égale à $\dfrac{a+b}{2}$.

Donc $E(T_1)=\dfrac{0+12}{2} = 6$~(minutes).
\end{enumerate}
\item La variable $T_2$ suit la loi normale de paramètres : $\mu = 5$ et $\sigma = 1,5$.

$P(0,75 \leqslant T_2 \leqslant 6)\approx 0,745$ (avec la calculatrice).

\item 
\begin{enumerate}
\item On est dans le cas d'un répétition dans les mêmes conditions de 10 expériences qui n'ont que deus issues, donc la variable $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et de probabilité $p = 0,1$.

\item $P(X = 0) = \dbinom{10}{0}\times 0,1^{0}\times 0,9^{10} = 0,9^{10}\approx 0,349$.
\end{enumerate}
\item Cherchons l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.

La fréquence théorique de clients satisfaits est $p = 0,9$ et l'échantillon est de taille $n = 860$.
		
On a $n\geqslant 30$, ~$np= 774 \geqslant 5$ et  $n(1 - p) = 86 \geqslant 5$ ;  on peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% : 
		
\[I = \left[p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}~;~p + 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}} \right]\]
		
Or $p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx$ \np{0,879} et $p + 1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx$ \np{0,921}.
		
Finalement $I_{860} \approx [0,879~;~0,921]$.

Calculons la fréquence de satisfaction : $f=\dfrac{763}{860}\approx 0,887$.

$f \in I_{860}$ donc on ne peut pas raisonnablement mettre en doute les affirmations de ce gérant.
\medskip

%\textit{Remarque : Avec l'intervalle de confiance au seuil de 95 \% } \qquad $I_n=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\; ;\; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.\\
%On aurait : la proportion théorique de clients satisfaits est $p = 0,9$ et l'échantillon est de taille $n = 860$. La fréquence est : $f=\dfrac{763}{860}\approx 0,881$.\\
%On a $n\geqslant 30$, ~$nf= 763 \geqslant 5$ et  $n(1 - f) = 97 \geqslant 5$ ;  on peut donc bâtir l'intervalle de confiance.\\
%
%$f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{763}{860}-\dfrac{1}{\sqrt{860}}\approx 0,853$\\
%$f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{763}{860}+\dfrac{1}{\sqrt{860}}\approx 0,921$	\quad donc $I_{860}=\left[0,853\; ;\;0,921\right]$
%
%On s'aperçoit que $p\in I_{860}$ donc cela ne remet pas en cause l'affirmation du gérant.
%On retrouve alors la même conclusion, le premier intervalle ayant une précision supérieure (amplitude inférieure) au second. Ici l'intervalle de fluctuation est requis car la proportion $p$ est connue.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L} 

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip 


\begin{enumerate}
\item Calculons $u_1$ (nombre d'adhérents au $1\up{er}$ février) et $u_2$ (nombre d’adhérents au $1\up{er}$ mars).

$u_1 = 0,75\times 900 + 12 = 687$ et $u_2 = 0,75\times 687 + 12 = 527,25$, soit environ 527 adhérents au $1\up{er}$ mars 2017.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - 48$.

$v_{n+1} = u_{n+1} - 48 = 0,75u_n + 12 - 48 = 0,75u_n - 36$

$ \phantom{v_{n+1}} = 0,75\times \left(u_n-\dfrac{36}{0,75}\right)=0,75\times \left(u_n - 48\right)= 0,75\times v_n$.

La relation $v_{n+1} = 0,75\times v_n$, vraie pour tout entier naturel $n$, montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
		\item $v_0=u_0-48 = 852$.

Donc pour tout entier naturel $n$, $v_n = v_0\times q^n = 852\times 0,75^n$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n = u_n - 48$ donc $u_n = v_n + 48$.

Donc $u_n = 852\times 0,75^n + 48$.
		\item On cherche le premier entier naturel $n$ tel que $u_n \leqslant 100$.

$u_n\leqslant 100 \iff 852\times 0,75^n+48 \leqslant 100 \iff 852\times 0,75^n \leqslant 100 - 48 \iff$

$ 852\times 0,75^n \leqslant52 \iff 0,75^n \leqslant \dfrac{52}{852} \iff \ln \left( 0,75^n \right) \leqslant \ln \left( \dfrac{52}{852} \right)$

$\iff n\times \ln ( 0,75)\leqslant \ln \left( \dfrac{52}{852} \right)$. Or $\ln (0,75)<0$ donc

$n\geqslant \dfrac{\ln \left( \dfrac{52}{852} \right)}{\ln (0,75)}$ et $\dfrac{\ln \left( \dfrac{52}{852} \right)}{\ln (0,75)}\approx 9,7$ donc $n\geqslant 10$.

La présidente démissionnera donc au bout de 10 mois. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Algorithme complété :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{l X}
Variables : 		&$S$ est un nombre réel\\
					&$N$ est un entier\\
					&$U$ est un nombre réel\\
Initialisation :	&$S$ prend la valeur 0\\
					&$U$ prend la valeur 900\\
Traitement :		&Pour $N$ allant de 1 à 12 :\\
						& \hspace*{0.5cm} Affecter à $S$ la valeur \red{$S+10\times U$}\\
						& \hspace*{0.5cm} Affecter à $U$ la valeur $0,75U+12$\\
						&Fin Pour\\
Sortie : 			&Afficher \red{$S$}
\end{tabularx}
\end{center}
\item Soit $u_n$ le nombre d'adhérents pour le mois $n$, $n$ étant un entier naturel compris entre 0 et 11. Chaque adhérent verse 10~\euro, donc pour chaque mois, la somme récoltée sera de $10\times u_n$. On a donc :

$S = 10\times u_0 + 10\times u_1 + 10\times u_2+\ldots \ldots + 10\times u_{11} =10\times (u_0 + u_1 + u_2 + \ldots \ldots +u_{11})$.
 
Or  pour tout entier naturel $n$, $u_n = v_n + 48$ et la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,75$.

Donc $v_0 + v_1 + v_2 + \cdots\cdots + v_{11} = v_0\times \dfrac{1 - q^{12}}{1 - q} = 852\times \dfrac{1 - 0,75^{12}}{1 - 0,75} \approx \np{3300}$.

$\text{Donc } u_0 + u_1 + u_2+\cdots \cdots u_{11} = v_0 + 48 + v_1 + 48 + v_2 + 48 + \cdots\cdots + v_{11} + 48\\
\phantom{\text{Donc } u_0 + u_1 + u_2+\cdots \cdots u_{11}}=\np{3300}+12\times 48 \approx \np{3876}$.

Pour finir $S = 10\times \np{3876} = \np{38760}$.

Le montant total des cotisations pendant l'année 2017 s'élèvera à environ \np{38760} euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}
\medskip 

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La première énigme est facile, donc $a_1 = 1$ et $b_1 = 0$. 
Donc $P_1 = \begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix}$.

\item Le graphe probabiliste :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe
\def\nomG{A}
\def\nomD{B}
\def\valGD{0,15}
\def\valDG{0,1}
\def\valGG{0,85}
\def\valDD{0,9}
\Rnode{G}{\nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
\ncarc{->}{G}{D} 
      \Aput{\valGD}
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}
\nccircle[angleA=90]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\valGG}
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}
\end{pspicture}
\end{center}

\item La matrice $M$ associée à ce graphe est : $M=\begin{pmatrix}0,85&0,15\\0,1&0,9\end{pmatrix}$.

Puis $P_2=P_1\times M=\begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,85&15\\0,1&0,9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,85&0,15 \end{pmatrix}$

\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$.

On pose $P_{n+1}=\begin{pmatrix} a_{n+1}&b_{n+1} \end{pmatrix}$ et $P_n=\begin{pmatrix} a_n&b_n \end{pmatrix}$. On a $P_{n+1}=P_n\times M$.

Donc $\begin{pmatrix} a_{n+1}&b_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_n&b_n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,85&0,15\\0,1&0,9\end{pmatrix}$

$\iff \begin{pmatrix} a_{n+1}&b_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,85a_n+0,1b_n&0,15a_n+0,9b_n \end{pmatrix}$

$\text{Donc }a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n=0,85a_n+0,1(1-a_n)=0,85a_n+0,1-0,1a_n\\
\phantom{\text{Donc }a_{n+1}}=0,75a_n+0,1$.

\item

Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on pose $v_n=a_n-0,4$.

	\begin{enumerate}
\item $v_{n+1}=a_{n+1}-0,4=0,75a_n+0,1-0,4=0,75a_n-0,3\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75\times \left(a_n-\dfrac{0,3}{0,75}\right)=0,75\times (a_n-0,4)=0,75 v_n$.

Donc la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,75$ et de 1\ier{} terme $v_1=a_1-0,4=1-0,4=0,6$.
		\item Donc pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $v_n=v_1\times q^{n-1}=0,6\times 0,75^{n-1}$.

De plus pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $v_n=a_n-0,4$ donc $a_n=v_n+0,4$.

Donc $a_n=0,6\times 0,75^{n-1}+0,4$.

Or $0,6=0,8\times 0,75$ donc $a_n=0,6\times 0,75\times 0,75^{n-1}+0,4=0,8\times 0,75^n+0,4$.
		\item La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,75$ et $q \in ]-1~;~1[$ donc la limite de $(v_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini est égale à zéro.
		\item Calculons à présent la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Comme pour tout entier naturel $n\geqslant 1$,
		
$a_n = v_n + 0,4$, on peut en déduire que la limite de la suite $(a_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini est égale à $0,4$.
		Comme pour tout $n\geqslant 1$, $b_n=1-a_n$, la limite de la suite $(b_n)$ est donc $1-0,4=0,6$.

La probabilité d'obtenir une question facile sera donc de $0,4$, celle d'une question difficile sera de $0,6$; il y aura donc plus de chance d'avoir une question difficile plutôt qu'une question facile.

Pour tout $n\geqslant 1$, on a vu que $a_n= 0,8\times 0,75^n+0,4$, donc $a_n \geqslant 0,4$; on en déduit que $b_n \leqslant 0,6$.

La probabilité d'obtenir une question difficile sera donc majorée par $0,6$, ce qui contredit l'affirmation de la revue spécialisée en jeux vidéo.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

À l'aide de l'algorithme de Dijkstra:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 
Départ-Sommet 	& A 	& B 	& C 	& D 	& E & F & G 					\\ \hline A 							& 0		& 2,A 				& 6,A 				&	10,A		 	& $+\infty$ 	&$+\infty$ &	$+\infty$		\\ 
		\hline B(2) 					&  		& 					 	& \sout{6,A}	& 10,A					& $+\infty$		&$+\infty$ &	17,B				\\ 
													&			&							& 5,B					&								&							&						&							\\
		\hline C(5)						&			&							&							& \sout{10,A}		& 14,C				&$+\infty$ & 17,B					\\ 
													&			&							&							& 9,C						&							&						&							\\
		\hline D(9)						&			&							&							& 							&	\sout{14,C}	& $+\infty$	&17,B					\\
													&			&							&							&								& 12,D				&						&						  \\
		\hline E(12)					&			&							&							&								&							& 13,E 			&\sout{17,B}	\\
													&			&							&							&								&							& 					&	16,E				\\
		\hline F(13)					&			&							&							&								&							& 		 			&16,E					\\
												
		\hline
		\end{tabular} 
		
		\end{center}

\medskip		
		
Le tracé le plus cours entre A et G est donc :
A $\stackrel{2}{\longrightarrow}$ B $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ C $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ D $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ E $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ G		

		Il durera 16 minutes.

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 6 points}}
\medskip 

\textbf{Commun à tous les candidats } 
\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in[0~;~1]$, $\text{e}^{3x}>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $-3x+2$.

$-3x+2\geqslant 0 \iff - 3x \geqslant -2 \iff 3x \leqslant 2  \iff x\leqslant \dfrac{2}{3}$.

$f(0)=1$ \hfill $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{\text{e}^2}{3}\approx 2,463$ \hfill $f(1)=0$\\

Tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~1]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & \frac{2}{3} & \esp & 1 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\frac{\text{e}^2\rule{0pt}{9pt}}{3}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{1} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array}$
}
\end{center}	


\item  La dernière ligne donnée par le logiciel de calcul formel, donne une factorisation de la dérivée seconde de $f$: $f''(x)=3\text{e}^{3x}(1-3x)$.

Or pour tout $x\in[0~;~1]$, $3\text{e}^{3x}>0$, donc $f''(x)$ s'annule et change de signe lorsque $1-3x$ s'annule et change de signe.

$1-3x=0 \iff x=\dfrac{1}{3}$ et $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\text{e}^{3\times \dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{3}\text{e}$.

Les coordonnées du point d'inflexion sont donc : $x=\dfrac{1}{3}$ et $y=\dfrac{2}{3}\text{e}$.
\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(0)=(1-0)\text{e}^0=1$ et $g(0)=0-0+1=1$

$f(1)=(1-1)\text{e}^3=0$ et $g(1)=1-2+1=0$

Les points A et B sont donc des points communs à $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\item
	\begin{enumerate}
	
		\item Pour tout $x\in[0~;~1]$, $x\geqslant 0 \iff 3x \geqslant 0\iff \text{e}^{3x} \geqslant \text{e}^0 \iff \text{e}^{3x} \geqslant 1$

$\iff \text{e}^{3x} -1 \geqslant 0$.
		\item Pour tout $x\in[0~;~1]$, $x\geqslant 0$ et $\text{e}^{3x} -1\geqslant 0$.

La somme de deux nombres positifs ou nuls étant positive ou nulle, on en déduit que

$\text{e}^{3x}-1+x \geqslant 0$.
		\item Pour tout $x\in[0~;~1]$, $f(x)-g(x)=(1-x)\left(\text{e}^{3x}-1+x\right)$.

Or d'après la question précédente,  $ \text{e}^{3x}-1+x \geqslant 0$.

Donc pour tout $x\in[0~;~1]$, $f(x) - g(x)$ a le même signe que $1-x$. Or sur cet intervalle $1-x\geqslant 0$, donc pour tout $x\in[0~;~1]$, $f(x) - g(x)\geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~1]$ est définie par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x$.\\
Donc $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x=\left[G(x)\right]_{0}^1$.

$G(1)=\dfrac{1}{3}-1+1=\dfrac{1}{3}$ et $G(0)=0$.

Donc $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x=\dfrac{1}{3}$.
		\item L'aire de la partie grisée se calcule avec l'intégrale : $I=\displaystyle\int_{0}^1 f(x)-g(x)\:\text{d}x$.

$I=\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x-\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x=\dfrac{\text{e}^3-4}{9}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{\text{e}^3-7}{9}\approx 1,5$ u.a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 3 points}}
\medskip 

\textbf{Commun à tous les candidats } 
\medskip 
\begin{enumerate}
\item $P(X=1)=\dfrac{\ln(2)-\ln (1)}{\ln (10)}=\dfrac{\ln (2)}{\ln (10)}\approx 0,301$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculons la fréquence. $f=\dfrac{11094}{36677}\approx 0,302$.

Ce résultat est donc très proche de $P(X = 1)$. 

Pour confirmer cette hypothèse, cherchons l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \%.

On a $n\geqslant 30$~,~$np \geqslant 5$~et ~$n(1-p)\geqslant 5$ on peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% : 

\[I=\left[p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}~;~p + 1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right].\]
		
Or $p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx  \np{0,2963}$ et $p + 1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx \np{0,3057}$.
		
Finalement $I \approx [\np{0,2963}~;~\np{0,3057}]$.

La fréquence de communes dont la population est un nombre commençant par 1 est environ $0,302$.

$0,302 \in I$ donc l'hypothèse ne peut pas raisonnablement être remise en doute.
	
	Cette observation est donc compatible avec l'affirmation : le premier chiffre de la population des communes en France au 1\up{er} janvier 2016 suit la loi de Benford.
\item À de très rares exceptions (personnes de petites tailles, ou personnes très grandes), la taille la plus courante pour un candidat au baccalauréat est comprise entre 100~cm et 199~cm.

Donc cela correspond au cas où $X = 1$ (cas ultra-majoritaire).

On s'attend donc à trouver $P(X = 1)\approx 1$. Mais d'après la première question, $P(X = 1)\approx 0,301$.

La loi de Benford n'est donc absolument pas adaptée à ce cas.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}