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%Corrigé : Nathalie Lognonné et Noël Debarle pour la spécialité
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}


\LARGE \bf
\textcolor{red}{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Liban juin 2013~\decofourright}	\vspace{0.2cm}

\rule[0.5ex]{3in}{0.5pt}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi toutes les fonctions définies sur $]0~;~+\infty[$ et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est : 

On sait que la fonction logarithme népérien est concave, que la fonction exponentielle est convexe donc son opposé sera concave.

On calcule alors la dérivée seconde des fonctions $f''_a(x)= 6x - 6$ et $f''_d(x)= 6$. 

Seule la fonction $f_d(x)$ a une dérivée positive sur $]0~;~+\infty[$ donc la bonne réponse est $d$.
 
\item On calcule les dérivées des fonctions proposées en éliminant les fonctions des réponses $a$ et $d$.

On a $F'_b(x)=1\times \ln x + x\times \dfrac{1}{x}-1= \ln x-1+ 1= \ln x$. La bonne réponse est donc $b$
 
\item On détermine une primitive de la fonction $f(x)= \text{e}^{2x}=\dfrac{1}{2}2\text{e}^{2x}$. 

On reconnait  la forme $u'\text{e}^u$ dont la primitive est $\text{e}^u$.

On a donc $F(x)= \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$ et par suite $\Int{0}{1}{f(x)}{x}=\left[F(x)\right]_0^\text{e} = F(\text{e})-F(0) = \dfrac{1}{2}\text{e}^2-\dfrac{1}{2}\text{e}^0=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^2 - 1\right)$. 

La bonne réponse est donc $d$.
 
\item On détermine à la calculatrice la valeur de $P(2\leqslant X \leqslant 3)$ sachant que $X$ suit une loi normale $\mathscr{N}(1~;~2^2)$ soit $P(2\leqslant X \leqslant 3)\approx 0,15$.

La bonne réponse est donc la question $a$.
  
\item 

On sait qu'un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.

On a $f=\dfrac{55}{100}$ et $n=100$ soit $\left[0,55-0,1~;~0,55+0,1\right]=[0,45~;~0,65]$.

La bonne réponse est donc la réponse $c$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On calcule $v_{n+1}= u_{n+1}-12 = 0,9u_n+1,2-12= 0,9u_n-10,8 = $
		
$0,9(u_n-12) = 0,9v_n$
		
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme 

$v_0=u_0-12=-2$
		\item En appliquant les formules sur les suites géométriques, on aura : 
		
$v_n=v_0\times q^n=-2\times 0,9^n$
		\item On a  $v_{n} = u_{n} - 12$. soit $u_{n} = v_{n}+12$ et donc pour tout $n$, $u_{n} = 12 - 2 \times  0,9^n$.
	\end{enumerate} 
\item Comme la raison de la suite $\left(v_n\right)$ est comprise entre $0$ et $1$, la limite de la suite $(v_n)$ est donc nulle.

Par suite, $\limite{n}{+\infty}u_n= \limite{n}{+\infty}v_n+12=12$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La diminution de $10\%$ de la population de la ville peut se traduire par le coefficient multiplicateur $0,9$ soit $0,9u_n$ auquel il faut ajouter les \np{1200} nouveaux habitants soit $1,2$ milliers.

On obtient donc bien $u_{n+1}= 0,9u_n+1,2$ 
\item On rajoute  dans la boucle Pour la relation de récurrence soit 

$a$ prend la valeur $0,9a + 1,2$,  ;

$a$ prenant la valeur du terme de la suite cherchée.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $12 - 2 \times 0,9^n > 11,5 \Leftrightarrow -2\times 0,9^n >-0,5 $
		
On multiplie l'inégalité par $- 1$ donc on change le sens de l'inégalité soit
	
$2\times 0,9^n < 0,5 \Leftrightarrow 0,9^n < 0,25$.
	
La fonction logarithme étant strictement croissante, on obtient : 
	
$\ln(0,9^n) < \ln(0,25) \Leftrightarrow n \ln(0,9)< \ln(0,25)$. 
	
$\ln(0,9)$ étant négatif, on aura $n>\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,9)}$ soit $n>13,15$.
	
Les solutions de l'inéquation sont donc les entiers naturels supérieur à $14$.
	\item La population de Bellecité sera supérieure à 11,5 milliers d'habitants à partir de l'année $2012 + 14$ soit $2026$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [5~;~60] par :

\[C(x) = \dfrac{\text{e}^{0,1x} + 20}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item $C$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur $[5;60]$ et on a :

$C'(x) = \dfrac{0,1\text{e}^{0,1x} \times x - \left(\text{e}^{0,1x} + 20\right) \times 1}{x^2}=\dfrac{0,1x\text{e}^{0,1x} - \text{e}^{0,1x} - 20}{x^2}$ 

\item On considère la fonction $f$ définie sur [5~;~60] par 

\[f(x) = 0,1x\text{e}^{0,1x} - \text{e}^{0,1x} - 20.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est dérivable sur $[5;60]$ comme produit de fonction dérivable et 
		
$f'(x)=0,1\text{e}^{0,1x} + 0,1x \times 0,1\text{e}^{0,1x}-0,1\text{e}^{0,1x} = 0,01x\text{e}^{0,1x}$.
		
Comme $x \in [5~;~60]$ et qu'une exponentielle est toujours positive, $f'(x) > 0$ pour tout $x\in [5~;~60]$ et par suite, $f$ est croissante.
		\item Comme $f$ est continue, strictement croissante, que $f(5) \approx -20,82$, $f(60) \approx \np{1997,1}$ et $0 \in [f(5)~;~f(60)]$ ; d'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte croissance, l'équation $f(x) = 0$ aura une unique solution $\alpha$ sur $[5~;~60]$.		

		\item En utilisant la calculatrice, comme $f(25) \approx -1,726$ et $f(26) \approx 1,5419$, on a l'encadrement suivant : $25\leqslant\alpha\leqslant26$.
		\item $f$ étant strictement croissante, $f(x)$ sera négatif sur $[5~;~\alpha]$ et positif sur $[\alpha~;~60]$
	\end{enumerate} 
\item Le signe de $C'(x)$ dépend du signe de $f(x)$ car $C'(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}$, on obtient le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab{$x$/1,Signe de  $f'(x)$/1,Variations de $f$/2}{$5$,$\alpha$,$60$}
{ ,-, z, +, }
{+/ $C(5)$ ,-/ $C(\alpha)$ , +/ $C(60)$}%
\end{tikzpicture}
\end{center} 

Avec $C(5) \approx 4,32$ ; $C(\alpha) \approx 1,3$ et $C(60) \approx 7,05$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'équation $C(x) = 2$ admet deux solutions, l'une dans l'intervalle $[5~;~\alpha]$ l'autre dans l'intervalle $[\alpha~;~60]$.
		\item L'équation $C(x) = 5$ admet une solutions dans l'intervalle $[\alpha~;~60]$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La fonction $C$ admet un minimum en $\alpha$, le nombre de vélo à produire sera donc soit $25$ soit $26$.

Comme $C(25) \approx \np{1,2873}$ et $C(26) \approx \np{1,2871}$, le co\^ut moyen minimal sera atteint pour une production de $26$ vélos.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item A l'aide des données du texte, on obtient l'arbre suivant :

\medskip
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{ $0,7$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{ $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{ $0,8$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{C}$}\tbput{ $0,3$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{ $0,9$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{ $0,1$}
}
}
\end{center}

\medskip

\item On cherche $P(C\cap T) = 0,7 \times 0,2 = 0,14$
\item $C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers, donc d'après les probabilités totales,

 $P(T) = P(C \cap T) + P\left[\overline{C}\cap T\right] = 0,14+0,3\times 0,9=0,41$
\item On cherche $P_T\left[\overline{C}\right] = \dfrac{P\left[T\cap \overline{C}\right]}{P(T)}=\dfrac{0,3\times 0,9}{0,41}=\dfrac{27}{41}$

\medskip
  
\item On obtient le tableau de la loi de probabilité de $X$ en s'aidant des données de l'arbre :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
$X_i$ 					& 0 								&6 		&10 \\ \hline 
$P\left(X = X_i\right)$ &$0,7\times 0,8+0,3\times0,1=0,59$ 	&0,14 	& $0,3\times0,9 = 0,27$ \\ \hline 
\end{tabular} 
\end{center} 
\item $E(X) = 0 \times 0,59 + 6\times 0,14 + 10\times 0,27 = 3,54$
\item Chaque terrain rapporte en moyenne $3,54$ \euro{} pour une heure d'utilisation, le gain moyen hebdomadaire des 10 terrains sera donc de $10 \times 70 \times 3,54 = \np{2478}$~\euro.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ce graphe comporte 9 sommets. Il est donc d'ordre 9.	
		\item Chacune des villes est reliée par autoroute à n'importe quelle autre ville. Le graphe est donc connexe.
		\item Il n'existe pas, par exemple, d'autoroute reliant directement Bordeaux à Clermont-Ferrand. Le graphe n'est donc pas complet.
	\end{enumerate} 
\item 
Il y a quatre sommets d'ordre impair (B~;~R~;~C~;~V). D'après le théorème d'Euler, il n'est donc pas possible de trouver une chaîne passant une fois et une seule par chaque arête.
\item 
 
	\begin{enumerate}
		\item 
		$$ 5 \times 0 + 3 \times 1 + 0\times 0 + 1 \times 0 + 1 \times 0 + 2 \times 0 + 6\times 0 + 1 \times 1 + 2 \times 0=4$$
		\item Il y a quatre trajets qui permettent d'aller de Lyon à Biarritz en 4 étapes.
	\end{enumerate}
\item ~
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
\scriptsize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
L	&B		&C&M&P&R&T&V&Z&choix\\ \hline
0	&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&L \\ \hline
	&$\infty$&10,7(L)&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&7,1(L)&$\infty$&V \\ \hline
	&$\infty$&10,7(L)&22,8(V)&23,3(V)&$\infty$&$\infty$&&$\infty$&C \\ \hline
	&$\infty$&&22,8(V)&19,3(V)&22,2(C)&$\infty$&&$\infty$&P \\ \hline
	&$\infty$&&22,8(V)&&22,2(C)&38,9(P)&&$\infty$&R \\ \hline
	&33,7(R)&&22,8(V)&&&36,8(R)&&$\infty$&M \\ \hline
	&33,7(R)&&&&&36,8(R)&&$\infty$&B \\ \hline
	&		&&&&&36,8(R)&&38,1(B)&T \\ \hline
	&		&&&&&&&38,1(B)&Z \\ \hline
\end{tabular}
		
\vspace*{5mm}
\normalsize
Le chemin qui minimise le coût des péages est le chemin qui, partant de, Lyon passe dans l'ordre par les villes de Clermont-Ferrand, de Brive et de Bordeaux pour arriver à Biarritz.
		\item Le coût de ce trajet est 38,10 \euro{}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}