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% remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions
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%\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
%\rhead{#3}
%\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat S  #1 du #2}}
%\lfoot{Baccalauréat 2018}
%\rfoot{A. Detant}
%\setcounter{page}{1}
%\cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}}
           % \rfoot{#3}
%\newgeometry{left=1.5cm, right=1.5cm , top=2cm , bottom=2.5cm}             
%                  }

 %** surlignage en jaune, rouge, vert ***
 \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
 \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}}
 \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}}
 
 % % % % % % % % % % % % % %
 % COMMANDES MATHÉMATIQUES %
 % % % % % % % % % % % % % %
 
 %\input{tabvar} %** permet d'utiliser Pst+ pour les tableaux de variation et arbres (ATTENTION tabvar.tex doit àªtre dans le répertoire de compilation du document)
 
 %** écrire un repère (hors environnement math)
 
 \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
  
 %** écrire une équivalence, une implication (dans un environnement math)
 
 \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow}
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 %** écrire une relation d'ordre (dans un environnement math)
 \newcommand{\pp}{\leqslant}
 \newcommand{\pg}{\geqslant}
 %*** Ensembles de nombres ***
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
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 %**** écrire un vecteur (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\,\,}}
 %**** écrire une variable aléatoire (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) }
 \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) }
 \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }
 %**** écrire un angle géométrique (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\anglg}[1]{$\widehat{#1\,\,}$}
 %**** écrire un angle orienté de vecteurs *****
 \newcommand{\anglor}[2]{$\left( ~\vect{#1}~;~\vect{#2}~\right) $}
 %***** Écrire un repère (en dehors de l'environnement math) *******
 \def\Oij{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O};~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
 %*** écrire i (dans un environnement mathématique)****
 \newcommand{\im}{\text{i}}
 %*** écrire e (dans un environnement mathématique)****
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 %*** écrire une exponentielle (dans un environnement mathématique)****
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 %*** écrire le symbole multiplié (dans un environnement mathématique)
 \newcommand{\x}{\times}
 %**** écrire un module (en dehors de l'environnement math)*****
 \renewcommand{\mod}[1]{$\left| #1\right| ~$}
 %**** écrire un conjugué (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\conj}[1]{$\overline{~#1~}~$}
 %**** écrire une intégrale (dans un environnement math)*****
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 %**** écrire une somme (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\somme}[4]{\displaystyle \sum_{#1=#2}^{#1=#3} \left(#4\right) ~}
 %**** écrire des limites (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
 \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
 \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}
 %\usepackage{fancyhdr}
\begin{document}


\titlespacing*{\subsubsection}
{0pt}%â£retraitâ£à â£gauche
{0ex plus 0ex minus 0ex}%â£espaceâ£avant
{0ex plus 0ex}%â£espaceâ£après
[0pt]%â£retraitâ£à â£droite
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat E.S. }
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{11 juin 2018}}
%\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat E.S. Centres étrangers  11 juin 2018~\decofourright}}
\end{center}

\label{exercice 1}
\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples. Pour chacune des questions
%suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
%n'est demandée. \\
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse à  une question ne rapportent ni
%n'enlèvent de point.\\
% Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
%question et indiquerez la seule réponse choisie.}
 
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \text{e}^{-3x} + \text{e}^2$.

%\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x) = - \text{e}^{-3x} + 2\text{e}$ 	&\textbf{B.~~}$f'(x) = -3\text{e}^{-3x}+ \text{e}^2$\\
\surj{\textbf{C.~~}$f'(x) = - 3\text{e}^{-3x}$} 		&\textbf{D.~~} $f'(x) = \text{e}^{-3x}$
\end{tabularx}

\begin{solution}{\red explication donnée à  titre indicatif}

$f=\exp{u}+\exp{2} \imp f'=u'\exp{u}$ avec $u(x)=-3x \imp u'(x)=-3$	

$\exp{2}$ est une constante donc sa dérivée est nulle	
\end{solution}

%\medskip

\item  ~%D'après une étude, le nombre d'objets connectés à  Internet à  travers le monde
%est passé de $4$ milliards en 2010 à  $15$ milliards en 2017. L'arrondi au dixième
%du taux d'évolution annuel moyen est de :

%\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} 10,5\,\% &\textbf{B.~~} 68,8\,\%\\
\textbf{C.~~} 39,3\,\% &\surj{\textbf{D.~~} 20,8\,\%}
\end{tabularx}

\begin{solution}{\red explication donnée à  titre indicatif}

Le coefficient multiplicateur global est $C=\dfrac{15}{4}=3,75$

Soit $c$ le coefficient multiplicateur annuel moyen sur ces 7 années alors $c^7=C$.

Donc $c=C^{\frac{1}{7}}\approx 1,208$

$1,208=1+\dfrac{20,8}{100}$ donc le taux d'évolution annuel moyen est une hausse d'environ 20,8\,\%

	
	
\end{solution}

%\medskip
\item  ~%Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 13$ et
%d'écart-type $\sigma = 2,4$. L'arrondi au centième de $P(X \geqslant 12,5)$ est:

%\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\surj{\textbf{A.~~} 0,58}&\textbf{B.~~} 0,42\\
\textbf{C.~~} 0,54&\textbf{D.~~} 0,63
\end{tabularx}

\begin{solution}{\red explication donnée à  titre indicatif}
	
$P(X \geqslant 12,5)\approx 0,58$ d'après la calculatrice	
\end{solution}

%\medskip

\item  ~%Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [14~;~16].
%$P(X \leqslant 15,5)$ est égal à  :

%\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~}0,97 	&\surj{\textbf{B.~~}0,75}\\
\textbf{C.~~}0,5		&\textbf{D.~~}$\dfrac{1}{4}$
\end{tabularx}

\begin{solution}{\red explication donnée à  titre indicatif}
	
$P(X \leqslant 15,5)=P(14\pp X \pp 15,5)=\dfrac{15,5-14}{16-14}=0,75$	
\end{solution}
\medskip
\end{enumerate}

%\newpage

\label{exercice 2-obli}
\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

%\medskip

%\begin{minipage}{0.9\linewidth}
%Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe
%un système de filtration.

%En journée, la masse d'algues augmente de 2\,\%, puis à  la nuit tombée, le propriétaire
%actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 1$00$~kg d'algues. On
%admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.

%Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation
%du système de filtration est de \np{2000}~kg.

%On modélise par $a_n$ la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation
%du système de filtration pendant $n$ jours ; ainsi, $a_0 = \np{2000}$. On admet que cette
%modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.
%\end{minipage}

%\bigskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d'algues après deux jours de
%fonctionnement du système de filtration est de \np{1878,8} kg.

\begin{solution}

Au soir du premier jour, la masse d'algues est de $\np{2000}+0,02\x\np{2000}=\np{2040}$~kg.

Le matin du second jour, après la filtration, il reste 	$\np{2040}-100=\np{1940}$~kg.

Au soir du second jour, la masse d'algues est de $\np{1940}+0,02\x\np{1940}=\np{1978,8}$~kg.

Le matin du troisième jour, après la filtration, il reste 	$\np{1978,8}-100=\np{1878,8}$~kg.


On a donc bien $a_2=\np{1878,8}$.
\end{solution}


\item %On affirme que pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 1,02a_n - 100$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier à  l'aide de l'énoncé la relation précédente.
		
		\begin{solution}
		
		Le coefficient multiplicateur associé à  une hausse de 2\,\% est 1,02 donc à  la fin de chaque journée, la masse d'algues présente après la filtration précédente est multipliée par 1,02. La nuit, la masse d'algues diminue de 100~kg à  l'aide de la filtration.
		
		On a donc bien $\forall n \in \N~,~a_{n+1}=1,02a_n-100$
			
		\end{solution}
		
		
		\item % On considère la suite $\left(b_n\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par:
		
%\[b_n = a_n - \np{5000}.\]
		
%Démontrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme
%$b_0$ et sa raison.

\begin{solution}

$\forall n \in \N~,~b_{n+1}=a_{n+1}-\np{5000}$

$\hphantom{\forall n \in \N~,~b_{n+1}}=1,02a_n-100-\np{5000}$

$\hphantom{\forall n \in \N~,~b_{n+1}}=1,02a_n-\np{5100}$

$\hphantom{\forall n \in \N~,~b_{n+1}}=1,02\left( a_n- \np{5000}\right) $

$\hphantom{\forall n \in \N~,~b_{n+1}}=1,02b_n $

$\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme 

$b_0=a_0-\np{5000}=-\np{3000}$

\end{solution}


		\item  %En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de
%$n$, puis montrer que $a_n = \np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n$.

\begin{solution}

$\forall n \in \N~,~b_n=b_0\x q^n=-\np{3000}\x 1,02^n$

donc $\forall n \in \N~,~a_n=b_n+\np{5000}=\np{5000}-\np{3000}\x 1,02^n$	
\end{solution}


		\item  %En déterminant la limite de la suite $\left(a_n\right)$, justifier que les algues finissent
%par disparaà®tre.

\begin{solution}

$\left|1,02 \right|>1$ donc \Lim{n}{+\infty}{1,02^n}=~$+\infty$ et par opération sur les limites, 

\Lim{n}{+\infty}{a_n}=~$-\infty$

D'après les définitions des limites cela signifie qu'il existe un rang $n_0$ à  partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]-\infty~;~0[$. 

On en déduit donc que pour tout $n\pg n_0~,~a_n<0$.

Les algues finissent donc bien par disparaà®tre.

\end{solution}


 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il détermine le nombre
%de jours nécessaire à  la disparition des algues.


\begin{solution}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline	
$N \gets 0$\\
$A \gets \np{2000}$\\
Tant que {\red $A \pg 0$}\\
\hspace{1cm}$A \gets {\red 1,02 \x A - 100}$\\
\hspace{1cm}$N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\
Afficher {\red $N$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{solution}


		\item %Quel est le résultat renvoyé par l'algorithme ?
		
		\begin{solution}
		
		L'algorithme renvoie la valeur $N=26$ car $a_{25}\approx 78$ et $a_{26}\approx -20$ 	
		\end{solution}
		
		
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre par le calcul l'inéquation $\np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n \leqslant 0$.
		
		\begin{solution}
		
		$\hphantom{\equi}\np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n \pp 0 $
		
		
		$\equi \np{3000} \times 1,02^n \pg \np{5000} $
		
		$\equi  1,02^n \pg \dfrac{5}{3} $
		
		$\equi \ln\left( 1,02^n \right)  \pg \ln\left(\dfrac{5}{3} \right)  $ \quad car $x \longmapsto \ln (x)$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$
		
		$\equi n\ln\left( 1,02 \right)  \pg \ln\left(\dfrac{5}{3} \right)  $
		
		$\equi  n \pg \dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{3} \right)}{\ln\left( 1,02 \right)}  $\quad car $\ln\left( 1,02 \right)>0$
		
		Or 	$\dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{3} \right)}{\ln\left( 1,02 \right)}\approx 25,8$
		
		Donc sur $\N$, $\np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n \pp 0 \equi n \pg 26$ 
		\end{solution}
		
		
		\item %Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on ?
		
		\begin{solution}
		
		On retrouve le fait que les algues ont disparues après 26 filtrations donc au matin du 27$\up{e}$ jour. 	
		\end{solution}
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{exercice 2-spé}
\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip

%\begin{minipage}{0.9\linewidth}
%Une société d'autoroute étudie l'évolution de l'état de ses automates de péage en
%l'absence de maintenance.

%Un automate peut se trouver dans l'un des états suivants:

%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] fonctionnel (F) ;
%\item[$\bullet~~$] en sursis (S) s'il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse;
%\item[$\bullet~~$] défaillant (D) s'il ne fonctionne plus.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}

%La société a observé que d'un jour sur l'autre :

%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] concernant les automates fonctionnels, 90\,\% le restent et 10\,\% deviennent
%en sursis;
%\item[$\bullet~~$] concernant les %automates en sursis, 80\,\% le restent et 20\,\% deviennent
%défaillants.
%\end{itemize}
%\end{minipage}
%\setlength\parindent{0cm}

%\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les
%évolutions possibles de l'état d'un automate.


\begin{solution}
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,1.5)
\cnodeput(0,0){A}{\large F}\cnodeput(3,0){B}{\large S}\cnodeput(6,0){C}{\large D}
\ncline{->}{A}{B}\ncline{->}{B}{C}
%\ncloop{A}{A}\ncloop{B}{B}\ncloop{C}{C}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{\red 0,9}
\nccircle[angleA=-90]{->}{C}{0.4cm}\Bput{1}
\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{0.4cm}\Aput{\red 0,8}
\uput[u](1.5,0){\red 0,1}\uput[u](4.5,0){\red 0,2}
\end{pspicture}
\end{center}

	
\end{solution}


		\item  %Interpréter le nombre 1 qui apparaà®t sur ce graphe.
		
		\begin{solution}
		
		Le nombre 1 signifie que la probabilité pour un automate défaillant de le rester est de 1. Il s'agit donc de l'évènement certain.	
		\end{solution}
		
		

		\item  %Voici la matrice de transition $M = \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée à  ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre F, S, D.

%Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.

\begin{solution}

$0,2$ est la probabilité pour un automate en sursis de devenir défaillant.	
\end{solution}


	\end{enumerate}
\item % à€ compter d'une certaine date, la société relève chaque jour à  midi l'état de
%ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :
	
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$f_n$ la probabilité qu'un automate soit fonctionnelle $n$-ième jour;
%\item[$\bullet~~$] $s_n$ la probabilité qu'un automate soit en sursis le $n$-ième jour;
%\item[$\bullet~~$] $d_n$ la probabilité qu'un automate soit défaillant le $n$-ième jour.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}

%On note alors $P_n = \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste le $n$-ième jour.

%Enfin, la société observe qu'au début de l'expérience tous ses automates sont fonctionnels: on a donc $P_0 = \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P_1$.
		
		\begin{solution}
		
		$P_1=P_0\x M=\begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\end{pmatrix}$	
		\end{solution}
		
		
		\item %Montrer que, le 3\up{e} jour, l'état probabiliste est $\begin{pmatrix}0,729 &0,217 &0,054\end{pmatrix}$.
		
		\begin{solution}
		On cherche $P_3$
		
		$P_3=P_0\x M^3=\begin{pmatrix}0,729 &0,217 &0,054\end{pmatrix}$	
		\end{solution}
		
		
		\item  %Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P = \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.
		
%Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée ?

\begin{solution}

$\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}\x \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$

Donc $P = \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$ est bien l'état stable du graphe.

On en déduit qu'avec le temps tous les automates seront défaillants.	
\end{solution}


	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1} = 0,1f_n + 0,8s_n$.
		
		\begin{solution}
		$P_n = \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix}$
		
		$\forall n \in \N~,~P_{n+1}=\begin{pmatrix}f_{n+1} &s_{n+1}&d_{n+1} \end{pmatrix}$
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~P_{n+1}}=P_n\x M $
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~P_{n+1}}= \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix}\x \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~P_{n+1}}= \begin{pmatrix}0,9f_n &0,1f_n+0,8s_n&0,2s_n+d_n \end{pmatrix}$
		
		
		On a donc bien $\forall n \in \N~,~s_{n+1} = 0,1f_n + 0,8s_n$	
		\end{solution}
		
		
		\item %On vérifierait de màªme que pour tout entier naturel $n$,
		
%\[d_{n+1} = 0,2s_n + d_n \quad \text{et } \:f_{n+1} = 0,9f_n.\]
		
%Compléter l'algorithme ci-dessous de sorte qu'il affiche le nombre de jours au
%bout duquel 30\,\% des automates ne fonctionnent plus.


\begin{solution}
	
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$D \gets 0$\\
$S \gets {\red 0}$\\
$F \gets 1$\\
$N \gets 0$\\
Tant que {\red $D < 0,3$}\\
\hspace{1cm}$D \gets 0,2 \times S + D$\\
\hspace{1cm}$S \gets 0,1 \times F + 0,8 \times S$\\
\hspace{1cm}$F \gets 0,9 \times F$\\
\hspace{1cm}$N \gets {\red N+1}$\\
Fin Tant que\\
Afficher {\red $N$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	
\end{solution}


		\item  %Au bout de combien de jours la proportion d'automates défaillants devient-elle
%supérieure à  30\,\% ?

\begin{solution}
Plusieurs méthodes:
\begin{itemize}
\item On programme l'algorithme qui affiche $N=8$

\item On calcule $P_n$ à  l'aide des matrices jusqu'à  obtenir ce que l'on cherche. $P_7$ donne $d_7\approx 0,25$ et $P_8$ donne $d_8\approx 0,31$
\end{itemize}

On en déduit donc que la proportion d'automates défaillants dépasse 30\% à  partir du 8$^\text{ème}$ jour.	
\end{solution}


		\item  %Dans le codage de la boucle \og Tant que \fg, l'ordre d'affectation des
%variables $D$, $S$ et $F$ est-il important ? Justifier.

\begin{solution}

L'ordre est important. Si on échange les deux premières lignes par exemple, la valeur de $S$ utilisée par l'instruction $D \gets 0,2 \times S + D$ sera décalée d'un jour par rapport à  celle souhaitée. 	
\end{solution}


	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\label{exercice 3}
\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

%\medskip

%Une entreprise dispose d'un stock de guirlandes électriques. On sait que 40\,\% des
%guirlandes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B.

%Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes
%provenant du fournisseur B peuvent àªtre utilisées uniquement en intérieur pour des
%raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent àªtre utilisées aussi bien en
%intérieur qu'en extérieur.

%\bigskip

\begin{enumerate}
\item %On choisit au hasard une guirlande dans le stock.

%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] On note $A$ l'évènement \og la guirlande provient du fournisseur A\fg{} et
%$B$ l'évènement \og la guirlande provient du fournisseur B \fg.
%\item[$\bullet~~$] On note $I$ l'évènement \og la guirlande peut àªtre utilisée uniquement en
%intérieur \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item %Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
		
		\begin{solution}
		
		
				\begin{center}
				\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
				\pstree[treemode=R]{\Tdot}
				{
				\pstree
				{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0,4$}}
				{
				\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{\small $0,25$}
				\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{\small $0,75$}
				}
				\pstree
				{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\small $0,6$}}
				{
				\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{\small $\dfrac{1}{3}$}
				\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{\small $\dfrac{2}{3}$}
				}
				}
				\end{center}
			
			\vspace{0.3cm}		
		\end{solution}
		
		
		\item %Montrer que la probabilité $P(I)$ de l'évènement $I$ est $0,3$.
		
		\begin{solution}
		
		$A$ et $B$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a :
		
		$P(I)=P(I\cap A)+P\left(I \cap B \right)$
		
		$\hphantom{P(I)}=P(A)\x P_A(I)+P(B)\x P_B(I)$
		
		$\hphantom{P(I)}=0,4\x 0,25+0,6\x \dfrac{1}{3}$
		
		$\hphantom{P(I)}=0,3$ 	
		\end{solution}
		
		
		\item %On choisit une guirlande pouvant àªtre utilisée aussi bien en intérieur qu'en
%extérieur. Le responsable de l'entreprise estime qu'il y a autant de chance
%qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
		
%Le responsable a-t-il raison ? Justifier.

\begin{solution}
Le responsable affirme que $P_{\overline{I}}(A)=P_{\overline{I}}(B)=0,5$


$P_{\overline{I}}(A)=\dfrac{P\left(A\cap \overline{I} \right) }{P\left(\overline{I} \right) }=\dfrac{P(A)\x P_A\left( \overline{I}\right)  }{1-P(I) }=\dfrac{0,4\x 0,75  }{0,7 }=\dfrac{3 }{7 }$

Donc le responsable a tord.
	
\end{solution}


 	\end{enumerate}
\item  %Une guirlande pouvant àªtre utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur est
%vendue $5$~\euro{} et une guirlande pouvant àªtre utilisée uniquement en intérieur est
%vendue $3$~\euro.
	
%Calculer le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock.

\begin{solution}
Soit $X$ la variable aléatoire associée au prix de vente de la guirlande. 

$X$ prend les valeurs 3 et 5.

$P(X=3)=P(I)=0,3$ et $P(X=3)=P\left(\overline{I} \right)=0,7$

La loi de probabilité de $X$ est donc donnée par le tableau

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c| *{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
$x_i$ &3 &5 &Total \\ \hline
$P(X=x_i)$ &0,3 &0,7 &1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

$E(X)=3\x 0,3 + 5 \x 0,7=4,4$. 

Donc le prix de vente moyen d'une guirlande est de 4,40~\euro.	
\end{solution}


\item  %Lors d'un contrà´le qualité, on prélève au hasard $50$ guirlandes dans le stock. Le
%stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à  un
%tirage aléatoire avec remise. On admet que la proportion de guirlandes
%défectueuses est égale à  $0,02$.
	
%Calculer la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le
%résultat à  $10^{-3}$.

\begin{solution}
On répète $n=50$ fois, de manière indépendante, une expérience n'ayant que deux issues (guirlande défectueuse ou non) dont la probabilité de \og succès \fg{} est $p=0,02$.

Si on appelle $X$ la variable aléatoire associée au nombre de guirlandes défectueuses alors $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,02$.

$P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,98^{50}\approx 0,636$

Donc la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse est d'environ 0,636.	
\end{solution}


\item %L'entreprise souhaite connaà®tre l'opinion de ses clients quant à  la qualité de ses
%guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à  partir d'un échantillon
%aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de
%confiance de 95\,\% à  l'aide d'un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou
%égale à  8\,\%.
	
%Combien l'entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?

\begin{solution}

L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% s'écrit 

$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] $ avec $n$ la taille de l'échantillon et $f$ la fréquence observée.

L'amplitude de cet intervalle est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,08$.


$\dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,08 \equi \sqrt{n} \pg 25 \equi n \pg 625$.

L'entreprise doit donc interroger au minimum 625 clients clients pour atteindre son objectif.	
\end{solution}


\end{enumerate}

%\newpage

\label{exercice 4}
\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 6 points}}

%\medskip

%On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~20]$ par:

%\[f(x) = \np{1000}(x + 5)\text{e}^{- 0,2x}.\]

%\medskip

\textbf{Partie A - Étude graphique}

%\medskip

%On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la
%fonction $f$.

%\emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.0012cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-200)(22,6000)
\multido{\n=0.0+0.4}{56}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6000)}
\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,6000)}
\multido{\n=0+200}{31}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(22,\n)}
\multido{\n=0+1000}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(22,\n)}
\multido{\n=0+1000}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[u](21,0){$x$} \uput[l](0,5800){$f(x)$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=6000]{->}(0,0)(0,0)(22,6000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x 5 add 1000 mul 2.71828 0.2 x mul exp div}

\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,3000)(6.88,3000)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=red](6.88,0)(6.88,3000)

\pspolygon[linecolor=green,fillstyle=solid,fillcolor=green,opacity=0.4](2.,0.)(2.,4600)(8.,2600)(8.,0.)
\multido{\n=0.0+0.4}{56}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6000)}
\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,6000)}
\multido{\n=0+200}{31}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(22,\n)}
\multido{\n=0+1000}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(22,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

%\bigskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre graphiquement et de faà§on approchée l'équation $f(x) = \np{3000}$.

\begin{solution}

Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = \np{3000}$ revient à  chercher les abscisses des points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et la droite d'équation $y=\np{3000}$.

On trouve $x\approx 6,8$.	
\end{solution}


\item %Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de $f$ entre 2 et 8 à 
%une unité d'aire près. Justifier la démarche.

\begin{solution}
La précision demandée est évidemment impossible à  atteindre: les petits carreaux du graphique représentent 80 unités d'aire!!

On peut approcher l'aire demandée par celle d'un trapèze de bases \np{4600} et \np{2600} et de hauteur 6 (voir graphique).

Ainsi l'integrale est approchée par $\dfrac{(\np{4600} + \np{2600})\x 6}{2}=\np{21600}$ unités d'aire.

\underline{Remarque}: à la calculatrice, on trouve $\integ{2}{8}{f(x)}{x}\approx \np{22049}$.	
\end{solution}


\end{enumerate}

%\newpage

\textbf{Partie B - Étude théorique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~20].

%Démontrer que pour tout $x$ de [0~;~20], $f'(x) = - 200x\text{e}^{-0,2x}$.

\begin{solution}

$f$ est une composée et un produit de fonctions dérivables sur [0~;~20] donc elle est dérivable sur $[0~;~20]$

 $f=u\exp{v}~\imp~f'=u'\exp{v}+uv'\exp{v}=(u'+uv')\exp{v}$ 
 
 Avec $\begin{cases}
 u(x)=\np{1000}(x+5)\\v(x)=-0,2x
 \end{cases}~\imp~\begin{cases}
  u'(x)=\np{1000}\\v'(x)=-0,2
  \end{cases}$
  
  $\forall x \in [0~;~20]~,~f'(x)=(\np{1000}-200(x+5))\exp{-0,2x}=- 200x\text{e}^{-0,2x}$.
  
  	
\end{solution}


\item  %En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur
%l'intervalle [0~;~20]. Si nécessaire, arrondir à  l'unité les valeurs présentes dans
%le tableau.

\begin{solution}

Sur $[0~;~20],~-200x\pp 0$ et $\exp{-0,2x}>0$ on en déduit que $f'(x)\pp 0$ sur $[0~;~20]$.

On en déduit le tableau suivant:

 \begin{center}
			\psset{unit=1cm}
			\begin{pspicture}(9,3.5)
			\psframe(9,3.5)
			\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(0,3)(9,3)\psline(1,0)(1,3.5)
			\uput[u](0.5,2.9){$x$} \uput[u](1.4,2.9){$0$}  \uput[u](8.5,2.9){$20$} 
			\rput(0.5,2.75){$f'(x)$}\rput(1.4,2.75){$0$} \rput(5,2.75){-}
			\uput[u](1.5,2){$\np{5000} $}
			\uput[u](8.5,0){$f(20) $}
			\rput(0.5,1){$f(x)$}
			\psline{->}(2,2.1)(8,0.3)
			\end{pspicture}
		\end{center} 
		
		\vspace{0.4cm}
		$f(20)=\np{25000}\exp{-4}\approx 458$
			
\end{solution}


\item  %Démontrer que l'équation $f(x) = \np{3000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur
%[0~;~20], puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à  $10^{-2}$ près à  l'aide de la
%calculatrice.

\begin{solution}

Sur $[0~;~20],~f$ est continue et strictement décroissante à  valeurs dans $\left[f(20)~;~\np{5000} \right]$ or $\np{3000}\in \left[f(20)~;~\np{5000} \right]$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=\np{3000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0~;~20]$.

Par balayage $\alpha \approx 6,88$ 	
\end{solution}


\item  %On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par l'expression

%$F(x) = - \np{5000}(x + 10)\text{e}^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~20].

%Calculer $\displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 
%l'unité.

\begin{solution}

$\integ{2}{8}{f(x)}{x}=F(8)-F(2)$

$\hphantom{\integ{2}{8}{f(x)}{x}}=\left(-\np{90000}\exp{-1,6} \right) -\left(-\np{60000}\exp{-0,4} \right)$

$\hphantom{\integ{2}{8}{f(x)}{x}}=\np{30000}\exp{-0,4}\left(2-3\exp{-1,2} \right)  $

$\hphantom{\integ{2}{8}{f(x)}{x}}\approx \np{22049}$	
\end{solution}


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Application économique}

\medskip

%La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0~;~20] par la
%fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.

%Le nombre $f(x)$ représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est
%égal à  $x$ euros.

%Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes:

%\bigskip

\begin{enumerate}
\item %En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle
%supérieure à  \np{3000}~objets ?

\begin{solution}

D'après la question 3 de la partie B on sait que $f(x)\pg \np{3000}$ sur $[0~;~\alpha]$.

On en déduit que pour un prix inférieur à  6\euro{}88, la demande est supérieure à  \np{3000}~objets.	
\end{solution}


\item %Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle
%[2~;~8]. Interpréter ce résultat.

\begin{solution}

La valeur moyenne de $f$ sur $[2~;~8]$ est $\mu = \dfrac{1}{6}\integ{2}{8}{f(x)}{x}$.

D'après la question 4 de la partie B on a donc $\mu=\np{5000}\exp{-0,4}\left(2-3\exp{-1,2} \right)  \approx \np{3675}$.

On en déduit qu'en moyenne la demande est de \np{3675}~objets pour un prix unitaire compris entre 2 et 8~\euro{}.	
\end{solution}
\end{enumerate}
\end{document}