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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : Arié Yallouz
%Correction : René Roux
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Centres étrangers 11 juin 2018},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du  baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small 11 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Etranger}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~ Corrigé du  baccalauréat Centres étrangers  ES 11 juin 2018~\decofourright\\[5pt]}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
%suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
%n'est demandée. \\
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
%n'enlèvent de point.\\
% Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
%question et indiquerez la seule réponse choisie.}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \text{e}^{-3x} + \text{e}^2$.

\medskip
Pour tout réel $x$, $f'(x)=-3\times \text{e}^{-3x}+0=- 3\text{e}^{-3x}$ \hfill{\textbf{Réponse C}}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{A.~~} $f'(x) = - \text{e}^{-3x} + 2\text{e}$ 	&\textbf{B.~~} $f'(x) = -3\text{e}^{-3x}+ \text{e}^2$\\
%\textbf{C.~~} $f'(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ 		&\textbf{D.~~} $f'(x) = \text{e}^{-3x}$
%\end{tabularx}
\medskip

\item  D'après une étude, le nombre d'objets connectés à Internet à travers le monde
est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L'arrondi au dixième
du taux d'évolution annuel moyen est de :

\medskip
Soit $t$ le taux moyen annuel. De 2010 à 2017, 7 années se sont écoulées. Passer de 4 milliards à 15 milliards, correspond à un taux total de $\dfrac{15}{4}=3,75$. On en déduit que : $t^7=3,75$ donc $t=^7\sqrt{3,75}\approx 1,208$, soit une augmentation de $20,8\,\%$ environ. \hfill{\textbf{Réponse D}}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{A.~~} 10,5\,\% &\textbf{B.~~} 68,8\,\%\\
%\textbf{C.~~} 39,3\,\% &\textbf{D.~~} 20,8\,\%
%\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 13$ et
d'écart-type $\sigma = 2,4$. L'arrondi au centième de $P(X \geqslant 12,5)$ est:

\medskip
$P(X \geqslant 12,5)=0,5+P(12,5 \leqslant X \leqslant 13) \approx 0,583$. \hfill{\textbf{Réponse A}}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{A.~~} 0,58&\textbf{B.~~} 0,42\\
%\textbf{C.~~} 0,54&\textbf{D.~~} 0,63
%\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [14~;~16].
$P(X \leqslant 15,5)$ est égal à :

\medskip
$P(X \leqslant 15,5)=\dfrac{15,5-14}{16-14}=\dfrac{1,5}{2}=0,75$. \hfill{\textbf{Réponse B}}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{A.~~}0,97 &\textbf{B.~~} 0,75\\
%\textbf{C.~~}0,5&\textbf{D.~~}$\dfrac{1}{4}$
%\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

%Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe
%un système de filtration.
%
%En journée, la masse d'algues augmente de 2\,\%, puis à la nuit tombée, le propriétaire
%actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 1$00$~kg d'algues. On
%admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.
%
%Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation
%du système de filtration est de \np{2000}~kg.
%
%On modélise par $a_n$ la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation
%du système de filtration pendant $n$ jours ; ainsi, $a_0 = \np{2000}$. On admet que cette
%modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.

\medskip

\begin{enumerate}
%\item Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d'algues après deux jours de
%fonctionnement du système de filtration est de \np{1878,8} kg.
\item Augmenter de 2 \%, revient à multiplier par 1,02.\\
Donc $a_1=1,02\times a_0-100=1,02\times \np{2000} - 100= \np{1940}$ et $a_2=1,02\times a_1-100=1,02\times 1940-100=\np{1978,8}$
\item On affirme que pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 1,02a_n - 100$.
	\begin{enumerate}
%		\item Justifier à l'aide de l'énoncé la relation précédente.
\item Augmenter de 2\,\%, revient à multiplier par 1,02.\\
Pour tout entier naturel $n$, on note par $a_n$ la masse l'algues le jour $n$, et par $a_{n+1}$ celle du jour $n+1$.\\
Donc pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=a_n \times 1,02 -100 = 1,02a_n - 100$
		\item  On considère la suite $\left(b_n\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $b_n = a_n - \np{5000}$.\
		%Démontrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme $b_0$ et sa raison.
		Pour tout entier naturel $n$,\\ $b_{n+1}=a_{n+1}- \np{5000} = 1,02a_n- 100 - \np{5000}=1,02a_n- \np{5100}= 1,02\left(a_n-\dfrac{\np{5100}}{1,02}\right) \\=1,02(a_n - \np{5000}) = 1,02b_n$\\
		Donc la suite $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,02$, et de premier terme $b_0=a_0- \np{5000}= - \np{3000}$.
		
%		\item  En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de
%$n$, puis montrer que $a_n = \np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n$.
		\item D'après la question précédente, pour tout entier naturel n, $b_n=b_0\times q^n=- \np{3000}\times 1,02^n$.\\
		De plus $a_n=b_n+ \np{5000} = - \np{3000}\times 1,02^n+\np{5000}$.
%		\item  En déterminant la limite de la suite $\left(a_n\right)$, justifier que les algues finissent
%par disparaître.
		\item $q>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}1,02^n=+\infty $ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}a_n=-\infty $\\
		Donc à partir d'un certain rang $N$, pour tout entier naturel $n$ supérieur à $N$, $a_n\leqslant 0$. Les algues finiront donc par disparaître au bout d'un minimum de $N$ jours. 
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item L'algorithme suivant détermine le nombre
de jours nécessaire à la disparition des algues.
	

		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline	
$N \gets 0$\\
$A \gets \np{2000}$\\
Tant que $\color{red}{A \geqslant 0}$\\
\hspace{1cm}$A \gets \color{red}{1,02A-100}$\\
\hspace{1cm}$N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\
Afficher \color{red}{$N$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item L'algorithme renvoie la valeur $N=26$. En effet, $a_{25} \approx 78,2$ et $a_{26}\approx -20,15$.
		
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $\np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n \leqslant 0 \iff  - \np{3000} \times 1,02^n \leqslant - \np{5000} \iff 1,02^n \geqslant \dfrac{\np{- 5000}}{\np{- 3000}} \\ \iff \ln(1,02^n) \geqslant \ln\left(\dfrac{5}{3}\right) \iff n\times \ln(1,02) \geqslant \ln\left(\dfrac{5}{3}\right) \iff n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)} \iff n\geqslant 26$.
%		\item Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on ?
		\item Au bout de 26 jours, la totalité des algues aura disparu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une société d'autoroute étudie l'évolution de l'état de ses automates de péage en
%l'absence de maintenance.
%
%Un automate peut se trouver dans l'un des états suivants:
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] fonctionnel (F) ;
%\item[$\bullet~~$] en sursis (S) s'il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse;
%\item[$\bullet~~$] défaillant (D) s'il ne fonctionne plus.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%La société a observé que d'un jour sur l'autre :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] concernant les automates fonctionnels, 90\,\% le restent et 10\,\% deviennent
%en sursis;
%\item[$\bullet~~$] concernant les automates en sursis, 80\,\% le restent et 20\,\% deviennent
%défaillants.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe probabiliste ci-après qui représente les évolutions possibles de l'état d'un automate.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,1.5)
\cnodeput(0,0){A}{\large F}\cnodeput(3,0){B}{\large S}\cnodeput(6,0){C}{\large D}
\ncline{->}{A}{B}\ncline{->}{B}{C}
%\ncloop{A}{A}\ncloop{B}{B}\ncloop{C}{C}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{\color{red}{0,9}}
\nccircle[angleA=-90]{->}{C}{0.4cm}\Bput{1}
\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{0.4cm}\Aput{\color{red}{0,8}}
\uput[u](1.5,0){\color{red}{0,1}}\uput[u](4.5,0){\color{red}{0,2}}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  Le nombre 1 qui apparaît sur ce graphe, signifie que la totalité des automates défectueux le reste.

%		\item  Voici la matrice de transition $M = \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre F, S, D.
%Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.
		\item Le coefficient 0,2 correspond aux 20 \% des automates en sursis qui deviennent défectueux.

	\end{enumerate}
%\item  À compter d'une certaine date, la société relève chaque jour à midi l'état de
%ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :
	
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$f_n$ la probabilité qu'un automate soit fonctionnelle $n$-ième jour;
%\item[$\bullet~~$] $s_n$ la probabilité qu'un automate soit en sursis le $n$-ième jour;
%\item[$\bullet~~$] $d_n$ la probabilité qu'un automate soit défaillant le $n$-ième jour.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%On note alors $P_n = \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste le $n$-ième jour.
%
%Enfin, la société observe qu'au début de l'expérience tous ses automates sont fonctionnels: on a donc $P_0 = \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P_1=P_0 \times M= \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\end{pmatrix}$.
	
%		\item Montrer que, le 3\up{e} jour, l'état probabiliste est $\begin{pmatrix}0,729 &0,217 &0,054\end{pmatrix}$.
		\item  $P_1=P_0 \times M^3= \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}^3= \begin{pmatrix}0,729 &0,217 &0,054\end{pmatrix}$
%		\item  Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P = \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.
%		\item L'état stable est l'unique solution de l'équation $P=P\times M$. Calculons donc $P\times M$.\\
%		$P\times M =  \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}=P$. Donc P est l'unique état stable de ce graphe.
		\item Soit $P=\begin{pmatrix}x &y &z\end{pmatrix}$ un état stable, avec $x+y+z=1$. Nous avons : $P=P\times M$. Cela donne : \\
		$P=\begin{pmatrix}x &y &z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x &y &z\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9x &0,1x+0,8y &0,2y+z\end{pmatrix}$.\\
		On obtient le système suivant : \\
		$\left\{\begin{array}{rcr} 0,9x & = & x \\	0,1x+0,8y & = & y \\ 0,2y+z & = & z \\ x+y+z & = & 1 \\\end{array}\right. \iff 
		\left\{\begin{array}{rcr} -0,1x & = & 0 \\	0,1x-0,2y & = & 0 \\ 0,2y & = & 0 \\ x+y+z & = & 1 \\\end{array}\right. \iff
		 \left\{\begin{array}{rcr} x & = & 0 \\	y & = & 0 \\  x+y+z & = & 1 \\\end{array}\right. \iff 
		  \left\{\begin{array}{rcr} x & = & 0 \\	y & = & 0 \\  z & = & 1 \\\end{array}\right.$\\
		Donc $P=\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$ est l'unique état stable. Cela signifie qu'au bout d'un certain temps, tous les automates seront défectueux ($D=1$).
%Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1} = 0,1f_n + 0,8s_n$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n\times M$.\\
		Donc $P_{n+1} = \begin{pmatrix}f_{n+1} &s_{n+1}&d_{n+1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}=$
		
$P_{n+1} = \begin{pmatrix}0,9f_n &0,1f_n+0,8s_n&0,2s_n+d_n \end{pmatrix}$.
		
Donc $f_{n+1}=0,9f_n$ \; , \; $s_{n+1}=0,1f_n + 0,8s_n$ \; et \; $d_{n+1}=0,2s_n+d_n$.

Donc pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1} = 0,1f_n + 0,8s_n$.
%		\item On vérifierait de même que pour tout entier naturel $n$,
%		
%\[d_{n+1} = 0,2s_n + d_n \quad \text{et } \:f_{n+1} = 0,9f_n.\]
%		
%Compléter l'algorithme ci-dessous de sorte qu'il affiche le nombre de jours au
%bout duquel 30\,\% des automates ne fonctionnent plus.
		\item 	L'algorithme ci-dessous affiche le nombre de jours au bout duquel 30\,\% des automates ne fonctionnent plus.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$D \gets 0$\\
$S \gets \color{red}{0}$\\
$F \gets 1$\\
$N \gets 0$\\
Tant que $\color{red}{D\leqslant 0,30}$\\
\hspace{1cm}$D \gets 0,2 \times S + D$\\
\hspace{1cm}$S \gets 0,1 \times F + 0,8 \times S$\\
\hspace{1cm}$F \gets 0,9 \times F$\\
\hspace{1cm}$N \gets \color{red}{N+1}$\\
Fin Tant que\\
Afficher $\color{red}{N}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%		\item  Au bout de combien de jours la proportion d'automates défaillants devient-elle
%supérieure à 30\,\% ?
		\item La tableau suivant donne les valeurs de $N$, $D$, $S$ et $F$ :
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline 
			$N$& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \color{red}{8} \\ 
				\hline 
			$D$	& 0 & 0 & 0,02 & 0,054 & 0,0974 & 0,1467 & 0,1932 & 0,2531 & \color{red}{0,3068} \\ 
				\hline 
			$S$	& 0 & 0,1 & 0,17 & 0,217 & 0,2465 & 0,2628 & 0,2693 & 0,2686 & 0,2627 \\ 
				\hline 
			$F$	& 1 & 0,9 & 0,82 & 0,729  & 0,6561  & 0,5905 & 0,5314 & 0,4783 & 0,4305 \\ 
				\hline 
			\end{tabular} 
			
		\end{center} 
	L'algorithme affiche donc la valeur 8. Il faudra donc 8 jours pour que plus de 30 \% des automates ne fonctionnent plus.
%		\item  Dans le codage de la boucle \og Tant que \fg, l'ordre d'affectation des
%variables $D$, $S$ et $F$ est-il important ? Justifier.
		\item Si on change l'ordre des affectations dans la boucle, les différentes valeurs de $D$, $S$ et $F$ changent. Par exemple, si la ligne $F \gets 0,9 \times F$ passe en premier, lors que la première boucle, $F$ prendra la valeur 0,9 (au lieu de 1). La valeur de $D$ qui suit ne change pas et reste à 0,1. Mais la valeur de $S$ change pour passer à 0,09 (au lieu de 0,1).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

%Une entreprise dispose d'un stock de guirlandes électriques. On sait que 40\,\% des
%guirlandes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B.
%
%Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes
%provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des
%raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en
%intérieur qu'en extérieur.

%\bigskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard une guirlande dans le stock.

%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] On note $A$ l'évènement \og la guirlande provient du fournisseur A\fg{} et
%$B$ l'évènement \og la guirlande provient du fournisseur B \fg.
%\item[$\bullet~~$] On note $I$ l'évènement \og la guirlande peut être utilisée uniquement en
%intérieur \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item L'arbre pondéré ci-dessous décrit la situation.
\begin{center}
{%\small
	\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=10mm,nrot=:U}
	\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
	{\TR{}}
	{
		\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,4$}}
		{
			\TR{$I$}\naput{$\dfrac{1}{4}$}
			\TR{$\overline{I}$}\nbput{\red $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$}
		}
		\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}}
		{
			\TR{$E$}\naput{$\dfrac{1}{3}$}
			\TR{$\overline{I}$}\nbput{\red $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$}
		}
	}
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}

%		\item Montrer que la probabilité $P(I)$ de l'évènement $I$ est $0,3$.
		\item Formule des probabilités totales : \\ $p(I)=p(A\cap I)+p(B\cap I)=p(A)\times p_A(I)+p(B)\times p_B(I)=0,4\times\dfrac{1}{4}+0,6\times \dfrac{1}{3}=0,1+0,2=0,3$
%		\item On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en
%extérieur. Le responsable de l'entreprise estime qu'il y a autant de chance
%qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
%		
%Le responsable a-t-il raison ? Justifier.
		\item Formule de Bayes : $p_{\overline{I}}(A)=\dfrac{p(A\cap \overline{I})}{p(\overline{I})}=\dfrac{p(A)\times p_A(\overline{I})}{p(\overline{I})}=\dfrac{0,4 \times\dfrac{3}{4}}{1-0,3}=\dfrac{0,3}{0.7}=\dfrac{3}{7}\neq \dfrac{1}{2}$.\\
Le responsable de l'entreprise a tort d'estimer qu'il y a autant de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.		
 	\end{enumerate}
%\item  Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur est
%vendue $5$~\euro{} et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est
%vendue $3$~\euro.
%	
%Calculer le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock.
\item Le prix moyen sera : $E=3\times p(I)+5\times p(\overline{I})=4,4$~\euro

%\item  Lors d'un contrôle qualité, on prélève au hasard $50$ guirlandes dans le stock. Le
%stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un
%tirage aléatoire avec remise. On admet que la proportion de guirlandes
%défectueuses est égale à $0,02$.
%	
%Calculer la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le
%résultat à $10^{-3}$.
\item Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de guirlandes défectueuses, dans un lot de $50$. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,02$.\\
$p(X\geqslant 1)=1-p(X<1)=1-p(X=0)=1-(1-0,02)^{50}\approx 0,636$


%\item L'entreprise souhaite connaître l'opinion de ses clients quant à la qualité de ses
%guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon
%aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de
%confiance de 95\,\% à l'aide d'un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou
%égale à 8\,\%.
%	
%Combien l'entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?
\item L'amplitude d'un intervalle de confiance est : $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$. Chercher une amplitude inférieure ou égale à 0,08 revient à résoudre : $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,08$.\\
$\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,08 \iff \dfrac{\sqrt{n}}{2} \geqslant \dfrac{1}{0,08} \iff \dfrac{\sqrt{n}}{2} \geqslant 12,5 \iff \sqrt{n} \geqslant 25 \iff n\geqslant 625$.\\
L'entreprise doit interroger  625 clients au minimum.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\medskip

%On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~20]$ par:
%
%\[f(x) = \np{1000}(x + 5)\text{e}^{- 0,2x}.\]
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie A - Étude graphique}
%
%\medskip
%
%On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la
%fonction $f$.
%
%\emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.}
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.0012cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-1,-200)(22,6000)
%\multido{\n=0.0+0.4}{56}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6000)}
%\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,6000)}
%\multido{\n=0+200}{31}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(22,\n)}
%\multido{\n=0+1000}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(22,\n)}
%\multido{\n=0+1000}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
%\uput[u](21,0){$x$} \uput[l](0,5800){$f(x)$}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=6000]{->}(0,0)(0,0)(22,6000)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x 5 add 1000 mul 2.71828 0.2 x mul exp div}

%\pspolygon[linecolor=green,fillstyle=solid,fillcolor=green,opacity=0.8](1.,0.)(4.,0.)(4.,5.)(1.,5.)
%\pspolygon[linecolor=red,hatchcolor=red,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.1](1.,0.)(4.,0.)(4,2.)(3.5,3)(2.5,3)(2,4)(1.,4)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
%\item Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = \np{3000}$.
%\item Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de [ entre 2 et 8 à
%une unité d'aire près. Justifier la démarche.

\item Graphiquement l'équation $f(x) = \np{3000}$ admet comme solution : $x\approx 7$ (dans la limite de précision du graphique).
\item La partie hachurée ci-dessous a été uniquement tracée avec des carreaux entiers, des moitiés ou des quarts. Son aire correspond à $10,5$ carreaux. Chaque carreau correspond à $\np{2000}$ unités d'aires, donc $I\approx \np{21000}$ unités d'aires.\\
\textit{Remarques :} 
\begin{itemize}
	\item avec la calculatrice on trouve $I\approx \np{22000}$ ;
	\item En comptant les petits carreaux (le 25\up{e} d'un grand carreau, soit $\dfrac{\np{2000}}{25}=80$ unités d'aires), on trouve (environ) 271 petits carreaux entiers, soit en unités d'aires : $271\times 80= \np{21680}$ unités d'aire.
\end{itemize} avec la calculatrice on trouve $I\approx \np{22000}$.

\begin{center}
	\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.0012cm,comma=true}
	\begin{pspicture}(-1,-200)(22,6000)
	\multido{\n=0.0+0.4}{56}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6000)}
	\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,6000)}
	\multido{\n=0+200}{31}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(22,\n)}
	\multido{\n=0+1000}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(22,\n)}
	\multido{\n=0+1000}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
	\uput[u](21,0){$x$} \uput[l](0,5800){$f(x)$}
	\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=6000]{->}(0,0)(0,0)(22,6000)
	\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x 5 add 1000 mul 2.71828 0.2 x mul exp div}
	\pspolygon[linecolor=red,hatchcolor=red,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.1](2,0)(2,4500)(4,4000)(6,3000)(8,2500)(8,0)
	%\pspolygon[linecolor=green,fillstyle=solid,fillcolor=green,opacity=0.8](1.,0.)(4.,0.)(4.,5.)(1.,5.)
	\end{pspicture}
\end{center}


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude théorique}

\medskip

\begin{enumerate}
%\item On note $f'$ la dérivée de la fonction [sur [0~;~20].
%
%Démontrer que pour tout $x$ de [0~;~20], $f'(x) = - 200x\text{e}^{-0,2x}$.
\item On admet que $f$ est dérivable sur $[0\,;\,20]$. Donc pour tout réel $x$ appartient à l'intervalle $[0\,;\,20]$ :\\
$f(x)$ est de la forme $u(x)\times v(x)$ avec $u(x)=\np{1000}(x+5)=\np{1000}x+\np{5000}$ et $v(x)=\text{e}^{-0,2x}$.\\
En écrivant  $u'(x)=\np{1000}$ et $v'(x)=-0,2\text{e}^{-0,2x}$, \\
$f'(x)=\np{1000}\times \text{e}^{-0,2x}+\np{1000}(x+5)\times -0,2\text{e}^{-0,2x}=\np{1000}\text{e}^{-0,2x}\left(1+(x+5)\times -0,2\right)=\np{1000}\text{e}^{-0,2x}(-0.2x)=-200x\text{e}^{-0,2x}$


%\item  En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur
%l'intervalle [0~;~20]. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans
%le tableau.

\item Pour tout réel $x\in [0\,;\,20]$, $-200x \leqslant 0$ et $\text{e}^{-0,2x}>0$, donc $f'(x)\leqslant 0$ donc f est strictement décroissante sur $[0\,;\,20]$. Donc le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0\,;\,20]$ est : 

\begin{center}
	{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
		\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
		\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
		\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
		$\begin{array}{|c|*3{c}|}
		\hline
		x & 0  & \esp\esp & 20 \\ 
		\hline
		f'(x) &  &   \pmb{-}  & \\ 
		\hline
		& \Rnode{max}{\np{5000}} &  & \\  
		f(x) &  &      & \\ 
		&  &   & \Rnode{min}{\np{25000}\text{e}^{-4}}      \rule{0pt}{\hauteur}    
		\ncline{->}{max}{min} 
		\\ 
		\hline
		\end{array} $
	}
\end{center}

$f(0)=\np{5000}$ \quad et \quad $f(20)=\np{25000}\text{e}^{-4}\approx 458$.



%\item  Démontrer que l'équation $f(x) = \np{3000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur
%[0~;~20], puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l'aide de la
%calculatrice.
\item Sur l'intervalle $[0\,;\,20]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante. Or $\np{3000} \in \left[\np{25000}\text{e}^{-4}\,;\,\np{5000}\right]$. D'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=\np{3000}$ admet une unique solution  notée $\alpha$ sur l'intervalle $[0\,;\,20]$. \`A l'aide de la calculatrice,  $\alpha \approx 6,88$

%\item  On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par l'expression
%
%$F(x) = - \np{5000}(x + 10)\text{e}^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~20].
%
%Calculer $\displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à
%l'unité.
\item $\displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x=\left[F(x)\right]_2^8=F(8)-F(2)=-\np{90000}\text{e}^{-1,6}+\np{60000}\text{e}^{-0,4}\approx \np{22048}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Application économique}

\medskip

%La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0~;~20] par la
%fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.
%
%Le nombre $f(x)$ représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est
%égal à $x$ euros.
%
%Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes:
%
%\bigskip

\begin{enumerate}
%\item En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle
%supérieure à \np{3000}~objets ?

\item D'après les questions 2 et 3 de la partie B, on en déduit que si $x\leqslant \alpha$ ($\alpha \approx 6,88$) alors 

$f(x)\leqslant \np{3000}$. Donc le prix unitaire doit être inférieur à $6,88$ \euro.

\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle
[2~;~8]. Interpréter ce résultat.

\item La  valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~8]$ est égale à :\\ $\dfrac{1}{8-2}\displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x=\dfrac{1}{6}\times \left[F(8)-F(2)\right]\approx \np{3675}$.\\
Cela signifie que, pour un prix unitaire compris entre 2 et 8 euros, la quantité d'objets demandés sera en moyenne égale à $\np{3675}$.
\end{enumerate}
\end{document}