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%Tapuscrit de Denis Vergès
%Corrigé : Philippe Logel 
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\usepackage[babel=true]{csquotes}%permet la gestion des guillements :exemple Je cite : 
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  \stepcounter{nexo} 
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\begin{document}
\rhead{\textbf{Lycée International des Pontonniers}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{10 juin 2015}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \black  \decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers 10 juin 2015~\decofourright} \end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\begin{enumerate}
	\item %1
		Par lecture graphique la tangente au point d'abscisse A, passe par le point de coordonnées B(5~;~0), le coefficient directeur vaut : $\dfrac{y_{B}-y_{A} }{x_{B}-x_{A} } = \dfrac{0-3 }{5-3 } = -\dfrac{3}{2}$, $f'(3)=-\dfrac{3}{2}$, \textbf{c'est la réponse d.}
	\item %2
		$T$ est une tangente qui coupe la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de $f$, en A est donc un point d'inflexion, ainsi $f''(3)=0$, \textbf{c'est la réponse b.}
	\item %3
		Comme $F'(x)=f(x)$ (puisque $F$ est une primitive de $f$) et que pour tout $x \in [1~;~7]$ : $f(x)\geqslant0  \Rightarrow F'(x)  \geqslant 0$ sur ce même intervalle, la fonction $F$ est donc croissante sur [1~;~7].  \textbf{C'est la réponse a.}
	\item %4
		Par lecture graphique : $3 \leqslant I \leqslant 4$, \textbf{C'est la réponse c.}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
Au premier janvier 2016, on a perdu 15 \% des vélos, soit : $200 \times \left( 1-\dfrac{15}{100}  \right) = 200 \times 0,85$, mais on rajoute 42 nouveaux vélos mis en service, soit : $200 \times 0,85+42 = 212$.
	\item %2
Cette démarche restant la même si nous passons d'une année $n$ à  une année $n+1$, on perd toujours 15 \% des vélos, soit encore : $u_n\times 0,85$ auquel on rajoute 42 nouveaux vélos, soit encore : $u_n\times 0,85 + 42 = u_{n+1}$.
		
Ainsi : $u_{n+1}=0,85u_n+42$ avec $u_0=200$, nombre de vélos au départ.
	\item %3
		\begin{enumerate}
			\item %a
On obtient : $U=238$ et $N=4$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$U$& 200	&\textcolor{red}{212}&\textcolor{red}{222}	&\textcolor{red}{231}&\textcolor{red}{238}\\ \hline
$N$& 0	& 1	& 2	& 3	& 4\\ \hline
Condition $N < 4$& Vrai&\textcolor{red}{Vrai}&\textcolor{red}{Vrai}&\textcolor{red}{Vrai}&\textcolor{red}{Faux}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
			\item %b
				En 2019, nous aurons 238 vélos.
		\end{enumerate}
	\item %4
		\begin{enumerate}
			\item %a
Nous avons :
				
$\left.\begin{array}{ccl}
v_{n+1} 	& = 	&  u_{n+1}-280\\
            & =		& 0,85u_n+42-280\\
            & =		& 0,85u_n-238\\
            & = 	& 0,85(u_n-280)\\
            & = 	& 0,85v_n\end{array}\right.$
				$(v_n)$ est donc bien géométrique de raison $q=0,85$.\\
				Le premier terme : $v_0=u_0-280=200-280=-80$.
			\item %b
				Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ vaut : $v_n=v_0\times q^n$.

Soit encore : $v_n=-80\times 0,85^n$. 
			\item %c
				Or : $u_n=v_n+280$.\\
				Ainsi : $u_n=-80\times 0,85^n+280$.
			\item %d
				On a $u_n=a_n\times b_n+c_n$, avec :			
				\begin{itemize}
                            		\item[$\bullet~~$] $a_n=-80$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_{n} = -80$
                            		\item[$\bullet~~$] $b_n=0,85^n$, qui est de la forme $q^n$ avec $q \in \left] 0 ; 1 \right[$, ainsi : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_{n} = 0^+$
                            		\item[$\bullet~~$] $c_n=280$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}c_{n} = 280$                            
                            	\end{itemize}
Donc : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n} = 280$.
				
Le nombre de vélos tendra vers 280 quand le nombre d'années écoulées sera grand.				
		\end{enumerate}
	\item %5
Au 31 décembre 2019 cinq années se sont écoulées, il faudra donc calculer le nombre de vélos pour $n$ variant de 0 à  4 avec $u_4 \approx 238$.
		
On a : $u_0+ \cdots + u_4 \approx 200 + 212 + 222 + 231 + 238 = \np{1103}$ vélos.
		
Le coût unitaire d'un vélo est de 300 \euro, le coût total est donc de : $\np{1103} \times 300 = \np{330900}$~\euro.
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(10,9)
\cnodeput(8,7.5){A}{K}
\cnodeput(0.5,5){B}{B}
\cnodeput(3.5,5){C}{O}
\cnodeput(9.2,5){D}{H}
\cnodeput(1,2.5){E}{G}
\cnodeput(5.5,2.5){F}{P}
\cnodeput(4.2,0.5){G}{W}
\cnodeput(8,0.5){H}{E}
\ncline{B}{C} \ncline{B}{E} \ncline{A}{C} 
\ncline{A}{D} \ncline{C}{D} \ncline{C}{E} 
\ncline{D}{F} \ncline{C}{F} \ncline{E}{F} 
\ncline{F}{H} \ncline{G}{H} \ncline{E}{G} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\begin{tabular}{l}
\textbf{Légende :}\\
B : Bond Street\\
E : Embankment\\
G : Green Park\\
H : Holborn\\
K : King's Cross St Pancras\\
O : Oxford Circus\\
P : Piccadilly Circus\\
W : Westminster
\end{tabular}}

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Le graphe $\Gamma$ est connexe, en effet la chaîne suivante : B-O-K-H-P-E-W-G passe par tous les sommets, ainsi deux sommets quelconques seront toujours reliés par une chaîne.
			\item %b
				Le graphe n'est pas complet : W et B ne sont pas adjacents, par exemple. 
		\end{enumerate}
	\item %2
	Voici le tableau des sommets degrés :\\
		\begin{center}
\begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
Sommets	&W	&B	&E	&G	&H	&O	&P	&K\\ \hline
Degrés	&2	&2	&2	&4	&3	&5	&4	&2\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
                                        
%La sommes des degrés vaut : 24, or : $\dfrac{\sum \text{Degr\'{e}s}}{2} = \text{nombre d'arêtes}$.
                    %Le nombre d'arêtes vaut donc : 12
                    Le graphe a exactement deux sommets de degré impair, étant connexe, il admet une chaîne Eulérienne d'après le théorème d'Euler.
                    
Voici un exemple de chaîne eulérienne :  H-O-B-G-W-E-P-G-O-P-H-K-O 
         \item %3
La matrice d'adjacence de $\Gamma$ vaut :

                 %%M=[[0;0;1;0;0;1;0;0];[0;0;0;0;0;0;1;1];[1;0;0;0;0;1;1;1];[0;0;0;0;1;1;1;0];[0;0;0;1;0;1;0;0];[1;0;1;1;1;0;1;0];[0;1;1;1;0;1;0;0];[0;1;1;0;0;0;0;0]]
$M=\begin{pmatrix}
0	&0	&1	&0	&0	&1	&0	&0\\ 
0	&0	&0	&0	&0	&0	&1	&1\\ 
1	&0	&0	&0	&0	&1	&1	&1\\ 
0	&0	&0	&0	&1	&1	&1	&0\\ 
0	&0	&0	&1	&0	&1	&0	&0\\ 
1	&0	&1	&1	&1	&0	&1	&0\\ 
0	&1	&1	&1	&0	&1	&0	&0\\ 
0	&1	&1	&0	&0	&0	&0	&0
\end{pmatrix}$
         \item %4
         	\begin{enumerate}
			\item %a
				Nous lisons dans $M^3$, le coefficient $m_{4}^{3}=4$, il y a donc 4 chemins de longueurs 3 reliant H à  G.
			\item %b
Voici les quatre chemins possibles de longueurs 3 : \\
G-B-O-H~~~~
G-O-P-H~~~~
G-P-O-H~~~~
G-O-K-H~~~~
		\end{enumerate}
	\item %5
Nous allons utiliser pour cela l'algorithme de Dijsktra : 
	    
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
 \begin{pspicture}(10,9)
 \cnodeput(8,7.5){A}{K}
 \cnodeput(0.5,5){B}{B}
 \cnodeput(3.5,5){C}{O}
 \cnodeput(9.2,5){D}{H}
 \cnodeput(1,2.5){E}{G}
 \cnodeput(5.5,2.5){F}{P}
 \cnodeput(4.2,0.5){G}{W}
 \cnodeput(8,0.5){H}{E}
 \ncline{B}{C}\ncput*{3} \ncline{B}{E}\ncput*{1} \ncline{A}{C}\ncput*{5} 
 \ncline{A}{D}\ncput*{3} \ncline{C}{D}\ncput*{1} \ncline{C}{E}\ncput*{2} 
 \ncline{D}{F}\ncput*{4} \ncline{C}{F}\ncput*{1} \ncline{E}{F}\ncput*{2} 
 \ncline{F}{H}\ncput*{4} \ncline{G}{H}\ncput*{2} \ncline{E}{G}\ncput*{3} 
 \end{pspicture}}\hfill
 \parbox{0.38\linewidth}{\begin{tabular}{l}
 \textbf{Légende :}\\
 B : Bond Street\\
 E : Embankment\\
 G : Green Park\\
 H : Holborn\\
 K : King's Cross St Pancras\\
 O : Oxford Circus\\
 P : Piccadilly Circus\\
 W : Westminster
 \end{tabular}}

 \begin{center}
 \begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
 W	&B	&E	&G	&H	&O	&P	&K&	Sommet sélectionné\\ \hline
 0	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&	W(0)\\ \hline
             | 	& $\infty$ 	&2 (W)	&3 (W)	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&E(2)\\ \hline
             | 	& $\infty$ 	& | 	&3 (W)	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&6 (E)	& $\infty$ 	&G(3)\\ \hline
             | 	&4 (G)	& | 	& | 	& $\infty$ 	&5 (G)	&5 (G)	& $\infty$ 	&B(4)\\ \hline
             | 	& | 	& | 	& | 	& $\infty$ 	&5 (G)	&5 (G)	& $\infty$ 	&O(5)\\ \hline
             | 	& | 	& | 	& | 	&6 (O)	& | 	&5 (G)	&10 (O)	&P(5)\\ \hline
             | 	& | 	& | 	& | 	&6 (O)	& | 	& | 	&10 (O)	&H(6)\\ \hline
             | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	&9 (H)	&K(9)\\ \hline
            \end{tabular}
            \end{center}
                        
             Le temps le plus court de Westminster à  la station Kingâ€™s Cross St Pancras vaut : 9 minutes. Le chemin est : W-G-O-H-K
\end{enumerate}
           	

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item%1
		Dans un premier temps : 
		\begin{itemize}

            		\item[$\bullet~~$] $\Proba(\overline{S})=1-\Proba(S)$.
            		\item[$\bullet~~$] $\Proba _{\overline{B}}(S)=1-\Proba _{B}(S)=0,05$
            		\item[$\bullet~~$] $\overline{S}=1-\Proba _{\overline{B}}(S)=0,10$
            
            	\end{itemize}
		Voici l'arbre de probabilité :\\	
		\begin{center}
                 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
                 \pstree[treemode=R,nodesep=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
                {
                	\pstree{\TR{$B$}\naput{$\Proba(B)=0,22$}}
                	  { 
                		  \TR{$S$}\naput{$\Proba _{B}(S)=0,95$}
                		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\Proba _{\overline{B}}(S)=0,05$}	   
                	  }
                	\pstree{\TR{$\overline{B}$}\nbput{$\Proba\left(\overline{B}\right)=0,78$}}
                	  {
                		  \TR{$S$}\naput{$\Proba _{\overline{ B }}(S)=0,90$}
                		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\Proba _{\overline{B}}\left(\overline{S}\right)=0,10$}	   
                	  }
                }
                \end{center}
\medskip

	\item %2
		Ici, nous calculons :
		$\Proba(S \cap B)=\Proba_B(S)\times \Proba(B)=0,95\times 0,22 = 0,209$.
	\item %3
		En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :\\
		$\left.\begin{array}{ccl}
			\Proba(S)	& = 	&  \Proba(S \cap B) + \Proba\left(S \cap \overline{B}\right)\\
			 	& =	& 0,209 + \Proba_{\overline{B}}(S)\times \Proba \left(\overline{B}\right)\\
				& =	& 0,209 + 0,90\times 0,78\\
				& = 	& 0,209 + 0,702\\
				& = 	& 0,911
		\end{array}\right.$
	\item %4
		Ici on calcule : $\Proba_S\left(\overline{B}\right) = \dfrac{\Proba \left(S \cap \overline{B}\right)}{\Proba(S)} = \dfrac{0,702}{0,911}\approx 0,771$.
		
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$X$ suit la loi normale : $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, avec $\mu=300$ et $\sigma=2$.

\begin{enumerate}
	\item %1
On calcule ici : $\Proba(300-4\leqslant X\leqslant300+4)=\Proba(\mu-2\sigma\leqslant X  \leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,95$. C'est un résultat de cours.
	\item %2
Pour cela, on utilise sa calculatrice, en utilisant la fonction : FracNormale$(0.01,\mu,\sigma)$ ou invNorm$(0.01,\mu,\sigma)$.
		
On trouve : $a \approx 295$ g.
\end{enumerate}

\medskip

\newpage

\textbf{Partie C}

\medskip

Nous avons $p=0,9$  et :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $n = 130$ et $n \geqslant 30$.
\item[$\bullet~~$] $n\times p = 130\times 0,9 = 117  \geqslant 5$.
\item[$\bullet~~$] $n\times (1 - p) = 130\times (1 - 0,9) = 13  \geqslant 5$.
\end{itemize}
L'intervalle de fluctuation asymptotiques des fréquences  au seuil de 95 \% vaut : 

\[I = \left[ p - 1,96 \dfrac{\sqrt{ p(1-p ) }}{\sqrt{ n }} ~;~p + 1,96 \dfrac{\sqrt{ p(1-p ) }}{\sqrt{ n }} \right]\]

On trouve :

\[I = [0,848~;~0,952].\]

La fréquence observée vaut : $f = \dfrac{115}{130} \approx \np{0,8846} \approx 0,885$. Donc  $f \in I$,  on ne peut pas  remettre l'affirmation du directeur commercial en cause. La fréquence  appartient à  cet intervalle avec une probabilité de 0,95.

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		$f$ définie et dérivable sur [1 ; 11] et :\\
		$$f'(x)= - 0,5\times2x+2+15\times\dfrac{1}{x}=-x+2+\dfrac{15}{x}=\dfrac{-x^{2}+2x+15}{x}$$
	\item %2
		On cherche dans un premier temps les racines de : $  -x^2 + 2x +  15$ (*).\\
		$$\Delta=b^2 - 4ac = 2^2-4 \times (- 1) \times 15 = 64$$
		$\bullet$ Comme $\Delta>0$, (*) admet deux solutions distinctes :
		$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 -\sqrt{64}}{2\times (-1)} = 5 \text{~~~et : }	x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 +\sqrt{64 }}{2\times (-1)}= -3$$
		$\bullet$ $a<0$, nous en déduisons le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$ :\\				
		\begin{center} 
                \begin{tikzpicture}[x=10mm,y=8mm]
                \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3,deltacl=1.5]{$x$/1,$-x^2+2x+15$/1,$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$1$,$5$,$11$} 
                \tkzTabLine{,+,z,-}
                \tkzTabLine{,+,t,+}
                \tkzTabLine{,+,z,-}
                \tkzTabVar{-/$\dfrac{3}{2}$,+/$-\dfrac{5}{2}+15\ln(5)$,-/$-\dfrac{77}{2}+15\ln(11)$}
                \end{tikzpicture}
                \end{center}
                
                $f(1)=1,5$; $f(5)=-\dfrac{5}{2}+15\ln(5)\approx 21,642$ et $f(11)=-\dfrac{77}{2}+15\ln(11)\approx -2,53$.
         \item %3
         	\begin{enumerate}
			\item %a
				Sur les intervalles :
				\begin{itemize}
					\item[$\bullet~~$] [1~;~5], la fonction $f$ admet un minimum  $f(1)=1,5$, ainsi sur cet intervalle, $f(x)=0$ n'admet pas de solution.
					\item[$\bullet~~$] [5~;~11], la fonction $f$ est strictement décroissante et continue (elle est dérivable) de plus 0 est compris entre $f(5)$ et $f(11)$, l'équation $f(x) = 0$ admet donc une solution unique sur cet intervalle d'après le théorème des valeurs intermédaire et la stricte monotonie de la fonction $f$.
				\end{itemize}
				On en déduit que sur l'intervalle [1~;~11], $f(x)=0$ admet une solution unique que l'on appellera $\alpha$.
			\item %b
				Avec la calculatrice, nous trouvons à  $10^{-2}$ près : $\alpha \approx 10,66$.
			\item %c
D'après le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~11] :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f(x) = 0 \iff x = \alpha $.
\item[$\bullet~~$] $f(x) > 0 \iff x \in [1~;~\alpha[ $.
\item[$\bullet~~$] $f(x) < 0 \iff x \in ]\alpha~;~11] $.
\end{itemize}				
		\end{enumerate}
	\item %4
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Pour cela, nous allons dériver $F$ :
				
\[F'(x) = -\dfrac{1}{6} \times 3~x^{2}+2~x-15 +15 \times \ln\left( x \right)+15~x \times \dfrac{1}{x} = -0,5~x^{2}+2~x - 15 + 15~\ln\left(x \right) + 15 = f(x).\]

Comme $F'(x)=f(x)$, $F$ est bien une primitive de $f$.
			\item %b
$\displaystyle\int_{1}^{11}f(x)\text{d}x=[F(x)]_{1}^{11}=F(11)-F(1)=-\dfrac{1595}{6}+165 \times \ln\left( 11 \right)-\left( -\dfrac{85}{6} \right)=-\dfrac{755}{3}+165 \times \ln\left( 11 \right)\approx 143,98$
				
			\item %c
La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle sur [1~;~11] vaut à  $10^{-2}$ prà¨s : $$\mu  = \dfrac{1}{b~-~a }\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{11~-~1 }\displaystyle\int_{1}^{11}f(x)\:\text{d}x\approx \dfrac{143,98}{10} \approx 14,40$$
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\medskip
		
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		Il faut que $f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ 1~;~\alpha  \right]$, et tout cela en centaines de chaises. La quantité de chaises doit donc être comprise entre 100 et \np{1066}~chaises environ.
	\item %2
$f$ admet sont maximum $-\dfrac{5}{2}+15\ln(5)$ qui est atteint pour $x=5$.
		
Pour 500 chaises, le bénéfice mensuel maximal vaut environ 21,642 milliers d'euros.
		
C'est à  dire : 21~642 \euro.
\end{enumerate}
\end{document}