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% Tapuscrit Denis Vergès
% Corrigé François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%plus grand ou égal
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat TES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 4 septembre 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES Polynésie
~\decofourright\\[5pt]4 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 1 \hfill Commun à  tous les candidats \hfill  5 points}

%\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d'origine O est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cg$.
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(11,7)
\def\f{x  2 mul  1 add  x ln x mul sub}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!50,linecolor=blue]
{\psplot[plotpoints=4000]{1}{2}{\f}
\psplot[plotpoints=4000]{2}{1}{0}
\closepath
}
\psframe[fillstyle=hlines,hatchcolor=black,linecolor=black](1,0)(2,3)
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\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1](-2,-3)(11,7)
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\psline(-1.5,0.5)(4.5,6.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{10}{\f}
\psline(-1,3.71828)(10,3.71828)\uput[r](10,3.71828){$\mathcal{D}$}
\psdots(1,3)(4,6)(2.71828,3.71828)
\uput[ul](1,3){P} \uput[dr](4,6){R} \uput[u](2.71828,3.71828){Q}
\uput[ur](6.5,2){\blue $\mathcal{C}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

On considère les points P (1~;~3) et R (4~;~6). Le point Q a pour abscisse e, avec e $\approx 2,718$.

Les points P et Q appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$. La droite $\mathcal{D}$ est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point Q.
La droite (PR) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point P et la droite $\mathcal{D}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point Q.

%On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
%
%Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.
%
%\bigskip

\subsubsection*{\centering Partie A}

%%\medskip
%%
%%Dans cette partie, les résultats seront donnés à l'aide d'une lecture graphique et sans justification.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Parmi les trois propositions ci-dessous, quelle est celle qui désigne l'équation de la droite (PR) ?
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $y = 2x + 1$ &\textbf{b.~~} $y=x+2$ &\textbf{c.~~} $y = 2x + 2$
%\end{tabularx}

La droite (PR) a pour coefficient directeur le nombre $a=\dfrac{y_{\text R}-y_{\text P}}{x_{\text R}-x_{\text P}} = \dfrac{6-3}{4-1} = 1$.

La seule équation correspondant à un coefficient directeur égal à 1 est $y=x+2$ donc  la bonne réponse est la \textbf{b.}

\medskip

\item%  Donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le point P\,$(1~;~3)$ appartient à $\mathcal{C}$ donc $f(1)=f(x_{\text P}) = y_{\text P} = 3$.
\item La tangente (PR) à la courbe $\mathcal{C}$ a pour coefficient directeur 1 donc $f'(1)=1$.
\end{list}

\item % Une seule de ces trois propositions est exacte :
%	\begin{enumerate}
%		\item $f$ est convexe sur l'intervalle ]0~;~10];
%		\item $f$ est concave sur l'intervalle ]0~;~10] ;
%		\item $f$ n'est ni convexe ni concave sur l'intervalle ]0~;~10].
% 	\end{enumerate}
%Laquelle ?	
D'après le graphique, la courbe $\mathcal{C}$ est située en dessous des tangentes en chaque point de $\cg 0~;~10\cg$; la fonction $f$ est donc concave sur $\cg 0~;~10\cg$. Réponse \textbf{b.}

\item La fonction $f$ est positive sur $\cd 1~;~2 \cg$ donc $\displaystyle\int_1^2 f(x) \d x$ est égale à l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$. Cette surface contient un rectangle d'aire 3 et est contenue dans un rectangle d'aire 4 donc 
$\displaystyle\int_1^2 f(x) \d x$ est comprise entre 3 et 4.

\end{enumerate}
 
\bigskip

\subsubsection*{\centering Partie B}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cg$ par : $f (x) = - x \ln x + 2x + 1$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = - 1\times \ln x - x \times \dfrac{1}{x} + 2 = - \ln x - 1 + 2 = 1 - \ln x$	
		\item% Démontrer que la fonction $f$ admet un maximum sur l'intervalle ]0~;~10].
Pour démontrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $\cg 0~;~10\cg$, on étudie les variations de $f$ donc le signe de $f'$ sur cet intervalle.

$f'(x)>0 \iff 1-\ln x >0 \iff 1> \ln x \iff \e > x \iff x<\e$

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\cg 0~;~\e\cg$, strictement décroissante sur $\cd \e~;~10\cg$, et telle que $f'(\e)=0$. Donc la fonction $f$ admet un maximum pour $x=\e$.		
		
		\item Le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cg$ est
		
$f(\e)=-\e\times \ln \e +2\e +1 = -\e+2\e+1 = \e+1$.		
	\end{enumerate}
\item  La courbe $\mathcal{C}$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cg$ si la fonction $f$ est concave sur $\cg 0~;~10\cg$. On sait qu'une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.

$f'(x)= 1-\ln x$ donc $f''(x)=-\dfrac{1}{x}<0$ sur $\cg 0~;~10\cg$. Donc la fonction $f$ est concave sur $\cg 0~;~10\cg$, d'où on déduit que la courbe $\mathcal{C}$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cg$.

\item  On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = - \dfrac{x^2}{2} \ln x + \dfrac{5}{4}x^2 + x - 7$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cg$. Donc:
	
$\displaystyle\int_1^2 f(x) \d x = \left [F(x)\rule{0pt}{10pt} \right ]_{1}^{2}
= \left ( -\dfrac{4}{2}\ln 2 + \dfrac{5}{4} \times 4 + 2 - 7\right ) - \left ( -\dfrac{1}{2}\ln 1 + \dfrac{5}{4} +1-7\right )
= -2\ln 2 - \dfrac{5}{4} -1+7\\
\phantom{\displaystyle\int_1^2 f(x) \d x}
 = \dfrac{19}{4} - 2 \ln 2$
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 2 \hfill   Commun à  tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\def\interA{\cd 1~;~10\cg}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\interA$ par :
$f(x) = 4 \e^{-0,5x+1} + x - 1$.

%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~10] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On donne page 6 la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\interA$ dans un repère d'origine O.

\subsubsection*{\centering Partie A}

\begin{enumerate}
\item Pour tout  réel $x$ de  $\interA$ on a : 
$f'(x) = 4\times (-0,5) \e^{-0,5x+1} + 1 = - 2 \e^{-0,5x+1} + 1$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que sur l'intervalle [1~;~10], l'équation $f'(x) = 0$ admet pour unique solution le nombre $a = 2 + 2\ln 2$.
On résout sur l'intervalle $\interA$ l'équation $f'(x) = 0$:

$f'(x) = 0
\iff
-2 \e^{-0,5x+1} +1 = 0
\iff
1 = 2\e^{-0,5x+1}
\iff
\dfrac{1}{2} = \e^{-0,5x+1}\\
\phantom{f'(x) = 0}
\iff
\ln \dfrac{1}{2} = -0,5x+1
\iff
0,5x = 1-\ln \dfrac{1}{2}\\
\phantom{f'(x) = 0}
\iff
x = \dfrac{1}{0,5}\left ( 1-\left (  \ln 1 - \ln 2\right ) \rule{0pt}{10pt}\right )
\iff
x = 2\left ( 1- 0 + \ln 2  \rule{0pt}{10pt}\right )
\iff
x=2\left ( 1+\ln 2 \right )\\
\phantom{f'(x) = 0}
\iff
x=2+2\ln 2$ 
	
		\item On place sur le graphique page  6 le point H de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $2+2\ln 2$.
	\end{enumerate}	
\item  On admet que l'ensemble des solutions sur l'intervalle $\interA$ de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ est $[2 + 2\ln 2~;~10]$.

%Donc $f'(x) \pg 0 \iff x \pg 2+2\ln 2$.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l'intervalle $\cd 1~;~2+2\ln 2\cg$, et elle est strictement croissante sur $\cd 2+2\ln 2 ~;~10\cg$,
\end{enumerate}
 
%\bigskip

\subsubsection*{\centering Partie B}

%\medskip
 
L'entreprise \og COQUE EN STOCK \fg{} fabrique et commercialise des coques pour téléphone portable.
Son usine est en mesure de produire entre $100$ et \np{1000} coques par jour.
 
La fonction $f$ permet de modéliser le coût de production d'une coque en fonction du nombre
de centaines de coques produites par jour. Ainsi, si $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites alors $f(x)$ représente le coût, en euros, de production d'une coque.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le coût de production d'une coque dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour est
$f(5)=4\e^{-1,5} + 4 \approx 4,89$~\euro.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Le coût unitaire minimal de production est obtenu pour $x=2+2\ln 2 \approx 3,39$; cela correspond donc à 339 coques par jour.	
		\item Le coût unitaire minimal de production d'une coque est donc $f(2+2\ln 2) \approx 4,39$~\euro.
		
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\subsubsection*{\centering Partie C}

Le prix de vente d'une coque peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\interA$ par :
$g(x) = -\dfrac{1}{4}x + 6$.

%où $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites et $g(x)$ le prix de vente d'une coque en euros.

%Estimer les quantités de coques à produire par jour afin d'assurer un bénéfice à l'entreprise.

Pour que l'entreprise fasse des bénéfices, il faut que le coût unitaire de production soit inférieur au prix de vente unitaire, c'est-à-dire que $f(x)<g(x)$.

Il s'agit donc de résoudre l'inéquation
$4\e^{-0,5x+1}+x-1 < -\dfrac{1}{4}x+6$.

On ne sait pas résoudre cette inéquation algébriquement, donc on va le faire graphiquement.

Sur le graphique page 6, on trace la droite $\Delta$ d'équation $y=-\dfrac{1}{4}x+6$ représentant la fonction $g$; il y a donc un bénéfice quand la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de la droite $\Delta$.

Les quantités de coques à produire par jour afin d'assurer un bénéfice à l'entreprise sont comprises entre $1,5$ et $4,8$ centaines, soit entre $150$ et $480$ coques environ.

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 3 \hfill  Commun à  tous les candidats \hfill  5 points}

%\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$, de raison $0,9$ et de premier terme $u_0 = 50$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'algorithme ci-dessous afin qu'il calcule et affiche le 25\up{e} terme de cette suite, c'est-à-dire $u_{24}$ :
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables} :	&$N$ est un entier naturel\\
						&$U$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation} : &$U$ prend la valeur {\red \textbf{50}}\\
\textbf{Traitement} : 	&Pour $N$ allant de 1 à 24\\
						&$U$ prend la valeur {\red $\boldsymbol{U\times 0,9}$}\\
						&Fin Pour\\
\textbf{Sortie} :		&Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
La suit $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=50$ et de raison $q=0,9$ donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=u_0\times q^n = u_0\times 0,9^n$.		
		
		\item% Calculer $u_{24}$ et donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
$u_{24}=50\times 0,9^{24}\approx 3,988$.

	\end{enumerate}
\item %Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n  < 0,01$.
On résout l'inéquation $u_n  < 0,01$:

$\begin{array}{l !{\iff} l l}
u_n < 0,01 & 50\times 0,9^n < 0,01\\
					& 0,9^n < \dfrac{0,01}{50}\\[7pt]
					& 0,9^n < \np{0,0002}\\
					& \ln 0,9^n < \ln\np{0,0002} & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg0~;~+\infty\cd\\
					& n\times \ln 0,9 < \ln\np{0,0002} & \text{propriété de la fonction ln}\\
					& n > \dfrac{\ln\np{0,0002}}{\ln 0,9} & \text{car } \ln 0,9 <0\\
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln\np{0,0002}}{\ln 0,9}\approx 80,8$ donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<0,01$ est 81.

On peut vérifier que $u_{80}\approx 0,011>0,01$ et que $u_{81} \approx \np{0,098}<0,01$

\item On souhaite calculer la somme $S_{24} = u_0 + u_1 + \cdots + u_{24}$.
	
Voici trois propositions d'algorithmes:
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.001cm}|X|p{0.001cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}	
\textbf{Variables} :&&\textbf{Variables} :&&\textbf{Variables} :\\
$N$ est un entier naturel&&$N$ est un entier naturel&&$N$ est un entier naturel\\
$S$ est un nombre réel&&$S$ est un nombre réel&&$S$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation} :&&\textbf{Initialisation} :
&&\textbf{Initialisation} :\\
$S$ prend la valeur $0$&&$S$ prend la valeur $0$&&\textcolor{red}{$S$ prend la valeur $50$}\\
\textbf{Traitement }:&&\textbf{Traitement }:&&\textbf{Traitement }:\\
Pour $N$ allant de 0 à 24&&Pour $N$ allant de 0 à 24&&Pour $N$ allant de 0 à 24\\
$S$ prend la valeur &&\textcolor{red}{$S$ prend la valeur} &&$S$ prend la valeur \\
$S + 50 \times 0, 9^N$&&\textcolor{red}{$ 50 \times 0, 9^N$}&&$S + 50 \times 0, 9^N$\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\
\textbf{Sortie} :&&\textbf{Sortie} :&&\textbf{Sortie} :\\
Afficher $S$&&Afficher $S$&&Afficher $S$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{c}{Algorithme 1}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{Algorithme 2}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{Algorithme 3}\\
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer la somme $u_{24}$ et de l'afficher.
		
%Préciser lequel en justifiant la réponse.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Dans l'algorithme 2, la valeur $S$ prend à chaque tour de boucle la valeur $u_N$; donc en fin d'algorithme, on n'a pas calculé la somme des termes mais seulement le terme $u_{24}$.
\item Dans l'algorithme 3, on initialise $S$ à 50 puis, dans la boucle, on repart de $N=0$ donc on reprend en compte la valeur $u_0=50$.
\end{list}	

L'algorithme qui calcule $S_{24}$ est donc l'algorithme 1.
	
		\item% Calculer la somme $S_{24}$.
La somme des premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule:

$\text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}$.

Donc $S_{24}= u_0\times \dfrac{1-q^{25}}{1-q} = 50\times \dfrac{1-0,9^{25}}{1-0,9} = 500\left (1-0,9^{25}\right ) \approx 464$. 		
%On donnera une valeur approchée du résultat à l'unité près.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n = u_0 + \cdots + u_n$.

On admet que la suite $\left(S_n\right)$ est croissante et que pour tout  $n$,
$S_n = 500 - 450 \times 0,9^n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(S_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On sait qu'une suite géométrique de raison $q$ avec $-1<q<1$ a pour limite 0.

Or $- 1 < 0,9 < 1$ donc $\ds\lim_{n \to +\infty} 0,9^n = 0$ et donc $\ds\lim_{n \to +\infty} S_n=500$.
		
		\item Alex affirme que $S_n$ peut dépasser $500$ pour une valeur de $n$ suffisamment grande.
	
Pour tout $n$, $0,9^n>0$ donc $450\times 0,9^n>0$ donc $500-450\times 0,9^n < 500$; on en déduit que $S_n<500$ pour tout $n$, et donc qu'Alex a tort.	
		
%Que pensez-vous de son affirmation ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 4 \hfill   Commun à  tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\medskip
%
%Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
%
%\medskip

\subsubsection*{\centering Partie A}

%\medskip

Une entreprise spécialisée dans la personnalisation des étuis de smartphones fait ses achats chez deux fournisseurs :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un fournisseur A qui lui garantit 99\,\% d'étuis non défectueux;
\item[$\bullet~~$] un fournisseur B qui lui garantit 94\,\% d'étuis non défectueux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sait également que 80\,\% des étuis achetés par l'entreprise proviennent du fournisseur A (le reste provenant du fournisseur B).

On choisit au hasard un étui de smartphone et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  $A$ : \og l'étui provient du fournisseur A \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]  $B$ : \og l'étui provient du fournisseur B\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]  $D$ : \og l'étui est défectueux \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On construit un arbre pondéré illustrant la situation:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,8$}}
 	  { 
 		  \TR{$D$}\naput{\red $1-0,99=0,01$}
 		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{$0,99$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,8=0,2$}}
 	  {
 		  \TR{$D$}\naput{\red $1-0,94=0,06$}
          \TR{$\overline{D}$}\nbput{$0,94$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item D'après la formule des probabilités totales, la probabilité qu'un étui est  défectueux est:

$P(D)=P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0,8\times 0,01 + 0,2 \times 0,06 = 0,02$.

\item On choisit un étui au hasard et on constate qu'il est défectueux.

La probabilité que l'étui provienne du fournisseur B est égale à :

$P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)} = \dfrac{0,2\times 0,06}{0,02} = 0,6$.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{\centering Partie B}

%\medskip

On rappelle que le fournisseur B garantit 94\,\% d'étuis non défectueux, donc il y a 6\,\% d'étuis défectueux.
Un employé de l'entreprise prélève un échantillon de 400 étuis qui proviennent du fournisseur B.
Il constate que 350 de ces étuis ne sont pas défectueux donc 50 sont défectueux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de $400$ étuis provenant du fournisseur B.
La proportion d'étuis défectueux est égale à $p=0,06$ et on choisit un échantillon de taille $n=400$.

$n=400\pg 30$, $np=400\times 0,06=24 \pg 5$ et $n(1-p)= 400\times 0,94 = 376 \pg 5$; les conditions sont donc vérifiées pour qu'on puisse établir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion d'étuis défectueux:

\smallskip

$I=
\left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ]\\[5pt]
\phantom{I}
= \left [ 0,06-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,06\left (1-0,06\right )}}{\sqrt{400}}~;~0,06+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,06\left (1-0,06\right )}}{\sqrt{400}}\right ]
\approx \cd 0,036~;~0,084\cg$

\item% Faut-il informer le fournisseur B d'un problème ?
La fréquence des étuis défectueux dans l'échantillon est $f=\dfrac{50}{400}= 0,125$.

Cette valeur n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation calculé; on peut donc estimer, au risque de 5\,\%, qu'il y a trop d'étuis défectueux dans cet échantillon. 

Il faut donc informer le fournisseur d'un problème.
\end{enumerate}

\subsubsection*{\centering Partie C}

Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre 19,8 mm et 20,2 mm.
Le fournisseur B souhaite qu'au moins 95\,\% des étuis produits soient conformes. Pour cela, il veut vérifier les réglages des machines de production.

On choisit un étui au hasard dans la production du fournisseur B.
 
On note $X$ la variable aléatoire associée à l'épaisseur (en mm) de l'étui. On admet que $X$ suit une loi normale d'espérance 20 mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En observant les réglages des machines de production, le fournisseur B constate que l'écart-type de $X$ est égal à $0,2$.
On voudrait que $P(19,8 \pp X \pp 20,2) \pg 0,95$.

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu=20$ et d'écart-type $\sigma = 0,2$, alors, d'après le cours, $P(19,8 \pp X \pp 20,2) = P(\mu - \sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68< 0,95$.

Il faut donc revoir les réglages de la machine.
 
\item %Déterminer une valeur de l'écart-type de $X$ pour laquelle la probabilité qu'un étui soit conforme est environ égale à $0,95$.
On sait aussi que $P(\mu - 2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
Pour que $P(19,8 \pp X \pp 20,2)$ soit environ égal à $0,95$, il faudrait que $19,8 = \mu - 2\sigma$ et que $20,2 = \mu + 2\sigma$ donc que $\sigma$ soit égal à $0,1$.

Donc si $\sigma=0,1$, la probabilité qu'un étui soit conforme est environ égale à $0,95$.

\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\centering ANNEXE}

\begin{center}

\medskip

\textbf{À remettre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(11,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1](0,0)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(11,10)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{10}{4 2.71828 0.5 x mul 1 sub exp div x add 1 sub}
\uput[dr](9.5,8.5){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[u](10.5,0){$x$} \uput[r](0,10){$y$} 
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linewidth=1.25pt]{1}{10}{x neg 4 div 6 add}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](1.508,5.623)(1.508,0) \uput*{9pt}[d](1.5,0){\red $1,5$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](4.818,4.8)(4.818,0) \uput*{9pt}[d](4.818,0){\red $4,8$}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{]-[}(1.508,0)(4.818,0) 
\psdots[linecolor=red,dotstyle=x,dotscale=2](3.386,4.386)
\uput[d](3.386,4.386){\red H}
\uput[-120](8.5,3.875){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}