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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2002}} 
\thispagestyle{empty}    
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2002~\decofourright}}

\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On définit deux suites $u$ et $v$ par  $u_0 = 1,\:v_0 = 12$ et pour tout 
%entier naturel  $n$ :
%
%\renewcommand\arraystretch{1.8}
%\[ \left\{ \begin{array}{r c r}
%u_{n+1}& =& \dfrac{1}{3} \left(u_n  + 2v_n\right)\\
%v_{n+1} & = & \dfrac{1}{4}\left(u_n  + 3v_n\right)
%\end{array}\right.\]
%\renewcommand\arraystretch{1}

\begin{enumerate} 
\item	%On appelle $w$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :  $w_n =  v_n - u_n$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $w$ est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la raison.
Pour $n$ naturel quelconque :
		
$w_{n+1}  = v_{n+1} - u_{n+1} =  \left(\dfrac{1}{4}\left(u_n  + 3v_n\right) \right) - \dfrac{1}{3} \left(u_n  + 2v_n\right)  = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} \right)u_n  + \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \right)v_n = -\dfrac{1}{12}u_n + \dfrac{1}{12}v_n = \dfrac{1}{12}\left(v_n - u_n\right)$ ; d'où :

$w_{n+1}  =  \dfrac{1}{12}w_n$, égalité qui montre que la suite $w$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{12}$.

Le premier terme est $w_0 = v_0 - u_0 = 12 - 1 = 11 > 0$.

On sait que quel que soit le naturel $n$ :

$w_n = 11 \times \left(\dfrac{1}{12} \right)^n$  ; ce produit est positif car produit de deux facteurs positifs. 
		\item %Déterminer la limite de la suite $w$.
Comme $- 1 < \dfrac{1}{12} < 1$, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{12} \right)^n = 0$ , d'où par produit de limites 
		
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}w_n = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que la suite $u$ est croissante.
Pour $n$ naturel quelconque $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3} \left(u_n  + 2v_n\right) - u_n = - \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{2}{3}v_n = \dfrac{2}{3}\left(v_n - u_n \right) = \dfrac{2}{3}w_n > 0$.

On a vu à la question précédente que 
$w_n > 0$, donc $u_n$ produit de deux facteurs positifs est lui aussi supérieur à zéro.

Finalement $u_{n+1} - u_n  > 0$, signifie que la suite $u$ est croissante.
		\item %Montrer que la suite $v$ est décroissante.
De même $v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{4}\left(u_n  + 3v_n\right) - v_n = \dfrac{1}{4}u_n -  \dfrac{1}{4}v_n = -  \dfrac{1}{4}\left(v_n - u_n \right) = -  \dfrac{1}{4}w_n < 0$, car produit d'un facteur négatif par un facteur positif.

$v_{n+1} - v_n < 0$, signifie que la suite $v$ est décroissante. 
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n,\;u_0 \leqslant u_n  \leqslant v_n \leqslant  v_0$.
La suite $u$ croissante est minorée par $u_0 = 1$ et la suite $v$ décroissante est majorée par $v_0 = 12$.

D'autre part $w_n > 0 \iff v_n - u_n > 0 \iff v_n > u_n \iff u_n < v_n$, donc finalement quel que soit le naturel $n$ :

$u_0 \leqslant u_n  \leqslant v_n \leqslant  v_0$.
	\end{enumerate}
\item %On admet que les suites $u$ et $v$ convergent. Montrer 
%qu'elles ont alors même limite que l'on appellera $l$.
Soit $\ell$ la limite de $u$ et $\ell'$ la limite de la suite $v$.

On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}w_n = 0 \iff \displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(v_n - u_n\right) = 0$, soit $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n - \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ et enfin $\ell - \ell' = 0 \iff \ell = \ell'$.

Les deux suites sont respectivement croissante et décroissante, ont la même limite et leur différence a pour limite zéro : elles sont adjacentes.
\item %On appelle $t$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $t_n = 3u_n + 8v_n$. 
	\begin{enumerate} 
		\item On sait que $t_n = 3u_n + 8v_n$.
%Montrer que $t$ est une suite constante.
% Déterminer cette constante.

Pour tout entier naturel $n$  : $t_{n+1} = 3u_{n+1} + 8v_{n+1} = u_n + 2v_n + 2u_n + 6v_n = 3u_n + 8v_n = t_n$ : la suite $t$ est donc constante et $t_0 = 3u_0 + 8v_0 = 3 + 96 = 99$.

Conclusion $t_n = 99$ quel quel soit le naturel $n$.
		\item %Déterminer alors la valeur de $\ell$.
En prenant les limites égales à l'infini, on obtient :
		
$3\ell + 8\ell = 99 \iff 11\ell = 99 \iff \ell = 9$.

Les deus suites ont pour limite 9.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

%Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal
%\Ouv.
%
%Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\text{i}}{2}$.
%
%$\mathcal{T}$ est l'application qui, à tout point $M$, 
%d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que
%\[2zz'= \text{i} (z + z').\]

\begin{enumerate} 
\item %On appelle I et J les points d'affixes  respectives : $z_{\text{I}} = 1 ,~ z_{\text{J}} = \text{i}$ .
%Soit K le milieu du segment [IJ]. 

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer l'affixe $z_{\text{K}}$ de K.
On a $z_{\text{K}}  = \dfrac{1 + \text{i}}{2}$.
		\item %Déterminer les affixes des images des points I, J, K par l'application $\mathcal{T}$.
On a $2zz'= \text{i} \left(z + z'\right) \iff 2zz'= \text{i} z + \text{i}z' \iff z'(2z - \text{i}) = \text{i} z \iff z' = \dfrac{\text{i} z}{2z - \text{i}}$, pour $z \ne \dfrac{\text{i}}{2}$.

Donc $z_{\text{I}'} = \dfrac{\text{i} }{2 - \text{i}} = \dfrac{\text{i}(2 +  \text{i})}{(2 - \text{i})(2 +  \text{i})} = \dfrac{\text{i}(2 +  \text{i})}{4 + 1} = \dfrac{- 1 + 2 \text{i}}{5}$.

$z_{\text{J}'} = \dfrac{\text{i} \text{i}}{2\text{i} - \text{i}} = \dfrac{- 1}{\text{i}} = \text{i} = z_{\text{J}}$.

$z_{\text{K}'} = \dfrac{\text{i} \frac{1 + \text{i}}{2}}{1 + \text{i} - \text{i}} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$.
		\item %En déduire que $\mathcal{T}$ ne conserve pas les milieux.
K est le milieu de [IJ] et K$'$ n'est pas le milieu de [I$'$J$'$] : $\mathcal{T}$ ne conserve pas les milieux.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer les points invariants par $\mathcal{T}$.
On a $z' = z \iff  2zz= \text{i} (z + z) \iff 2z^2 = 2z\text{i} \iff $

$2z(z - \text{i}) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2z&=&0\\
z - \text{i}&=&
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
z&=&0\\
z&=&\text{i}
\end{array}\right.$

L'origine O et le point J sont les seuls points invariants par $\mathcal{T}$.
\item %Montrer que $M' = \mathcal{T}(M)$ si et seulement si
%$\left(z' - \dfrac{\text{i}}{2}\right)\left(z - \dfrac{\text{i}}{2}\right) = - \dfrac{1}{4}$.
Pour $z \ne \dfrac{\text{i}}{2}$,\: $\left(z' - \dfrac{\text{i}}{2}\right)\left(z - \dfrac{\text{i}}{2}\right) + \dfrac{1}{4} = zz' - \dfrac{\text{i}}{2}\left(z  + z'\right) = \dfrac{1}{2}\left[2zz' - \text{i}\left(z + z'\right) \right]$.

Mais par définition $2zz' - \text{i}\left(z + z'\right) = 0$ si et seulement si $z'$ est l'affixe de $M'$ image par $\mathcal{T}$ du point $M$ d'affixe $z$.

Donc $M' = \mathcal{T}(M) \iff \left(z' - \dfrac{\text{i}}{2}\right)\left(z - \dfrac{\text{i}}{2}\right) = - \dfrac{1}{4}$.
\item %En déduire l'image par $\mathcal{T}$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre A et de rayon 1.
$M(z) \in \mathcal{C} \iff \text{A}M = 1 \iff \left|z - \dfrac{\text{i}}{2}\right| = 1$.

D'après la question précédente en prenant le module de chaque membre d' l'égalité trouvée :

$\left|z - \dfrac{\text{i}}{2} \right| \times \left|z' - \dfrac{\text{i}}{2} \right| = \left|- \dfrac{1}{4} \right| = \dfrac{1}{4}$.

Donc pour un point $M$ de $\mathcal{C}$, on a $1 \times \left|z' - \dfrac{\text{i}}{2} \right|  = \dfrac{1}{4}$.

Cette égalité signifie que le point $M'$ d'affixe $z'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre A et de rayon $\dfrac{1}{4}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant choisi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

%Soit $p$ un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation : 
%
%\[\textbf{E}~: x^2  + y^2 = p ^2\]

\begin{enumerate} 
\item %On pose $p = 2$. Montrer que l'équation  \textbf{E} est sans solution.
L'équation s'écrit $x^2 + y^2 = 4$.
Comme $0 < x^2 < 4 \Rightarrow 0< x < 2$ et de même  $0 < y^2 < 4 \Rightarrow 0< y < 2$, le seul couple à essayer est (1~;~1) qui n'est pas solution.

$\bullet~~$ On peut aussi écrire : $x^2 + y^2 = 4 \iff x^2 = 4 - y^2 \iff x^2 = (2 + y)(2 - y)$ : la seule possibilité d'avoir un carré est que $2 + y = 2 - y \iff 2y = 0$ ce qui n'est pas possible.
%On suppose désormais $p \neq  2$ et que le couple $(x~;~ y)$ est 
%solution de l'équation \textbf{E}.

\item %Le but de cette question est de prouver que $x$ et  $y$ sont  premiers entre eux.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $x$ et $y$ sont de parités différentes.
On a donc $x^2 + y^2 = p^2$.

$\bullet~~$Si $x$ et $y$ sont pairs leurs carrés sont pairs et la somme $x^2 + y^2$ aussi : ce n'est pas possible puisque l'on a vu que $p$ est premier supérieur à 2, donc impair, donc son carré est aussi impair ;

$\bullet~~$Si $x$ et $y$ sont impairs leurs carrés sont impairs et la somme $x^2 + y^2$ est paire : même impossibilité puisque $p^2$ est impair.

Donc $x$ et $y$ sont de parités différentes.
		\item %Montrer que $x$ et $y$ ne sont pas divisibles par $p$.
$x$ et $y$ sont non nuls donc $x^2 + y^2 = p^2 \Rightarrow 0 < x^2 < p^2 \Rightarrow 0 < x < p$ : x ne peut donc diviser $p$ qui est premier. Même raisonnement pour $y$.
		\item %En déduire que $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
Supposons qu'il existe un diviseur $d$ commun à $x$ et à $y$. Il existe donc deux naturels $k$ et  $k'$ tels que $x  = kd$ et $y = k'd$.

On a donc $k^2d^2 + k'^2d^2 = p^2 \iff d^2\left(k^2  k'^2\right) = p^2$.

Ceci signifie que $d^2$ divise $p^2$. $p$ étant premier les seuls diviseurs de $p^2$ sont 1,\:$p$ et $p^2$ ;

$\bullet~~$si $d^2 = p^2$, alors $d = p$, alors $x$ et $y$ sont des multiples de $p$ ce qui n'est pas possible d'après la question précédente ;

$\bullet~~$si $d^2 = p$, \:$p$ aurait trois diviseurs $1,\:p$ et $p^2$, ce qui n'est pas possible puisque $p$ est premier ;

$\bullet~~$il reste donc $d = 1$, ce qui signifie que $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\item %On suppose maintenant que $p$ est une somme de deux carrés non nuls, c'est-à-dire : $p = u^2 + v^2$ où $u$  et $v$ sont deux entiers naturels strictement positifs.  
	\begin{enumerate} 
		\item %Vérifier qu'alors le  couple $\left(\left|u^2 -  v^2\right|~;~2uv\right)$ est solution de l'équation \textbf{E}.
On a $x^2 + y^2 = \left|u^2 -  v^2\right|^2 + (2uv)^2 = u^4 - 2u^2v^2 + v^4 + 4u^2v^2 =$

$ u^4 + v^4 + 2u^2v^2 = \left(u^2 + v^2\right)^2 = p$.

Ceci montre que le  couple $\left(\left|u^2 -  v^2\right|~;~2uv\right)$ est solution de l'équation \textbf{E}.
		\item %Donner une solution de l'équation \textbf{E}, lorsque $p = 5$ puis lorsque $p = 13$.
$\bullet~~$Si $p = 5 = 1 + 4 = 1^2 + 2^2$, on peut prendre $u = 1$ et $v = 2$.

Le couple solution est donc  $\left(\left|1^2 -  2^2\right|~;~2\times 1\times 2\right) = (3~;~4)$.

On retrouve le triplet pythagoricien (3~;~4~;~5) : $3^2 + 4^2 = 5^2$.

$\bullet~~$Si $p = 13 = 4 + 9 = 2^2 + 3^2$, on peut prendre $u = 2, \:v = 3$.

Le couple solution est donc  $\left(\left|2^2 -  3^2\right|~;~2\times 2\times 3\right) = (5~;~12)$.

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
	\end{enumerate} 
\item	%On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l'équation \textbf{E} est impossible lorsque $p$ n'est pas somme de  deux  carrés.
	\begin{enumerate} 
		\item %$p = 3$ et $p = 7$ sont-ils somme de deux carrés ?
$\bullet~~$$p = 3 = 1 + 2 = 2 + 1$, donc $p$ n'est pas la somme de deux carrés.

$\bullet~~$$p = 7 = 1 + 6 = 4 + 3$,donc $p$ n'est pas la somme de deux carrés.
		\item %Démontrer que les équations $x^2  + y^2 = 9$ et $x^2 + y^2 = 49$ n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.
$\bullet~~$$x^2  + y^2 = 9$ ; on a donc $x^2 < 9$ et $y^2 < 9$ ou encore $x < 3$ et $y < 3$.

On a vu que $x$ et $y$ sont de parités différentes on ne peut avoir que (1~;~2) ou (2~;~1) comme candidats : ils ne sont pas solutions car $1 + 4 = 5 \ne 9$ ;

$\bullet~~$$x^2  + y^2 = 49$ ; on a donc $x^2 < 49$ et $y^2 < 49$ ou encore $x < 7$ et $y < 7$.

Compte tenu de la parité différente de $x$ et de $y$ les couples solutions peuvent être :

(1~;~2), \:(1~;~4), \:(1~;~6), \: (2~;~1), \:(2~;~3),\: (2~;~5),\:(3~;~2),\: (3~;~4),\:(3~;~6),\: (4~;~1),\:(4~;~3),

(4~;~5),\:(5~;~2),\:(5~;~4),\:(5~;~6),\:(6~;~1),\:(6~;~3),\:(6~;~5).

Aucun de ces couples n'est solution, donc l'équation $x^2  + y^2 = 49$ n'a pas de solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

%Pour chaque entier naturel $n$, on définit, sur l'intervalle $]0~;~+ 
%\infty[$ la fonction notée $f_n$ par :
%
\[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{x} + n \ln x,\]
%
%où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
%
%\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A : Étude du cas particulier} \boldmath $n = 0$ 
\unboldmath

$f_0$ est donc la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f_0(x) =  \dfrac{\text{e}^x - 1}{x}$.

\begin{enumerate} 
\item ~%Construire dans un repère orthonormal, la courbe représentative de la fonction exponentielle, puis tracer sa tangente au point d'abscisse 0.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5,-0.56)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-0.5)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(5,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{5}{2.71828 x exp}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-5}{5}{1 x add}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\item Résolution graphique d'une inéquation :
	\begin{enumerate} 
		\item %Justifier graphiquement l'inégalité suivante : 
%\[\text{pour tout réel}~u,~\text{e}^u \geqslant u + 1.\]
Avec $f(x) = \text{e}^x$, \: $f(0) = 1,\: f'(x) =  \text{e}^x$ et $f'(0) = 1$.

Une équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est :

$y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, soit $y - 1 = x$ ou $y = x + 1$.

On voit sur la figure que quel que soit le réel $u$, la courbe est au dessus de la tangente soit :

$\text{e}^u \geqslant u + 1$.
		\item %En déduire que pour tout réel $x$,
%\[\text{e}^{- x} + x - 1 \geqslant 0,~ \text{puis que},\:1 + (x - 1)\text{e}^x \geqslant  0.\]
En posant pour tout réel $u$, \: $x = - u$, l'inégalité précédente s'écrit :

$\text{e}^{- x} \geqslant - x + 1 \iff \text{e}^{- x}  + x - 1 \geqslant 0$.

En multipliant chaque membre de l'inégalité précédente par $\text{e}^x$, on obtient :

$1 + (x - 1)\text{e}^x \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item Limites :
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la limite de $f_0$ en $+ \infty$.
On a $f_0(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x} - \dfrac{1}{x}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, donc par somme de limites  

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_0(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la limite de $f_0$ en 0.
Avec la fonction $f(x) = \text{e}^x$, on a par définition $f'(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\text{e}^x - \text{e}^0}{x - 0} = \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\text{e}^x - 1}{x } = f'(0) = \text{e}^0 = 1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\text{e}^x - 1}{x }  = 1$.
	\end{enumerate}
\item Sens de variations :
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$	on a $f'_0(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1) + 1}{x^2}$.
La fonction $f_0$ quotients de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$, le dénominateur étant non nul est dérivable et sur cet intervalle :

$f'_0(x) = \dfrac{x\text{e}^x  - \left(\text{e}^x - 1\right)}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x - 1) + 1}{x^2}$.
		\item %En déduire le sens de variation de $f_0$.
On a vu à la fin de la question précédente que $1 + (x - 1)\text{e}^x \geqslant 0$, donc $f'_0(x) \geqslant 0$  sur $]0~;~+ \infty[$. La fonction $f_0$ est croissante de $1$ à plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item ~%On appelle $\mathcal{C}_0$ la courbe représentative de $f_0$ dans un repère orthonormal \Oij~ pour lequel l'unité graphique est 2 cm.

%Tracer $\mathcal{C}_0$ dans ce repère et placer le point A de coordonnées (0 ; 1).
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(3.1,4.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,-1)(3,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{5}{2.71828 x exp 1 sub x div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.01}{5}{2.71828 x exp 1 sub x div x ln add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{5}{2.71828 x exp 1 sub x div x ln 2 mul add}
\uput[dr](0,1){A}\uput[dr](2.2,3.6){\blue$\mathcal{C}_0$}
\uput[dr](0,1){A}\uput[dr](1.8,3.6){\cyan$\mathcal{C}_1$}
\uput[dr](0,1){A}\uput[dr](1.2,3.6){\red$\mathcal{C}_2$}
%\psline[linewidth=0.3pt](1,1.71828)(1,4)
%\psline[linewidth=0.3pt](1.5,1.71828)(1.5,4)
%\psline[linewidth=0.3pt](1,3.132)(1.5,3.132)
%\psline[linewidth=0.3pt](1,1.71828)(1.5,1.71828)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{%
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1.0}{1.5}{2.71828 x exp 1 sub x div x ln 2 mul add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1.5}{1}{2.71828 x exp 1 sub x div x ln add}}

\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B : Étude de la famille de fonctions} \boldmath 
$f_n$ \unboldmath \textbf{pour} \boldmath $n \geqslant 1$ \unboldmath

%On appelle $\mathcal{C}_n$  la courbe représentative de la fonction $f_n$  dans le repère \Oij{} précédent.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer le sens de variation de $f_n$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
La fonction $f_n(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{x} + n \ln x$ somme de quotient de fonctions dérivables le dénominateur ne s'annulant pas sur $]0~;~+ \infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'_n(x) = \dfrac{x\text{e}^x - \left(\text{e}^x - 1 \right)}{x^2} + \dfrac{n}{x} = \dfrac{\text{e}^x(x - 1) + 1 + nx}{x^2}$.

Or on a vu que  $\text{e}^x(x - 1) + 1 \geqslant 0$, donc comme $nx > 0$, \:$\text{e}^x(x - 1) + 1 + nx > 0$ : donc $f'_n(x) > 0$ : les fonctions $f_n$ sont croissantes  sur $]0~;~+ \infty[$.
\item ~%Déterminer les limites de $f_n$ en $+ \infty$ et en 0.
$\bullet~~$On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x - 1}{x} = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} n\ln x = + \infty$, d'où par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_n(x) = + \infty$.

$\bullet~~$On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\text{e}^x - 1}{x} = 1$ et on a $\displaystyle\lim_{x \to 0} n \ln x = - \infty$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f_n(x) = - \infty$.

%En déduire que $\mathcal{C}_n$ possède une asymptote qu'on précisera.
Le dernier résultat montre que géométriquement l'axe des ordonnées est asymptote verticale à 
$\mathcal{C}_n$ au voisinage de zéro.
\item %Étudier les positions respectives des courbes $\mathcal{C}_{n+1}$ et $\mathcal{C}_n$.
Soit $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{x} + (n + 1) \ln x - \left(\dfrac{\text{e}^x - 1}{x} + n \ln x \right) = \ln x$.

Or on sait que la fonction ln est négative entre 0 et 1, s'annule en 1 et est positive sur $[1~;~+ \infty[$. Donc :

$\bullet~~$Sur $]0~;~1[$\:$\mathcal{C}_{n+1}$ est au dessous de $\mathcal{C}_n$ ; 

$\bullet~~$Sur $]1~;~+ \infty[$\:$\mathcal{C}_{n+1}$ est au dessus de $\mathcal{C}_n$ ;

$\bullet~~$Toutes les courbes $\mathcal{C}_n$ contiennent le point de coordonnées $\left(1~;~\text{e} - 1\right)$.
\item %Montrer que toutes les courbes $\mathcal{C}_n$ passent par un même point B dont  on précisera les coordonnées.
On a vu à la question précédente que $d_n(x) = n\ln x$, donc $d_n(1) = 0$ : toutes les courbes $\mathcal{C}_n$ contiennent donc le point B$\left(1~;~\text{e} - 1\right)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha_1$, appartenant à l'intervalle [0,2 ; 0,9] 
%tel que $f_1(\alpha_1) = 0$.
On a $f_1(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{x} +  \ln x$.

On a vu que les fonctions $f_n$ sont strictement croissantes de moins l'infini à plus l'infini ; comme elles sont continues car dérivables sur $]0~;~+ \infty[$, il existe donc un réel unique $\alpha_1 \in ]0~;~+ \infty[$ tel que $f_1\left(\alpha_1 \right) = 0$.

On a $f_1(1) = \text{e} - 1 > 0$, donc $\alpha_1 \in ]0~;~1[$ ;

$f(0,2) = \dfrac{\text{e}^{0,2} - 1}{0,2} +  \ln 0,2 \approx - 0,502$ et 

$f(0,9) = \dfrac{\text{e}^{0,9} - 1}{0,9} +  \ln 0,9 \approx 7,2$, donc $\alpha_1 \in ]0,2~;~0,9[$.
		\item %Montrer que $f_n(\alpha_1) < 0$ pour tout entier naturel $n > 1$.
On a vu à la question 3 que sur [0~;~1[, $\mathcal{C}_{n+1}$ est au dessous de $\mathcal{C}_n$, donc en particulier que $\mathcal{C}_{2}$ est au dessous de $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_{3}$ est au dessous de $\mathcal{C}_2$, \ldots et donc que pour $n > 1$, $\mathcal{C}_{n}$ est au dessous de $\mathcal{C}_1$, donc en particulier que pour tout $n > 1$, \: $f_n(\alpha_1) < f_1(\alpha_1)$.

Or $f_1\left(\alpha_1 \right) = 0$, donc $f_n(\alpha_1) < 0$ pour tout $n > 1$.
		\item %Pour tout entier naturel $n > 1$ , montrer qu'il existe un unique réel $\alpha_n$  appartenant à l'intervalle $\left[\alpha_1~ ;~ 1\right]$ tel que $f_n(\alpha_n) = 0$.
		Quel que soit $n > 1$, on vient de voir que $f_n(\alpha_1) < 0$ et on sait que $f_n(1) > 0$ ; la fonction $f_n$ étant continue car dérivable s'annule donc pour une unique valeur $\alpha_n$ de $]\alpha_1~;~1[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item %En utilisant la \textbf{partie  A} montrer que pour  tout réel $x$ appartenant  à l'intervalle ]0~;1],
		
%\[\dfrac{\text{e}^x - 1}{x} \leqslant \text{e} - 1.\] 
On a vu dans la partie A que la fonction $f_0$ est strictement croissante en particulier sur l'intervalle [0~;~1[, donc 

$0 < x < 1 \Rightarrow 1 < \dfrac{\text{e}^x - 1}{x} < \text{e} - 1$.
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n,~ \ln (\alpha_n) \leqslant \dfrac{1 - \text{e}}{n}$,~	puis que, $\alpha_n \geqslant \text{e}^{\frac{1 - \text{e}}{n}}$.
		Par définition $\alpha_n$ annule la fonction $f_n$, soit :
		
		$\dfrac{\text{e}^\alpha_n - 1}{\alpha_n} + n \ln \alpha_n = 0$.
		
On a vu au 6. a que si $x \in ]0~;~1]$, alors $\dfrac{\text{e}^x - 1}{x} < \text{e} - 1$donc en particulier pour $\alpha_n$, \: $\dfrac{\text{e}^{\alpha_n} - 1}{\alpha_n} < \text{e} - 1 \Rightarrow \dfrac{\text{e}^{\alpha_n} - 1}{\alpha_n} +  n \ln \alpha_n < \text{e} - 1 + n \ln \alpha_n $ ou encore 
$0 < \text{e} - 1 + n \ln \alpha_n \iff n \ln \alpha_n> 1 - \text{e} \iff \ln \alpha_n > \dfrac{1 - \text{e}}{n}$.

La fonction exponentielle étant croissante, on a :

$\ln \alpha_n > \dfrac{1 - \text{e}}{n} \Rightarrow \text{e}^{\ln \alpha_n} > \text{e}^{\frac{1 - \text{e}}{n}}$ ou encore $\alpha_n > \text{e}^{\frac{1 - \text{e}}{n}}$.
		\item %Déterminer la limite de la suite $(\alpha_n)$.
On a donc $\text{e}^{\frac{1 - \text{e}}{n}} < \alpha_n < 1$ ; or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\frac{1 - \text{e}}{n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\text{e}^{\frac{1 - \text{e}}{n}} = 1$, donc d'après le théorème des \og gendarmes \fg{}, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \alpha_n = 1$.
	\end{enumerate}
\item %Construire sur le graphique précédent, les courbes  $\mathcal{C}_1,~\mathcal{C}_2$.
Voir ci-dessus.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C : Étude d'une suite d'intégrales}

%Pour tout entier naturel $n$, on appelle $I_n$ l'intégrale
 
\[I_n =  \displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} f_n(x)\: \text{d}x.\]

\begin{enumerate} 
\item %Donner une interprétation graphique de cette  intégrale. 
On a vu que sur $[1~;~+ \infty[$, \: $f_n(x) \geqslant 0$, donc $I_n$ est l'aire (en unité d'aire) de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_n$ et les droites verticales d'équation $x = 1$ et $x = \frac{3}{2}$.
\item %Étudier le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$. 
$I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} f_{n+1}(x)\: \text{d}x - \displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} f_n(x)\: \text{d}x$ et par linéarité de l'intégrale :

$I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} \left[f_{n+1}(x) - f_n(x)\right]\: \text{d}x$.

Or on a vu que pour $x \geqslant 1, \: f_{n+1}(x) \geqslant  f_n(x)$, d'où $f_{n+1}(x) - f_n(x) \geqslant  0$, donc $I_{n+1} - I_n$ est l'intégrale d'une fonction positive ; sur l'intervalle $\left[1~;~\frac{3}{2}\right]$, cette intégrale est positive et par conséquent la suite $\left(I_n\right)$ est croissante.
\item %Démontrer que l'aire comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{n+1}$, et  $\mathcal{C}_n$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \dfrac{3}{2}$ est constante.
D'après la question précédente l'aire comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{n+1}$ et  $\mathcal{C}_n$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \dfrac{3}{2}$ est, en unité d'aire,  l'intégrale

$\displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} \left[f_{n+1}(x) - f_n(x)\right]\: \text{d}x = \displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} \ln x\:\text{d}x$.

L'unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, donc l'aire cherchée est égale à $4\displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} \ln x\:\text{d}x$ aire indépendante de $n$ et donc constante.

\emph{Rem.} On trouve par une intégration par parties qu'une primitive de la fonction $x \longmapsto \ln x$ est la fonction $x \longmapsto x\ln x - x$.

L'aire cherchée est donc :

$\displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} 4\ln x\:\text{d}x = 4\left[x\ln x - x\right]_1^{\frac{3}{2}} = 4\left[\frac{3}{2}\ln \frac{3}{2} - \frac{3}{2} - \left(1\ln 1 - 1 \right)\right] =  4\left[\frac{3}{2}\ln \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right] = $

$6\ln \frac{3}{2} - 2 \approx 0,433$~cm$^2$.

On a obombré cette surface dans la figure au dessus, aire entre  $\mathcal{C}_1$ et  $\mathcal{C}_2$.
\end{enumerate}
\end{document} 