%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-3dplot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Centres étrangers
~\decofourright\\[4pt]juin 2003}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On définit, pour tout entier naturel $n > 0$, la suite $(u_n)$ de nombres réels strictement positifs par $u_n = \dfrac{n^2}{2^n}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Pour tout entier naturel $n > 0$, on pose $v_n = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \dfrac{1}{2}$.
$v_{n} =\dfrac{\frac{(n+1)^{2}}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2} \times \frac{1}{2}$.

Or $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \frac{n+1}{n}  = 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2} = 1$.

Finalement $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = \dfrac{1}{2}$.
 		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n > 0,\: v_n > \dfrac{1}{2}$.
Pour tout naturel N > 0,\:\: $n + 1 > n \Rightarrow \dfrac{n+1}{n} > 1 \Rightarrow \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{2} > 1 \iff v_{n} > \dfrac{1}{2}$.
		\item %Trouver le plus petit entier $N$ tel que si $n \geqslant 
%N,~v_n < \dfrac{3}{4}$.
$v_{n} < \frac{3}{4} \iff  \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}\times \dfrac{1}{2} < \dfrac{3}{4} \iff \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2} < \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{n+1}{n} < \sqrt{\frac{3}{2}} \iff n + 1 < \sqrt{\frac{3}{2}}n \iff n \left(\sqrt{\frac{3}{2}} - 1 \right) > 1 \iff n > \dfrac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}} - 1}\approx 4,44$.
Il faut prendre $N = 4$.
		\item %En déduire que si $n \geqslant N$, alors $u_{n+1} < \dfrac{3}{4}u_n$.
		On vient de démontrer que pour $n > 4$, alors $v_{n }< \frac{3}{4} \iff \frac{u_{n+1}}{u_{n}}< \frac{3}{4} \iff u_{n+1} < \frac{3}{4} u_{n}$.
	\end{enumerate}
%On pose pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~S_n = u_5 + 
%u_6 + \ldots + u_n$.
 \item %On se propose de montrer que la suite $(S_n)_{n\geqslant 5}$ est convergente.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 5,$

%\[u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5.\]
$\bullet~~$\emph{Initialisation}

Pour $n = 5$, on a vu que u_{6} < \frac{3}{4}u_{5}$. La relation est vraie au rang 5.

$\bullet~~$\emph{Hérédité}

Supposons que pour $n \in \N$,\: $n > 5$ on ait  $u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n - 5}u_5$.

On a $u_{n+1} < \frac{3}{4}u_{n}$ soit $u_{n+1} \leqslant  \frac{3}{4}\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n - 5}u_5$ ou encore  $u_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1 - 5}u_5$ soit enfin $u_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n - 4}u_5$.

L’hérédité est démontrée.

La propriété est vraie au rang 5 et si elle est vraie à un rang quelconque supérieur ou égal à 5, elle est vraie au rang suivant.

Conclusion : par le principe de la récurrence, pour tout entier naturel $n \geqslant 5,$\:$u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5$.

%\[u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5
		 \item %Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 5$,

%\[S_n \leqslant \left[1 + \dfrac{3}{4} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + 
%\cdot + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right]u_5.\]
On a $u_{5} \leqslant u_{5}, \: u_{6} \leqslant \frac{3}{4}u_{5}, \ldots, u_{n} \leqslant \left(\frac{3}{4} \right)^{n-5}u_{5}$.

En sommant toutes ces inégalités on obtient :

$S_{n} \leqslant u_{5} + \frac{3}{4}u_{5}+ \cdots + \left(\frac{3}{4} \right)^{n-5}u_{5}$ ou après factorisation :

$S_{n} \leqslant u_{5}\left(1 + \frac{3}{4} + \cdots + \left(\frac{3}{4} \right)^{n-5} \right)$.

La parenthèse est la somme des $(n - 5)$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\frac{3}{4}$.

$S_{n} = u_{5}\dfrac{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n - 4}}{1 - \frac{3}{4}} = 4u_{5}\left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n - 4} \right)$.
		 \item %En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 
%5,~S_n \leqslant 4u_5$.

Puisque $1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n - 3} < 1$, on a $S_{n} \leqslant 4u_{5}$.
	\end{enumerate}
 \item %Montrer que la suite $\left(S_n\right)_{n\geqslant 
%5}$ est croissante et en déduire qu'elle converge.
De fa\c con évidente : $S_{n+1}- S_{n} = u_{n+1} > 0$ : la suite $\left(S_n\right)_{n\geqslant 5}$ est donc croissante.

Comme elle est majorée par $4u_{5}$ elle converge vers une limite $\ell \leqslant 4u_{5}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement 
de spécialité}

\medskip
%
%Une entreprise d'autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc.
% 
%Un autocar part de son entrepôt. On note $D$ la variable aléatoire
% qui mesure la distance en kilomètres que l'autocar va parcourir jusqu'à ce qu'il survienne un incident. On admet que $D$ suit
%une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$, appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement.
% 
%On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par : 
%
%\[p(D \leqslant A) = \displaystyle\int_0^A  
%\dfrac{1}{82}\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x.\]
%
%Dans tout l'exercice, les résultats numériques seront arrondis au millime.

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité que la distance parcourue sans
 incident soit : 
	\begin{enumerate} 
		\item comprise entre $50$ et $100$ km ;
		
Cette probabilité est égale à \displaystyle\int_{50}^{100}  
\dfrac{1}{82}\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x = \left[-  \text{e}^{-\frac{x}{82}}\right]_{50}^{100} = - \text{e}^{-\frac{100}{82}} + \text{e}^{-\frac{50}{82}} \approx 0,248$
		\item supérieure à $300$ km. 
		
On calcule la probabilité de parcourir moins de 300 km ou 300 km qui est $\displaystyle\int_0^{300}  \dfrac{1}{82}\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x = \left[- \text{e}^{-\frac{x}{82}} \right]_{0}^{300} = 1 -  \text{e}^{-\frac{300}{82}}$.

La probabilité de parcourir plus de 300 km est donc égale à $\text{e}^{-\frac{300}{82}} \approx 0,026$
	\end{enumerate} 
\item %Sachant que l'autocar a déjà parcouru $350$ kilomètres
% sans incident, quelle est la probabilité qu'il n'en subisse pas non plus
% au cours des 25~prochains kilomètres ?
On calcule $p_{(D \geqslant 350)}(D \geqslant 375) = p(D \geqslant 25) = \text{e}^{-\frac{25}{82}} \approx 0,737$.
\item Détermination de la distance moyenne parcourue sans
 incident.
	\begin{enumerate} 
		\item %Au moyen d'une intégration par parties, calculer I$(A) = 
%\displaystyle\int_0^A  \dfrac{1}{82}x\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x$ où $A$ est un nombre réel positif.
On pose $u(x) = x$ et $v’(x) = \frac{1}{82}\text{e}^{-\frac{x}{82}}$, d’où 

$u’(x) = 1$ et $v(x) = - \text{e}^{-\frac{x}{82}}$.

Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur $[0~;~+ \infty[$. On peut donc intégrer par parties :

I$(A) =  \left[- x\text{e}^{-\frac{x}{82}} \right]_{0}^{A} + \displaystyle\int_0^A \text{e}^{-\frac{x}{82}}\:\text{d}x = \left[- x\text{e}^{-\frac{x}{82}} + 82\text{e}^{-\frac{x}{82}} \right]_{0} ^{A} = \text{e}^{-\frac{A}{82}}(- 82 - A) + 82$. 
		 \item %Calculer la limite de I$(A)$ lorsque $A$ tend vers $+ \infty$.
% (Cette limite représente la distance moyenne cherchée). 
On a $\displaystyle\lim_{A \to + \infty} \frac{82}{\text{e}^{\frac{A}{82}}} = 0$ et $\displaystyle\lim_{A \to + \infty} \frac{A}{\text{e}^{\frac{A}{82}}} = 0$, donc finalement :

$\displaystyle\lim_{A \to + \infty}\text{I}(A) = 82$.

La distance moyenne parcourue sans un incident est de $82$~jours.
 	\end{enumerate}
\item %L’entreprise possède N$_0$ autocars. Les distances
% parcourues par chacun des autocars entre l'entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux à deux
%indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$.
%
%$d$ étant un réel positif, on note $X_d$ la variable aléatoire égale
% au nombre d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $X_d$ suit une loi binomiale de paramètres N$_0$ et  e$^{-\lambda d}$.
On a un schéma de Bernoulli avec comme paramètres N$_{0}$ et de probabilité $\text{e}^{\frac{d}{82}}$

La variable $X_{d}$ prend comme valeur le nombre de \og succès \fg{ au cours des N$_{0}}$ épreuves.
		\item %Donner le nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres. 
L’espérance de $X_{d}$ est égale à N$_{0}\text{e}^{\frac{d}{82}} $
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\vspace{2cm}
%
%\parbox[l]{0.40\textwidth}{L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal 
%\Oijk.\\
%On considère la surface \textbf{T} d'équation :
%$x^2y = z$\quad  avec $-1 \leqslant x \leqslant 1$ \quad et 
%$-1 \leqslant y \leqslant 1.$\\
%La figure ci-contre est une représentation de la surface \textbf{T}, dans le
% cube de centre O et de côté 2.} \hfill 
%\parbox[l]{0.45\textwidth}{
%%\includegraphics[width=7cm]{fig.Maroc.epsf}}
%\psset{unit=1.5cm,xMax=2.2,yMax=2.2,zMax=2.5}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
%\pstThreeDCoor
%\pstThreeDBox(1,1,-1)(-2,0,0)(0,-2,0)(0,0,2)
%\psplotThreeD[linecolor=blue,drawStyle=xLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
%\psplotThreeD[linecolor=red,drawStyle=yLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
%\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Éléments de symétrie de la surface \textbf{T}.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que si le point $M(x,~y,~z)$ appartient à \textbf{T}, alors le point $M'(- x,~y,~z)$ appartient aussi à \textbf{T}. En déduire un plan de symétrie de \textbf{T}.
Si $z = x^{2}y$, alors $z = (- x)^{2}y$.

Les points $(x~;~y~;~z)$ et $(- x~;~y~;~z)$ sont symétriques autour du plan $y$O$z$ d’équation $x = 0$.
		\item %Montrer que l'origine O du repère est centre de symétrie de \textbf{T}.
Si $z = x^{2}y$, alors $- z  = (- x)^{2}(- y)$, ce qui montre que le point $(-x~;~- y~;~- z)$ appartient lui aussi à la surface. Le point O est donc un centre de symétrie de \textbf{T}.
	\end{enumerate}
\item Intersections de la surface \textbf{T} avec des plans
 parallèles aux axes.
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan (x\text{O}z).
Soit $y = a$ l’équation d’un plan parallèle au plan $(x\text{O}z)$. Les coordonnées des points communs à ce plan et à \textbf{T} vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
z&=&x^{2}y\\
y&=&a
\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
z&=&ax^{2}\\
y&=&a
\end{array}\right.$

$\bullet~~$Si $a < - 1$ ou si $a > 1$, l’intersection est vide ;

$\bullet~~$Si $1 \leqslant a \leqslant 1$
ceci représente l’équation d’une parabole d’axe O$z$ (sauf si $a = 0$). L’intersection est l’arc de parabole limité aux points d’abscisse $- 1$ et $1$.
		\item %Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan $(y\text{O}z)$. 
Soit $x = b$ l’équation d’un plan parallèle au plan (y\text{O}z). Les coordonnées des points communs à ce plan et à \textbf{T} vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
z&=&x^{2}y\\
x&=&b
\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
z&=&b^{2}y\\
x&=&b
\end{array}\right.$

Ceci représente l’équation d’une droite contenant O dans le plan parallèle au plan (y\text{O}z). L’intersection est donc un segment limité aux points d’ordonnées $- 1$ et $1$ (sauf si $b = 0$).
	\end{enumerate} 
\item %Intersections de la surface \textbf{T} avec les plans
% parallèles au plan $(x\text{O}y)$ d'équations $z = k$, avec $k \in [0~;~1]$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer l'intersection de la surface \textbf{T} et du plan d'équation $z = 0$.
Les coordonnées des points communs à la surface \textbf{T} et au plan d'équation $z = 0$ vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
z&=&x^{2}y\\
z&=&0
\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
0&=&x^{2}y\\
z&=&0
\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
0&=&x\\
z&=&0
\end{array}\right.$ ou $\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&y\\
z&=&0
\end{array}\right.

Ceci représente les axes O$x$ et O$y$.
		\item %Pour $k > 0$ on note $K$ le point de coordonnées $(0,~0,~ k)$.
%Déterminer, dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~
%\vect{\jmath}\right)$, l'équation de la courbe d'intersection de
% \textbf{T} et du plan d'équation $z = k$.
Les points communs à  \textbf{T} et au plan d'équation $z = k$ ont des coordonnées qui vérifient :

\left\{\begin{array}{l c l}
z&=&x^{2}y\\
z&=&k
\end{array}\right.$ soit $x^{2}y = k \iff y = \dfrac{k}{x^{2}}$.

Comme $0 \leqslant k \leqslant 1$, cette courbe est limitée à un arc  d’extrémités $(- 1~;~k~;~k)$ et $(1~;~k~;~k)$.
		\item %Tracer l'allure de cette courbe dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$. On précisera en particulier les coordonnées des extrémités de l'arc.
Exemple de tracé avec $k = 0,25$ :
		
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{-0.5}{0.25 x dup mul div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{1}{0.25 x dup mul div}
\psline[linestyle=dashed](-1,0.25)(1,0.25)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,1)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,1)
\uput[ur](0,0.25){$k$}
\uput[d](-0.5,0){$\sqrt{k}$}\uput[d](0.5,0){$\sqrt{k}$}
\end{pspicture*}
\end{center}		 
	\end{enumerate} 
\item On note (D) le domaine formé des points du cube unité  situés sous la surface \textbf{T}.

\[(\text{D}) = {M(x,~y,~z) \in (E) \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant x \leqslant 1~;~ 0\leqslant y\leqslant 1~;~ 0 \leqslant z \leqslant x^2y}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item	%Pour $0 < k \leqslant 1$, le plan d'équation $z = k$ coupe le domaine (D) selon une surface qu'on peut visualiser sur le graphique de la \textbf{question 3 c}.
		
%C’est l'ensemble des points $M$ du cube unité, de coordonnées $(x,~ y,~ z)$ tels que $y \geqslant \dfrac{k}{x^2}$  et $z = k$.

%Calculer en fonction de $k$  l'aire $S(k)$ exprimée en unités d'aire, de cette surface.
L’ensemble des points et défini par :

\[ \sqrt{k} \leqslant x \leqslant 1 \quad \text{et} \quad \dfrac{k}{y^{2}} \leqslant y \leqslant 1 \] 

Son aire est $S(k) v= \displaystyle\int_{\sqrt{k}}^{1} \left(1 - \dfrac{k}{x^{2}}\:\text{d}x = \left[x + \dfrac{k}{x} \right]_{\sqrt{k}}^{1} = 1 + k - \sqrt{k} - \dfrac{k}{\sqrt{k}} =$

$1 + k - 2\sqrt{k} = \left(1 - \sqrt{k}\right)^{2}$.
		\item %On pose $S(0) = 1$ ;  calculer en unités de volume, le volume $V$ du domaine (D).

On rappelle que $V = \displaystyle\int_0^1  S(k)\:\text{d}k = \displaystyle\int_0^1  \left(1 + k - 2\sqrt{k}\right)\:\text{d}k$.

Or $\sqrt{k} = k^{\frac{1}{2}}$ dont une primitive est $\frac{2}{3}k^{\frac{3}{2}}$, donc :

$V = \left[x + \frac{k^{2}}{2} - \frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{4}{3} = \frac{3}{2} - \frac{4}{3} = \frac{9 - 8}{6} =  \dfrac{1}{6}$ (u. a.).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

%On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle I $ = ]- 2~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 1 + x\ln (x + 2).\]

%On note $\left(\mathcal{C}_f\right)$ la courbe représentative de $f$
% dans le repère orthonormal \Oij. (unité graphique 4 cm).
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{I. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Étude des variations de la dérivée $f'$.
	\begin{enumerate} 
		\item %$f'$ désigne la fonction dérivée première de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ pour $x$ appartenant  à l'intervalle %$]-2~;~+ \infty[$.
$f$est dérivable car somme de fonctions composées dérivable sur $]-2~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f^{\prime}(x) = \ln (x + 2) + \dfrac{x}{x + 2}$ ;

$f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{x + 2 - x}{(x + 2)^{2}} = \dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{2}{(x + 2)^{2}}$.		
		\item %Étudier les variations de $f'$ sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$.
		
$f^{\prime\prime}(x)$ est une somme de termes positifs, donc est positive ; il s’ensuit que $f^{\prime}(x)$ est croissante sur $]-2~;~+ \infty[$.
		\item %Déterminer les limites de $f'$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to - 2} \ln (x + 2) = - \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to - 2} \dfrac{x}{x + 2} = - \infty$, on a donc 

$\displaystyle\lim_{x \to - 2} f^{\prime}(x) = - \infty$.
		
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \ln (x + 2) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{x + 2}  = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f^{\prime}(x) = +\infty$.

Conclusion $f^{\prime}(x) $ est croissante de $- \infty$ à $+ \infty$, donc s’annule une seule fois sur l’intervalle $]-2~;~+ \infty[$ .
	\end{enumerate}
\item Étude du signe de $f'(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$ l'équation $f'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[- 0,6~;~- 0,5]$.
		On a $f^{\prime}(- 0,6) = 1 - 0,6\ln 1,4 \approx - 0, 09 $ et  
		$f^{\prime}(- 0,5) = 1 - 0,5\ln 1,5 \approx  0, 07 $  la fonction $f^{\prime}$ est continue car dérivable et strictement croissante sur 
		
$]- 0,6~;~- 0,5[$ : elle s’annule donc une seule fois sur cet intervalle en $\alpha$ avec $- 0,6 < \alpha < - 0,5$.
		\item %En déduire le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
On en déduit que :

$\bullet~~$sur $]- 2~;~\alpha[$, \:$f’(x) < 0$ ;

$\bullet~~f’(\alpha) = 0$ ;

$\bullet~~$sur $]\alpha~;~+ \infty[,\: f’(x) > 0$.		
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$]-2~;~+ \infty[$.
Le résultat précédent montre que :

$\bullet~~$sur $]- 2~;~\alpha[$, \:$f$ est décroissante

$\bullet~~f(\alpha) = 1$ est le minimum de la fonction

$\bullet~~$sur $]\alpha~;~+ \infty[,\: f$ est croissante.
		\item %Déterminer les limites de $f$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to - 2} \ln (x +2) = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - 2} f(x) = + \infty$ (par produit par $- 2$ ;

$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln (x + 2) = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\ln (x + 2) = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Dresser le tableau de variation de $f$.
On a donc le tableau de variations suivant :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)\psline(0,1.5)(6,1.5)\psline(0,2)(6,2)
\psline(1,0)(1,2.5)\psline[doubleline=true](1.2,0)(1.2,1.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.25,2){$- 2$} \uput[u](3.5,2){$\alpha$} \uput[u](5.5,2){$+ \infty$} 
\rput(0.5,1.75){$f’(x)$}\rput(0.5,0.75){$f$}
\rput(2.25,1.75){$-$}\rput(3.5,1.75){$0$}\rput(4.75,1.75){$+$}
\uput[d](1.5,1.5){$+ \infty$}\uput[u](3.5,0){$f(\alpha)$}\uput[d](5.5,1.5){$+ \infty$}
\psline{->}(2,1.1)(3,0.5)\psline{->}(4,0.5)(5.5,1.1)
\end{pspicture}
\end{center}		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II. Position de la courbe \boldmath $(\mathcal{C}_f)$ 
\unboldmath par rapport à ses tangentes}

\medskip

%Soit $x_0$ un réel appartenant  l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$ , on 
%appelle $T_{x_0}$ la tangente  $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $x_0$.
%
%On note, pour $x$ appartenant à l'intervalle $]-2~;~+ \infty[,$
%
%\[d(x) = f(x) - \left[f'(x_0) (x- x_{0}) + f(x_0)\right].\]

\begin{enumerate} 
\item Étude des variations de $d$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle 
%$]-2~;~+ \infty[$,

%\[d’(x) = f'(x) - f'\left(x_0\right).\]
$d(x) = f(x) - \left[f'(x_0) \left(x - x_{0}\right) + f\left(x_0\right)\right]$ ; $d$ est une somme de fonctions dérivables sur $]-2~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$d’(x) = f’(x)  - 1f’\left(x_{0}\right) = f'(x) - f'\left(x_0\right)$.
		\item %En utilisant la croissance de la fonction $f'$, donner le signe de $d'(x)$ selon les valeurs de $x$. En déduire les variations de $d$ sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$.
		
On a vu que $f’$ est croissante sur $]-2~;~+ \infty[$, donc :

$\bullet~~$si $x < x_{0}, \: f’(x) < f’\left(x_{0}\right) \iff d’(x) < 0$ ;

$\bullet~~$si $x > x_{0}, \: f’(x) > f’\left(x_{0}\right) \iff d’(x) > 0$.

$d$ est donc décroissante sur $]- 2~;~x_{0}[$ et croissante sur $]x_{0}~;~+ \infty[$ avec bien entendu $d\left(x_{0}\right) = 0$ qui est le minimum de la fonction. Par conséquent $d(x) \geqslant 0$ sur $]-2~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer la position relative de $\left(\mathcal{C}_
%f\right)$ et de $T_{x_0}$.
Le résultat précédent signifie géométriquement que la courbe 
$\left(\mathcal{C}_f\right)$ est au dessus de la tangente  $T_{x_0}$, quel que soit $x_{0}$ : la courbe est donc au dessus de ses tangentes.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{III. Tracés dans le repère \boldmath \Oij \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite $T_0$, tangente  
%$\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse 0 ; tracer $T_0$.
On sait qu’une équation de la tangente à \left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d’abscisse $x_{0}$ est 

$y = f'(x_0) (x- x_{0}) + f(x_0)$ ; donc pour $x_{0} = 0$ et $f\left(x_{0}\right) = 1$ (on sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$) et $f’\left(x_{0}\right) = \ln 2$ :

$M(x~;~y) \in T_{0} \iff y = \ln 2\left(x - 0\right) + 1 \iff y = x\ln 2 + 1$. 
\item %Trouver les réels $x_0$ pour lesquels les tangentes $T_{x_0}$
% passent par l'origine du repère puis tracer ces droites.
$T_{x_0}$ d’équation $y = f’\left(x_0\right) \left(x - x_{0}\right) + f\left(x_0\right)$ contient l’origine si pour $x = 0, \:y = 0$, soit 

$0 = - x_{0}f’\left(x_{0}\right) + f\left(x_{0}\right) \iff - x_{0}\left[\ln \left(x_{0} + 2 \right) + \dfrac{x_{0}}{x_{0} + 2}\right] + 1 + x_{0} \ln \left(x_{0}+ 2\right) \iff  
- \dfrac{x_{0}^2}{x_{0} + 2} + 1 = 0 \iff - x_{0}^2 + x_{0} + 2 = 0$.

Une solution évidente de cette équation est $- 1$, l’autre, un peu moins, est  $2$.

Il y a donc deux tangentes contenant O ; celle au point d’abscisse $- 1$ d’équation $y = - x$ et celle au point d’abscisse $2$ d’équation 

$y = \left(\ln 4 + \dfrac{1}{2} \right)x$.
\item ~%Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ pour les
% valeurs de $x$ comprises entre $- 1$ et 2. On prendra pour $\alpha$ la
%valeur $- 0,54$ et pour $f(\alpha)$ la valeur 0,8.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.1,-0.1)(2.1,4.1)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.1,-0.1)(2.1,4.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[l](1,2.1){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dotted](-0.54,0)(-0.54,0.8)(0,0.8)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1}{2}{x 2 add ln x mul 1 add}
\uput[d](1.8,2.2){$T_{0}$}\uput[d](0.6,1.1){$T_{2}$}
\uput[d](-0.3,0.3){$T_{-1}$}
\psplot{-1.1}{0.1}{0 x sub}
\psplot{-0.1}{2.1}{1.88629 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.5}{2}{0.69314 x mul 1 add}
\uput[d](-0.54,0){$\alpha$}\uput[r](0,0.8){$f(\alpha)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document} 