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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité}
\lfoot{\small{Centres étrangers candidats libres}}
\rfoot{\small{10 juin 2021}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 10 juin 2021~\decofourright\\[6pt] Candidats libres  Sujet 2\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 
%
%Pour chacune des cinq questions, quatre
%réponses sont proposées; une seule de ces réponses est exacte.
%
%\smallskip
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}
%
%\textbf{Barème :} une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
%
%\bigskip

\textbf{Question 1 :}

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$  par $g(x)= x^2+ 2x - \dfrac{3}{x}$.

%Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est: 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~~} $y=7(x - 1)$&\textbf{b.~~} $y = x - 1$&\textbf{c.~~} $y = 7x + 7$&\textbf{d.~~}$ y = x +1$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Si $T$ est la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1, on sait que :

$M(x~;~y) \in T \iff y - g(1) = g'(1)(x - 1)$.

\starredbullet $g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle : $g'(x) = 2x + 2 + \dfrac{3}{x^2}$

On a donc $g'(1) = 2 + 2 + \dfrac{3}{1} = 7$ ;

\starredbullet D'autre part $g(1) = 1^2 + 2 \times 1 - \dfrac{3}{1} = 0$.

On a donc : $M(x~;~y) \in T \iff y - 0 = 7(x - 1) \iff y = 7x - 7$. Réponse \textbf{a.}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

%On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par $v_n = \dfrac{3n}{n + 2}$. On cherche à déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 1$&
%\textbf{b.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 3$ &  \textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = \dfrac{3}{2}$ &\textbf{d.~~} On ne peut pas la déterminer\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Pour $n$ assez grand, on a $n \ne 0$, donc $v_n = \dfrac{3}{1 + \frac{2}{n}}$

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{3}{n} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = 3$. Réponse \textbf{b.}

\medskip

\textbf{Question 3 :}

%Dans une urne il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à $10^{-4}$ près) d'avoir 4 boules noires et 6 boules rouges?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~~}\np{0,1662}&\textbf{b.~~} 0,4&\textbf{c.~~} \np{0,1115}&\textbf{d.~~} \np{0,8886}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Si $X$ est la variable aléatoire correspondant au nombre de boules noires tirées, l'expérience correspond à une loi de Bernoulli  et $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,6$.

On sait que $p(X = 4) = \binom{10}{4} \times 0,6^4 \times \left(1 - 0,4^6\right) \approx \np{0,11147} \approx \np{0,1115}$ à $10^{-4}$ près. Réponse \textbf{c.~~}
\medskip

\textbf{Question 4 :}

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3\e^x - x$.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\small}X|}}\hline
%\textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$
%&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty $&\textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =  -\infty$&\textbf{d.~~} On ne peut pas déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a pour $x \ne 0$, \, $f(x) = x\left(3\dfrac{\e^x}{x}  - 1\right)$.

Or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, donc 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} - 1 = + \infty$ et par produit de limites
 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ Réponse \textbf{b.}
\medskip

\textbf{Question 5 :}

%Un code inconnu est constitué de 8 signes. 
%
%Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a
%donc 36 signes utilisables pour chacune des positions.
%
%Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~~}environ 0,3 seconde&\textbf{b.~~}environ 8 heures&\textbf{c.~~}environ 3 heures&
%\textbf{d.~~}environ 470 heures\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Le nombre de codes différents est donc $36^8 = \np{2821109907456}$.

Il faut donc $\dfrac{\np{2821109907456}}{10^8} \approx \np{28211}$~(s) ou $\approx 478,2$~(min) ou $\approx 7,8$~(h). Réponse \textbf{b.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Au 1\up{er} janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait \np{10560} panneaux solaires.
%
%On observe, chaque année, que 2\,\% des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite}

\medskip

%On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \np{10560}$ et, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = 0,98u_n +250$, où $u_n$  est le nombre de panneaux solaires au 1\up{er} janvier de l'année $2020 +n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
Retrancher 2\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{2}{100} = 1 - 0,02 = 0,98$.

D'une année sur l'autre on multiplie le nombre de panneaux par 0,98 puis on augment de nombre de panneaux de 250.
		\item  %On souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à \np{12000}.
		
%À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
Avec la calculatrice il suffit de taper \np{10560} Entrée puis $\times 0,98 + 50$.

Entrée donne $u_1 \approx \np{10599}$, les appuis successifs de Entrée donnent $u_2$, \, $u_3$, etc.

On obtient $u_{68} \approx \np{12009}$.

le nombre de panneaux dépassera \np{12000} au bout de 68 ans soit en 2088.
		\item  Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur
cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l'issue de l'exécution de ce dernier.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
u $= \np{10560}$\\
n$ =0$\\
while  u $\leqslant \np{12000}$ :\\
\qquad u $= 0,98*\text{u} + 250$  \\
\qquad n $= \text{n} + 1$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \leqslant \np{12500}$.
\emph{Initialisation }: $u_0 = \np{10560} \leqslant \np{12500}$ : la proposition est vraie au rang 0.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ tel que $u_n \leqslant \np{12500}$ soit en multipliant par 0,98 :

$0,98u_n \leqslant 0,98 \times \np{12500}$ et en ajoutant 250 à chaque membre :

$0,98u_n + 250  \leqslant 0,98 \times \np{12500} + 250$ ou $u_{n+1}  \leqslant \np{12250} + 250 $ et finalement 

$u_{n+1} \leqslant \np{12500}$ : la proposition est vraie au rang $n + 1$.

La proposition est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \in \N$ elle est vraie au rang $n + 1$ : d'après le principe de la récurrence la proposition $u_n \leqslant \np{12500}$ est vraie pour tout naturel $n \in \N$.
\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
On a pour $n \in \N$, \, $u_{n+1} - u_n = 0,98u_n + 250 - u_n = 250  - 0,02u_n$.

Or d'après le résultat précédent :

$u_n \leqslant \np{12500} \Rightarrow 0,02u_n \leqslant 0,02 \times \np{12500}$ ou encore $0,02u_n \leqslant 250$ ou en ajoutant à chaque membre $- 0,02u_n$ :

$0 \leqslant 250 - 0,02u_n$ ; on a donc démontré que $u_{n+1} - u_n  \geqslant 0$, ce qui signifie que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. Il n'est pas demandé, ici, de calculer sa limite.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par \np{12500} : elle est donc convergente vers une limite $\ell$, telle que $\ell \leqslant \np{12500}$.
\item %On définit la suite $\left(v_n\right)$  par $v_n = u_n - \np{12500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$ dont on précisera le premier terme.
		Quel que soit $n \in \N$, \, $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{12500} = 0,98u_n + 250 - \np{12500}$, soit 
		
		$v_{n+1}  = 0,98u_n - \np{12250} = 0,98u_n - \np{12250}\times \frac{0,98}{0,98} = 0,98u_n - \np{12500} \times 0,98 = 0,98\left(u_n - \np{12500}\right)$ soit enfin $v_{n+1} = 0,98v_n$ : cette relation vraie quel que soit $n \in \N$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$ de premier terme $v_0 = u_0 - \np{12500} = \np{10560} - \np{12500} = - \np{1940}$.
		\item %Exprimer, pour tout entier naturel $n$,\, $v_n$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors quel que soit $n \in \N$, \, $v_n = v_0 \times 0,98^n$, soit $v_n = - \np{1940} \times 0,98^n$.
		\item %En déduire, pour tout entier naturel $n$,\, $u_n$ en fonction de $n$.
Pour tout entier naturel $n$,\,$v_n = u_n - \np{12500} \iff u_n = v_n + \np{12500} =$

$ \np{12500} - \np{1940} \times 0,98^n$.
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		
Comme $0 < 0,98 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,98^n = 0$, donc 
		
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \np{12500}$
		
%Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
le nombre de panneaux va tendre vers \np{12500}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction}

%\medskip
%
%Une modélisation plus précise a permis d'estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l'aide de la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0~;~ +\infty[$ par 
%
%$f(x) = \np{12500} - 500 \e^{-0,02x + 1,4}$, où $x$ représente le nombre d'années écoulées depuis le 1\up{er} janvier 2020.

\medskip

\begin{enumerate}
\item % Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
La fonction $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = - 0,02 \times (- 500)\e^{-0,02x+1,4} = 10\e^{-0,02x+1,4}$.

Comme la fonction exponentielle est strictement positive, on en déduit que $f'(x) > 0$ : la fonction est donc strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$ 
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \e^{-0,02x+1,4} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 500 \e^{-0,02x+1,4} = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} f(x) = \np{12500}$.
\item %En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires dépassera \np{12000}.
Il faut résoudre l'inéquation :

$\np{12500} - 500 \e^{-0,02x+1,4} > \np{12000} \iff 500 > 500\e^{-0,02x+1,4} \iff 1 >\e^{-0,02x+1,4} \iff \e^0 \geqslant \e^{-0,02x+1,4}$, soit par croissance de la fonction exponentielle :

$0 > - 0,02x + 1,4 \iff 0,02x > 1,4$ et en multipliant chaque membre par 50 : 

$x > 70$ : il faut donc attendre 71 ans pour que le nombre de panneaux dépasse \np{12000}, soit en 2091.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE et J est un point du segment [CG].

Il existe donc $a \in [0~;~1]$ tel que $\vect{\text{CJ}} =a \vect{\text{CG}}$.

On note $(d)$ la droite passant par I et parallèle à (FJ).

On note K et L les points d'intersection de la droite $(d)$ et des droites (AE) et (DH).

On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\,\vect{\text{AD}},\, \vect{\text{AE}}\right)$. 

\bigskip

\textbf{Partie A : Dans cette partie} \boldmath $a = \dfrac{2}{3}$ \unboldmath

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(9.5,7.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,3.65)(4.2,4.05)(8.9,5.6)(6.8,5.2)%KLJF
\psframe(2,0.5)(6.8,5.2)%ABFE
\psline(6.8,0.5)(8.9,2.4)(8.9,7.2)(6.8,5.2)%BCGF
\psline(8.9,7.2)(4.2,7.2)(2,5.1)%GHE
\psline[linestyle=dashed](2,0.5)(4.2,2.4)(4.2,7.2)%ADH
\psline[linestyle=dashed](8.9,2.4)(4.2,2.4)
\psdots(2,0.5)(6.8,0.5)(8.9,2.4)(4.2,2.4)%ABCD
\uput[dl](2,0.5){A} \uput[d](6.8,0.5){B} \uput[r](8.9,2.4){C} \uput[ul](4.2,2.4){D} 
\psdots(2,5.2)(6.8,5.2)(8.9,7.2)(4.2,7.2)(8.9,2.4)(8.9,4)(8.9,5.6)(3.1,3.85)%EFGHPJI
\uput[l](2,5.2){E} \uput[u](6.8,5.2){F} \uput[ur](8.9,7.2){G} \uput[u](4.2,7.2){H} \uput[r](8.9,4){P} 
\uput[r](8.9,5.6){J}\uput[d](3.1,3.85){I}
\psline(2,3.65)(6.8,5.2)(8.9,5.6)(4.2,4.05)%KFJL
\psline(-0.2,3.25)(2,3.65)(4.2,4.05)%KL
\psdots(2,3.65)(4.2,4.05)%KL
\uput[ul](2,3.65){K}\uput[dr](4.2,4.05){L}
\psline[linestyle=dashed](4.2,4.05)(8.9,4.9)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](8.9,3.2)(8.9,4.8)(8.9,6.4)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner les coordonnées des points F{}, I et J.
Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\,\vect{\text{AD}},\, \vect{\text{AE}}\right)$, \, F(1~;~0~;~1), \, I milieu de [AH] et de de [DE], donc I$\left(0~;~\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}\right)$ et J$\left(1~;~1~;~\frac{2}{3}\right)$

\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
On a $M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \text{il existe } t \in \R,\, \text{tel que}\, \vect{\text{I}M} = t\vect{\text{FJ}}$.

Avec $\vect{\text{I}M}\begin{pmatrix}x - 0\\y - \frac{1}{2}\\z - \frac{1}{2}\end{pmatrix}$ et 
$\vect{\text{FJ}}\begin{pmatrix}0\\1\\-\frac{1}{3}\end{pmatrix}$, on a donc 

$M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t \times 0\\
y - \frac{1}{2}&=&t \times 1\\
z - \frac{1}{2}&=&t \times \left( -\frac{1}{3}\right)
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
y &=&\frac{1}{2} + t \\
z &=&\frac{1}{2} -\frac{t}{3}
\end{array}\right.\, t \in \R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point de coordonnées $\left(0~;~ 0~;~\dfrac{2}{3}\right)$ est le point K.
Le point K est le point de $(d)$ d'ordonnée nulle, soit $t + \frac{1}{2} = 0 \iff t = - \frac{1}{2}$. Sa cote est donc $z = \frac{1}{2} - \frac{- \frac{1}{2}}{3} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
		
Donc K$\left(0~;~ 0~;~\dfrac{2}{3}\right)$.
		\item %Déterminer les coordonnées du point L, intersection des droites $(d)$ et (DH).
		Tous les points de (DH) ont une ordonnée égale à 1.

Or un point de $(d)$ a une ordonnée égale à $\frac{1}{2} + t = 1 \iff t = \frac{1}{2} $.

Enfin L a une cote égale à $z = \frac{1}{2} - \frac{t}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}  = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

L$\left(0~;~1~;~ \frac{1}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.
Le milieu de [FL] a pour coordonnées $\left(\dfrac{1 + 0}{2}~;~\dfrac{0 + 1}{2}~;~\dfrac{1 + \frac{1}{3}}{2} \right)$, soit $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{2}{3} \right)$.

Le milieu de [JK] a pour coordonnées $\left(\dfrac{0 + 1}{2}~;~\dfrac{1 + 0}{2}~;~\dfrac{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}{2} \right)$, soit $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{2}{3} \right)$.

Conclusion : les diagonales de FJLK ont le même milieu : FJLK est un parallélogramme.
		\item %Démontrer que le quadrilatère FJLK est un losange.
		On a $\vect{\text{FL}}\begin{pmatrix}-1\\1\\- \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$ et  $\vect{\text{JK}}\begin{pmatrix}-1\\-1\\ 0\end{pmatrix}$.
	
	Donc $\vect{\text{FL}} \cdot \vect{\text{JK}} = 1 - 1 + 0 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux, les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires, don FJLK est un losange.
		\item %Le quadrilatère FJLK est-il un carré ?
		On a $\vect{\text{KF}}\begin{pmatrix}1\\0\\\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{FJ}}\begin{pmatrix}0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$, donc $\vect{\text{KF}} \cdot \vect{\text{FJ}} = 0 + 0 - \dfrac{1}{9} \ne 0$ : les vecteurs ne sont pas orthogonaux, donc les côtés consécutifs [KF] et [FJ] ne sont pas perpendiculaires, donc FJLK n'est pas un rectangle, donc pas un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Cas général}

\medskip

On admet que les coordonnées des points K et L sont : K$\left(0~;~0~;~1- \dfrac{a}{2}\right)$ et L$\left(0~;~1~;~\dfrac{a}{2}\right)$.

On rappelle que $a \in [0~;~1]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées de J en fonction de $a$.
On sait que J est défini par $\vect{\text{CJ}} = a \vect{\text{CG}}$.

On a avec G(1~;~1~;~1), \, $\vect{\text{CG}}\begin{pmatrix}0\\0\\ 1\end{pmatrix}$; donc $a \vect{\text{CG}}\begin{pmatrix}0\\0\\a\end{pmatrix}$, donc $\vect{\text{CJ}}\begin{pmatrix}0\\0\\a\end{pmatrix}$ et comme C a pour coordonnées (1~;~1~;~0), on en déduit que J a pour coordonnées $(1~;~1~;~a)$.
\item %Montrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.
On a $\vect{\text{FJ}}\begin{pmatrix}0\\1\\a - 1\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{KL}}\begin{pmatrix}0\\1\\a - 1\end{pmatrix}$.

Donc $\vect{\text{FJ}} = \vect{\text{KL}} \iff $ FJLK est un parallélogramme.
\item %Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère FJLK soit un losange ? Justifier.
On a $\vect{\text{FL}}\begin{pmatrix}-1\\1\\\dfrac{a}{2} - 1\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{JK}}\begin{pmatrix}- 1\\-1\\1 - \dfrac{3a}{2} \end{pmatrix}$.

Donc $\vect{\text{FL}} \cdot \vect{\text{JK}} = 1 - 1 + 
\left(\dfrac{a}{2} - 1 \right)\left(1 - \dfrac{3a}{2} \right) = \left(\dfrac{a}{2} - 1 \right)\left(1 - \dfrac{3a}{2} \right)$.

On a $\vect{\text{FL}} \cdot \vect{\text{JK}} = 0 \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{a}{2} - 1 &=&0\\
&\text{ou}&\\
1 - \dfrac{3a}{2}&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{a}{2}  &=&1\\
&\text{ou}&\\
1 &=&\dfrac{3a}{2}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&2\\
&\text{ou}&\\
\dfrac{2}{3}&=&a
\end{array}\right.$

La seule solution de l'intervalle [0~;~1] est $\dfrac{2}{3}$, la valeur particulière de la partie A.

Dans ce cas le produit scalaires étant nul, les vecteurs sont orthogonaux, donc les droites sont particulières : les diagonales du parallélogramme étant perpendiculaires, le quadrilatère FJLK est un losange.
\item %Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère FJLK soit un carré ? Justifier.
On a vu dans la question précédente que seule la valeur $\dfrac{2}{3}$ de $a$ donnait un losange FJLK et dans la question \textbf{4. c.} on  a vu qu'alors le losange n'était pas un carré.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{EXERCICE au choix du candidat} \hfill 5 points}

\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B}

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.}

\medskip

\textbf{EXERCICE A - Fonction ln}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

%Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$. 
%
%On possède un test de dépistage de cette maladie.
%
%On considère un échantillon de $n$ personnes ($n \geqslant 20$) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.
%
%On teste l'échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange. 
%
%Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
%
%Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer $X_n$ prend les valeurs 1 et $(n + 1)$.
\starredbullet~Si le test est négatif on aura fait un test : $X_n = 1$ ;

\starredbullet~~Si le test est positif il faudra faire le test des $n$ personnes plus le test global : $X_n = 1 + n$.
\item %Prouver que $P\left(X_n = 1\right) = 0,95^n$.
$P\left(X_n = 1\right)$ est la probabilité que l'on ne fasse qu'un test : le test des $n$ personnes et que celui-ci soit négatif donc que les $n$ personnes ne soient pas malades.

La probabilité qu'une personne soit malade est égale à 0,05, donc qu'une personne soit saine $1 - 0,05 = 0,95$ et donc que $n$ personnes soient saines est égale à $0,95^n$. Donc $P\left(X_n = 1\right) = 0,95^n$.

%Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant: 

On a donc $P\left(X_n = n + 1\right) = 1 - 0,95^n$
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$						& 1 &$n + 1$\\ \hline
$P\left(X_n = x_i\right)$	&$0,95^n$	&$1 - 0,95^n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item %Que représente l'espérance de $X_n$ dans le cadre de l'expérience ?

On a $E\left(X_n\right) = 1 \times 0,95^n + (n + 1) \times \left(1 - 0,95^n \right) = 0,95^n + (n + 1) -0,95^n(n + 1) = 0,95^n + n + 1 - n \times 0,95^n  - 0,95^n = n + 1 - n \times  0,95^n$.
%Montrer que $E\left(X_n\right) = n +1 - n \times  0,95^n$. 

Cette espérance représente le nombre moyen d'analyses à effectuer pour un échantillon $n$ personnes : cette espérance est voisine de $n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $f$ définie sur $[20~;~ +\infty[$ par 

$f(x) = \ln (x) + x \ln (0,95)$.

$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $[20~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{1}{x} + \ln (0,95)$.

%Montrer que $f$ est décroissante sur $[20~;~ +\infty[$.

Or $20 \leqslant x \Rightarrow \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{20} \Rightarrow \dfrac{1}{x} + \ln 0,95\leqslant \dfrac{1}{20} + \ln 0,95$.

Or $\dfrac{1}{20} + \ln 0,95 \approx - 0,001$ ; il en résulte que $f'(x) \leqslant 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $[20~;~ +\infty[$.
\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. 

%Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
On a puisque $x \ne 0$, \, $f(x) = x\left(\dfrac{\ln x}{x} + \ln 0,95 \right)$.

Puisque  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, alors  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} + \ln 0,95 = \ln 0,95 < 0$.

Finalement par produit de limites puisque $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} + \ln 0,95 = 0,95 < 0$, on a 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$.
\item %Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ sur $[20~;~ +\infty[$. 
La question précédente montre que $f$ est décroissante de $f(20) = \ln 20 + 20\ln 0,95 \approx 1,97$ à moins l'infini.

$f$ est continue car dérivable sur $[20~;~ +\infty[$ et prend ses valeurs dans les l'intervalle 
$]- \infty~;~f(20)]$\, avec $f(20) \approx 1,97$.

Comme $0 \in ]- \infty~;~f(20)]$, et que $f$ est décroissante sur cet intervalle  il existe donc un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne $f(87,0) \approx 0,003$ et $f(87,1) \approx \np{- 0,0005}$, donc 
$87,0 < \alpha 87,1$.
%Donner un encadrement à 0,1 près de cette solution.
\item %En déduire le signe de $f$ sur $[20~;~ +\infty[$.
D'après la question précédente :

$f(x) > 0$ sur $[20~;~\alpha[$ et $f(x) < 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

%On cherche à comparer deux types de dépistages. 
%
%La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus. 
%
%La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que $E\left(X_n\right)  < n$.
%
%En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant $87$ personnes maximum.
On a $E\left(X_n\right)  < n \iff n + 1 - n \times 0,95^n < n \iff 1 < n \times 0,95^n$ ou en prenant le logarithme népérien $0 < \ln n + \ln \left(0,95^n\right) \iff 0 < \ln n + n \ln 0,95 \iff 0 < f(n) \iff f(n) > 0$.

Or on a vu à la fin de la partie B que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [20~;~87].

Conclusion : tester toutes les personnes conduira à moins d'analyses qu'avec la méthode 1 avec des échantillons de 20 à 87 personnes au maximum. Au delà il vaut mieux utiliser la première méthode.
\bigskip

\textbf{EXERCICE B - Équation différentielle}

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction $f$ et résolution d'une équation différentielle}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \e^x+ ax + b\e^{-x}\]

%où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.

%Dans le plan muni d'un repère d'origine O, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentant la fonction $f$, et la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-0.6)(3.2,6.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.2,-0.4)(3.2,6.6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{2.5}{2.71828 x exp x sub 2 2.71828 x exp div add} \uput[r](2,5){\red $\mathcal{C}$}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2}{2}{3 2 x mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item ~%Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f’(0)$.
\starredbullet~$f(0) \approx 3$ ;

\starredbullet~$f'(0) \approx - 2$ (coefficient directeur de la tangente)
\item %En utilisant l'expression de la fonction $f$, exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et en déduire la valeur de $b$.
On a $f(0) = 1 + b$. Or $1 + b = 3 \iff b = 2$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$.
Sur $\R$, \, $f'(x) = \e^x + a - b\e^{-x} = \e^x + a - 2\e^{-x}$.
		\item %Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$.
Donc $f'(0) = 1 + a - 2 = a - 1$.
		\item %En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$, puis en déduire l'expression de $f(x)$.
		On a vu que $f'(0) = - 2 = a - 1 \iff a = - 1$, donc finalement :
		
		\[f(x) = \e^x - x + 2\e^{-x}\]
	\end{enumerate}
\item %On considère l'équation différentielle :

\[(E) : \quad  y' + y = 2\e^x - x - 1\]

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
		
\[g(x) = \e^x - x + 2\e^{-x}.\]

$g$ étant une somme de fonctions dérivables sur $\R$, on a sur cet intervalle :

$g'(x) = \e^x - 1 - 2\e^{-x}$, soit en remplaçant dans l'équation $(E)$ :

$\e^x - 1 - 2\e^{-x} + \e^x - x + 2\e^{-x} = 2\e^x - x - 1$ égalité vraie : $g$ est donc une solution de l'équation différentielle $(E)$.
%est solution de l'équation $(E)$.

		\item %Résoudre l'équation différentielle $y' + y = 0$.
$y' + y = 0 \iff y' = - y$ : on sait que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par :

\[ x \longmapsto f(x) = K \e^{- x},\, \text{avec } K \in \R.\]

		\item %En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$.
D'après les questions précédentes les solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions définies que $\R$ par :

\[ x \longmapsto \e^x - x + 2\e^{-x} + K \e^{- x},\, \text{avec } K \in \R.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction $g$ sur $[1~;~+\infty[$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que pour tout réel $x$, on a :

%\[\e^{2x} - \e^x - 2 = \left(\e^x - 2\right)\left(\e^x + 1\right)\]
En posant $X = \e^x$, on a $X^2 - X - 2$ et ce trinôme a deux solutions évidentes $2$ et $- 1$.

$X^2 - X - 2 = (X - 2)(X + 1)$, donc en revenant à l'écriture initiale :

$\e^{2x} - \e^x - 2 = \left(\e^x - 2\right)\left(\e^x + 1\right)$ pour tout réel $x$.
\item %En déduire une expression factorisée de $g'(x)$, pour tout réel $x$.
$g'(x) = \e^x - 1 - 2\e^{-x} = \e^{-x}\left(\e^{2x} - \e^{x} - 2)\right)$, donc d'après la question précédente :

$g'(x) = \e^{-x}\left(\e^x - 2\right)\left(\e^x + 1\right).$
\item %On admettra que, pour tout $x \in  [1~;~ +\infty[$,\, $\e^x - 2 > 0$.
Puisque $\e^x - 2 > 0$ (admis), $\e^x + 1 > 1 > 0$  et $\e^{-x} > 0$, donc leur produit $g'(x) > 0$.

Il en résulte que la fonction $g$ est croissante sur $\R$, donc sur $[1~;~ +\infty[$.
%Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[1~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}
\end{document}